第4章 线段与角【单元卷·考点卷】（12大核心考点）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第4章 线段与角【单元卷·考点卷】（12大核心考点） 考点一 线段、射线、直线的相关问题（共5题） 1．下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 2．下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3．如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 4．由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 5．请按要求完成下列问题； (1)在图1中作线段； (2)在图1中作射线； (3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小； (4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线和相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线，与直线、和相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点． 考点二 尺规作图（共5题） 1．如图，在射线上顺次截取，在线段上截取，则图中线段的长可表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　） A． B． C． D． 3．阅读下面材料： 尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段AB．求作：线段CD，使CD=AB． 在数学课上，老师提出如下问题： 小亮的作法如下： 老师说：“小亮的作法正确” 请回答：小亮的作图依据是 ． 4．画线段AB；延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=AC，则线段CD= AB． 5．如图，在同一平面内有四个点A、B，C，D，请用尺规按下列要求作图保留作图痕迹，不写作图步骤）： (1)作直线和射线； (2)连接，在线段上作出一点E，使得； (3)在直线上作出一点P，使最短． 考点三 线段中点的计算（共5题） 1．如图，已知线段上有两点、，、分别是线段，的中点若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 3．如图，点、分别是线段上两点（），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．    4．如图，、是线段上的两个点，，是的中点，是的中点，，那么线段的长等于 ． 5．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”．已知点D是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若，点D在线段______（填“”或“”）上； ②若，则的长度为______． (2)若E为线段的中点，，求的长度． 考点四 与线段有关的动点问题（共5题） 1．如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是 ． 4．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ． 5．如图，已知点，点是直线上的两点，厘米，点，点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点分别从点，点同时相向出发沿直线运动秒： （1）求两点刚好重合时的值； （2）当两点重合后继续沿原来方向前进，求相距6厘米时的值； （3）当点离点的距离为2厘米时，求点离点的距离．    考点五 角的相关概念（共5题） 1．亲爱的同学们，我们的数学测试从开始，钟表上时分时，时针和分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，某出租车从地出发，沿着北偏东的方向前进，到达处后沿着南偏东的方向行驶来到处，此时地正处于地正东方向；则下列说法中正确的有(    ) ①在处的北偏西；  ②公路和的夹角是； ③在处的北偏西；④公路和的夹角是 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 3．下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹角是，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是，小李钻研了 分钟． 4．一天下午小强开始做数学作业时，钟表上的时针指向表盘刻度的4与5之间，分针在时针的反向延长线上，当他完成数学作业时，时针与分针重合都指向表盘刻度的5与6之间，那么小强这天下午完成数学作业用了 分钟． 5．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    考点六 三角板中角度计算问题（共5题） 1．一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．将一副直角三角板按如图叠加放置，其中与重合，，．将三角板从图中位置开始绕点逆时针旋转一周，当时，的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 3．如图，一副三角板的直角与的顶点O重合在一起，若，则的度数为 ． 4．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ． 5．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 (1)若边和边重合摆成图①的形状，则 ； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 考点七 几何图形中角度计算问题（共5题） 1．如图，已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知，则的大小是（    ）． A． B． C． D． 3．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 4．如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 5．如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合． (1)求的度数． (2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数． (3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？ 考点八 实际问题中角度计算问题（共5题） 1．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．已知α，β是两个钝角，有四位同学计算（α+β）得出四种不同的答案分别是24°，48°，76°，86°，其中只有一个是正确的，则正确的答案是（   ） A．86° B．76° C．48° D．24° 3．一昼夜（0点到24点）时针与分针的夹角为直角的次数有 次． 4．已知∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小40°，则∠β等于 °. 5．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 考点九 角平分线的有关计算（共5题） 1．如图，直线，交于点O，射线且平分，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，是的角平分线，平分，且，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线和直线相交于点，平分，，则的度数是 ． 4．已知、分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为 ．          5．如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 考点十 求一个角的余角、补角（共5题） 1．下列说法中，正确的是（    ） A．大于直角而小于周角的角是钝角 B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，，，那么、、互为补角 2．如图，点O为直线AB上一点，为直角，OE平分，OF平分，OG平分．下列结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．，，则的余角的度数为 ． 4．与互余，与互补，，那么 ． 5．如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．    (1)若，则________；若，则________； (2)猜想与有何数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，请直接写出与的数量关系． 考点十一 与余角、补角有关计算（共5题） 1．如图，是直线，O是上一点，，平分，则图中与互补的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如果与互补，与互余，那么与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．若一个角的一半比它的补角小，则这个角的度数为 °． 4．如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 5．【知识背景】已知为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点处． 【动手操作】 （1）如图①所示，若三角尺的一边与射线重合，则______； 【类比操作】 （2）如图②所示，将三角尺绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； （3）将三角尺绕点逆时针旋转至如图③所示的位置时，，求的度数． 考点十二 动角问题（共5题） 1．如图，直线上有一点，过点在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为秒． (1)求的度数； (2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； 2．如图，点O为直线上一点，将一直角三角板的锐角顶点放在点O处，． (1)若，则______； (2)若将直角三角板绕点O顺时针旋转一周，旋转速度是每秒 ①在直角三角板旋转过程中，当时，求的大小（用含的式子表示）； ②在直角三角板旋转一周过程中，当时开始计时，试求直角三角板旋转到几秒时，直线恰好是的平分线． 3．若、、三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注，．      (1)如图1，使三角板的长直角边在射线上，则 °； (2)将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周， ①若旋转到到图2位置，此时，求运动时间的值； ②经过秒后，直线恰好成为的三等分线，直接写出的值． 4．如图，点为直线上一点，将斜边为的直角三角板的直角顶点放在点处，平分．    (1)如图1，若，求的度数； (2)将直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)在图1中，，与的起始位置重合，再将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，射线恰好是锐角的三等分线，则的值为__________秒（直接写出结果）． 5．定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这个两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角． (1)如图1，为直线上的一点，，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，为直线上的一点，若，，且射线绕以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，两条射线、同时运动，运动时间为秒，试求当为何值时，和互为垂角？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 线段与角【单元卷·考点卷】（12大核心考点） 考点一 线段、射线、直线的相关问题（共5题） 1．下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 【答案】B 【分析】此题主要考查了线段的性质，直接利用两点之间线段最短分析即可得出答案． 【详解】解：①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，不能用“两点之间线段最短”来解释， ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，可用“两点之间线段最短”来解释． 故选：B． 2．下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，四个现象的依据是两点之间，线段最短和两点确定一条直线，据此作出判断即可． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是两点确定一条直线，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是两点之间，线段最短，符合题意； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是两点确定一条直线，不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程是两点之间，线段最短，符合题意； 故选：C． 3．如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 【答案】3 【分析】本题考查了直线，根据直线的特点在图中画出满足条件的直线，即可作答． 【详解】作图如下： 经过同色的三点可以画3条直线， 故答案为：3． 4．由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 【答案】30 【分析】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键．将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可． 【详解】解：如图： 图中线段的条数为（条）， （种）， 即铁路运营公司为这条路线制作的往返车票有30种． 故答案为：30． 5．请按要求完成下列问题； (1)在图1中作线段； (2)在图1中作射线； (3)在图1中找一点P，使得点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小； (4)为探索平面内相交直线的交点个数，小方进行了如下研究：如图2，直线和相交于点A，两条线交点个数为1；过点B和点C作直线，与直线l1和l2相交，新增2个交点；过点D作直线，与直线、和相交，新增3个交点……按照此规律，若平面内有10条直线，则最多共有______个交点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)45 【分析】（1）根据题意，画出线段即可； （2）根据题意，画出射线即可； （3）连接交于点P，则点P即为所求； （4）根据题意得：2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作线段即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求； 理由：∵， ∴当的值最小时，点P到点A、点B、点C、点D四个点的距离之和最小， 此时点P位于线段上； （4）解：根据题意得： 2条直线相交最多有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， ……， 由此发现，n条直线相交最多有个交点， ∴10条直线相交最多有个交点， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了画线段，射线，最短距离问题，相交线的交点问题，明确题意，熟练掌握两点之间，线段最短；（4）问中根据题意得到规律是解题的关键． 考点二 尺规作图（共5题） 1．如图，在射线上顺次截取，在线段上截取，则图中线段的长可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段、线段的和与差，理解题意，正确列式是解题关键．根据线段的和差定义，由求解即可． 【详解】解：根据题意，，， 所以． 故选：D． 2．如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差及基本作图知识，准确把握线段的和差关系是解题的关键．根据即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．阅读下面材料： 尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段AB．求作：线段CD，使CD=AB． 在数学课上，老师提出如下问题： 小亮的作法如下： 老师说：“小亮的作法正确” 请回答：小亮的作图依据是 ． 【答案】圆的半径相等． 【分析】根据圆的半径相等的性质作一条线段等于已知线段，即可得到答案． 【详解】小亮的作图依据为：圆的半径相等； 故答案为：圆的半径相等． 【点睛】本题考查了尺规作图的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一条线段等于已知线段的性质，从而完成求解． 4．画线段AB；延长线段AB到点C，使BC=2AB；反向延长AB到点D，使AD=AC，则线段CD= AB． 【答案】6 【分析】先根据题意分别画出各线段，再结合图形利用线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）画线段AB； （2）延长线段AB到点C，使BC=2AB； （3）反向延长AB到点D，使AD=AC； 由图可知，BC=2AB，AD=AC=3AB，故CD=6AB． 故答案为6． 【点睛】本题只要根据题意画出图形，根据各线段的长可直接解答，比较简单． 5．如图，在同一平面内有四个点A、B，C，D，请用尺规按下列要求作图保留作图痕迹，不写作图步骤）： (1)作直线和射线； (2)连接，在线段上作出一点E，使得； (3)在直线上作出一点P，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画直线，线段和射线，两点之间线段最短，及线段的和差等知识，解题的关键是熟练掌握直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线的定义作出图形即可； （2）以点A为圆心，线段为半径画弧，交于点E，则点E即为所作； （3）连接交于点P，则点P即为所作． 【详解】（1）如图，直线和射线即为所求作： （2）如图，点E即为所作； （3）如图，点P即为所作． 考点三 线段中点的计算（共5题） 1．如图，已知线段上有两点、，、分别是线段，的中点若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算， 以及线段的和差关系，由已知条件可得出，，由线段的中点可得出，，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：， ， 即， ，， ， 、分别是线段、的中点， ，， ． 故选：A． 2．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 3．如图，点、分别是线段上两点（），用圆规在线段上截取，，若点与点恰好重合，，则 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，根据题意可得，，再由即可得到答案． 【详解】解：，，点E与点F恰好重合， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为4． 4．如图，、是线段上的两个点，，是的中点，是的中点，，那么线段的长等于 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算．先求出，再由线段中点的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14 5．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”．已知点D是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若，点D在线段______（填“”或“”）上； ②若，则的长度为______． (2)若E为线段的中点，，求的长度． 【答案】(1)①，②2或14 (2)的长度是4或28 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义： （1）①根据“折中点”的定义进行求解即可；②分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可； （2）先根据线段中点的定义得到的长，再同分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，点D是图中折线的“折中点”， ∴点D在线段上， 故答案为：； ②如图所示，当点D在上时， ∵， ∴， ∵， ∴ 如图所示，当点D在上时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或14； （2）解：E为线段中点，， ∴． ①点D在线段上时，如图所示， ∵， ∴． ∵D为折中点， ∴． ∴； ②点D在线段上时，如图所示， ∴， ∴． ∴． ∴． 综上所述，的长度是4或28． 考点四 与线段有关的动点问题（共5题） 1．如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据AC比BC的多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置． 【详解】解：设BC＝x， ∴AC＝x+5 ∵AC+BC＝AB ∴x+x+5＝30， 解得：x＝20， ∴BC＝20，AC＝10， ∴BC＝2AC，故①成立， ∵AP＝2t，BQ＝t， 当0≤t≤15时， 此时点P在线段AB上， ∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t， ∵M是BP的中点 ∴MB＝BP＝15﹣t ∵QM＝MB+BQ， ∴QM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQ＝QM＝， ∴AB＝4NQ， 当15＜t≤30时， 此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∵M是BP的中点 ∴BM＝BP＝t﹣15 ∵QM＝BQ﹣BM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQ＝QM＝， ∴AB＝4NQ， 当t＞30时， 此时点P在Q的右侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∵M是BP的中点 ∴BM＝BP＝t﹣15 ∵QM＝BQ﹣BM＝15， ∵N为QM的中点， ∴NQ＝QM＝， ∴AB＝4NQ， 综上所述，AB＝4NQ，故②正确， 当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上， ∴AP＝2t，BQ＝t ∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t， ∴30﹣2t＝t， ∴t＝12， 当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∴2t﹣30＝t， t＝20， 当t＞30时，此时点P在Q的右侧， ∴AP＝2t，BQ＝t， ∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30， ∴2t﹣30＝t， t＝20，不符合t＞30， 综上所述，当PB＝BQ时，t＝12或20，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想． 2．已知线段AB＝4cm，点C是直线AB上一点（不同于点A、B）．下列说法：①若点C为线段AB的中点，则AC＝2cm；②若AC＝1cm，则点C为线段AB的四等分点；③若AC+BC＝4cm，则点C一定在线段AB上；④若AC+BC＞4cm，则点C一定在线段AB的延长线上；⑤若AC+BC＝8cm，则AC＝2cm．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算正确结论即可. 【详解】解：（1）如图1所示： ∵点C为线段AB的中点， ∴AC＝BC＝， 又∵AB＝4cm， ∴AC＝2cm， ∴结论①正确； （2）如图2所示： ∵AC1＝1，AB＝4， ∴， ∴点C1为线段AB的四等分点 又∵AC2＝1， ∴ 又∵点C2在AB的反向延长线上， ∴点C2不是线段AB的四等分点， ∴结论②错误； （3）如图3所示： 点C为线段AB上的一动点， ∴AB＝AC+BC， 又∵AB＝4cm， ∴AC+BC＝4cm， ∴结论③正确； （4）如图4所示： 若点C在AB的延长线上时， AC1+BC1＞AB， ∵AB＝4， ∴AC1+BC1＝AB+2BC1＞4cm， 若点在AB的反向延长线上时， AC2+BC2＞AB， ∵AB＝4， ∴AC2+BC2＝AB+2AC2＞4cm， ∴结论④正确； （5）如图5所示： 若点C在线段AB的延长线时，且AC1＝6cm，有 AC1+BC1＝8cm， 若点C在线段AB的反向延长线时，且AC2＝2cm，有 AC2+BC2＝8cm， ∴结论⑤错误． 综合所述；正确结论是①、③、④， 故选：C． 【点睛】本题考查线段的中点，线段的延长线，线段的反向延长线，线段的和差计算，熟练掌握各定义和运算法则是关键. 3．如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】根据AC比BC的多5，可得，从而得到，进而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M为BP的中点，可得到，进而得到，再由N为QM的中点，可得到AB=4NQ，故②正确；然后分两种情况：当点P没有到达点B之前，当点P没有到达点B之前，可得当时，或20，故③错误，即可求解． 【详解】解：∵AC比BC的多5， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴AC=15， ∴BC=2AC，故①正确； 根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t， ∴BP=45-3t， ∵M为BP的中点， ∴， ∴， ∵N为QM的中点， ∴， ∴AB=4NQ，故②正确； 当时，当点P在线段AB上， ∵， ∴， 解得：； 当时，点P在点B右侧，位于点Q左侧，， ∵， ∴， 解得：； 当时，点P位于点Q右侧，不成立， 综上所述，当时，或20，故③错误， ∴正确的结论是①②． 故答案为：①② 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段间的数量关系，动点问题，利用数形结合思想和分类讨论讨论思想解答是解题的关键． 4．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ． 【答案】5 【分析】由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+BC）=AB，从而可以求出MN的长度． 【详解】解：∵M是AC的中点，N是CB的中点， ∴MC=AC，CN=CB， ∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5． 【点睛】本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上（或减去）CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半． 5．如图，已知点，点是直线上的两点，厘米，点，点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点分别从点，点同时相向出发沿直线运动秒： （1）求两点刚好重合时的值； （2）当两点重合后继续沿原来方向前进，求相距6厘米时的值； （3）当点离点的距离为2厘米时，求点离点的距离．    【答案】（1）4秒；（2）6秒；（3）7厘米或者5厘米 【分析】（1）根据题意，两点重合，即相遇，列出等式，即可求解； （2）根据其速度和相距距离或者路程除以速度列出等式即可； （3）分两种情况求解：点Q在A点的右边和点Q在A点的左边，即可得解. 【详解】（1）因为运动时间为t秒． 由题意，得：t+2t=12， 解得t=4（秒）； （2）因为运动时间为t秒． 方法一：2（t-4）+（t-4）=6 3t-12=6 t=6（秒） 方法二：t=（12+6）÷（2+1） t=6（秒） （3）当点Q离A点的距离为2厘米时，分两种情况： ①点Q在A点的右边，如图所示：    因为AB=12cm 此时，t=(12-2) ÷2=5， P点经过了5厘米，点P离B点的距离为7厘米； ②点Q在A点的左边，如图所示：    因为点Q运动了(12+2)÷2=7(秒) 此时，t=7，P点经过了7厘米， 所以点P离B点的距离为12-7=5(厘米)． 综上所说，点P离B点的距离为7厘米或者5厘米． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握. 考点五 角的相关概念（共5题） 1．亲爱的同学们，我们的数学测试从开始，钟表上时分时，时针和分针的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，钟表上个大格把一个周角等分，每个大格，点分时针与分针之间共个大格，即可得解．解题的关键是明确钟面的特征：钟面被分成大格，每大格；分针每分钟转，时针每分钟转． 【详解】解：时分就是下午时分， ∵点分，时针指向和的中间，分针指向，中间相差大格半， 又∵钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点分分针与时针的夹角是． 故选：B． 2．如图，某出租车从地出发，沿着北偏东的方向前进，到达处后沿着南偏东的方向行驶来到处，此时地正处于地正东方向；则下列说法中正确的有(    ) ①在处的北偏西；  ②公路和的夹角是； ③在处的北偏西；④公路和的夹角是 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查的是方向角和夹角的计算．首先，需要根据题目给出的角度信息，正确理解各个方向角的含义．然后，根据平行线和夹角的性质，分析公路、以及之间的夹角．同时，需要理解北偏东或北偏西角度的具体意义，以便正确判断各点之间的方向关系． 【详解】解：如图所示，由题意可知，，， ， 即在处的北偏西，故①正确； ，， ， 即公路和的夹角是，故②正确； ， ， 即在处的北偏西，故③错误； ， 即公路和的夹角是，故④错误． 故选：A． 3．下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹角是，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是，小李钻研了 分钟． 【答案】/ 【分析】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟走，时针每分钟走，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解． 【详解】解：分针每分钟走，时针每分钟走， 四点整时，时针和分针之间的夹角是， 设小李开始钻研时是4点分，则由题意可得：，解得， 即：下午4点10分时，小李开始钻研， 设结束时是4点分，则由题意可得：，解得， 即：下午4点分时，小李结束钻研， ∴小李钻研了分， 故答案为：． 4．一天下午小强开始做数学作业时，钟表上的时针指向表盘刻度的4与5之间，分针在时针的反向延长线上，当他完成数学作业时，时针与分针重合都指向表盘刻度的5与6之间，那么小强这天下午完成数学作业用了 分钟． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，搞清楚分针和时针旋转角度的数量关系是解题的关键．先分别求出时针和分针每分钟旋转的角度，时针和分针第二次出现在同一条直线上，恰是分针第一次追上时针的时候出现的，所以分针比时针多转了，根据这个可以建立方程，求出所需的时间 【详解】解：时针的转速为0.5度/分，分针的转速为6度/分，设这天下午完成数学作业用了x分钟． 根据题意可得 ， 解得， 答：小强这天下午完成数学作业用了分钟． 故答案为：． 5．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 考点六 三角板中角度计算问题（共5题） 1．一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差．熟练掌握角的和差计算，是解决问题的关键． 利用与的和减去的差即得． 【详解】∵， ∴， ∵， ， ∴． 故选：B． 2．将一副直角三角板按如图叠加放置，其中与重合，，．将三角板从图中位置开始绕点逆时针旋转一周，当时，的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角度的计算，根据画出图形再计算角度即可，注意要分情况讨论． 【详解】∵，， ∴ 当在上方时，如图，    此时旋转角度； 当在下方时，如图，    此时， ∴， ∴； 故选：D． 3．如图，一副三角板的直角与的顶点O重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查三角板中角的计算、解一元一次方程，设，则，根据，列方程求得，则，再利用求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴； 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 综上：为或或或． 故答案为：或或或． 5．【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 (1)若边和边重合摆成图①的形状，则 ； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 【答案】(1) (2)或 (3)的度数为或 【分析】（1）根据解答即可； （2）利用分类思想解答即可． （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：． （2）解：或． 理由：如答图① ， ∵， ∴. 如答图②，∵， ∴. （3）解：当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 或， 解得， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 或， 解得. 综上所述，的度数为或. 【点睛】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键. 考点七 几何图形中角度计算问题（共5题） 1．如图，已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是找到角之间的数量关系再解答． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 2．将矩形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知，则的大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到，由平角的定义得到，而，则，由此即可得到的度数． 【详解】解：矩形沿折叠， ， 又∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了角的计算，平角的定义以及折叠的性质：折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等，熟练掌握折叠的性质是解决本题的关键． 3．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 【答案】 【分析】此题考查了角的计算，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，，再根据平角的度数是，即可求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为． 4．如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 【答案】 【分析】本意考查了角的计算，根据，设，由可求出x的值，再由即可得出答案． 【详解】解：设， 由， ， ， 即， ， ， 即， 故答案为：． 5．如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合． (1)求的度数． (2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数． (3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或27 【分析】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结合与利用一元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键． （1）根据平角的概念求解即可； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意分还没追上和追上后两种情况讨论，然后分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得； （3）解：当还没追上时，， 解得； 当追上后，， 解得； 综上所述，或27． 考点八 实际问题中角度计算问题（共5题） 1．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间． 【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ， 即时针转了24°， ∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知： 分针转动： ， 由每一大格对应30°知： ， 即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置： 由此确定此时是10点48分； 故答案为：A． 【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键． 2．已知α，β是两个钝角，有四位同学计算（α+β）得出四种不同的答案分别是24°，48°，76°，86°，其中只有一个是正确的，则正确的答案是（   ） A．86° B．76° C．48° D．24° 【答案】C 【分析】由α，β是两个钝角可得180°＜α+β＜360°，进一步即可求得(α+β)的范围，从而可得答案． 【详解】解：因为α，β是两个钝角， 所以90°＜α＜180°，90°＜β＜180°， 所以180°＜α+β＜360°， 所以30°＜(α+β)＜60°， 在上述四个选项中，只有选项C中48°在上述范围中， 故选：C． 【点睛】本题考查了钝角的定义，属于基础题型，熟记钝角的概念、求得(α+β)的范围是解题关键． 3．一昼夜（0点到24点）时针与分针的夹角为直角的次数有 次． 【答案】44． 【分析】时针与分针垂直时，夹角为90°，先得到经过多少分就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可． 【详解】从重合到第一次垂直所需要的时间为分钟， 设一次垂直到下一次垂直经过x分钟，则 6x﹣0.5x＝2×90 5.5x＝180 x＝， （24×60﹣）÷ ＝24×60×＝43.5（次） 取整为43次． 故总次数为43+1＝44（次）， 故答案为：44 【点睛】本题考查了钟面角．解题的关键是掌握下面的知识点：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°；分针每分走6度，时针每分走0.5度． 4．已知∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小40°，则∠β等于 °. 【答案】70 【分析】互为补角的两个角之和为180°，再根据两角之间的差值，可列出两个方程，进而求解即可. 【详解】根据题意，可列方程如下： 由①-②，得：，故本题答案为70°. 【点睛】本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 5．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 考点九 角平分线的有关计算（共5题） 1．如图，直线，交于点O，射线且平分，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的意义，平角的定义及角平分线的意义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键，先由垂直的意义得出，再根据平角的定义及角的和差得出，再根据角平分线的意义得出，最后根据角的和差计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图所示，是的角平分线，平分，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握“一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”是解题的关键． 根据角平分线的定义先求得，即可求出． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：A． 3．如图，直线和直线相交于点，平分，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知、分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为 ．          【答案】/度 【分析】本题考查了角的平分的定义，角的和，熟练掌握定义和角的和是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，再根据是的角平分线，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为 ：． 5．如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 【答案】(1)19，38 (2)正确，理由见解析 【分析】此题考查了角平分线的相关计算． （1）根据平分线定义求出，则，再利用角平分线定义求出，即可求出； （2）证明，，则，即可证明一定平分． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线．， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）正确，理由如下 ∴， ∴ 平分 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的平分线． ∴ ∴ ∴平分. 考点十 求一个角的余角、补角（共5题） 1．下列说法中，正确的是（    ） A．大于直角而小于周角的角是钝角 B．互补的两个角必定一个是锐角，一个是钝角 C．两个锐角不能互为补角 D．如果，，，那么、、互为补角 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．性质：等角的补角相等，等角的余角相等． 根据钝角的定义对A进行判断；根据的补角为可对B进行判断；根据补角的定义对C、D进行判断． 【详解】解：A、大于直角而小于平角的角是钝角，所以A选项错误； B、互补的角可都为，所以B选项错误； C、两个锐角的和不可能等于，所以C选项正确； D、如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，所以D选项错误． 故选：C． 2．如图，点O为直线AB上一点，为直角，OE平分，OF平分，OG平分．下列结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由OF平分∠BOC，OG平分∠BOD，∠COD=90°，可得结论①；由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∠AOB=180°，可得结论②；由∠AOC=180°-∠COB，∠COB+∠BOD=90°，代入∠AOC-∠BOD可得结论④；由结论④可得∠EOC=∠GOD+45°，代入∠EOG=∠EOC+∠COG可判断结论③． 【详解】解：OF平分∠BOC，则∠BOF=∠COF， OG平分∠BOD，则∠BOG=∠DOG， ∵∠COD=∠COB+∠BOD=90°， ∴（∠COB+∠BOD）=45°， ∴∠FOB+∠BOG=∠FOG=45°，故①正确； OE平分∠AOC，则∠AOE=∠EOC， ∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°， ∴（∠AOC+∠COB）=90°， ∴∠AOE+∠FOB=90°，故②正确； ∵∠AOC=180°-∠COB，∠COB+∠BOD=90°， ∴∠AOC-∠BOD=180°-∠COB-∠BOD=180°-（∠COB+∠BOD）=90°， 故④正确； ∠AOC-∠BOD=90°，则（∠AOC-∠BOD）=45°， ∴∠EOC-∠GOD=45°，∠EOC=∠GOD+45°， ∵∠EOG=∠EOC+∠COG=∠GOD+45°+∠COG=∠COD+45°=135°， 故③错误； 综上所述①②④正确， 故选： B． 【点睛】本题考查了角平分线相关的角的运算，掌握等式的性质是解题关键． 3．，，则的余角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差计算，余角的概念，解题的关键是分两种情况讨论． 需要分两种情况，当射线在内部时，当射线在的外部时，根据角度的和差运算求出，然后根据余角的概念求解即可． 【详解】解：当射线在内部时， ∵，， ∴， ∴的余角的度数为； 当射线在的外部时， ∵，， ∴， ∴的余角的度数为； 综上所述，的余角的度数为或． 故答案为：或． 4．与互余，与互补，，那么 ． 【答案】/153度 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 【详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 5．如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．    (1)若，则________；若，则________； (2)猜想与有何数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)135，50 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握余角定义，角的和差计算，是解解问题的关键． （1）根据余角定义求出，根据角的和差得到；若，根据角的和差得到，根据余角定义可得； （2）根据等角的余角相等求出，根据即可得到，即得； （3）根据，得到，根得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 若， ∵， ∴； 故答案为：135，50； （2），理由如下： ∵， ， ∴，, ∴， 即． （3）, 理由如下： ∵，， ∴， ， ∴， 即． 考点十一 与余角、补角有关计算（共5题） 1．如图，是直线，O是上一点，，平分，则图中与互补的角有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，先根据已知条件证明，再由平角的定义推出，，据此证明，进而利用角平分线的定义得到，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴图中与互补的角有，，共2个， 故选：C． 2．如果与互补，与互余，那么与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角和补角的计算，根据与互补，与互余，先把和都用来表示，再进行运算即可得到答案． 【详解】解：与互补，与互余， ，， ，即， 故选：A． 3．若一个角的一半比它的补角小，则这个角的度数为 °． 【答案】100 【分析】此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为． 设这个角是，则它的补角为，根据两个角的和等于，则这两个角互补，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角是，则它的补角为，根据题意，得 ， 解得：， 故答案为：100． 4．如图，点O是直线上一点，平分，，平分，与互余，则 °． 【答案】45 【分析】本题主要考查余角与补角，角平分线的定义，由题意可得，从而可求得，进而得到，再由角平分线定义得，根据计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：45． 5．【知识背景】已知为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点处． 【动手操作】 （1）如图①所示，若三角尺的一边与射线重合，则______； 【类比操作】 （2）如图②所示，将三角尺绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； （3）将三角尺绕点逆时针旋转至如图③所示的位置时，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量． （1）根据余角进行计算即可； （2）根据角平分线的定义求出，即可得到结论； （3）设，则，求出，即可计算得到结论． 【详解】解：（1），， ； （2），平分， ， ， ； （3）设，则， ， ， ， ， ．    考点十二 动角问题（共5题） 1．如图，直线上有一点，过点在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为秒． (1)求的度数； (2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，或20 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，补角的概念，解一元一次方程等知识，注意数形结合及分类讨论． （1）设，则其补角为，根据题意列方程即可求得结果； （2）分两种情况讨论：当在直线上方时；当在直线下方时，分别列出算式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设，则其补角为， 由题意得：，解得：， 即； （2）存在，理由如下： ①当在直线上方时，此时平分， ， ， 当没有旋转时，，所以旋转了 则旋转的时间（秒）， ②当在直线下方时，如图， ，且， 即：， 旋转了， ， ，解得：， 综上所述，当或20时，． 2．如图，点O为直线上一点，将一直角三角板的锐角顶点放在点O处，． (1)若，则______； (2)若将直角三角板绕点O顺时针旋转一周，旋转速度是每秒 ①在直角三角板旋转过程中，当时，求的大小（用含的式子表示）； ②在直角三角板旋转一周过程中，当时开始计时，试求直角三角板旋转到几秒时，直线恰好是的平分线． 【答案】(1)80 (2)①；②240秒或600秒 【分析】本题考查动角问题，角平分线的定义和性质，几何中角度的计算，平角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质并灵活运用． （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）根据平角的定义及角平分线的定义分两种情况讨论，即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：80； （2）解：①由题意，知． 点O为直线上一点， ． ，， ； ②如图1，当时，． 当直线正好是的平分线，有两种情况： Ⅰ．如图2，此时边旋转了． （秒）， Ⅱ．如图3，此时边旋转了． （秒）． 综上所述，直角三角板旋转到240秒或600秒时，直线恰好是的平分线． 3．若、、三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注，．      (1)如图1，使三角板的长直角边在射线上，则 °； (2)将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周， ①若旋转到到图2位置，此时，求运动时间的值； ②经过秒后，直线恰好成为的三等分线，直接写出的值． 【答案】(1)50 (2)①10秒；②的值为2秒，32秒，38秒或68秒． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：50； （2）解：①三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转， 经过秒，，， ， ， 解得：， 即运动时间为10秒； ②情况1：    经过t秒后，， ∵为的三等分点， ∴， 又∵， ∴， 即， 解得； 情况2：    ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； 情况3：    ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； 情况4：    ∵，， ∴， 即旋转了， 即， 解得； 综上所述：的值为2秒，32秒，38秒或68秒． 【点睛】本题主要考查余角和补角的知识，解一元一次方程的应用，熟练掌握余角和补交的知识是解题的关键． 4．如图，点为直线上一点，将斜边为的直角三角板的直角顶点放在点处，平分．    (1)如图1，若，求的度数； (2)将直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)在图1中，，与的起始位置重合，再将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，射线恰好是锐角的三等分线，则的值为__________秒（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)2或4 【分析】（1）根据邻补角互补和角平分线的定义可得，再结合是直角运用角的和差即可解答； （2）根据角平分线的定义可得，根据余角的性质可得，再根据并将代入化简即可解答； （3）由角的三等分线有两条，需分和两种情况，分别根据旋转的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵平分， ∴, 是直角， ． （2）解：；理由如下： 平分， ， ， ， ， ． （3）解：由角的三等分线有两条，需分以下两种情况解答： ①∵射线恰好是锐角的三等分线， ∴, ∵三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周， ∴； 由（1）可得：, ∴， ∴，即； ②∵射线恰好是锐角的三等分线， ∴, ∵三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周， ∴； 由（1）可得：, ∴， ∴，即． 综上，当或4时，射线恰好是锐角的三等分线． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的定义、垂直的定义、角三等分线等知识点，灵活运用相关定义是解答本题的关键． 5．定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这个两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角． (1)如图1，为直线上的一点，，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，为直线上的一点，若，，且射线绕以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，两条射线、同时运动，运动时间为秒，试求当为何值时，和互为垂角？ 【答案】(1)和互为垂角（答案不唯一） (2) (3)当的值为2或14或时，和互为垂角 【分析】（1）根据垂角定义即可得到答案； （2）设这个锐角的度数为，根据一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍列方程解答； （3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出和，根据互为垂角列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴和互为垂角； （2）设这个锐角的度数为，则，它的垂角是， ， 解得 ∴这个角的度数是； （3）分四种情况： 当时，，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得（舍去）； 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得， 综上，当的值为2或14或时，和互为垂角． 【点睛】此题考查了互为垂角和余角的概念以及运用，一元一次方程的应用，解题的关键是能准确的从图中找到角之间的数量关系，从而计算出结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$