第14章 图形的运动（6大题型）（36道压轴题专练）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第14章 图形的运动（6大题型）（36道压轴题专练） 压轴题型一 平移问题 1．【感受理解】（1）如图1，在一块长方形草地上，长方形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b，在这块草地上有一条宽都为1的斜的小路，小明想利用平移的知识求出这条小路的面积，方法如图1所示， 通 过 长 方 形的 面 积 等 于 长 × 宽， 可 以 得出： ____； （2）如果将图1的小路变成图2中宽都为1的弯曲的小路，小明还想通过上面的方法求出小路的面积，你认为可行吗？如果可行，请在图2 中画出平移后的图形； 【学以致用】（3）利用所学知识解决下面问题：如图3，在平面直角坐标系中，曲线l过原点O交x轴于点B，将曲线l向上平移至的位置，已知点，请你求出图中阴影部分的面积（说出简单的方法）． 【答案】（1）b；（2）可行．平移后的图形如图2中的长方形 （3）30，方法见解析 【分析】本题考查利用平移的性质进行求解： （1）根据，即可得出结果； （2）利用平移的性质，画出平移后的图形即可； （3）利用平移的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）由平移可知：； 故答案为：b； （2） 可行．平移后的图形如图2中的长方形． （3）∵， ∴， 如图3，将x轴下方的阴影部分向上平移5个单位长度得到长方形，则． 2．如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（__________，__________）（用含，的式子表示）； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查作图——平移变换，三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移变换是解题的关键． （1）利用平移变化的性质分别作出点，，的对应点，，，再依次连接即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为， 故答案为：，； （3） = =． 3．【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容． (1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ； (2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________； (3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”． ①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________； ②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________； (4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________； ②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”． 【答案】(1)1或 (2)①6；②，5.5 (3)①；②，6.5 (4)①，；②4，5 【分析】（1）分向左平移和向右平移两种情况解答即可； （2）①先确定折痕处的数轴，然后再根据折叠的性质即可解答；②根据对称性求解即可； （3）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义求解即可； （4）①根据“雅中点”的定义求解即可；②根据“雅中点”的定义列不等式组组求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是， ∴点A在数轴上向右移动3个单位长度得到点表示的数为：； 点A在数轴上向左移动3个单位长度得到点表示的数为：． 故答案为：1或． （2）解：∵折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合， ∴折痕表示的数为：， ①表示的点与表示a的点重合，则有：，解得：； 故答案为：6； ②设 A表示的数为a，则B表示的数为：， 由题意可得：，解得： 所以A表示的数为，则B表示的数为：． 故答案为：，5.5 ． （3）解：①设点M表示的数为m，则有：，解得：； 故答案为：； ②设 A表示的数为n，则B表示的数为：， 由题意可得：，解得： 所以A表示的数为，则B表示的数为：． 故答案为：，6.5． （4）解：设B表示的数为， ①由题意可得：，即， ∵， ∴ ∴整数m的值为：，； 故答案为：，； ②由题意得：A表示的数为：， O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴B表示的数为：， ∵点B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， ，解得：， ∴t的所有整数值为：4，5． 【点睛】本题主要考查了数轴、新定义、点的移动、解一元一次方程、解不等式等知识点，掌握数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键． 4．如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【答案】(1)180 (2)，不一定平行于 (3) 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； （2），不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． （3）， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 5．如图， 在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是 ，点的标是 ，点的坐标是． 将三角形平移后得到三角形， 其中点的对应点的坐标为． (1)分别写出点和点的坐标： ， ； (2)在坐标系中画出三角形； (3)若点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，求和 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查平移作图和点的坐标，解题的关键是掌握平移的性质和变化规律． （1）根据点的平移变化规律即可求解； （2）根据（1）得到的、坐标，描出坐标点，再依次连接即可； （3）根据点的平移变化规律，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：的对应点的坐标为 ， 点向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 点的标是，点的坐标是， ，， 故答案为：，； （2）如图，三角形即为所求； （3）点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点， 点向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 根据题意可得：，， 解得：，， ，． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)三角形中任意一点经平移后对应的点为，将三角形作同样的平移得到三角形． ①画出平移后的三角形，写出的坐标． ②求出三角形的面积． (2)若将线段沿水平方向平移一次，竖直方向平移一次，两次平移扫过的图形没有重叠部分、两次平移后B点的对应点的坐标为，已知线段扫过的面积为20，请直接写出a，b的数量关系：______． 【答案】(1)①作图见解析； ②的面积为 (2) 【分析】本题考查了平移与坐标、格点三角形的面积求法，解题的关键的是熟知平移的性质与利用“割补法”求三角形的面积． （1）①由点P的对应点坐标知，需将三角形向右平移5个单位、向上平移3个单位，据此可得； ②利用割补法求解可得答案． （2）利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①如图，即为所求； ②的面积 （2）如下图（假设），线段沿水平方向平移扫过的平行四边形，其底为，高为3，面积为；线段沿竖直方向平移扫过的平行四边形，其底为,高为2，则面积为， 根据题意 同理，或或， ∴依然成立 故答案为：． 压轴题型二 旋转问题 7．在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图1，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或 (3)；理由见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分两种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）如图3，， ， 如图4，， ， 综上所述：度数为或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 8．在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了画已知图形关于某点中心对称的图形，平移（作图），找旋转中心等知识点，熟练掌握各种基本的做图技巧是解题的关键． （1）根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）先作出的中点，然后根据平移的性质作出的对应点，最后连接即可； （3）旋转中心有两种可能，由图即可直接写出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，点和线段即为所求作： （3）解：如图，旋转中心有两种可能，即图中的和： 由图可知：，， 故答案为：或． 9．如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．    (1)在图1中，______； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； ②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 【答案】(1) (2)①当旋转时间为或秒时，成立；②当，旋转的时间是秒 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键． （1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论； ②设旋转的时间为秒，由题知，，根据周角得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）①如图1，此时，成立， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒； 如图2，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角板绕点逆时针旋转的角度为， ∵转速为秒， ∴旋转时间为秒， 综上所述，当旋转时间为或秒时，成立； ②设旋转的时间为t秒，由题知，， ∴， ∴ ， 当，即， 解得：， ∴当，旋转的时间是秒． 10．在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． (1)哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ (2)指出图中的对应线段和对应角； (3)求的度数． 【答案】(1)点D是旋转中心，旋转角是 (2)对应线段为和，和，和；对应角为和，和，和； (3) 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质，熟知旋转前后的对应线段和对应角相等是解答的关键． （1）根据已知，结合图形和正方形的性质可得结论； （2）由旋转性质可得结论； （3）根据旋转角的度数求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转一个角度后成， ∴点D是旋转中心，旋转角； （2）解：由旋转性质得：对应线段为和，和，和； 对应角为和，和，和； （3）解：∵，， ∴． 11．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． 操作发现： （1）在旋转过程中，当为__________度时，，当为__________度时，； （2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 拓展应用： （3）当时，连接，利用图3探究值的大小变化情况，并说明理由． 【答案】【小问1】15，105．     【小问2】，，，，；     【小问3】当，，保持不变，理由见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得，进而可求出；根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解； （2）分5种情况求解：①当时，②时，③当时，④当时，⑤当时； （3）在中，根据三角形内角和定理，根据，，可得，即可得出． 【详解】解：（1）如图（1），记与的交点为点，与的交点为点， ， ， ， ，即， 如图（2），记与的交点为， ， ， ， ，即， 故答案为：15，105． （2）①当时，如图1所示，由（1）得，； ②当时，如图2所示， 由（1）得，， ， ， ， ； ③当时，如图3所示， ④当时，如图4所示，； ⑤当时，， ， ，即； 综上所述：旋转角的所有可能的度数是：，，，，． （3）拓展应用：当，，保持不变，理由如下： 如图6，设分别交、于点、， 在中，， ，， ， ，， ． 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点． (1)平移线段得到线段，若点A的对应点C的坐标为，点B的对应点为点D，在网格中请画出线段，并直接写出点D的坐标为_______； (2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段绕点D按逆时针旋转后的线段，点C的对应点为点E，并直接写出点E的坐标为_______； (3)在（2）的条件下，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)或 【分析】此题考查了平移和旋转的作图，熟练掌握平移和旋转的性质是准确解题的关键． （1）根据平移方式作图，写出点D的坐标即可； （2）根据旋转方式作图，写出点E的坐标即可； （3）根据旋转的性质找到旋转中心，写出坐标即可． 【详解】（1）解：线段即为所求，点D的坐标为， 故答案为： （2）如图，线段即为所求，点E的坐标为， 故答案为： （3）如图，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为或，旋转角为， 故答案为：或 压轴题型三 轴对称问题 13．如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 14．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） (1)求出格点（顶点均在格点上）的面积______； (2)画出格点关于直线 对称的； (3)在上找一点 使得周长最小； (4)在上找一点，使得最大． 【答案】(1)； (2)画图见解析； (3)画图见解析； (4)画图见解析． 【分析】（）根据正方形面积减去三个直角三角形面积即可； （）找出关于直线 对称的对应点，然后连接即可； （）在（）图中连接，交于点，则点即为所求； （）延长交于点，则点即为所求； 此题考查了作图——轴对称变换，三角形三边关系，求三角形的面积，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：面积为 ； （2）如图， ∴即为所求； （3）如图，连接，交于点， 由轴对称性质可知：， ∴周长为， 根据两点之间线段最短即可得知：当三点共线时周长最小， ∴点即为所求； （4）如图，延长交于点， ∵， ∴使得最大，则需三点共线时， ∴点即为所求． 15．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【答案】分析问题：见解析；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题： （1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论； （2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 16．阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______． (2)如图1，和均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示） 【答案】(1) (2)梯形的面积 【分析】本题主要考查整式的运算与图形的面积： （1）用二种方式表示出图形面积即可得出结论； （2）由折叠的性质求出的长，从而得出的长，再根据梯形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，， （2）解：由折叠得，， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴． 17．如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)①若，求的度数； ②若，则__________°（用含的代数式表示）； (2)若，则的周长为__________． 【答案】(1)①；② (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用， （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 熟知轴对称的性质是关键． 【详解】（1）解：①点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ； ②点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， 故答案为：； （2）点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4， 故答案为：4． 18．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 压轴题型四 中心对称问题 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）将的三顶点绕原点旋转，然后顺次连接即可得到； （3）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）∵与是中心对称图形， 连接，交点为，如图， 观察图像可得交点坐标为，即对称中心的坐标为． 故答案为：． 20．实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：是轴对称图形而不是中心对称图形， ， 如图所示：是中心对称图形而不是轴对称图形 ； （2）解：如图所示：既是轴对称图形又是中心对称图形， ． 21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； (2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①先画格点，使，且； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心； ③请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③ 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，作对称中心． （1）根据网格特点即可作出线段，作出点A，D关于点B的对称点E，F，连接即可； （2）①将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作平行四边形，即可得到所求的点G； ②作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P为所求的对称中心； ③由图直接得到点P的坐标． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：①如图，点G为所求， 将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则，， 作平行四边形，则，， ∴，且， 即点G为所求． ②如图，点P为所求． 作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则，， ∴点P为所求的旋转中心． ③由题可得，点P的坐标为． 故答案为： 22．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)①；；；② 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）设，利用中点坐标公式分别计算出x和y的值即可； （2）①利用中心对称的性质画图可得到点，从而得到它们的坐标． ②观察点坐标的递变规律，可得出点与点的坐标相同． 【详解】（1）设， ∵点的对称中心是点A， ∴A点坐标为， 故答案为：； （2）①点的坐标分别为．（见下图） 故答案为：． ②点关于点C的对称点，与点重合，依次类推，点与点重合，点与点重合……， 探索规律可知：设n为正整数，则点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴点与点的坐标相同，即， 故答案为： 23．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， 或； （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 24．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 压轴题型五 翻折问题 25．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． 【平移运动】 （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A．    B．    C．    D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，…，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是__________． 【翻折变换】 （2）若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示__________的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________； 一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，使点落在处，并且，求点表示的数． 【答案】（1）； （2）；，；或 【分析】（1）以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案；根据前边几次跳动得出规律计算可得； （2）根据表示的点与表示的点重合，可得出翻折的点在处，根据此规律即可求出答案；根据折痕处的点为对折后重合两端点的中点，由中点到两端点的距离相等可计算求解；分两种情况，即当落在点的右边或左边时，通过来推出对应的数，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】解：（1）以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数， 根据移动过程可得：， 故选：； 如果向左为“”，向右为“”， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当机器人跳次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：； （2）表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； 数轴上、两点之间的距离为， 、两点到折痕处的距离都是， 点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； 分两种情况： 当落在点的右边时， 根据题意可知，点表示的数为， 点、表示的数分别是、，点为折点， 点表示的数为； 当落在点的左边时， 根据题意可知，点表示的数为， 点、表示的数分别是、，点为折点， 点表示的数为； 综上所述：点表示的数为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，有理数的加减混合运算，折叠，平移等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 26．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图）． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示　　的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示　　的点重合； ②若数轴上A，两点之间的距离为2024（A在的左侧），且A，两点经折叠后重合，求A，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）3；（2）①；② ；1013 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）①利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可； ②利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数3表示的点重合， 故本题答案为：3； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， ①5表示的点与数表示的点重合， 故本题答案为：； ② 数轴上A、两点之间的距离为2024（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 27．如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结． (1)若，求的度数； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据折叠的性质，平移的性质和平行线的性质即可求解； （）由折叠的性质，平移的性质即可求解； 本题考查了折叠的性质，平移的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，， ∴， 由平移性质可知：， ∴； （2）由折叠性质可知，， 由平移性质可知：，， 则四边形的周长为． 28．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质： （1）由折叠的性质知，，由平角的定义求出，即可得到； （2）由计算出，据此即可求出答案； （3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴，即； （2）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴。 29．综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学探究活动． (1)操作判断 操作一：把长方形对折，折痕交于点E，交于点F，把纸片展平； 操作二：将对折，点B落在直线上的点处，得折痕； 操作三：将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，如图①．根据以上操作直接写出的度数： ． (2)问题探究 若操作一中的点E为上（不与A，B重合）的任意一点，如图②，的大小是否改变，请说明理由． (3)拓展延伸 按照操作二、操作三，使与重合，折痕为；与重合，折痕为．如图③，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不变，理由见解析 (3) 【分析】本题考查轴对称图形的性质，找到角度伴随折叠的变化规律即可求得正确答案． （1）根据题目，对折得，对折得，再由角度关系可得的度数； （2）方法同（1），可得到大小不变； （3）由（1）（2）知，两次折叠可得． 【详解】（1）解：根据题目信息，对折，点B落在直线上，得折痕，则； 对折，点A落在直线上，得折痕， ，； ； （2）解：不变，理由如下， 点E在上，由（1）知，不论位置如何变化，，， ，， ． （3）解：由（1）（2）知， ∴． 30．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角．即若，则称和互为等差角．（本题中所有角都是指大于，且小于的角） (1)若和互为等差角．当，则 ．当，则 ． (2)如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点若与互为等差角，求的度数． (3)再将纸片沿着对折（点在线段或上）使点落在点．如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数．（对折时，线段落在内部） 【答案】(1)；或； (2)的值为或； (3)． 【分析】（）利用“等差角”定义即可求解； （）由与互为等差角，分当；当时，两种情况即可； （）由点、、在同一直线上，且与互为等差角，即可求解； 本题考查了角度和差及折叠的性质，解题的关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】（1）∵和互为等差角，当，则， ∴当，， ∴或，解得：或， 故答案为：，或； （2）∵与互为等差角， 当时，， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时， ，可得． 综上所述，的值为或 （3）∵点、、在同一直线上，且与互为等差角， ∴，， ∵，， ∴， ∴，得． 压轴题型六 图形的运动综合 31．一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①秒；②当秒或秒时， 【分析】（1）根据三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，进行计算即可得到答案； （2）①由旋转可得，，由角平分线的定义可得，从而得到，最后由，列出方程，解方程即可得到答案； ②分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转， 当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是：， 故答案为：85； （2）解：①如图， 由旋转可得，， 平分，， ， ， ， ， ， 解得：， 当秒时，边平分； ②设运动时间为秒，则由旋转可得，， 如图，当在左侧时， 此时，， 若， ， 解得：； 如图，当在右侧时， 此时，， 若， ， 解得：， 综上所述，当或秒时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 32．如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②存在，或，理由见解析 【分析】（1）当与互余时有以下两种情况：（ⅰ）当在的上方时，（ⅱ）当在的下方时，根据两种不同情况画出图形，计算出的度数即可； （2）①当，画出图形，计算出的度数即可； ②依题意得：，然后分两种情况讨论如下：（ⅰ）当在内部时，（ⅱ）当在内部时，根据两种不同情况画出图形，计算出的度数即可． 【详解】（1）解：若与互余， 有以下两种情况： （ⅰ）当在的上方时，如图1所示： 点在直线上，， ， ， 与互余， ， 即， ； （ⅱ）当在的下方时，如图2所示： ， 与互余， ， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． （2）解：①，如图3所示： 点在直线上，， ， 平分， ， ； ②存在，或，理由如下： 依题意得：， 分两种情况讨论如下： （ⅰ）当在内部时，如图4所示： 与互余， ， 即， ， 平分， ， 当与互余时，； （ⅱ）当在内部时，如图5所示： 与互余， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 当与互余时，． 综上所述：当或时，使得与互余． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，互为余角的定义，角的计算，理解角平分线的定义，互为余角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 33．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 【点睛】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． 34．一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度； (2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．． ①用含的代数式表示：（________）°； （________）°； ②当为何值时，边平分； ③直接写出当为何值时， 【答案】(1) (2)①，②③t为5秒或秒 【分析】（1）先求解时，旋转的角度，从而可得答案； （2）①根据旋转和角的和差关系进行求解即可； ②根据角平分线平分角，结合平角的定义，列出方程，解方程即可得到答案； ③分与相遇前和相遇后两种情况分析解答即可； 【详解】（1）解：当时，旋转的角度为， ∴边经过的量角器刻度线对应的度数是； （2）①当旋转时间为时，则，； 故答案为：，； ②如图， 由旋转可得，， 平分，， ， ， ， ， ， 解得：， 当秒时，边平分； ③在三角尺和三角尺旋转前，， 而， 分两种情况：与相遇前， 则： ， 解得：， 与相遇后，则： ， 解得：， ∴当t为5秒或秒时，． 35．将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． (1)如图1，与的数量关系是________，理由是________； (2)如图1，点在上，若，求的度数； (3)如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)；同角的余角相等 (2) (3)或或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，准确识图，理解垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）依题意得，，由此可得与的数量关系及理由； （2）由得，进而可得，然后再由三角形内角和定理可得的度数； （3）根据点在直线的上方且在直线右侧，则有以下三种情况：①时，过点作则，进而得，，由此可得的度数；②时，则，由此可得的度数；③当时，则，由此可得的度数，综上所述即可得出所有可能的值． 【详解】（1）依题意得：，， ，， （同角的余角相等）， 故答案为：；同角的余角相等． （2）， ， ， ， ， ； （3）点在直线的上方且在直线右侧， 当这两块三角尺存在一组边互相平行时，有以下三种情况： ①时，过点作，如图2所示： ， ，， ， ； ②时，如图3所示： ， ； ③当时，如图4所示： ， ． 综上所述：所有可能的值或或． 36．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线OC，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度，______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是______秒． 【答案】(1)120；150 (2)，理由见解析 (3)6或24 【分析】（1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出、的度数； （2）首先根据求出，然后根据，判断出与之间满足什么等量关系即可． （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分， ∴， ∴． ． 故答案为：120；150； （2）解：， 理由：如图3， ， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 故答案为：6或24． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，以及旋转的性质，解题的关键是认真观察图形，并动中找静，分析出角之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 图形的运动（6大题型）（36道压轴题专练） 压轴题型一 平移问题 1．【感受理解】（1）如图1，在一块长方形草地上，长方形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b，在这块草地上有一条宽都为1的斜的小路，小明想利用平移的知识求出这条小路的面积，方法如图1所示， 通 过 长 方 形的 面 积 等 于 长 × 宽， 可 以 得出： ____； （2）如果将图1的小路变成图2中宽都为1的弯曲的小路，小明还想通过上面的方法求出小路的面积，你认为可行吗？如果可行，请在图2 中画出平移后的图形； 【学以致用】（3）利用所学知识解决下面问题：如图3，在平面直角坐标系中，曲线l过原点O交x轴于点B，将曲线l向上平移至的位置，已知点，请你求出图中阴影部分的面积（说出简单的方法）． 2．如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点，经过上述平移后的对应点为，则点的坐标为（__________，__________）（用含，的式子表示）； (3)求三角形的面积． 3．【综合与探究】数轴是一个重要概念．利用“数轴”这个工具，从数形结合的观点出发，我们研究了相反数、绝对值、有理数的大小比较以及有理数的运算等内容． (1)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上移动3个单位长度得到点，则点表示的数是 ； (2)折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示 的点重合； ②若数轴上A，两点的距离为7(A在的左侧)，且折叠后A，两点重合，则点表示的数为 ，点B表示的数为___________； (3)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点的“雅中点”． ①若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点的“雅中点”，则点M表示的数为___________； ②若A、两点的“雅中点M”表示的数为2，且A、两点的距离为9(A在的左侧)，则点A表示的数为___________，点表示的数为___________； (4)点A表示的数为，点，表示的数分别是，，点O为数轴原点，点为线段上一点（点可与、两点重合）． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点的“雅中点”，则m可取的所有整数为___________； ②若点A以每秒2个单位长度的速度向数轴正半轴方向移动．设移动的时间为秒，直接写出的所有整数值 ，使得原点O为点A与点的“雅中点”． 4．如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 5．如图， 在平面直角坐标系中，三角形中，点的坐标是 ，点的标是 ，点的坐标是． 将三角形平移后得到三角形， 其中点的对应点的坐标为． (1)分别写出点和点的坐标： ， ； (2)在坐标系中画出三角形； (3)若点是三角形内的一点，点是三角形内点的对应点，求和 的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)三角形中任意一点经平移后对应的点为，将三角形作同样的平移得到三角形． ①画出平移后的三角形，写出的坐标． ②求出三角形的面积． (2)若将线段沿水平方向平移一次，竖直方向平移一次，两次平移扫过的图形没有重叠部分、两次平移后B点的对应点的坐标为，已知线段扫过的面积为20，请直接写出a，b的数量关系：______． 压轴题型二 旋转问题 7．在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图1，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 8．在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 9．如图，有一副直角三角板如图放置（其中，），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．    (1)在图1中，______； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立； ②如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？ 10．在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． (1)哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ (2)指出图中的对应线段和对应角； (3)求的度数． 11．如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． 操作发现： （1）在旋转过程中，当为__________度时，，当为__________度时，； （2）当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角的所有可能的度数； 拓展应用： （3）当时，连接，利用图3探究值的大小变化情况，并说明理由． 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点． (1)平移线段得到线段，若点A的对应点C的坐标为，点B的对应点为点D，在网格中请画出线段，并直接写出点D的坐标为_______； (2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段绕点D按逆时针旋转后的线段，点C的对应点为点E，并直接写出点E的坐标为_______； (3)在（2）的条件下，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______． 压轴题型三 轴对称问题 13．如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 14．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） (1)求出格点（顶点均在格点上）的面积______； (2)画出格点关于直线 对称的； (3)在上找一点 使得周长最小； (4)在上找一点，使得最大． 15．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 16．阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______． (2)如图1，和均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示） 17．如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)①若，求的度数； ②若，则__________°（用含的代数式表示）； (2)若，则的周长为__________． 18．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 压轴题型四 中心对称问题 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 20．实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； (2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①先画格点，使，且； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心； ③请直接写出点的坐标为_____________． 22．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 23．如图，在长方形中，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点P在边上运动时， （用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 24．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 压轴题型五 翻折问题 25．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． 【平移运动】 （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A．    B．    C．    D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，…，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是__________． 【翻折变换】 （2）若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示__________的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧，且折痕与折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________； 一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，使点落在处，并且，求点表示的数． 26．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图）． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示　　的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5的点与表示　　的点重合； ②若数轴上A，两点之间的距离为2024（A在的左侧），且A，两点经折叠后重合，求A，两点表示的数分别是多少？ 27．如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结． (1)若，求的度数； (2)若，求四边形的周长． 28．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 29．综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学探究活动． (1)操作判断 操作一：把长方形对折，折痕交于点E，交于点F，把纸片展平； 操作二：将对折，点B落在直线上的点处，得折痕； 操作三：将对折，点A落在直线上的点处，得折痕，如图①．根据以上操作直接写出的度数： ． (2)问题探究 若操作一中的点E为上（不与A，B重合）的任意一点，如图②，的大小是否改变，请说明理由． (3)拓展延伸 按照操作二、操作三，使与重合，折痕为；与重合，折痕为．如图③，请直接写出的度数． 30．如果两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为等差角．即若，则称和互为等差角．（本题中所有角都是指大于，且小于的角） (1)若和互为等差角．当，则 ．当，则 ． (2)如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点若与互为等差角，求的度数． (3)再将纸片沿着对折（点在线段或上）使点落在点．如图，若点，，在同一直线上，且与互为等差角，求的度数．（对折时，线段落在内部） 压轴题型六 图形的运动综合 31．一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 32．如图，点在直线上，，在平面内，过点任画射线． (1)填空：若与 互余，则的度数是________； (2)射线绕点从射线的位置出发，顺时针旋转，平分． ①若，求的度数； ②在射线旋转过程中，是否存在的值，使得与互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 33．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 34．一副三角尺（分别含、、和、、）按如图1所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为（秒）． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是________度； (2)如图2，若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．． ①用含的代数式表示：（________）°； （________）°； ②当为何值时，边平分； ③直接写出当为何值时， 35．将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点重合放在一起，其中，，． (1)如图1，与的数量关系是________，理由是________； (2)如图1，点在上，若，求的度数； (3)如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合，当点在直线的上方且在直线右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出所有可能的值． 36．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线OC，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度，______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是______秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$