江西省临川第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

第 1页，共 4页 2024-2025 年度高二年级上学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线 3� + 2� − 3 = 0 与直线 6� + �� + 1 = 0 平行，则�的值为( ) A. 9 B. 4 C. −4 D. −9 2.若两个非零向量� ，� 的夹角为�，且满足|� | = 2 � ，(� → + 3� → ) ⊥ � → ，则 cos� =( ) A. − 23 B. − 1 3 C. 1 3 D. 2 3 3.已知直线 3� − (� − 2)� − 2 = 0 与直线� + �� + 8 = 0 互相垂直，则� =( ) A. 1 B. −3 C. −1 或 3 D. −3 或 1 4.为了得到函数� = sin(5� + �3 )的图象，只要将函数� = sin5�的图象( ) A.向右平移 �15个单位长度 B.向左平移 � 15个单位长度 C.向左平移�3个单位长度 D.向右平移 � 3个单位长度 5.过点( 3 ,   − 2 )且与椭圆 4�2 + 9�2 − 36 = 0 有相同焦点的椭圆方程是( ) A. � 2 15+ �2 10 = 1 B. �2 5 + �2 10 = 1 C. �2 10 + �2 15 = 1 D. �2 25 + �2 20 = 1 6.已知圆的方程为�2 + �2 − 2� = 0，�(�, �)为圆上任意一点，则�−2�−1的取值范围是( ) A. − 3, 3 B. −1,1 C. −∞, − 3 ∪ 3, + ∞ D. −∞, − 1 ∪ 1, + ∞ 7.已知圆�: (� − 3)2 + (� − 4)2 = 1 和两点�( − �,0), �(�, 0)(� > 0).若圆�上存在点�，使得∠��� = 90°， 则�的最大值为(     ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.已知向量 ba  , 满足 4|||2|,1||  bbaa  ，则 || ba   的取值范围是(     ) A.  232 ， B.  31， C.  3232  ， D.  23， 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知�为虚数单位，在复平面内，复数� = 2�2+�，以下说法正确的是( ) A.复数�的虚部是45 � B. |�| = 1 C.复数�的共轭复数是� = 25 − 4 5 � D.复数�的共轭复数对应的点位于第四象限 第 2页，共 4页 10..已知椭圆�：� 2 25+ �2 9 = 1，�1，�2分别为它的左右焦点，点�是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的 有( ) A.椭圆离心率为 25 9 B. 10|||| 21  PFPF C.若∠�1��2 = 90∘，则△ �1��2的面积为 9 D. || 1 || 1 21 PFPF  最大值为 9 10 11.已知点  2, 1A   ，  2,2B ，直线 : 2 2 3 3 0l ax y a    上存在点 P满足 5PA PB  ，则直线 l的 斜率可能为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.若圆�: (� − 3)2 + (� + 1)2 = 4 与圆�: �2 + (� − �)2 = 25 内切，则� =________． 13.已知�为椭圆� 2 �2 + �2 �2 = 1(� > � > 0)上第一象限内的一点，它关于原点的对称点为�，且以��为直径的圆 恰好经过该椭圆的右焦点�，当∠ABF = �6时，该椭圆的离心率是 ． 14.在平面直角坐标系 xOy中，过点 P(�, 0)向圆 C:(� − 1)2 + (� − 4)2 = 7 引切线，切线长为�．设点 P到直 线 2� − 3� − 6 = 0 的距离为 d，则 l+d的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) (1)若直线�1的一个方向向量为  2,1a ，且�1在�轴上的截距为−2，求直线�1的方程； (2)已知直线   0121:2  myxml 恒过定点 P,直线 012:3  mmyxl 恒过定点 Q,已知 2l 和 3l 交于点�. ①求出定点 P,Q 的坐标； ②求 MPQ 面积的最大值． 第 3页，共 4页 16. (本小题 15 分) 已知圆 1O 的方程为 2 2( 1) 4x y   . （1）若圆 2O 与圆 1O 关于直线 02  yx 对称，求圆 2O 的方程； （2）若  2 3,2O ，圆 2O 与圆 1O 交于A， B两点，且 2 2AB  ，求圆 2O 的方程. 17.(本小题 15 分) 如图，在四棱锥� − ����中，�� = 1，�� = 3，�� = 2，�� = 5，�� ⊥ ��，�� = ��，侧面��� ⊥平 面����． (1)证明：�� ⊥平面���； (2)证明：�� //平面���； (3)若直线��与平面����所成角的正切值为 105 ，求三棱锥� − ���的体积． 第 4页，共 4页 18.(本小题 17 分) 已知圆�: �2 + �2 = 4． (1)若线段��端点�的坐标是(4,2)，端点�在圆�上运动，求线段��的中点�的轨迹方程； (2)若��, ��为圆�: �2 + �2 = 4 的两条相互垂直的弦，垂足为�(1, 2)，求四边形����的面积�的最大值． 19.(本小题 17 分) 已知椭圆�：� 2 �2 + �2 �2 = 1(� > � > 0)的离心率为 2 2 ，点�(�, 3� � )在椭圆�上，�为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)如图，设�(�0, �0)是椭圆�上一动点，由原点�向圆�：(� − �0)2 + (� − �0)2 = 6 引两条切线，分别交椭 圆于点�、�，若直线��、��的斜率存在，并记为�1、�2，求证：�1�2为定值； (3)在(2)条件下，��2 + ��2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。