专题07 构造等腰三角形的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题07 构造等腰三角形的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 2 类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 6 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 11 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 15 压轴能力测评（10题） 20 解题知识必备 1. 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 2. 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型分析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形． 3. 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 4. 利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 压轴题型讲练 类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【变式训练2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【变式训练1】如图 (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【变式训练1】（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 例题：（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）在中，的平分线交边于点，    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点，请你探究（2），请写出正确的结论，并说明理由． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 (2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 (3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 压轴能力测评（10题） 一、解答题 1．（2023·浙江·二模）如图，在中，点D，E分别在边上，，平分． (1)求证：． (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，平分，平分，且与相交于点，过作，分别交、于、． (1)试判断、、之间的关系，并说明理由； (2)若的周长比的周长大，到的距离为，的面积为________． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，，求的周长． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 5．（22-23八年级上·云南保山·期末）是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（点不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)如图当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 6．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等边，在射线上，． (1)如图1，当时，过点作于，交于点．求证：； (2)如图2，点在的延长线上，，，求的值； (3)若点在射线上，在直线上，，那么　　　　　　（用含n的式子表示）． 8．（23-24七年级上·山东济南·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 10．（22-23七年级下·四川达州·期末）（1）如图1，在中，，，平分，，垂足为E，试探究线段和之间的数量关系，并写出你的理由． （2）如图2，把条件改为：“在中，，，点D在上，，，与相交于F点，则线段和之间的数量关系如何?并证明你的结论．” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 构造等腰三角形的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 2 类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 6 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 11 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 15 压轴能力测评（10题） 20 解题知识必备 1. 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 2. 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型分析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形． 3. 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 4. 利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 压轴题型讲练 类型一、利用平行线+角平分线构造新等腰三角形 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 【变式训练1】（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． 【变式训练2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 类型二、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 例题：（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 【变式训练1】如图 (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 (4)的面积是 【分析】（1）证（），得，即可； （2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论； （4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，延长交于点F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，证明如下： 如图3，延长、交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （4）解：如图4，延长交于E， 由问题情境可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的面积是． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定． （1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案； （2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ． ∵点为中点， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，交于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【变式训练1】（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质； （1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， 为等边三角形， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 例题：（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）在中，的平分线交边于点，    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点，请你探究（2），请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)探究（2）中的结论不成立，正确结论：，证明见解析部分 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）证明，可得结论； （2）证明，推出，推出．可得，即可证明； （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：，如图3，在上截取，连接，证明，推出．由，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∵平分， 即， ∴为等腰三角形； （2）证明：由（1）得：为等腰三角形， 平分 在和中， （3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：， 理由：如图3，在上截取，连接， 平分    【变式训练1】（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 (2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 (3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论； （2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证； （3）先证明 ，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在上取，连接， ∵于 ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 过作，交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， 又 ∴ ∴ ，， 而， ∴， 又∵ ∴ ∴     即　． 压轴能力测评（10题） 一、解答题 1．（2023·浙江·二模）如图，在中，点D，E分别在边上，，平分． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可证明结论； （2）解根据等腰三角形的性质得到，设，根据三角形外角的性质列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，平分，平分，且与相交于点，过作，分别交、于、． (1)试判断、、之间的关系，并说明理由； (2)若的周长比的周长大，到的距离为，的面积为________． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出，，根据等腰三角形的判定得出，，据此即可解答； （2）首先根据的周长比的周长大，可求出长，再根据角平分线的性质及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分 ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 即； （2）解：∵的周长为：， 周长为：， 又∵的周长比的周长大， ∴， 又∵平分，且到的距离为， ∴到的距离也为， ∴的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，求出是解此题的关键． 3．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先依据平行线的性质证明，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形； （2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． 【详解】（1）证明：， ，， 平分， ， ， ． 是等腰三角形． （2）解：是的中点， ． ， ． 由对顶角相等可知：． 在和中 ≌． ． ， ． ． 的周长． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①在四边形中，E是边的中点，是的平分线，，求证； 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点F； 方法2：如图③，在上取一点G，使，连接、； (1)请你任选一种方法写出这道题的完整证明过程； (2)如图④，在四边形中，是的平分线，E是边的中点，，，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）方法一根据平行线的性质易证，结合角平分线的性质可知是等腰三角形，从而可证；方法二根据角平分线的性质易证，从而可知是等腰三角形，再结合平行线的性质可求得也是等腰三角形，从而可证； （2）过点作的平行线交于点，交的延长线于点，根据方法一可得是等腰三角形，结合等腰三角形性质，，，可证得，从而可得． 【详解】（1）方法一：证明：延长交于点F，如图②； 是边的中点， ， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ； 方法二：证明：在上取一点G，使，连接，如图③； 是的平分线， ， ，， ， ，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作的平行线交于点，交的延长线于点，连接， 由方法一同理可知：， ，， ∵平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质与判定等知识点，解题关键在于作辅助线构造全等三角形． 5．（22-23八年级上·云南保山·期末）是边长为9的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（点不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过P作于E，连接交于D． (1)如图当时，求的长； (2)在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) (2)在运动过程中线段的长不变； 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据等边三角形的性质得出，，再由含30度角的直角三角形的性质确定，根据题意得出方程求解即可； （2）过点P作交于点F，根据等边三角形的性质及判定确定是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质结合图形求解即可 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 又 ， ， 两点同时出发且速度相同， ， 设，则， ， 解得：， ； （2）在运动过程中线段的长不变； 过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ． ， 是等边三角形， ， 于E， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ． 6．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：    如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等边，在射线上，． (1)如图1，当时，过点作于，交于点．求证：； (2)如图2，点在的延长线上，，，求的值； (3)若点在射线上，在直线上，，那么　　　　　　（用含n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)的值为； (3)或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，过某一点作已知等边三角形某边的平行线构造一个新的等边三角形，这是解决等边三角形常用的方法之一． （1）根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据求出，再求出，从而得到； （2）过作交的延长线于，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，然后求出，再求出即可得解； （3）与（2）的求解相同求出，列出的表示，然后整理即可得到的值． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，而， ， ； （2）解：如图2，过作交的延长线于． 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）解：①当点在线段的延长线上，如图3， 与（2）方法相同求出， 所以，， ． ②当点在线段上，如图4， 过作交的延长线于． 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ③在线段上，在射线上， 设．则，，，，． 综上所述，或或． 故答案为：或或． 8．（23-24七年级上·山东济南·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 【答案】（1）全等；理由见解析；（2）；理由见解析；（3） 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先根据等角对等边证明，再根据证明三角形全等即可； （2）延长，交于点G，证明，得出，证明，得出； （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，证明，得出，证明，得出，求出即可． 【详解】解：全等；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）；理由如下： 延长，交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 9．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（） 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（22-23七年级下·四川达州·期末）（1）如图1，在中，，，平分，，垂足为E，试探究线段和之间的数量关系，并写出你的理由． （2）如图2，把条件改为：“在中，，，点D在上，，，与相交于F点，则线段和之间的数量关系如何?并证明你的结论．” 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据等边对等角证明 【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）如图，延长，交于点，证明，得到；再证明，得到，即可解决问题； （2）如图，作，交的延长线于点，则，证明，得到；证明，得到，即可解决问题． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，延长，交于点， ∵，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，作，交的延长线于点，则， ∵，则， ∴平分； ∵， ∴， ∵， ∴，故， ∴； ∵， 同（1）； 在与中，， ∴， ∴； 在与中，， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$