山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期期中学情检测数学试题

2024-2025学年度期中学情检测 高二数学试题 一、选择题 1．已知空间向量,,若,则( ) A.1 B. C. D.3 2．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是( ) A. B.当时， C.若，，则 D.平行六面体的体积 3．经测得某拱桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）( ) A.6.48米 B.4.48米 C.2.48米 D.以上都不对 4．已知中，，角A的平分线交BC于点D，若，则面积的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5．已知圆与圆相外切，则实数m的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( ) A. B. C. D. 7．在坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 8．“”是“两点，到直线的距离相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多项选择题 9．已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为( ) A.0 B.1 C.2 D.－1 10．已知圆，点，则下列说法正确的有( ) A.若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为 B.若点P在圆O外，则直线与圆O相交 C.若点P在圆O内，则直线与圆O相交 D.若点P在圆O外，则直线与圆O位置关系不确定 11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，则下列结论正确的是( ) A.若点，，则 B.若点，，则在x轴上存在点P，使得 C.若点，点P在直线上，则的最小值是3 D.若点M在上，点N在直线上，则的值可能是4 三、填空题 12．已知，设直线，，若，则________. 13．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________. 14．已知点（，）在圆和圆的公共弦上，则的最小值为________. 四、解答题 15．已知直线l经过点,圆. (1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程; (2)若直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程. 16．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,. （1）求证:平面PAB; （2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值; （3）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD？若存在, 求的值;若不存在,说明理由. 17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. （1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD； （2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 18．已知直线,直线． (1)若,求实数a的值; (2)若,求实数a的值． 19．如图,在四棱锥中,平面平面BCDE,,,,F是线段AD的中点． (1)若,求证：平面ACD; (2)若,,且平面ABC与平面ADE夹角的正切值为,求线段AC的长． 参考答案 1．答案：B 解析：因为,,且,所以,解得, 故选:B. 2．答案：C 解析：对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确. 故选：C 3．答案：A 解析：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系. 由题意可知，点A的坐标为，设拱桥圆弧所在圆的半径为r.，由勾股定理可得，即，解得，圆心坐标为，则圆的方程为.将代入圆的方程得.，解得，（米）.故选A. 4．答案：C 解析：在中，，在中，，故，， 因为， 所以， 又角A的平分线交BC于点D，则，因此，故. 以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，，所以，，设，则，即，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，）. 故当点A的纵坐标的绝对值最大，即时，的面积取得最大值，最大值为.故选C. 5．答案：A 解析：由可得，则，所以，所以圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为1，圆与圆相外切，则，解得.故选A. 6．答案：B 解析：根据题意，圆的方程可化为，其圆心为，半径为5，所以该圆过点的最长弦为直径，则，最短弦，所以.故选B. 7．答案：B 解析：满足要求的直线应为圆心为A，半径为1和圆心为B，半径为2的两圆的公切线，又，，所以圆A与圆B相交，所以公切线有2条. 8．答案：A 解析：由题意，得直线AB的斜率，线段AB的中点.当时，直线经过线段AB的中点，所以两点，到直线的距离相等.当两点，到直线的距离相等时，可能有直线经过线段AB的中点，此时，也可能是直线与直线AB平行，此时.因此“”是“两点，到直线的距离相等”的充分不必要条件.故选A. 9．答案：AC 解析：直线：和：平行，则， 两条平行直线间距离，解得且， 故0和2符合要求. 故选：AC. 10．答案：AB 解析：对于A，点P在圆O上，则，因为点P的坐标满足，故直线过点P.又点到直线的距离，故直线与圆O相切.综上所述，若点P在圆O上，则圆O在点P处的切线方程为，A正确. 对于B，D，点P在圆O外，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相交，所以B正确，D错误. 对于C，点P在圆O内，则，又点O到直线的距离，故直线与圆O相离，C错误. 故选AB. 11．答案：ACD 解析：对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知，则A正确. 对于B选项，设，则从而，故B错误. 对于C选项，作轴，交直线于E，过P作，垂足为H，如图①所示. 由曼哈顿距离的定义可知. 当P不与E重合时，因为直线的斜率为，所以，所以； 当P与E重合时，. 综上，，则.故C正确. 对于D选项，如图②所示，若，，则，故D正确.故选ACD. 12．答案：1 解析：因为，所以. 故答案为：1 13．答案：3 解析：由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3. 故答案为：3 14．答案：8 解析：两圆方程相减得，即， 所以，， ， 当且仅当，即，时等号成立， 点为，，，点在两圆公共弦上，满足题意， 故答案为：8. 15．答案：(1)或 (2)或 解析：(1)由已知圆,所以圆心坐标为,半径为2. 当直线l的斜率不存在时,即直线l的方程为：,此时是与圆C相切,满足题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l为：,即, 则圆C的圆心到直线l的距离,解得, 故直线l的方程为.综上,直线l的方程为或. (2)因为直线l被圆C所截得的弦长为, 所以圆心到直线l的距离为. 由(1)可知,直线l的斜率一定存在,设直线l为：,即, 则圆心到直线l的距离,解得或. 故直线l的方程为或. 16．答案：（1）证明见解析; （2）; （3）存在,. 解析：（1）因为平面平面ABCD,, 所以平面PAD. 所以. 又因为, 所以平面PAB. （2）取AD的中点O,连结PO,CO. 因为,所以. 又因为平面,平面平面, 所以平面ABCD. 因为平面ABCD,所以. 因为,所以. 如图建立空间直角坐标系.由题意得, ,,,,. 设平面PCD的法向量为, 则即 令,则,. 所以. 又,所以. 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. （3）设M是棱PA上一点,则存在使得. 因此点,. 因为平面PCD,所以平面PCD当且仅当, 即,解得. 所以在棱PA上存在点M使得平面PCD,此时. 17．答案：（1）证明见解析 （2）存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点 解析：（1）证明：在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是， 又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD， 平面ABCD， 是四棱锥的高， 设，则，， ，， 如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则即 令，则，，. 同理可得平面SCD的一个法向量为. ，平面平面SCD. （2）存在.设， 则，， 设平面PEB的一个法向量为， 则 令，则，， ， 易知平面SAD的一个法向量为， . ，， 存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点. 18．答案：(1); (2)或． 解析：(1), , 整理得, 解得或, 当时,与重合,舍去, 故． (2), , , 或． 19．答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：取AC的中点G,连接BG,FG,因为,所以, 因为平面平面BCDE,平面平面, ,平面BCDE,所以平面ABC, 又平面ABC,所以,因为,,平面, 所以平面,因为F是线段AD的中点, 所以,,因为,, 所以且,所以四边形BEFG是平行四边形, 所以,因为平面ACD,所以平面ACD; (2)如图, 在平面ABC内过点B作,以B为坐标原点,分别以BH,BC,BE为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系,令, 因为,,,故BCDE为直角梯形, 由平面几何知识可得, 所以,,,, 又由,得,所以,, 设平面ADE的一个法向量, 由得, 所以,不妨取,则, 又由题意得：平面ABC的法向量,令平面ABC与平面ADE的夹角为, 因为,所以,即, 所以, 化理得,解得(舍),,即, 所以,所以线段AC的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$