专题08 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题08 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，与都是等边三角形，，若不动，将绕点C旋转，则在旋转过程中，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明即可说理． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 例2（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图所示，在中，，，、是斜边上的两点，且，将绕点按顺时针方向旋转后得到，连接，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用旋转性质可得，根据全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：绕顺时针旋转后得到， ， ，，故②正确； ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， 无法判断，故①错误， 故选：B． 例3（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系的应用： （1）证明即可； （2）根据的三边关系即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ； （2）解：∵（当且仅当共线时取等号）， 即． 故答案为：． 例4（24-25八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，；理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 例5（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图①，在中，于，，是上一点，且，连接，． (1)试判断与的大小关系；(不用证明) (2)如图②，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断与的大小关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图③，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．试猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与的位置关系和数量关系没有发生变化，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断 ． （1）先判断出，再判定再判断 （2）先判断出，再得到； （3）先判断出再判断出 最后计算即可． 【详解】（1）解：与的位置关系是： ， 数量关系是， 理由如下： 延长交于点， ∵于， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：与的位置关系和数量关系没有发生变化， 如图， ∵， ∴，即， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴； （3）∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ， ． 1．（2023八年级上·广东中山·竞赛）如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论： ①； ②； ③为等边三角形； ④． 其中结论不一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．首先由等边三角形的性质得到，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而证明即可． 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； 根据题意无法证明，故④错误． 综上所述，结论不一定成立的有1个． 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知点C在线段上，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接，则以下结论①；②；③；④是等边三角形，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质，证明，根据全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵点C在线段上， ∴，， ∴， ∴，；故①正确； ∵， ∴；故②正确； ∴， ∵， ∴是等边三角形，故④正确； ∵，， ∴， ∴；故③正确； 故选D 3．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，是等边三角形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选C． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，分别以为边作等边三角形与等边三角形，连接的延长线与交于点F，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中一定正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的判定，可证明得到，可判断①；过点A作于H，交直线于G，可证明，得到，可判断②；导角可证明，可判断③；在上截取，连接，则是等边三角形，可证明，得到，则可判断④． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点A作于H，交直线于G， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∴， ∴； 如图所示，在上截取，连接，则是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得、，，再说明，即可证明，即可判断①；然后可得，再分别表示出和，即可判定②正确；求出，证明可判定③；由可得，然后结合可得，可判定④． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴即③错误； ∵， ∴， ∴，即，则④正确． 综上，正确结论的是①②④． 故答案为：①②④． 6．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 连接，判定≌，即可得到，进而得出点F的运动轨迹为直线，依据当时，最短，即可得到的最小值是2． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴，， ∴， 即点F的运动轨迹为直线， ∴当时，最短， 此时， ∴的最小值是2． 故答案为：2． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据等边三角形性质得 ，进而得 ，则，由此可依据“”判定和全等， 然后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②根据全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理及，即可得出， 由此可对结论②进行判断；③证明和全等得， 再根据得是等边三角形， 由此可对结论③进行判断；④假设， 根据得是等边三角形，则，再根据得出假设是错误的，由此即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②∵， ∴， 在中， ， 在中，， 又∵， ∴，，故结论②正确； ③在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， 这与相矛盾， ∴假设是错误的， ∴，故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为： ①②③． 8．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，分别以，为腰向外作等腰，，且，，，点为的中点，连接． (1)如图1，若是等边三角形，则与的数量关系是________； (2)如图2，若是任意三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到，使得，连接，证明，得出，，再证明得出，进而可得出； （2）延长到，使得，连接，证明，得出，，再证明得出，进而可得出． 【详解】（1）； 延长到，使得，连接． 点为中点，， 在与中， ， ，， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． （2）成立，理由： 如图，延长到，使得，连接． 点为中点， ， 在与中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 9．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：. 迁移应用 如图2，和都是等边三角形，，，三点在同一条直线上，是的中点，是的中点，在上，是等边三角形，判断与之间数量关系并证明. 拓展创新 如图3，是线段的中点，，在的下方作等边（，，三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，.当的值最小时，直接写出等边边长的最小值. 【答案】问题情境：见解析；迁移应用：，证明见解析；拓展创新边长的最小值为 【分析】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． （1）证出．根据证明； （2）在上取点K，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）作，使，连接，，，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点H在线段上时，的值最小．由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）证明：在上取点K，使得，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点，点N为的中点， ∴， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：作，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点H在线段上时，的值最小． 此时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为． 10．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. 11．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． (1)如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． (2)如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． (3)若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定及性质，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ， 综上，的度数为，线段与 的数量关系为； 故答案为：，； （2）解：（1）中结论仍成立，证明如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）解：是等边三角形， ， 当旋转时，B、C、D三点共线且最大，，此时； 当旋转时，B、C、D三点共线且最小，，此时； ∴长的取值范围为． 12．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知D是等边三角形中边上一点（不与点A重合，且满足），点B关于直线的对称点为点E．连接，延长交直线于点F． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，连接，当点D在运动过程中，请探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)8 (3))，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质．熟练掌握知识并正确的作辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形及翻折的性质可求出的值以及，在根据三角形内角和定理求出的值，然后在中根据三角形内角和定理求解的值即可； （2）方法同（1）先求出，然后在上截取，使，连接，如图1，可知是等边三角形，根据，，得到，证明，最后根据计算求解即可； （3）由（2）可得，证明过程同（2）． 【详解】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴， ∴， 如图，在上截取，使，连接， 由题意知， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8； （3）解：； 证明如下：由（2）可得，点D在运动过程中，是定值， 如图，在上截取，使，连接， ∴同理（2）可知是等边三角形， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）在中，，，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接． (1)探究：如图①，当点在线段上时，证明； (2)应用：在探究的条件下，若，,则的周长为_____； (3)拓展：①如图②，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为_____； ②如图③，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①，② 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． （1）判断出，再用即可得出结论； （2）先算出，进而算出，再用勾股定理求出，即可得出结论； （3）①同探究的方法得出，得出，即可得出结论； ②同探究的方法得出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， 由探究知，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴的周长为， 故答案为：； （3）解：①同理得，， ∴， ∴， 故答案为：； ②同理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】(1) (2)与的数量关系是，位置关系是；见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2025七年级上·山东·专题练习）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：； 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握]；[深入研究]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可； [深入研究]根据证明，再由全等的性质得到； [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明：， ， ， 在和中， ， ； [深入研究] 证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中，， ， ；， ， ； [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ，， ， ， ． 16．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)，，理由见解析． 【分析】（1）由，可证，根据全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解； （3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可． 【详解】（1）（1）解：， ， ， 在和中，， ， 故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：且， 理由如下： 如下图所示， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键 17．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； （3）解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1），， （2），，理由见解析 （3） （4）． 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答即可； （2）同理证明，根据全等三角形的性质解答即可； （3）作交于E点，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，推出，从而证明出，，，最后利用三角形面积公式求解即可； （4）作，使，证明，推出，，连接并延长至点，使，连接，，，证明，得到，，再证明，得到，再证明是线段的垂直平分线，求得，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴； 故答案为：，，； （2）解：，；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （4）解：设， 作，使， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接并延长至点，使，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 19．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【思路梳理】 （1）如图1，在中，，点E在上，连接，以为边作等腰三角形，连接，，且．则和全等吗？为什么？ 【问题解决】 （2）如图2，某景区内有一处大道，大道两侧均为花卉种植区，区域为月季种植区，且，区域为牡丹种植区，区域为菊花种植区，，均为观赏小道，点A在线段上，点E在线段上，，为等腰直角三角形，，，点F恰好在的延长线上，求之间的数量关系，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． （1）先说明，再运用即可证得； （2）先证明可得，再证明可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，点F恰好在的延长线上， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 21．（24-25七年级下·山东青岛·期末）特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 (1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°． (4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条） 【答案】(1) (2)， (3)， (4) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键， （1）当时，则，进而得，证明，则可依据“”判定和全等得，，继而得，据此可得出和的数量关系和位置关系； （2）当时，则，进而得，同（1）依据“”判定和全等得，继而得； （3）当时，则，进而得，同（1）依据“”判定和全等得，继而得； （4）先求出，进而得，同（1）依据“”判定和全等，继而得，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴和的数量关系是：，位置关系是：， 故答案为：； （2）当时，则， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， 同（1）证明：， ∴， ∴； （3）当时，则， ∵， ∴和都是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 同（1）证明：， ∴， ∴， 故答案为：； （4），理由如下： ∵， ∴和都是等腰三角形， ∴， ∴， 同（1）证明：， ∴， ∴． 22．（24-25八年级上·吉林·期中）（1）呈现问题 如图①，在中，，D、E分别在、上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接、，则、、之间的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接．求出的度数及与的数量关系； （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、E、D在同一直线上，为中边上的高，连接．直接写出的度数及线段、、之间的数量关系； （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） ，；（2），；（3），；（4） 【分析】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由三角形外角的性质及等式的性质可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）证明，得出，最后证出即可． （4）根据进行计算即可． 【详解】解：（1），， ， 即， 是的外角， ； 故答案为：，； （2）和均为等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ， 综上可得的度数为；线段与之间的数量关系是：； （3）， 和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． （4）， ． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，等腰三角形中，．    (1)如图，在上，，，求证：； (2)如图，点是的中点，，探究与的数量关系； (3)如图，，，，，，点，，，，在同一直线上，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角可证，利用可证； （2）根据、，可证，所以可得、，根据点是的中点，可证，根据等腰三角形的性质可得，从而可以求出； （3）首先根据可证，根据全等三角形的性质可证、，所以可得：，根据可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可证，根据等角对等边可得，所以可得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中 ， ； （2），， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，取的中点，连 ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．    【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、平行线的性质．解决本题的关键是利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质找到边和角之间的关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，与都是等边三角形，，若不动，将绕点C旋转，则在旋转过程中，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 例2（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图所示，在中，，，、是斜边上的两点，且，将绕点按顺时针方向旋转后得到，连接，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．③④ 例3（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 例4（24-25八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 例5（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图①，在中，于，，是上一点，且，连接，． (1)试判断与的大小关系；(不用证明) (2)如图②，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断与的大小关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图③，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．试猜想与的大小关系，并说明理由． 1．（2023八年级上·广东中山·竞赛）如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论： ①； ②； ③为等边三角形； ④． 其中结论不一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）已知点C在线段上，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接，则以下结论①；②；③；④是等边三角形，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，是等边三角形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，分别以为边作等边三角形与等边三角形，连接的延长线与交于点F，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中一定正确的结论是 ．（填序号） 5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ． 6．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是 ． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 8．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，分别以，为腰向外作等腰，，且，，，点为的中点，连接． (1)如图1，若是等边三角形，则与的数量关系是________； (2)如图2，若是任意三角形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 9．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：. 迁移应用 如图2，和都是等边三角形，，，三点在同一条直线上，是的中点，是的中点，在上，是等边三角形，判断与之间数量关系并证明. 拓展创新 如图3，是线段的中点，，在的下方作等边（，，三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，.当的值最小时，直接写出等边边长的最小值. 10．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 11．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点． (1)如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___． (2)如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明． (3)若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围． 12．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知D是等边三角形中边上一点（不与点A重合，且满足），点B关于直线的对称点为点E．连接，延长交直线于点F． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，连接，当点D在运动过程中，请探究线段之间的数量关系，并证明． 13．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）在中，，，点为直线上一动点（点不与点、重合），以为直角边在右侧作等腰三角形，使，连接． (1)探究：如图①，当点在线段上时，证明； (2)应用：在探究的条件下，若，,则的周长为_____； (3)拓展：①如图②，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为_____； ②如图③，当点在线段的延长线上时，、、之间的数量关系为_____． 14．（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 15．（2025七年级上·山东·专题练习）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：； 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 16．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 17．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 18．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 19．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【思路梳理】 （1）如图1，在中，，点E在上，连接，以为边作等腰三角形，连接，，且．则和全等吗？为什么？ 【问题解决】 （2）如图2，某景区内有一处大道，大道两侧均为花卉种植区，区域为月季种植区，且，区域为牡丹种植区，区域为菊花种植区，，均为观赏小道，点A在线段上，点E在线段上，，为等腰直角三角形，，，点F恰好在的延长线上，求之间的数量关系，请说明理由． 20．（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 21．（24-25七年级下·山东青岛·期末）特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】 (1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°． (4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条） 22．（24-25八年级上·吉林·期中）（1）呈现问题 如图①，在中，，D、E分别在、上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接、，则、、之间的数量关系是________；与的数量关系是________； （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接．求出的度数及与的数量关系； （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、E、D在同一直线上，为中边上的高，连接．直接写出的度数及线段、、之间的数量关系； （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 23．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，等腰三角形中，．    (1)如图，在上，，，求证：； (2)如图，点是的中点，，探究与的数量关系； (3)如图，，，，，，点，，，，在同一直线上，求的值（用含的式子表示）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $