精品解析：广东省深圳外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

深圳外国语学校2024—2025学年度高二第一学期第一次月考 数学试题 试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 2. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 或 8. 柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为的柏拉图多面体，点，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不能表示过点且斜率为的直线方程 B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为 C. 直线与轴的交点到原点的距离为 D. 设，，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的表面积为 B. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 C. 若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______． 13. 已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，，则的最大值为__________. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. （1）若为的中点，求直线的方程； （2）求的最小值. 16. 已知圆，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M. （1）若点P运动到处，求此时切线l的方程； （2）求满足条件的点P的轨迹方程． 17. 如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且. （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离. 18. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上. （1）求圆C的方程； （2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值. 19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2024—2025学年度高二第一学期第一次月考 数学试题 试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 2. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】由题可得. 注意到， 则. 故选：A 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 4. 已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求解. 【详解】由可得：， 解得：或， 当时，两直线重合，不合题意， 当时，两直线平行. 故选：C. 5. 过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由圆的一般式方程知：， 所以，，即，解得或， 又知过点可作两条切线，得点在圆外， 即，即，综上可知：. 故选：A 6. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B. 考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 7. 已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解. 【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 8. 柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为的柏拉图多面体，点，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：取的中点，连接，，求得，，则可求得，进一步求得,按向量夹角公式求解即可；法二;接，，交于点，连接.分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，,用向量夹角公式坐标运算求解即可 【详解】方法一 由柏拉图多面体的性质可知， 四边形，均是边长为的正方形， 柏拉图多面体的侧面均为等边三角形.如图（1）， 取的中点，连接，， 则. 同理可得. 所以 取的中点，连接，，则，且 又点为的中点，且， 所以且， 则四边形为平行四边形，所以. 同理可得. 设，的夹角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选: 方法二 连接，，交于点，连接. 易知平面. 因为，，所以 如图（2）， 以点为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 因为点，，，分别为，，，的中点， 所以，，，， 则，, 设，的夹角为，则 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选： 【点睛】方法点睛：若不易将两条异面直线转化为同一平面内的两条直线时，则可利用向量法来求两异面直线所成的角.第一种方法是利用已知向量表示所求向量，第二种方法是建立合适的空间直角坐标系，两种方法最终都转化为求两向量的夹角的余弦值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不能表示过点且斜率为的直线方程 B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为 C. 直线与轴的交点到原点的距离为 D. 设，，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A：由可知，所以不过点，故选项A正确； 对于选项B：当时， 在轴、轴上的截距分别为0的直线不可用表示，故选项B错误； 对于选项C：直线与轴的交点为， 到原点的距离为，故选项C正确； 对于选项D：直线方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示， ，，若直线：与线段有交点， 则，或，即或，故选项D错误. 故选：AC 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，则在上的投影向量为 B. 若空间向量满足，则与夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据投影向量的定义列式运算得解；对于B，当，同向共线时也成立可判断；对于C，由空间向量共面的推论判断；对于D，由可判断. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C，在中，故四点共面，故C正确； 对于D，由，即，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的表面积为 B. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 C. 若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. 对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断； 对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断； 对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断； 对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得. 【详解】连结OB. 在三棱锥中，，，. 所以,,且,. 所以，所以. 又因为，所以面ABC. 可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，，所以,,,. 对于A：在三棱锥中，，，， 所以底面三角形为直角三角形，其面积为； 为边长为2的等边三角形，所以面积为； 和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为； 所以三棱锥的表面积为.故A正确； 对于B：为棱的中点，所以,所以,. 所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确； 对于C：点是棱上一动点，不妨设，（） . 所以. 设为面PAM的一个法向量，则， 不妨设y=1，则 .因为与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得：取，则 显然，面PAC的一个法向量为. 设二面角的平面角为，所以， 所以. 故C错误； 对于D: 如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面. 当M与B重合时，； 当M与C重合时，最大； 连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小. 此时，，所以. 由余弦定理得： . 所以的取值范围为. 故D正确. 故选：ABD 【点睛】立体几何题目的解题策略： (1)证明题：几何关系的证明，用判定定理； (2)计算题：求角或求距离（求体积通常需要先求距离），可以用向量法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据坐标可确定，由可求得结果. 【详解】，，，. 故答案为：. 13. 已知圆，圆，点分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合对称，可得三点共线时取到最大值. 【详解】, 点分别是圆，圆上的动点， 可知： 所以，， 设关于轴的对称点为，则， 当三点共线时，取最大，最大值为， 所以， 故答案为：7 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. （1）若为的中点，求直线的方程； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出截距即可得方程； （2）点坐标代入直线方程，利用常数代换，结合基本不等式可得. 【小问1详解】 由题意可设的方程为， 由为的中点可知：，， 故的方程为，即； 【小问2详解】 将代入方程，得， 故 当且仅当时，取等号，此时 故的最小值为. 16. 已知圆，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M. （1）若点P运动到处，求此时切线l的方程； （2）求满足条件的点P的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）由圆心到直线距离等于半径，求切线方程； （2）设，由，列等式化简即可. 【小问1详解】 把圆化为标准方程为， ∴圆心为，半径. 当l的斜率不存在时，此时l的方程为，C到l的距离，满足条件． 当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为，即， 则，解得. ∴l的方程为， 即， 综上，满足条件的切线l的方程为或. 【小问2详解】 设，则，. ∵，∴， 整理，得， ∴点P的轨迹方程为. 17. 如图，在棱长为4的正方体中，点在棱上，且. （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在棱上，且到平面的距离为，求到直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面夹角，从而求解； （2）由点到平面的距离为，求得的坐标，然后利用空间点到直线距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，. 设平面的一个法向量为，则 取，则，，得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 设，，则. 由（1）可知平面的法向量为， 则到平面的距离为，解得或（舍去）， 即. 因为，， 所以到直线的距离为. 18. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上. （1）求圆C的方程； （2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程； （2）设A，B，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得，，根据得，化为，进而可解得 . 【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)， 由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)， ∴，解得， ∴圆C的半径为， ∴圆C的方程为. （2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程， 由已知得，判别式①， 由根与系数的关系得，②， 由得. 又∵，，∴可化为③， 将②代入③解得，经检验，满足①，即， ∴. 【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 19. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 【答案】（1）在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面， ∴平面平面ABED； （2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）在图1中，连结AE，连结AC交BE于点F，证明，即可； （2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量和的坐标，然后可算出答案； （3）设，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解. 【详解】（1）略 （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为 ，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时． 【点睛】关键点睛：用向量方法解决空间中的角的问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和向量的坐标，然后准确地运算出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $