第2章 二次函数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（广东省专用,北师大版）

第2章 二次函数（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．若抛物线与轴的交点坐标为，，则这条抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 4．二次函数图象上有三点、、，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 6．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 7．若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 10．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如果抛物线有最低点，那么的取值范围是 ． 12．若，是抛物线上的两点，则 ． 13．已知点在抛物线上，则的由大到小关系是 ． 14．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点， ，则使成立的的取值范围是 ． 15．如图，四边形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线上，则的值为 ． 16．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）运用适当方法求下列二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (1)； (2) ． 18．（4分）求出符合下列条件的二次函数解析式: (1)二次函数图象经过点，求该抛物线的解析式； (2)已知抛物线的顶点坐标是，并且抛物线与x轴的一个交点坐标为，试求该抛物线的解析式． 19．（6分）如图，抛物线经过点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 20．（6分）小明和小红两人在课余时间打羽毛球，羽毛球的飞行路线可近似看成抛物线形状．某一时刻小明发出一球，在如图所示的体系中，设小明的击球出手点为P， 当球运行到距OP的水平距离为4m时，球达到最高点 ．已知球网距原点5m． (1)求抛物线的解析式； (2)若小红站在距球网1m远的C处，求小红的球拍距地面（即）多高时，球拍的上边缘正好与球接触？ 21．（8分）2020年4月，我市某药店销售一种疫情防控物品，进价为50元/瓶．售价为60元/瓶时，当天的销售量为100瓶．在销售过程中发现：售价每上涨5元，当天的销售量就减少5瓶，设当天销售单价统一为x元/瓶（，且x是按5元的倍数上涨），当天销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） (2)要使当天销售利润不低于2400元，求当天销售单价所在的范围； (3)若每瓶物品的销售单价不超过90元，要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为多少元？当天的最大利润为多少元？ 22．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点． ①若对于，，有，求m的值； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 23．（10分）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解； (3)点是抛物线的对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 24．（12分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点…都是和谐点． (1)判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点 ①求这个二次函数的解析式； ②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围． 25．（12分）如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求，，三点的坐标； (2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 二次函数（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线顶点式：， ∴顶点坐标为：． 故选：D． 2．将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为； 故选：A 3．若抛物线与轴的交点坐标为，，则这条抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标为，， ∴点，关于对称轴对称， ∴这条抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 4．二次函数图象上有三点、、，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数， 抛物线对称轴为， 抛物线开口向上， 图象上的点离对称轴越近，相应的值就越小， 、、三点在二次函数图象上， 离对称轴距离为、离对称轴距离为、离对称轴距离为， ， 故选：A． 5．函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A 【详解】解：函数与的图象顶点为原点，对称轴为y轴；而函数中二次项系数为正，故开口向上，中二次项系数为负，故开口向下；除A选项外，其它选项均不正确； 故选：A． 6．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； B． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，一致，符合题意； C． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； D． 由一次函数图象得，由二次函数图象得，矛盾，不符合题意； 故选：B． 7．若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不等的实数根． ． ． 故选：D． 8．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴异号，即， 又∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵对称轴， ∴，即，故C选项错误，符合题意； 当时，， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 9．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 【答案】C 【详解】解：设的长为米，菜园的面积为平方米　， 由题意得：的长为米， ∴； ∵， ∴， ∴的长不可以为；故①错误； 由解得： ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵，， ∴当时，菜园面积有最大值，故③正确； 故选：C 10．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：观察图象，可知， ∴，故①符合题意； ∵该抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴点，点， ∴当时，，即，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 当时，函数有最大值， 由，可得， 若m为任意实数，则，故④不符合题意， 综上，符合题意的有3个， 故选：C． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．如果抛物线有最低点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 12．若，是抛物线上的两点，则 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵，是抛物线上的两点， 故， 即， 故，， 将代入， 得． 故答案为：． 13．已知点在抛物线上，则的由大到小关系是 ． 【答案】 【详解】解：将分别代入得，，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，二次函数与一次函数的图象相交于点， ，则使成立的的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴二次函数图象在一次函数图象下方， 即由图像可知， 故答案为：． 15．如图，四边形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，交轴于点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，，，， ∴， 故， ∴点坐标为， 把代入，得：， 解得：， 故答案为：． 16．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）运用适当方法求下列二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (1)； (2)． 【答案】(1)，直线 (2)，，直线 【详解】（1）解：， 顶点坐标为，对称轴为直线； （2）， 顶点坐标为，，对称轴为直线． 18．（4分）求出符合下列条件的二次函数解析式: (1)二次函数图象经过点，求该抛物线的解析式； (2)已知抛物线的顶点坐标是，并且抛物线与x轴的一个交点坐标为，试求该抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为． ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵二次函数的图象的顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为． ∵二次函数图象过点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为． 19．（6分）如图，抛物线经过点，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点P是y轴正半轴上一点，且是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【详解】（1）解：把代入，得， 解得． 抛物线的解析式为． （2）解：当时，． ． ． ， ． 在中，由勾股定理，得． 点是轴正半轴上一点， 当时，P、B关于x轴对称， ； 当时，， ， ； 当时，点P在y轴负半轴上，不合题意． 综上，点的坐标为或． 20．（6分）小明和小红两人在课余时间打羽毛球，羽毛球的飞行路线可近似看成抛物线形状．某一时刻小明发出一球，在如图所示的体系中，设小明的击球出手点为P， 当球运行到距OP的水平距离为4m时，球达到最高点 ．已知球网距原点5m． (1)求抛物线的解析式； (2)若小红站在距球网1m远的C处，求小红的球拍距地面（即）多高时，球拍的上边缘正好与球接触？ 【答案】(1) (2)小红的球拍距地面（即）时，球拍的上边缘正好与球接触 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 把点代入，得：， 解得：， ； （2）解：当时，得： ． 答：小红的球拍距地面（即）时，球拍的上边缘正好与球接触． 21．（8分）2020年4月，我市某药店销售一种疫情防控物品，进价为50元/瓶．售价为60元/瓶时，当天的销售量为100瓶．在销售过程中发现：售价每上涨5元，当天的销售量就减少5瓶，设当天销售单价统一为x元/瓶（，且x是按5元的倍数上涨），当天销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） (2)要使当天销售利润不低于2400元，求当天销售单价所在的范围； (3)若每瓶物品的销售单价不超过90元，要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为多少元？当天的最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)每瓶物品售价应定为90元，当天的最大利润为2800元 【详解】（1）解：由题意得：． ∴y与x的函数关系式为：； （2）解：∵要使当天利润不低于2400元， ∴， 当时， 解得：， ∵抛物线的开口向下， ∴当天销售单价所在的范围为； （3）解：∵，且， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵每瓶物品的销售单价不超过90元， ∴当时，当天获得利润最大，当天的最大利润为2800元， 即要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为90元，当天的最大利润为2800元． 22．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点． ①若对于，，有，求m的值； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：当时，则抛物线， ∴当时，求抛物线的顶点坐标为； （2）解：①由抛物线得对称轴为直线， ∵和是抛物线上的两点，且对于，，有， ∴点M、N关于直线对称， ∴； ②当时，，则， ∴当时，抛物线的开口向上，且， ∵点M关于直线的对称点为，又时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴当时，恒有，则， 解得， ∴； 当时，抛物线的开口向下，且， ∵点M关于直线的对称点为，又时，y随x的增大而减小， ∴当时，恒有，不符合题意， 综上，满足条件的m的取值范围为． 23．（10分）如图，已知二次函数经过点和点， (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解； (3)点是抛物线的对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：把点和点代入得， ， 解得：， 该二次函数的解析式为：； （2）解：根据函数图象可知，不等式的解集为：； （3）解：二次函数的对称轴是直线； 点B与点A关于直线对称， ∴， 当B、C、E三点共线时，的值最小； 把点和点代入得， ， 解得，， ∴直线解析式为， 则点的坐标为． 24．（12分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点…都是和谐点． (1)判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点 ①求这个二次函数的解析式； ②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】(1)存在和谐点，和谐点的坐标为， (2)①；②当时，函数的最小值为1，最大值为3 【详解】（1）解：存在和谐点，和谐点的坐标为，； 设函数的和谐点为，可得， 解得或， 和谐点为，； （2）①点是二次函数的和谐点， ， ， 二次函数的图象上有且只有一个和谐点， 有且只有一个根， ， ，， 该二次函数的表达式为：； ②由①可知，， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， 当时，解得， ∵若时，函数的最小值为1，最大值为3， ∴当时，函数的最小值为1，最大值为3． 25．（12分）如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求，，三点的坐标； (2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标是，， (3)，，，， 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：设，， ∵的面积是的面积的倍 ∴， 解得：， ∴， ∴或， 解得：或， 所以点P的坐标为：，，； （3）解：设，，而， ①当为对角线时， ， 解得：（舍）或，或（舍）或 ∴或 ②当为对角线时， ， 解得：或或（舍）或 ∴或或 ③当为对角线时， 无实数根，故不成立； 综上所述，点N的坐标为，，，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$