精品解析：广东省佛山市南海实验学校2024-2025学年八年级上学期数学学情调研卷

2024-2025学年上学期初二数学学情调研卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 下列属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，5，6 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，，3 4. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 估算的范围正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm 9. 下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过一、二、三象限 C. 当时， D. 随的增大而增大 10. 如图所示图象中，一次函数y＝kx+k（k≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 13. 若，则_____． 14. 一次函数的图象经过点，则______________． 15. 勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 在数轴上画出表示的点． 18. 如图，在四边形中，，，，，．求： （1）的长； （2）四边形的面积． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． （1）若与关于y轴成轴对称，请在图中作出，并写出三个顶点的坐标； （2）在y轴上一点画出点P，使的值最小； （3）计算的面积． 20. 探究并解决问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 21. 直线过点且与直线平行． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在一次函数的图象上，O为坐标原点，求m的值及的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共24分） 22. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 23. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知，，试求A、B两点间的距离； （2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； （3）已知，在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期初二数学学情调研卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 下列属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．根据无限不循环小数叫无理数，可得答案． 【详解】解：A、是负整数，属于有理数； B、是分数，属于有理数； C、是有限小数，属于有理数； D、是无理数． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点M（﹣2，1）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∵点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴该点在第二象限． 故选B． 3. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，5，6 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故B选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故C选项符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 4. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点为． 故选：A． 5. 估算的范围正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是掌握首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．根据无理数的估算方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质，以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】A． 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．2与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C．÷=，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知二次根式加减乘除运算性质以及运用完全平方公式进行计算是解题的关键． 7. 如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 8. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm 【答案】B 【解析】 【详解】∵直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm ∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10 ∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=5 9. 下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过一、二、三象限 C. 当时， D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数经过的象限．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，，即图象经过点，不经过点，可判断A的正误；由，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，可判断B的正误；随着的增大而减小，可判断D的正误；当时，，可判断C的正误． 【详解】解：当时，，即图象经过点，不经过点，A错误，故不符合要求； ∵， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，B错误，故不符合要求； 随着的增大而减小，D错误，故不符合要求； ∴当时，，C正确，故符合要求； 故选：C． 10. 如图所示图象中，一次函数y＝kx+k（k≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到一次函数y=kx+k（k≠0）的图象经过哪几个象限． 【详解】解：当k＞0时，一次函数y=kx+k（k≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项D符合题意，故选项B、C错误； 当k＜0时，一次函数y=kx+k（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项A错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解． 【详解】解：∵, ∴， 故答案为：． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 13. 若，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）算术平方根．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 14. 一次函数的图象经过点，则______________． 【答案】3 【解析】 【分析】把点代入一次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：把点代入一次函数得： ，解得：； 故答案为3． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 15. 勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第4个勾股数组中间的数为：，即可得出结论． 【详解】解：由，，，…第四个为， 第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别化简各项，再进行加减运算． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算和二次根式的运算，解题的关键是掌握运算法则． 17. 在数轴上画出表示的点． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】作一个直角三角形，两直角边长分别是1和2，这个直角三角形的斜边长就是，然后在数轴上表示出即可． 【详解】首先过O作垂线，再截取AO=2，然后连接A和表示1的点B，再以O为圆心，AB长为半径画弧，与原点右边的坐标轴的交点为． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是找出以为斜边的直角三角形的直角边长． 18. 如图，在四边形中，，，，，．求： （1）的长； （2）四边形的面积． 【答案】（1）的长为15 （2）四边形的面积为114 【解析】 【分析】（1）连接，由勾股定理进行计算即可得到的长； （2）连接，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ，，， ， 的长为15； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为114． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． （1）若与关于y轴成轴对称，请在图中作出，并写出三个顶点的坐标； （2）在y轴上一点画出点P，使的值最小； （3）计算的面积． 【答案】（1） 如图1，即为所求．    ∴； （2） 如图2，点P即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，坐标与图形等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用轴对称的性质作图即可，然后求即可； （2）连接交y轴于点P，连接，由，可知当三点共线时，最小，则点P即为所求； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，， ∴的面积为． 20. 探究并解决问题． （1）通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）①4；0；a；②3；5；； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． （）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出，； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果． 【小问1详解】 解：，， 探究：对于任意非负有理数a，； ，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，； 【小问2详解】 解：观察数轴可知： ，，， ． 21. 直线过点且与直线平行． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在一次函数的图象上，O为坐标原点，求m的值及的面积． 【答案】（1） （2），的面积为20 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式及根据函数图象与坐标轴交点求坐标系中三角形的面积，此题要注意的三角形的面积不能直接求出，应该采用割补法去求． （1）由于平行于直线，所以所求直线的，又直线经过，代入即可求出直线的解析式； （2）由于点在这条直线上，直接把坐标代入（1）中解析式即可求出的值，如图，连接、，设直线与轴交点为，则，而由此就可以求出面积． 【小问1详解】 解：由题意得： 又过， ， ， ； 【小问2详解】 解：在直线上， ， ； 如图，画出直线，连接、， 设直线与轴交点为，则 ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共24分） 22. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 23. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知，，试求A、B两点间的距离； （2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； （3）已知，在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 【答案】（1）10 （2） 等腰直角三角形，理由如下： ∵、、 ， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形； （3）存在，或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键． （1）利用公式代入即可； （2）利用公式求出，，的长，再由勾股定理逆定理即可判断； （3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在， ， ， 设， ∴，， 当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得或（此时为P原点，舍去），此时； 当时，，则，解得，此时； 综上，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $