2.4 点到直线的距离（第1课时 两点间的距离）（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 第1课时　两点间的距离 2.4 点到直线的距离 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.领会两点间距离、点到直线的距离公式的推导过程（重点） 2.能灵活运用两点间的距离、点到直线的距离公式解决相关问题（重点） 3.会用坐标法解决几何问题的数学思想（难点） 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 情景导入 前面对直线做了大量定性的研究．既然直线可以用二元一次方程来表示，这就为我们在平面直角坐标系中，通过代数方法展开对直线定量的研究铺平了道路． 在本节，我们将用代数方法探究点到点的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离问题，其中，向量将发挥沟通代数与几何的"桥梁"作用． 情景导入 5 在平面直角坐标系中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如何求 A，B之间的距离呢？ 由向量的坐标运算，可得 因为 因此，可得平面内任意两点间的距离公式： x y O 新知探究 如果不用向量方法求|AB|，就要作辅助线用勾股定理来计算，试试看. 6 x y O 在平面直角坐标系中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如何求 A，B之间的距离呢？ 如图，可知C(x2，y1)，则 由勾股定理可得 因此，可得平面内任意两点间的距离公式： 7 例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)． （1）求BC边上的中线AM的长； 课本例题 8 例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)． （2）证明：△ABC为等腰直角三角形． 课本例题 9 例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)． （2）证明：△ABC为等腰直角三角形． 课本例题 10 分析 首先要建立适当的坐标系，将几何图形上的点用坐标表示出来，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 证明：如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)，BC的中点为D． 例2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 课本例题 11 因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 例2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 课本例题 12 题型一：两点之间的距离公式 典例剖析 例1　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状. |AB|＝2. 有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以△ABC是直角三角形. 所以kAC·kBC＝－1.所以AC⊥BC. |AC|≠|BC|，所以△ABC是直角三角形. 14 跟踪训练1　若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________. 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10. 设点M的坐标为(xM，±10). 由两点间距离公式， (2,10)或(－10,10) 解得xM＝－10或xM＝2， 所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10). 15 概念归纳 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)， (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解. 题型二：坐标法的应用 典例剖析 例2　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 则A(0,0)，设B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|. 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 跟踪训练2　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c). 故|AC|＝|BD|. 18 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 概念归纳 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． 代数 几何 几何 两点间的距离公式： 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 课堂小结 29 方法一　因为|BC|＝＝1， |AC|＝＝， 方法二　因为kAC＝＝，kBC＝＝－， 又|AC|＝＝， |BC|＝＝1， 得|MN|＝＝10或|MN|＝＝10(舍)， |AB|＝. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴|DE|＝＝， ∴|DE|＝|AB|， 则|AC|＝＝， |BD|＝＝. 1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则等于(　　) A. B. C．3 D．2 答案　D 解析　AC＝4，CB＝2，故＝2. 2．点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为(　　) A．41 B. C. D．39 答案　B 解析　设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)，则OM＝＝. 3．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　C 解析　由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得AD＝＝. 4．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得AB＝. 5．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝________. 答案　 解析　由题意知kAB＝＝b－a＝1， 所以AB＝＝. 6．若动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P到原点的最小值是________． 答案　 解析　由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝ ＝， ∴最小值为＝. 7．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 解　由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝，解得a＝±2 8.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a,0)， 依题意得A(－a,0)． AB2＋BC2－AC2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2. $$