1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 同步练习 2023—2024学年湘教版数学八年级下册

三　直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(第1课时) 【A层 基础必会】 知识点1　利用勾股定理求图形面积 1.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=8,S3=9,S4=25,则S= .  知识点2　利用勾股定理求线段的长 2.(2024·贵阳中考)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是 ( ) 　　　　 　　　　 　　　　 A.4 B.8 C.12 D.16 3.(2024·湘潭期末)已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D为斜边AB的中点,则CD的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.4.8 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4.以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE,则图中阴影部分的面积为 .  5.已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8,则它的第三条边长为 .  6.(2024·益阳期中)如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=15,AC=10.求BC的长. 知识点3　勾股定理的应用 7.(数学知识在身边)(2024·岳阳期末)如图,在离地面高度6 m处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,则拉线AC的长是 ( ) A.12 m B.2 m C.4 m D.6 m 8.(数学知识在身边)(2024·常德期末)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地面的高度AB为2.5米,一名学生站在C处时,感应门自动打开了,此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米,头顶离感应器的距离AD为1.5米,则这名学生身高CD为 米.  【B层 能力进阶】 9.(2024·百色中考)活动探究:我们知道,已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中,∠A=30°,AC=3,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为 ( ) A.2 B.2-3 C.2或 D.2或2-3 10.(2024·无锡期末)在△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高,BD=6,则CD= .  11.(2024·河南中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D为AB的中点,点P在AC上,且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转,点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ.当∠ADQ=90°时,AQ的长为 .  12.(数学知识在身边)如图,一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子,大致如图所示,李明想用所学知识测量大树AD的高度,他从工作人员处了解到绳子AB的长为13 m,AC的长为20 m,然后用米尺测得B,C之间的距离为21 m,已知B,C,D在一条直线上,AD⊥BC,求大树的高AD. 【C层 创新挑战】(选做) 13.(2023·张家界质检)如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=120 m,此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5 m的速度行驶,假设消防车行驶时周围100 m以内有噪音影响. (1)学校是否会受到影响?请说明理由. (2)如果受到影响,则影响时间是多长? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三　直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(第1课时) 【A层 基础必会】 知识点1　利用勾股定理求图形面积 1.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=8,S3=9,S4=25,则S=　46　.  知识点2　利用勾股定理求线段的长 2.(2024·贵阳中考)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是 (B) 　　　　 　　　　 　　　　 A.4 B.8 C.12 D.16 3.(2024·湘潭期末)已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D为斜边AB的中点,则CD的长为 (C) A.3 B.4 C.5 D.4.8 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4.以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE,则图中阴影部分的面积为　16　.  5.已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8,则它的第三条边长为　10或2　.  6.(2024·益阳期中)如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=15,AC=10.求BC的长. 【解析】略 知识点3　勾股定理的应用 7.(数学知识在身边)(2024·岳阳期末)如图,在离地面高度6 m处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,则拉线AC的长是 (C) A.12 m B.2 m C.4 m D.6 m 8.(数学知识在身边)(2024·常德期末)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地面的高度AB为2.5米,一名学生站在C处时,感应门自动打开了,此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米,头顶离感应器的距离AD为1.5米,则这名学生身高CD为　1.6　米.  【B层 能力进阶】 9.(2024·百色中考)活动探究:我们知道,已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中,∠A=30°,AC=3,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为 (C) A.2 B.2-3 C.2或 D.2或2-3 10.(2024·无锡期末)在△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高,BD=6,则CD=　2或18　.  11.(2024·河南中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D为AB的中点,点P在AC上,且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转,点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ.当∠ADQ=90°时,AQ的长为 或　.  12.(数学知识在身边)如图,一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子,大致如图所示,李明想用所学知识测量大树AD的高度,他从工作人员处了解到绳子AB的长为13 m,AC的长为20 m,然后用米尺测得B,C之间的距离为21 m,已知B,C,D在一条直线上,AD⊥BC,求大树的高AD. 【解析】设BD=x m,则CD=(21-x)m, ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°, 在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2, 在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2, ∴AB2-BD2=AC2-CD2, ∵AB=13 m,AC=20 m, ∴132-x2=202-(21-x)2,解得x=5, 即BD=5 m,∴AD===12(m). 即大树的高AD为12 m. 【C层 创新挑战】(选做) 13.(2023·张家界质检)如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=120 m,此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5 m的速度行驶,假设消防车行驶时周围100 m以内有噪音影响. (1)学校是否会受到影响?请说明理由. (2)如果受到影响,则影响时间是多长? 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四　直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(第2课时) 【A层 基础必会】 知识点1　勾股定理的逆定理 1.(2024·邵阳期末)下列几组数中,不能作为直角三角形三边长的是 ( ) A.10,24,26 B.9,40,41 C.0.5,1.2,1.3 D.2,3,4 2.在△ABC中,点D在边BC上,若AD2+BD2=AB2,则 =90°.  3.已知△ABC的三边长a,b,c满足|a-4|+(2b-12)2+=0,试判断△ABC的形状,并说明理由. 知识点2　勾股定理的逆定理应用 4.(2024·湘潭期末)如图,在单位为1的方格中,有标号为①,②,③,④的四个三角形,其中直角三角形的个数为 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.在如图所示网格中,每个小正方形的边长都为1,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).  6.(2024·长沙质检)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1. (1)分别求出AB,CD的长度; (2)在图中作EF,使得EF的长为,以AB,CD,EF三条线段能否构成直角三角形?请说明理由. 【B层 能力进阶】 7.在△ABC中,∠B=35°,BC2-AC2=AB2,则∠C的大小为 ( ) A.35° B.55° C.65° D.90° 8.(2024·永州期末)如图,已知在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD,则CD的长为 ( ) A.1 B. C. D. 9.(2024·怀化期末)若a,b,c分别是△ABC的三条边长,且a2-6a+b2-10c+c2=8b-50,则这个三角形的形状是 .  10.一组勾股数,若其中两个数为15,8,则第三个数为 .  11.如图,△ABC中,AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E,且AD2-DC2=BC2. (1)求证:∠C=90°; (2)若AC=16,CD∶AD=3∶5,求BC的长. 【C层 创新挑战】(选做) 12.如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求BC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四　直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(第2课时) 【A层 基础必会】 知识点1　勾股定理的逆定理 1.(2024·邵阳期末)下列几组数中,不能作为直角三角形三边长的是 (D) A.10,24,26 B.9,40,41 C.0.5,1.2,1.3 D.2,3,4 2.在△ABC中,点D在边BC上,若AD2+BD2=AB2,则　∠ADB或∠ADC　=90°.  3.已知△ABC的三边长a,b,c满足|a-4|+(2b-12)2+=0,试判断△ABC的形状,并说明理由. 【解析】△ABC为直角三角形,理由如下: 由题意得a-4=0,2b-12=0,10-c=0, ∴a=8,b=6,c=10,∵82+62=102, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC为直角三角形. 知识点2　勾股定理的逆定理应用 4.(2024·湘潭期末)如图,在单位为1的方格中,有标号为①,②,③,④的四个三角形,其中直角三角形的个数为 (D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.在如图所示网格中,每个小正方形的边长都为1,则∠PAB+∠PBA=　45　°(点A,B,P是网格线交点).  6.(2024·长沙质检)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1. (1)分别求出AB,CD的长度; (2)在图中作EF,使得EF的长为,以AB,CD,EF三条线段能否构成直角三角形?请说明理由. 【解析】略 【B层 能力进阶】 7.在△ABC中,∠B=35°,BC2-AC2=AB2,则∠C的大小为 (B) A.35° B.55° C.65° D.90° 8.(2024·永州期末)如图,已知在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD,则CD的长为 (C) A.1 B. C. D. 9.(2024·怀化期末)若a,b,c分别是△ABC的三条边长,且a2-6a+b2-10c+c2=8b-50,则这个三角形的形状是　直角三角形　.  10.一组勾股数,若其中两个数为15,8,则第三个数为　17　.  11.如图,△ABC中,AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E,且AD2-DC2=BC2. (1)求证:∠C=90°; (2)若AC=16,CD∶AD=3∶5,求BC的长. 【解析】(1)连接BD, ∵AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E, ∴AD=BD, ∵AD2-DC2=BC2, ∴BD2-DC2=BC2, 即DC2+BC2=BD2, ∴∠C=90°; (2)∵AC=16,CD∶AD=3∶5, ∴CD=6,AD=10, ∵AD=BD,∴BD=10, 在Rt△DCB中,由勾股定理得:BC===8. 【C层 创新挑战】(选做) 12.如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求BC的长. 【解析】如图,延长AD到E使AD=DE,连接CE, 在△ABD和△ECD中, , ∴△ABD≌△ECD(SAS), ∴AB=CE=5,AD=DE=6,AE=12, 在△AEC中,AC=13,AE=12,CE=5, ∴AC2=AE2+CE2, ∴∠E=90°, 由勾股定理得:CD==, ∴BC=2CD=2. 答:BC的长是2. 学科网（北京）股份有限公司 $$