专题1.2 解直角三角形【九大题型】-2024-2025学年九年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.2 解直角三角形【九大题型】 【北师大版】 【题型1 解直角三角形】 1 【题型2 解一图多三角形的直角三角形】 2 【题型3 解非直角三角形】 3 【题型4 网格问题】 6 【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】 7 【题型6 在四边形中解直角三角形】 8 【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】 9 【题型8 函数与解直角三角形】 11 【题型9 动态问题与解直角三角形】 12 知识点：解直角三角形 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 【题型1 解直角三角形】 【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（    ） A．3 B． C．3.5 D．4 【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在中，，， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·湖南长沙·三模）如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为 ． 【变式1-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，．将纸片沿折痕折叠，使点落在边上的点处．若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【题型2 解一图多三角形的直角三角形】 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示摆放，其中，，，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，是的中点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【题型3 解非直角三角形】 【例3】（2024·江苏扬州·一模）如图，若，，，且，则AC等于 ． 【变式3-1】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【变式3-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ． 【变式3-3】（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【题型4 网格问题】 【例4】（2024·江苏扬州·一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ． 【变式4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为中线作，使； (2)在图②中，以为中线作，使； (3)在图③中，以为中线作，使为钝角且． 【变式4-2】（2019·江苏常州·二模）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ． 【变式4-3】（2024·吉林白城·一模）图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使． (2)在图中的的边上找到点F，连接，使． (3)在图中的的边上找到点G，连接，使． 【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】 【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 【变式5-1】（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【变式5-2】（2024·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【题型6 在四边形中解直角三角形】 【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 【变式6-1】（2024·山东青岛·一模）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，已知菱形的边长，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使．连接，再以为边作第三个菱形，使…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ． 【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则值为 ． 【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】 【例7】（2024·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D．(7， 0) 【变式7-1】（2024·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，在中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，，，过点作轴于点，平分交于点，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点、、、、、、在x轴上．正方形的边长为2，，，则点到x轴的距离是(    ) A． B． C． D． 【题型8 函数与解直角三角形】 【例8】（2024·河南濮阳·一模）如图（1），在矩形中， ，点N是对角线上一定点，点M沿边从点 A 运动到点 D，连接，，设．图（2）是y关于x的函数图象，则图（2）中的函数图象最低点的纵坐标m的值是（     ）    A． B． C．6 D． 【变式8-1】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向y轴左侧作等边，将沿x轴正方向平移得到，点恰好落在一次函数的图象上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点A，C，若，轴， ． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)过点O作直线的垂线，交直线于点P，求P点坐标． 【变式8-3】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边上运动，满足． (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 【题型9 动态问题与解直角三角形】 【例9】（2024·河南新乡·一模）如图所示，正方形纸片的边长为4．点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿过的直线折叠，连接、，若是以为腰的等腰三角形，则 ． 【变式9-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 【变式9-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点分别为边上的动点，连接，，若，，则面积的最大值为 ． 【变式9-3】（2024九年级·全国·专题练习）已知：矩形中，，点E在对角线上，且，动点P在矩形的四边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 解直角三角形【九大题型】 【北师大版】 【题型1 解直角三角形】 2 【题型2 解一图多三角形的直角三角形】 5 【题型3 解非直角三角形】 8 【题型4 网格问题】 14 【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】 19 【题型6 在四边形中解直角三角形】 22 【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】 29 【题型8 函数与解直角三角形】 34 【题型9 动态问题与解直角三角形】 40 知识点：解直角三角形 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 【题型1 解直角三角形】 【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（    ） A．3 B． C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形中位线得出，再由余弦函数确定，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 题目主要考查解三角形，中位线的性质及斜边上的中线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在中，，， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 先根据正切三角函数的定义求得，再根据特殊角的三角函数值求出角度即可． 【详解】解：在中， ∵，， ， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（2024·湖南长沙·三模）如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及三角形外角的性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得，，求出，然后利用的正切求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式1-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形纸片中，，，．将纸片沿折痕折叠，使点落在边上的点处．若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质．由折叠的性质知，，再由得到，过点A作于点H，在中求出的长度，再证明四边形是矩形，从而得出，据此即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点H， 由折叠的性质知，， ， ， 在中，， ∵， ， 四边形是矩形， ， ， 故选：B． 【题型2 解一图多三角形的直角三角形】 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示摆放，其中，，，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，得； 根据，得；解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】根据，，， 得； 根据， 得； 故选C． 【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，是的中点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．过作于，由锐角的正切求出的长，由勾股定理求出长，由的正切，勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：过作于， 是的中点， ， ，，， ， ， ， ， ， 令，， ， ， ， ． 故选：B 【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，利用三角函数可得：，，，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴、、是直角三角形， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-3】（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 【题型3 解非直角三角形】 【例3】（2024·江苏扬州·一模）如图，若，，，且，则AC等于 ． 【答案】 【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，证明得到根据等腰三角形的性质得到得到进而求出CE的长度，设 根据列出方程，求出，即可求解. 【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N， , , 设 解得：   故答案为 【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键. 【变式3-1】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【变式3-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】【分析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可． 【详解】解：如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N， ∵DE平分△ABC的周长， AD=DB， ∴BE=CE+AC， ∴ME=EB， 又AD=DB， ∴DE=AM，DE∥AM， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACM=120°， ∵CM=CA， ∴∠ACN=60°，AN=MN， ∴AN=AC•sin∠ACN=， ∴AM=， ∴DE=， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键． 【变式3-3】（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 网格问题】 【例4】（2024·江苏扬州·一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得，由此可得． 【详解】解：根据题意由勾股定理得： ∴AB2=AC2+BC2， ∴AC⊥BC，∠C=90°， 结合网格可知D分别为AB的中点， ∴CD=AD=DB， ∴∠B=∠DCB， 又∵∠B+∠DCB=∠ADC， ∴, ∴    ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出． 【变式4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为中线作，使； (2)在图②中，以为中线作，使； (3)在图③中，以为中线作，使为钝角且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形； （2）根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形； （3）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形； 【详解】（1）解：使，即让是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过点作的垂线，使为中点即可； （2）解：在点正下方与点对齐的地方找到点，过点画直线使为中点即可得到点； （3）解：过点画斜线使为中点找到，连接起来即可使； 【变式4-2】（2019·江苏常州·二模）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，设AD＝x，由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，解出x的值后，利用锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D， 由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20， 由于AC＝2， 设AD＝x，易得AB=, ∴由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2， ∴4﹣x2＝8﹣（2﹣x）2， 解得：x＝， ∴BD＝ ∴由勾股定理可知：CD＝， ∴tan∠ABC＝， 故答案为： 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 【变式4-3】（2024·吉林白城·一模）图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的三个顶点都在格点上．在图、图、图给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹． (1)在图中的的边，上分别找到点D，E，连接，使． (2)在图中的的边上找到点F，连接，使． (3)在图中的的边上找到点G，连接，使． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析； 【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点； （2）取格点，连接交于点，则点为所求点； （3）连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，． 【详解】（1）如图，取，格点，连接交于点，连接交于点，连接，则即为所求点， ． 四边形为正方形，点为对角线交点，四边形为矩形，点为对角线交点， 点为中点，点为中点， ． （2）取格点，连接交于点，则点为所求点， ， 为等腰三角形， ， ， ，又， ，即， 为等腰直角三角形， ， ， ． （3）如图所示，连接交于点，则点为中点，连接相交于点，连接交于点，则为所求作点，． 四边形为矩形，为对角线交点， 点为中点， 四边形为正方形，为对角线交点，连接， ，， ，即为等腰三角形，根据三线合一， 为中垂线， 点为与交点， ． 【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】 【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到）． 【答案】 【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可． 【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F． ∵∠A＝∠C＝60°， ∴DE＝30•sin60°＝15≈25.9808m， BF＝20•sin60°＝10≈17.3205m， ∴ ＝×50×25.9808＋×50×17.3205≈． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 【变式5-1】（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式5-2】（2024·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 【变式5-3】（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判断． 【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【题型6 在四边形中解直角三角形】 【例6】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在正方形中，E为边的中点，以为斜边向外作等腰，连接，线段上有一点G，且，则的值为（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，设正方形边长为，则，证明，四边形为矩形，得出，，求出，设，则，得出，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过点F作交于点P，交于点M，连接，过点G作于点H，如图所示：    则，设正方形边长为， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质． 【变式6-1】（2024·山东青岛·一模）在综合实践课上，小颖用四根长度相同的木条首尾相接制作了一个学具，如图1所示，测得，将学具变形成图2的形状，测得，若图1中的对角线，则变形后图2中对角线的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是正方形的性质、菱形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．如图1，连接交于O，根据菱形的性质得到，，平分，则，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，如图2，利用正方形的性质得到的长． 【详解】解：如图1，连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，平分， ∵， ∴， ∴， 如图2，∵四边形为正方形， ∴． 故选：A． 【变式6-2】（2024·广东汕尾·模拟预测）如图，已知菱形的边长，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使．连接，再以为边作第三个菱形，使…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ． 【答案】 【分析】连接，交于O，由菱形的性质可知，，且，利用求出，从而得到的长，同理可求得，的长，由此观察并总结规律，得到答案． 【详解】解：如图，连接，与相交于O， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故第二个菱形的边长是； 同理可求，第三个菱形的边长是； … 所以第n个菱形的边长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形规律的探索，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形的应用等知识，解决本题的关键在于熟练运用菱形相关性质，并通过观察找出规律． 【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则值为 ． 【答案】 /30度 / 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定等知识： （1）由折叠得根据可得结论； （2）设分别表示出证明，得出根据得出进而即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ 由折叠得 ∴在中， ∴， 故答案为：； （2）设　 ∴ ∴ ∵G是的中点， ∴， 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】 【例7】（2024·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D．(7， 0) 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，解直角三角形，坐标与图形，勾股定理，先求出，则由勾股定理得到，解直角三角形得到，根据线段中点的定义得到，则解直角三角形可得；由平移的性质可得，，则，求出，解得到，则，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵C是斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， 由平移的性质可得，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-1】（2024·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，在中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，，，过点作轴于点，平分交于点，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形，坐标与图形，解答的关键是以相应的知识的掌握与运用．由可得，则可求得，利用余弦可求得的长度，再由角平分线的定义可得，利用正切即可求的长度，从而可点的坐标． 【详解】解：，， ， ， 轴于点， ， ， 解得：， 平分， ， ， 即， 解得：， 点， ， ， 点的坐标为：． 故选：B 【变式7-2】（2024·江苏无锡·三模）已知，在平面直角坐标系中，，，现将绕点逆时针旋转，当线段第一次与轴平行时，点落在处，点落在处，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理和解直角三角形，过作轴于点，交于点，由旋转性质可知：， ，则由勾股定理得， 则，，最后用正切的定义即可解，熟练掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】如图，过作轴于点，交于点， ∵，， ∴， 由旋转性质可知：， ∴，，， ∴， ∴，则由勾股定理得： ∴，， ∴， 故选：． 【变式7-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点、、、、、、在x轴上．正方形的边长为2，，，则点到x轴的距离是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题综合性强，难度较大，是中考常见题，利用直角构造一线三垂直是解决问题的关键． 利用正方形的性质以及平行线的性质可分别得出、、的长，进而得出、的长，最后根据的三角函数求解即可． 【详解】解：过小正方形的一个顶点W作轴于点Q，过点于点F， ∵正方形的边长为2，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴， 根据题意得出：，，， ∴， ， ∴点A3到x轴的距离是：． 故选D． 【题型8 函数与解直角三角形】 【例8】（2024·河南濮阳·一模）如图（1），在矩形中， ，点N是对角线上一定点，点M沿边从点 A 运动到点 D，连接，，设．图（2）是y关于x的函数图象，则图（2）中的函数图象最低点的纵坐标m的值是（     ）    A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由图2数据可求、，作点关于的对称点E，连接，交于点，作，垂足为，可由解三角形求出求，从而可求y的最小值． 【详解】解：由图2，当时，M与D重合， ∴ ∴ 此时 ∴， ∴ 如图，作B点关于的对称点E，连接，交于点，作，垂足为， ∴，    ， 当点M与点P重合时，此时最小， 在矩形中，， ∴， ∴， ， ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、勾股定理，解直角三角形，结合图象数据判断特殊点位置，求出相关量，并合理构造辅助线是解题的关键． 【变式8-1】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向y轴左侧作等边，将沿x轴正方向平移得到，点恰好落在一次函数的图象上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、平移的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握平移的性质和等边三角形的性质是解答的关键．过点作轴于点H． 先求得等边三角形的边长，再由平移性质得到，，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得，利用锐角三角函数求得， ，进而可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点H． 由知，当时，，则， ∴等边三角形的边长为，． 由平移得，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【变式8-2】（2024·江苏常州·模拟预测）已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点A，C，若，轴， ． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)过点O作直线的垂线，交直线于点P，求P点坐标． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由得，从而求出点A的坐标，再代入反比例函数中求出k的值，再将点和点代入直线解析式，求出m、n的值即可； （2）过点P作x轴的垂线，设点P的坐标为，再证明，列出，即，解出t的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数关系式为， 将点和点代入直线解析式得： ，解得：， ∴直线的函数表达式； （2）解：过点P作x轴的垂线，垂足为D， ∵直线的函数表达式 ∴设点P的坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得， ∴ ∴P点坐标为； 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质及判定，锐角三角函数的应用，正确求出解析式是解题的关键． 【变式8-3】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边上运动，满足． (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，的面积随的增大而减小，当时，的面积随的增大而增大 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合题意可得出，，，从而即可证明； （2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据锐角三角函数和三角形面积公式可求出；设的长为x，则，，可求出， 结合（1）可求出，最后根据求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是边长为2的等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即， ∴； （2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图， 在等边中，，， ∴， ∴． 设的长为x，则，， ∴， ∴． 由（1）同理可证， ∴， ∵的面积为y，， ∴； （3）解：∵， ∴，该抛物线对称轴为， ∴该抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增，即当时，的面积随的增大而减小，当时，的面积随的增大而增大． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的实际应用及其性质等知识．熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键． 【题型9 动态问题与解直角三角形】 【例9】（2024·河南新乡·一模）如图所示，正方形纸片的边长为4．点E为边上不与端点重合的一动点，将纸片沿过的直线折叠，连接、，若是以为腰的等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】根据当是以为腰的等腰三角形时，分以下两种情况：①当时，过点作于点，延长交于点N，②当时，如图，过点作于点，延长交于点G，结合等腰三角形性质、矩形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理求解，即可解题． 【详解】 解：当是以为腰的等腰三角形时，分以下两种情况： ①当时，过点作于点，延长交于点N，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 即是正方形的对称轴， 连接， 正方形纸片的边长为4． ， 是等边三角形， ， 由折叠的性质可知：， ； ②当时，如图，过点作于点，延长交于点G， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形为矩形， ，， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，等边三角形性质和判定，解直角三角形的相关计算，勾股定理，解题的关键在于构建直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【变式9-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形，找出全等三角形解决问题．过点作，交的延长线于点，证明，得出，解直角三角形求出和，再求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形为平行四边形，， ，，， ，，， 由翻折得，， 又∵， ∴，， 在和中， ， ， ， ，，， ， 设，， ，， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【变式9-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点分别为边上的动点，连接，，若，，则面积的最大值为 ． 【答案】6 【分析】该题主要考查了勾股定理，解直角三角形，二次函数最值求解等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 由题意可知，即可得，证明，在中，勾股定理算出，即可得出，设．则，根据，得出，即可得，，即可得出 ，据此即可求解； 【详解】解：由题意可知， ， ∴在中，， 又， ， 在中，， ， 设．则，． ∵， ， ， ， ， ∵， 当时，取得最大值6， 故答案为：6． 【变式9-3】（2024九年级·全国·专题练习）已知：矩形中，，点E在对角线上，且，动点P在矩形的四边上运动一周，则以P、E、C为顶点的等腰三角形有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，分四情况：P在上；P在上：P在上；P在上，画出图形，进行解答即可. 【详解】解： （1）P在上：①，此时有一点P； ②时， 过E作于N， 矩形中，，， ∴ 则， ， ∴，此时有一点P； ③时， P在的垂直平分线（M为垂足）上，， ， ，存在一点P； （2）P在上：①， 此时P在的垂直平分线（M为垂足）上， ， ， ， 即P在的延长线上，此时不存在P点； ②，此时不存在P点； ③， 过E作于N， ， ， ，即此时存在一点P； （3）P在上：① ， 过P作于M，， ， ，即此时存在一点P； ② ， ，此时存在一点P； ③，则， ∵， ∴， ，， ，，即存在2点P； （4）P在上：①，即P在的垂直平分线（M为垂足）上， ，，，即P在的延长线上，此时不存在P点 ， ，即小于C到的最短距离，即此时不存在P点； ②， ∵C到的最短距离是12， ∴此时不存在P点； ③ 过E作于M， ， ， 即E到的最短距离大于， 即此时不存在P点； 综合上述：共有． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$