25. 全等三角形 全等模型——倍长中线 专项讲义 2024-2025学年湘教版八年级数学上册

专题 05 全等三角形证明方法——倍长中线 基本模型： (1) 条件: 如图, 在△ABC中, AD为△ABC的中线,作法: 延长AD至点E, 使得DE=AD, 连接BE,结论: ①△ADC≌△EDB; ②AC=EB; ③AC∥EB. (2)条件:如图,在. 中, AF为 的中线， 作法：过点C作( 于点 E,过点 B作. 交AF的延长线于点D，结论: ①△CEF≌△BDF ; ②BD=CE; ③BD∥CE. (3)条件:如图,在 中，D为BC的中点，M为AB边上任意一点，作法:延长MD 至点N,使得 连接CN,结论: ①△BMD≌△CND; ②BM=CN; ③BM∥CN. 4. 数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题: 如图1, 在△ABC中, AB=8, AC=6, D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明 的推理过程. (1) 求证: △ADC≌△EDB 证明: ∵延长AD到点E, 使DE=AD 在△ADC和△EDB中AD=DE (已作) ∠ADC=∠EDB ( ) CD=BD (中点定义) ∴△ADC≌△EDB ( ) (2)探究得出AD的取值范围是 ； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图2,△ABC中,∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中线,CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°,求AE的长. 例题精讲： 例1.如图, 中,AB=6,AC=4,D 是BC的中点, AD的取值范围为 . 例2.证明：直角三角形斜边中线的长度等于斜边的一半. 如图, D是AB的中点, . 求证： 例3.已知( AE是 的中线，求证： 例4. 如图, AD 是 的中线, E、F分别在AB、AC上,且. 求证： 例6. △ABC中, AB=AC,以BC为边, 在BC右侧作等边△BCD. 如图, E为DC 延长线上一点, 连接AE、BE,G为AC的中点, 连接BG、EG, AE=DE, 证明: BG⊥EG. 专练过关： 1.(1) 如图1, AD是△ABC的中线, 延长AD至点E, 使ED=AD, 连接CE. ①证明△ABD≌△ECD; ②若AB=5, AC=3, 设AD=x, 可得x的取值范围是 ; (2)如图2, 在△ABC中, D是BC边上的中点, DE⊥DF, DE交AB于点E, DF交AC于点F,连接EF, 求证: BE+CF>EF . 2. 如图, 在△ABC中, ∠ABC=45°, AM⊥BC于点M,点D在AM上, 且DM=CM,F是BC的中点,连接FD并延长, 在FD的延长线上有一点E, 连接CE, 且CE=CA,∠BDF=36°, 求∠E的度数. 例5.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容： 例4 如图13.2.13, 在△ABC中, D是边BC的中点, 过点C画直线CE, 使CE∥AB, 交AD的延长线于点E,求证:AD=ED 证明∵CE∥AB(已知) ∴∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等). 在△ABD与△ECD中, ∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED (已证) ,BD=CD(已知) , ∴△ABD≌△ECD (A. A. S) , ∴AD=ED (全等三角形的对应边相等) . (1) 【方法应用】如图①,在△ABC中, AB=8, AC=5, 则BC边上的中线AD长度的取值范围是 . (2)【猜想证明】如图②,在四边形ABCD中, AB∥CD,点E是BC的中点, 若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)【拓展延伸】如图③,已知AB∥CF, 点E是BC的中点, 点 D 在线段AE上, ∠EDF=∠BAE,若AB=5, CF=2, 直接写出线段DF的长. 5.(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在 中, 求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2)， ①延长AD到M, 使得 ②连接BM, 通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在 中: ③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为. ，从而得到AD的取值范围是 ; 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系. (2)请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明. (3) 深入思考: 如图3, AD 是 的中线， ,请直接利用(2)的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明. 6.如图,在 中，F为BC中点，分别以AB、AC为底边向外作等腰三角形 和等腰三角形 记 (1) 若 如图，求证： (2) 当α, β不等于 时,若 ①在图中补全图形； ②试判断α，ρ的数量关系，并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$