精品解析：上海外国语大学秀洲外国语学校2024--2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024学年第一学期九年级课堂观测（一）（2024.10） 数学试题卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 2. 下列函数的图象，一定经过原点的是（   ） A. B. C. D. 3. 二次函数y＝(x－2)2＋3的最小值是( ) A. 3 B. 2 C. －2 D. －3 4. 抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（　　） A. （1，3） B. （﹣1，3） C. （1，2） D. （﹣1，2） 5. 若的半径为3，点A到圆心O的距离为2，则点A与的位置关系为（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 6. 如图，在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 7. CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ） A. AC的长为 B. CE的长为3 C. CD的长为12 D. AD的长为10 8. 如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，弦与半径交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 12. 若四边形内接于，，则______． 13. 扔一枚质地均匀的骰子，朝上的数字不大于的概率是______． 14. 抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为_________． 15. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为_________． 16. 如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为________． 三、解答题（本大题共72分） 17. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）判断点是否在抛物线上，请说明理由． 18. 我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小吴从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为________． （2）学校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．请用画树状图的方法，求《红楼梦》被选中的概率． 19. 如图，点在上，顺次连接，且，． （1）求的度数； （2）若的半径为2，求的面积． 20. 如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 21. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 22. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标． （2）若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当时的取值范围． 23. 音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx． （1）若已知k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值； （2）若k=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ （3）若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？ 24. 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． （1）如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． （2）如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级课堂观测（一）（2024.10） 数学试题卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A选项，瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B选项，旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； C选项，守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，发生的可能性大于0且小于1； D选项，夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意． 故选C． 2. 下列函数的图象，一定经过原点的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数图像上各点的带入分析是考查的常考点也是重点，考生只需把各点带入分析即可 【详解】解：图像经过原点，即过点（0,0）代入分析 A中，x=0时，y=-1，不符合题意 B中，x=0时，y=0，符合题意， C中，x=0时，y=1，不符合题意 D中，是反比例函数，不符合题意 故选B 3. 二次函数y＝(x－2)2＋3的最小值是( ) A. 3 B. 2 C. －2 D. －3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】二次函数y=（x-2）2+3， 当x=2时，最小值是3， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4. 抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（　　） A. （1，3） B. （﹣1，3） C. （1，2） D. （﹣1，2） 【答案】C 【解析】 【分析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案． 【详解】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴顶点坐标为（1，2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标的求解，解题的关键是熟悉配方法． 5. 若的半径为3，点A到圆心O的距离为2，则点A与的位置关系为（ ） A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径是3，点A到圆心的距离是2，小于圆的半径， ∴点在圆内， 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系进行解题． 6. 如图，在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率．由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有12种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有12个，而能构成一个轴对称图形的有2个情况， ∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：． 故选A． 7. CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ） A. AC的长为 B. CE的长为3 C. CD的长为12 D. AD的长为10 【答案】A 【解析】 【分析】连接AO，分别在Rt△AOE中，Rt△ACE中，Rt△ADE中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可． 【详解】解：连接AO， ∵AB⊥CD于点E，OE=3，AE=4， ∴在Rt△AOE中，根据勾股定理 , ∵CD为圆O的直径， ∴OC=OD=OA=5， ∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B选项和C选项错误； 在Rt△ACE中，根据勾股定理 ，故A选项正确； 在Rt△ADE中，根据勾股定理 ，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件． 8. 如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，易得，利用三角形外角的性质得到，，进行求解即可； 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键． 9. 如图，在中，弦与半径交于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理；先利用三角形外角的性质求出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法，理解坐标轴上点的坐标的特点是解题关键． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是， 故答案为：． 12. 若四边形内接于，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得答案． 【详解】解：如图， ∵四边形内接于，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 13. 扔一枚质地均匀的骰子，朝上的数字不大于的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】一枚质地均匀的骰子有六个面，分别标有 其中点数不大于的面有个，结合概率公式可得答案． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字不大于的概率是： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，掌握简单随机事件的概率的计算公式：“随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．”是解题的关键． 14. 抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握二次函数解析式，关于原点对称的点坐标的特征是解题的关键． 设抛物线关于原点对称的抛物线上的点坐标为，则在抛物线上，，整理作答即可． 【详解】解：设抛物线关于原点对称的抛物线上的点坐标为， ∴在抛物线上， ∴， 整理得，， ∴抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为， 故答案为：． 15. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次函数的性质．用或表示出三角形的面积是解题的关键． 由题意得，，即，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 故答案为：． 16. 如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识．如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点为，连接、， ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中， ， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共72分） 17. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）判断点是否在抛物线上，请说明理由． 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握“用待定系数法求函数解析式”是解题关键．点在函数上即满足函数解析式． 【小问1详解】 解：经过， ， 解得：， 故抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 将点代入可得： ， 故点不在抛物线上． 18. 我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小吴从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为________． （2）学校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．请用画树状图的方法，求《红楼梦》被选中的概率． 【答案】（1） （2）《红楼梦》被选中的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及《红楼梦》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4部名著， ∴随机选择1部为《西游记》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 19. 如图，点在上，顺次连接，且，． （1）求的度数； （2）若的半径为2，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点，连接，分别求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， 如图，过点作交于点，连接， 则过， 由（1）可得． 因为 ∴是等边三角形， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴． 20. 如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． （1）写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【答案】（1） （2）当时，面积有最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系，易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式． （1）利用矩形面积公式列式即可求出； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 21. 如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD． （1）求证：； （2）若，，求BC的长． 【答案】（1）， ∴= 又为半径， ， 为直径， ， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证； （2）设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，再次根据勾股定理可求出BC即可． 【详解】解：（1） 略 （2）设圆的半径为r ，， ， 在中， 即，所以， ，O是AC，AB的中点 ， 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理的推论，掌握相关知识是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标． （2）若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当时的取值范围． 【答案】（1），其图象的顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）根据图象，直接求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴其函数表达式可设为， 即． 又∵， ∴，， ∴所求二次函数表达式为． ∵ ∴其图象的顶点坐标为， 【小问2详解】 ∵一次函数的图象经过二次函数图象的顶点， ∵，当时，， ，当时， ∴一次函数的图象与二次函数的交点坐标为，， 如图所示 根据图象可知，当时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx． （1）若已知k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值； （2）若k=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ （3）若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？ 【答案】(1)a、b的值分别是，2；(2)喷出的抛物线水线最大高度是9米；(3)喷出的抛物线水线能达到岸边． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点在直线y=kx上，抛物线为y=ax2+bx，k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，可以求得a，b的值； （2）根据k=1，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线y=kx上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度； （3）根据k=3，a=-，抛物线的顶点在直线y=kx上，抛物线为y=ax2+bx，可以求得b的值，然后令y=0代入抛物线的解析式，求得x的值，然后与18作比较即可解答本题． 【详解】(1)∵y=ax2+bx的顶点为（﹣），抛物线的顶点在直线y=kx上，k=1，抛物线水线最大高度达3m， ∴，， 解得，a=，b=2， 即k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，此时a、b的值分别是，2； (2)∵k=1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边18m，抛物线的顶点在直线y=kx上， ∴此时抛物线的对称轴为x=9，y=x=9， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米； (3)∵y=ax2+bx的顶点为（﹣）在直线y=3x上，a=﹣， ∴， 解得，b=6， ∴抛物线y=， 当y=0时，0=， 解得，x1=21，x2=0， ∵21＞18， ∴若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能达到岸边， 即若k=3，a=﹣，喷出的抛物线水线能达到岸边． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 24. 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． （1）如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． （2）如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）4 （2）①或或，② 【解析】 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可判断； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连结、、，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到4个， 故答案为：4． 【小问2详解】 解：①∵四边形是圆内接四边形，，， ，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，的度数为或或； ②连结、、． ∵四边形是圆内接四边形，， ， ∵是圆等三角形， ∴是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $