全等模型之一线三等角+半角模型2024-2025学年湘教版数学八年级上册

全等模型之——一线三等角 (K 字)模型 模型1.一线三等角 (K型图)模型 (同侧型) 【模型解读】 在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角 (常见)： 锐角一线三等角 直角一线三等角 (“K型图”) 钝角一线三等角 条件: ∠A=∠CED=∠B与CE=DE 证明思路: ∠A=∠B,∠C=∠BED+任一边相等⇒△BED≌△ACE 例1. (1)如图1, 已知△ABC中, 直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m, 垂足分别为点D,E. 求证: DE=BD+CE . (2)如图2, 将(1) 中的条件改为: 在△ABC中, AB=AC,D,A,E 三点都在直线m上, 并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC. 请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系, 并说明理由. 例2. (1) 如图(1), 已知: 在△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, 直线m经过点A, BD⊥直线m, CE⊥直线m, 垂足分别为点D、E. 证明:DE=BD+CE. (2)如图(2), 将(1) 中的条件改为: 在△ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m上, 并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α, 其中α为任意锐角或钝角. 请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立, 请你给出证明：若不成立，请说明理由.(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE, 若∠BDA=∠AEC=∠BAC, 试判断△DEF的形状. 例3. (1)【问题发现】如图1, △ABC 与△CDE中, ∠B=∠E=∠ACD=90°,AC=CD, B、C、E三点在同一直线上,AB=3,ED=4,则BE= .(2)【问题提出】如图2,在Rt△ABC中, ∠ABC=90°, BC=4, 过点C作 CD⊥AC, 且CD=AC, 求△BCD 的面积.(3)【问题解决】如图3,四边形ABCD中, ∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°, △ACD 面积为12且CD的长为6, 求△BCD 的面积. 例4.如图,在矩形ABCD中, ,点P从点B出发,以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以 的速度沿CD边向点 D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当v为 时，△ABP与 全等. 例5. 如图, 在. 中, , 点D在线段BC上运动(D不与B、C重合), 连接AD, 作 DE 交线段AC于 E. (1)当∠BDA=115°时, ; 点D从B向C运动时,. 逐渐变 (填“大”或“小”); (2)当DC等于多少时,△ABD≅△DCE,请说明理由：(3)在点 D 的运动过程中，V ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以，请直接写出 的度数，若不可以，请说明理由. 模型2.一线三等角 (K型图)模型 (异侧型) 【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件: ∠FAC=∠ABD=∠CED+ 任意一边相等 证明思路: ∠A=∠B,∠C=∠BED+任一边相等⇒△BED≌△ACE 例1.如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, 点E是∠ACB内部一点, 连接CE, 作AD⊥CE, BE⊥CE, 垂足分别为点 D, E. (1) 求证: △BCE≌△CAD; (2) 请直接写出AD, BE, DE之间的数量关系: . 例2. (1)课本习题回放:“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D, E, AD=2.5cm, DE=1.7cm. 求BE的长”, 请直接写出此题答案: BE的长为 . (2) 探索证明: 如图②, 点B, C在∠MAN的边AM、AN上, AB=AC, 点E, F在∠MAN内部的射线AD上, 且∠BED=∠CFD=∠BAC. 求证: △ABE≌△CAF. (3) 拓展应用: 如图③, 在△ABC中, AB=AC, AB>BC. 点D在边BC上, CD=2BD, 点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为 .(直接填写结果，不需要写解答过程) 例3.过正方形ABCD (四边都相等，四个角都是直角)的顶点A 作一条直线MN. (1)当MN不与正方形任何一边相交时，过点B作BE⊥MN于点E，过点D作. 于点F如图(1),请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明你的结论. (2)若改变直线MN的位置, 使MN与CD边相交如图(2), 其它条件不变, EF, BE, DF的关系会发生变化，请直接写出EF，BE，DF的数量关系，不必证明； (3) 若继续改变直线MN的位置, 使MN与BC边相交如图(3), 其它条件不变, EF, BE, DF的关系又会发生变化，请直接写出EF， BE， DF的数量关系，不必证明 全等模型之含半角 知识讲解 角含半角模型： 【特征】 ：①共端点的等线段、②共顶点的倍半角 【好处】 ：将分散的条件集中，隐蔽的关系即显现 【常见半角模型】 : 90°含45°, 120°含60° 1.半角在倍角内 核心考点： 如图,正方形ABCD , 点E在边CD上, 点F在边BC上, 【辅助线】延长BC至点G ,使BG = DE , 连接AG . 【结论】 ①旋转全等:△ABG≌△ADE,理由SAS. ②对称全等： ,理由SAS . ，进而推出△CEF的周长等于正方形周长的一半 . ④AF平分∠BFE, AE平分∠DEF . 1 解答题 （1）如图1 , 正方形ABCD中, 点E , F分别在线段BC , CD上, 延长CD到点G, 使 连 结EF , AG . 求证： (2) 如图2, 等腰直角三角形ABC中,. ,点M, N在边BC上,且 若. 求MN的长. 2 如图,在四边形ABCD中,. , E、F分别是边BC、CD上的点,且 则EF的值为 . 归纳总结： 模型 半角在倍角内 半角在倍角外 记忆 辅助线添加方法:“内补外截” 已知 正方形ABCD , 点E在边CD上, 点F在边BC上,∠EOF =45°. 正方形ABCD ,∠EOF=45°, 旋转∠EOF与DC的延长线交于点E , 与CB的延长线交于点F . 图形 结论 ①旋转全等: △ABG≌△ADE(SAS) . ②对称全等: △FAG≌△FAE(SAS) . ③EF=BF+DE, 进而推出△CEF的周长等于正方形周长的一半 . ④ AF平分∠BFE , AE平分∠DEF . ①旋转全等: △ABF≌△ADG( SAS) ②对称全等: △EAG≌△EAF(SAS) ③EF = DE-BF . ④ AE平分∠DEF. 探索: (1) 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°, E、F分别是边BC、CD上的点，且 求证: EF=BE+FD . 4 如图,在四边形ABCD中, . E , F分别是线段BC , CD上的点，且 若. 则. 2.半角在倍角外 核心考点： 如图,正方形ABCD ,. 旋转∠EAF与DC的延长线交于点E ，与CB的延长 线交于点F. 【辅助线】在CD截取 连接AG . 【结论】 ①旋转全等： ,理由SAS . ②对称全等：. 理由SAS . ③EF=DE-BF. (2) 如图, 在四边形ABCD中,. , E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且 (1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 练习2 6 完成下面问题 . (1) 如图, 点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上, 求证： (2) 如图, 四边形ABCD中,4 点E、F分别在边BC、CD上, 则当. 与∠BAD满足什么关系时, 仍有EF=BE+FD,说明理由 . (3) 如图, 四边形ABCD中, AC平分 于E , 交CD延长线于F ，请直接写出线段BC、CD与CE之间的数量关系为 (不需证明 ). 三、出门测 7 如图1 , 四边形ABCD中, , E、F分别为AB、AD上的点, (1) 求证 :. (2)如图2，将图1中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF之间的数量关系并证明. (3)如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，DF之间的数量关系为 . 8 如图, 是边长为3的等边三角形，. 是等腰三角形，且 以D为顶点作一个( 角, 使其两边分别交AB于点M, 交AC于点N , 连接MN , 则△AMN的周 长是多少? (3)如图3，将图1中点E移至AB延长线上，点F移至DA延长线上，其余条件不变，直接写出EF和BE，DF之间的数量关系为 . 8 如图, 是边长为3的等边三角形，. 是等腰三角形，且 以D为顶点作一个( 角, 使其两边分别交AB于点M, 交AC于点N , 连接MN , 则△AMN的周 长是多少? 第7页(共7页) 学科网（北京）股份有限公司 $$