专题05 图形的运动（期末复习知识清单，4知识9题型3易错5方法）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学图形的运动专题知识清单，系统梳理了平移、轴对称、旋转、中心对称四大核心知识范畴，以定义、性质、作图关键为脉络，搭建从基础概念到应用操作的递进式学习支架。 清单通过知识清单系统整合（如平移三要素、轴对称性质）、10类分层题型设计（生活现象识别、性质应用、综合作图等）、易错点与方法清单辅助（镜面对称辨析、将军饮马模型），培养几何直观与推理意识。例如“平移性质应用求重叠面积”题型结合生活实例，帮助学生用数学眼光观察现实世界，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

专题05 图形的运动（4知识&10题型&2易错&2方法清单） 【清单01】平移 定义：把一个图形整体沿____________方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动____________和____________决定的. 平移的性质： 1）平移不改变图形的________________________，只改变图形的____________，因此平移前后的两个图形____________. 2）平移前后对应线段________________________且____________、对应角____________. 3）任意两组对应点的连线________________________，对应点之间的____________就是平移的距离. 平移作图的关键：确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形____________；②平移的____________；③平移的____________. 【清单02】轴对称 轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够____________，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形____________，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后____________是对应点，叫做对称点. 轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是____________. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的____________. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【解读】轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段____________，对应角____________，对应点到对称轴的距离____________. 【清单03】旋转 定义：把一个平面图形绕着平面内____________转动一个____________，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 【清单04】中心对称 中心对称定义：把一个图形绕某点旋转____________，如果它能够与另一个图形____________，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形____________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称图形的性质： 1）中心对称图形上的对称点之间的连线都经过____________，且被对称中心____________，即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点. 2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的____________与____________分别相等. 【题型一】生活中的平移现象 1．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一部分沿某个方向平移后能与另一部分完全重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．在①等腰梯形，②平行四边形，③圆这三个图形中， 是平移重合图形．（填序号） 【题型二】图形的平移 4．（24-25七年级上·上海闵行·月考）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 5．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    6．（20-21七年级下·江苏连云港·月考）用10根木条组成如图（1）所示的图案，请平移3根木条变成如图（2）所示的图案，这3根木条是 （填写序号即可）． 【题型三】利用平移的性质求解 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法：①；②；③；④平移距离为线段的长．其中说法正确的有（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 8．（20-21七年级上·上海宝山·期末）如图，经过平移后得到，下列说法： ①②③④和的面积相等⑤四边形和四边形的面积相等，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（24-25七年级上·上海·期末）如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是 厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 10．（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 11．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移 ，再向下平移后到长方形的位置． (1)用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ (2)用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 【题型四】画图问题 12．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）作图题（保留作图痕迹，不必写出画法）： (1)将点A向右平移3个单位可到达点B，将点A向上平移2个单位可到达点C，标出点B、点C，并连接、、和； (2)在方格图中分别画出四边形和四边形，使四边形和四边形关于直线成轴对称；四边形和四边形关于点O成中心对称； (3)四边形和四边形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 13．（25-26七年级上·上海·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 14．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） (1)画出向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的； (2)如果点A与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心点O，并画出关于点O成中心对称的； (3)画出关于直线l成轴对称的图形． 15．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称． (2)画出，使与关于点成中心对称． 【题型五】轴对称与中心对称的识别 16．（2025七年级上·上海·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B．C． D． 17．（25-26七年级上·上海黄浦·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 【题型六】利用轴对称的性质求解 19．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 20．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 21．（23-24七年级下·山西太原·月考）如图，为内部一点，且，，分别为点关于射线，射线的对称点，当时，则的长为（    ） A．10 B．8 C．7 D．6 22．（23-24八年级上·江苏宿迁·月考）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 23．（22-23八年级上·吉林·月考）如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)①若，求的度数； ②若，则__________°（用含的代数式表示）； (2)若，则的周长为__________． 【题型七】生活中的旋转现象 24．（23-24七年级上·上海·单元测试）以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 25．（2023九年级上·全国·专题练习）下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 26．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【题型八】利用旋转的性质求解 27．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． 吗 B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 29．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是 ． 30．（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，已知正方形的边长为，点在边上，（点不与点、重合），，，连接，将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合（点的对应点记作点），连接，设交于点． (1)绕点B旋转的旋转角是______度；是______三角形． (2)若的面积为20，的面积为6，求、的值． (3)求的长（结果用含、的代数式表示）． 【题型九】利用中心对称的性质求解 31．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 32．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和 ． 33．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【题型十】图形变化综合 34．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，是与关于某点中心对称得到的，还可以看做经过怎样的变换得到？下列结论：①一次平移；②一次平移和一次旋转；③一次平移和一次轴对称；④两次轴对称．其中所有正确结论的序号是（   ） A．② B．①② C．②③ D．②④ 35．（23-24七年级上·上海·期末）下列说法正确的有（    ）个． （1）成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在一条直线上）且相等 （2）如果两个图形的形状大小一样，且分别在直线的两旁，那么这两个图形关于这条直线对称 （3）中心对称图形的对称中心是连接对称点线段的中点 （4）正n边形一定是中心对称图形 （5）等边三角形是旋转对称图形，它的旋转角是 （6）中，，将在直线BC上平移3个单位与重合，此时（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 36．（24-25七年级上·上海·期末）已知图形甲与图形乙，有如下三种说法： ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； 上述说法中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确 37．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，正六边形是由边长为厘米的六个等边三角形拼成，那么图中    （1）三角形沿着 方向平移 厘米能与三角形重合； （2）三角形绕着点 顺时针旋转 度后能与三角形重合； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与 重合； （4）写一对中心对称的三角形： ． 38．（25-26七年级上·上海·月考）如图1，小明将一张长为、宽为的矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点、、、在同一条直线上，且点与点重合（在图3至图6中统一用点表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． (1)将图3中的沿向右平移到图4中的位置，其中点与点重合，则平移的距离为_________cm； (2)在图5中若，则图3中的绕点_______按________方向旋转_________（填度数，要求满足）到图5的位置； (3)将图3中的沿直线翻折到图6的位置，交于点，的面积为____． 【题型一】镜面对称 1．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 ． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为 ． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·周测）如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是 ．    【题型二】旋转三要素 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：（1）点的对应点是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角为 ； （3）的对应角是 ，线段的对应线段是 ． 3．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【题型一】利用平移的思想解决实际问题 解题方法：在实际问题中，遇到不规则图形时，要利用平移的思想将不规则图形变为规则图形，从而达到简化计算的目的. 1．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 2．（23-24七年级下·吉林·月考）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【题型二】将军饮马问题 1．（24-25七年级下·福建漳州·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】（1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】（2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的运动（4知识&10题型&2易错&2方法清单） 【清单01】平移 定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 平移作图的关键：确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 【清单02】轴对称 轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 轴对称的性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【解读】轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段相等，对应角相等，对应点到对称轴的距离相等. 【清单03】旋转 定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 【清单04】中心对称 中心对称定义：把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 中心对称图形的性质： 1）中心对称图形上的对称点之间的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点. 2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的周长与面积分别相等. 【题型一】生活中的平移现象 1．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个方向反复连续循环排列而成．据此分析即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一部分沿某个方向平移后能与另一部分完全重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．在①等腰梯形，②平行四边形，③圆这三个图形中， 是平移重合图形．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了平移重合图形的识别，正确理解平移重合图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，只有平行四边形是平移重合图形， 故答案为：②． 【题型二】图形的平移 4．（24-25七年级上·上海闵行·月考）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 5．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【答案】3 【分析】根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【详解】解：长方形平移到长方形的位置， 对应点B到的距离为：0-(-3)=3， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键． 6．（20-21七年级下·江苏连云港·月考）用10根木条组成如图（1）所示的图案，请平移3根木条变成如图（2）所示的图案，这3根木条是 （填写序号即可）． 【答案】②④⑥ 【分析】依据平移前后的两个图形的区别，平移3根木条即可变成如图（2）所示的图案． 【详解】解：如图（2）所示： 故答案为：②④⑥(答案不唯一)． 【点睛】本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 【题型三】利用平移的性质求解 7．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法：①；②；③；④平移距离为线段的长．其中说法正确的有（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，熟练掌握平移性质是解题的关键． 根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】∵将三角形平移到三角形的位置， ∴与、与、与对应点， 与是对应角， ，①错误； ，②正确； ∴，，③错误； 平移距离为线段的长，④正确． 正确的说法为②④， 故选：D． 8．（20-21七年级上·上海宝山·期末）如图，经过平移后得到，下列说法： ① ② ③ ④和的面积相等 ⑤四边形和四边形的面积相等，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有4个 故选A． 【点睛】此题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题关键． 9．（24-25七年级上·上海·期末）如图，将一个周长为a厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、连接，已知四边形的周长为b厘米，那么平移的距离是 厘米（用含a、b的代数式表示结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 【详解】解：将一个周长为a厘米的沿射线方向平移后得到， ，， 的周长为a厘米， ， 四边形的周长为b厘米， ，即， ， 即平移的距离是， 故答案为： 10．（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移和三角形的面积， 过点作,先求出边的高，再分当在线段上和在线段延长线上时两种情况求三角形面积即可. 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 11．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移 ，再向下平移后到长方形的位置． (1)用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ (2)用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键． （1）表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理即可，根据重叠部分的宽为正数求的取值范围； （2）利用平移前后的长方形的面积的和加上两个直角三角形的面积，然后再减去重叠部分的面积列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：，， 重叠部分的长为，宽为， 重叠部分的面积， ， ， 解得， 应满足的条件是：； （2）解：六边形（阴影部分）的面积为， ， ． 【题型四】画图问题 12．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）作图题（保留作图痕迹，不必写出画法）： (1)将点A向右平移3个单位可到达点B，将点A向上平移2个单位可到达点C，标出点B、点C，并连接、、和； (2)在方格图中分别画出四边形和四边形，使四边形和四边形关于直线成轴对称；四边形和四边形关于点O成中心对称； (3)四边形和四边形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形和四边形关于直线成轴对称 【分析】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣轴对称变换、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质画图即可． （2）根据轴对称的性质、中心对称的性质分别作图即可． （3）结合轴对称的性质可知，四边形和四边形关于直线成轴对称． 【详解】（1）解：如图，点B、点C，、、和即为所求． （2）解：如图，四边形和四边形即为所求． （3）解：由图可知，四边形和四边形关于直线成轴对称． 13．（25-26七年级上·上海·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 【答案】(1)平移，画图见解析 (2)两次轴对称 (3)顺，，逆，，画图见解析 【分析】本题考查的是平移，轴对称，旋转的性质与画图． （1）根据平移与轴对称的性质进行解答与画图． （2）根据轴对称的性质解答即可． （3）根据旋转的性质进行解答与画图即可． 【详解】（1）解：如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次平移得到； 三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，画图如下： 故答案为：平移； （2）解：通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过两次轴对称来实现， 故答案为：两次轴对称； （3）解：如图，三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点顺时针旋转．得到三角形④：再将三角形④绕着点逆时针旋转．得到三角形⑤．画图如下： 故答案为：顺，，逆，． 14．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）在如图所示的方格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） (1)画出向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的； (2)如果点A与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心点O，并画出关于点O成中心对称的； (3)画出关于直线l成轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，画中心对称图形和画轴对称图形： （1）根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接即可； （2）由中心对称图形的性质可得O是的中点，据此确定点O的位置，再连接并延长到使得，同理作出 ，再顺次连接； （3）根据轴对称图形的特点，找到A、B、C对应点的位置，描出并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点O和即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 15．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称． (2)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称作图及轴对称作图 （1）根据轴对称的性质找到各点的对称点，顺次连接即可得到； （2）根据中心对称的性质找到各点的对称点，顺次连接可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 【题型五】轴对称与中心对称的识别 16．（2025七年级上·上海·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形完全重合的是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的是轴对称图形，依据中心对称图形与轴对称图形定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：B． 17．（25-26七年级上·上海黄浦·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形、中心对称图形，解题关键是理解其定义与区别．在平面内，如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴；在平面内，如果一个图形绕着一个点旋转 后，能与自身完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：B． 18．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A 【题型六】利用轴对称的性质求解 19．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 20．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 21．（23-24七年级下·山西太原·月考）如图，为内部一点，且，，分别为点关于射线，射线的对称点，当时，则的长为（    ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，解题的关键是：熟记轴对称的性质，证明E，B，F三点共线．如图，连接，，，，由对折可得：，，，证明E，B，F三点共线，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，，， ∴由对折可得：，，， ∵， ∴， ∴E，B，F三点共线， ∴， 故选B 22．（23-24八年级上·江苏宿迁·月考）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 23．（22-23八年级上·吉林·月考）如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)①若，求的度数； ②若，则__________°（用含的代数式表示）； (2)若，则的周长为__________． 【答案】(1)①；② (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用， （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 熟知轴对称的性质是关键． 【详解】（1）解：①点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ； ②点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， 故答案为：； （2）点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4， 故答案为：4． 【题型七】生活中的旋转现象 24．（23-24七年级上·上海·单元测试）以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移和旋转的性质依次分析选项，即可得选出答案． 【详解】解：A.大红“双喜字”是平移，不是旋转图形，故选项符合题意； B. 三张叶片电风扇旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； C. 四叶风车旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； D. 红五星旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； 故选A． 25．（2023九年级上·全国·专题练习）下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解． 【详解】解：、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误； 、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误； 、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确； 、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键． 26．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 【题型八】利用旋转的性质求解 27．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故选：D． 28．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、旋转的性质．根据旋转的性质即可判断A、B；设中阴影部分的面积为，求得，从而得即可判断C；由，，不一定成立，说明不一定成立． 【详解】解：根据旋转的性质，，， ∴A、B说法正确，不符合题意； 设中阴影部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴C说法正确，不符合题意； ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴D说法错误，符合题意． 故选：D． 29．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图形旋转，等腰三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 由图形旋转可得两个等腰三角形底角对应相等，分类讨论，根据三角形的内角和定理，分别可得每种情况下的度数，从而可得的度数． 【详解】解：∵将绕点旋转得，， ∴，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或， 当时，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，设，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 30．（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，已知正方形的边长为，点在边上，（点不与点、重合），，，连接，将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合（点的对应点记作点），连接，设交于点． (1)绕点B旋转的旋转角是______度；是______三角形． (2)若的面积为20，的面积为6，求、的值． (3)求的长（结果用含、的代数式表示）． 【答案】(1)；等腰直角 (2)， (3) 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、乘法公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． （1）根据旋转的性质得，，则，进而可判断的形状； （2）由旋转性质得到，根据梯形和三角形的面积公式列等式，结合乘法公式解方程求解即可； （3）根据梯形和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：；等腰直角 （2）解：由旋转性质得，， 根据题意，， 又， ∴，即，又， ∴， ∴（负值舍去），又， 解得，，或，， ∵， ∴，； （3）解：根据题意，， 又， ∴， ∴，又， ∴． 【题型九】利用中心对称的性质求解 31．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解： 与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 32．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和 ． 【答案】60 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：60． 33．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型十】图形变化综合 34．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，是与关于某点中心对称得到的，还可以看做经过怎样的变换得到？下列结论：①一次平移；②一次平移和一次旋转；③一次平移和一次轴对称；④两次轴对称．其中所有正确结论的序号是（   ） A．② B．①② C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：先将平移，使和重合，然后所得的三角形绕点旋转，即可得到，即还可以看做经过一次平移和一次旋转得到，即②正确，符合题意； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着的垂直平分线翻折，即可得到，即还可以看做经过两次轴对称得到，即④正确，符合题意； 而一次平移，一次平移和一次轴对称不能将变换得到，即①③错误，不符合题意； 故选：D． 35．（23-24七年级上·上海·期末）下列说法正确的有（    ）个． （1）成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在一条直线上）且相等 （2）如果两个图形的形状大小一样，且分别在直线的两旁，那么这两个图形关于这条直线对称 （3）中心对称图形的对称中心是连接对称点线段的中点 （4）正n边形一定是中心对称图形 （5）等边三角形是旋转对称图形，它的旋转角是 （6）中，，将在直线BC上平移3个单位与重合，此时（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的性质，平移性质，旋转性质解答即可． 本题考查了中心对称图形的性质，平移性质，旋转性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：（1）成中心对称的两个图形中，对称线段平行（或在一条直线上）且相等，正确； （2）如果两个图形的形状大小一样，且分别在直线的两旁，那么这两个图形不一定关于这条直线对称，错误； （3）中心对称图形的对称中心是连接对称点线段的中点，正确； （4）正n边形不一定是中心对称图形，错误； （5）等边三角形是旋转对称图形，它的旋转角是，正确； （6）中，，将在直线BC上平移3个单位与重合，此时或，错误． 故选：C． 36．（24-25七年级上·上海·期末）已知图形甲与图形乙，有如下三种说法： ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； 上述说法中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确 【答案】D 【分析】本题考查图形的变换，理解成中心对称图形、成轴对称图形、平移图形的定义是解答的关键．根据相关定义逐项判断，最好的方法是举反例或画图判断． 【详解】解：设图形甲与图形乙是半径相等的圆，如图， ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们有可能成轴对称，原说法不正确； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确； 故选：D． 37．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，正六边形是由边长为厘米的六个等边三角形拼成，那么图中    （1）三角形沿着 方向平移 厘米能与三角形重合； （2）三角形绕着点 顺时针旋转 度后能与三角形重合； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与 重合； （4）写一对中心对称的三角形： ． 【答案】 射线 与 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形即可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】解：（1）经过平移得到， 平移的方向是沿着射线方向，点与点是一组对应点， ∴平移的距离为的长， 是边长为厘米的等边三角形， 厘米， 三角形沿着射线的方向平移厘米能与三角形重合， 故答案为：射线，； （2）三角形绕着点顺时针旋转度后能与三角形重合， 故答案为：、； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与重合， 故答案为：； （4）与是中心对称的两个三角形， 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，熟练掌握几种变换的定义和特点是解题的关键． 38．（25-26七年级上·上海·月考）如图1，小明将一张长为、宽为的矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点、、、在同一条直线上，且点与点重合（在图3至图6中统一用点表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． (1)将图3中的沿向右平移到图4中的位置，其中点与点重合，则平移的距离为_________cm； (2)在图5中若，则图3中的绕点_______按________方向旋转_________（填度数，要求满足）到图5的位置； (3)将图3中的沿直线翻折到图6的位置，交于点，的面积为____． 【答案】(1) (2)；顺时针； (3) 【分析】本题考查图形的变换及三角形面积计算，通过“同高三角形的面积比等于对应底边比”计算三角形面积是解题关键． （1）根据平移的性质，可知平移距离即为对应点的长度，比如点到点的长度； （2）根据旋转的性质，找到旋转前后的对应边来判断旋转中心和旋转方向，然后根据题目条件求出旋转角度； （3）做辅助线，证明，然后通过“同高三角形的面积比等于对应底边比”将三角形面积问题转化为线段比例问题，进而列方程求解． 【详解】（1）解：已知点与点重合，根据平移的性质可知，平移的距离即为的长度． 矩形的宽为， ， 平移的距离为． 故答案为：． （2）解：据图可知，旋转后，只有点位置没有改变，的对应边为， 故旋转中心为点，旋转方向为顺时针，旋转角度为． 已知， 由矩形的性质可知， 故． 故答案为：；顺时针；． （3）解：如图，连接． 根据题意可知， 再根据翻折可知， 可知， ，， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 故答案为：． 【题型一】镜面对称 1．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故答案为：． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 3．（23-24七年级上·吉林长春·期末）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为 ． 【答案】20231425 【分析】本题考查了镜面对称的性质； 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案． 【详解】解：他的学号为20231425， 故答案为：20231425． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·周测）如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是 ．    【答案】 【分析】根据镜面对称的特征，可得出镜中数字是1，2，5，8，0时真正的数字是几，进而解决问题． 【详解】解：根据镜面对称的特征可知， 1和1对称，2和5对称，0和0对称，8和8对称， 且“+”和“=”的对称图形仍然是本身． 所以真正的火柴算式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面对称，熟知数字0，1，2，5，8及“+”和“=”的对称图形是解题的关键． 【题型二】旋转三要素 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：    （1）点的对应点是 ； （2）旋转中心是 ，旋转角为 ； （3）的对应角是 ，线段的对应线段是 ． 【答案】 点 点 或 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】（1）点的对应点是点； （2）旋转中心是点，旋转角为或； （3）的对应角是，线段的对应线段是线段． 故答案为：点；点；或；；． 【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 3．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，即可得． 【详解】解：如图所示，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B即为旋转中心，    故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【答案】(1)点A (2) (3)点C转到了点E的位置 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角． （1）直接根据旋转的性质求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，然后由旋转的性质可得旋转角的度数； （3）直接根据旋转的性质求解即可． 【详解】（1）由旋转的性质可知，旋转中心是点A； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质可知，旋转了； （3）由旋转的性质可知，点C转到了点E的位置． 【题型一】利用平移的思想解决实际问题 解题方法：在实际问题中，遇到不规则图形时，要利用平移的思想将不规则图形变为规则图形，从而达到简化计算的目的. 1．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 2．（23-24七年级下·吉林·月考）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 【题型二】将军饮马问题 1．（24-25七年级下·福建漳州·月考）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $