精品解析：辽宁省盘锦市大洼区第二初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024~2025学年度第一学期学业水平跟踪（一） 初三数学试卷 时间：120 分钟 满分：120分 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，解答此题的关键是要明确：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的特征逐项判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、图形是中心对称图形，故选项B符合题意； C、图形不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、图形不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数的最小值是 D. 函数图象与y轴的交点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键 根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】由二次函数的顶点式为， 顶点坐标为)，选项A说法错误，故该选项不符合题意； 对称轴为直线，选项B说法正确，故该选项符合题意； 函数的开口方向由 a 决定，且， 抛物线开口向下，抛物线有最大值，最大值为顶点的 y 坐标，为，选项C说法错误，故该选项不符合题意； 令，则， 图象与y轴的交点坐标为，故D选项错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，若，则的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的定义和性质，旋转的性质，由等边对等角得出，由三角形外角的定义和性质可得出，再根据旋转的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得出， 故选：A． 5. 若点与点关于原点成中心对称，则m的值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出m的值． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，解得 故选：C． 6. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答． 【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的 ， ∵图形的面积是12cm2， ∴图中阴影部分的面积之和为4cm2； 故答案为B． 【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 8. 已知 a， b 满足，则 的值是 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，代数式求值，把式子变形为，利用平方的非负性即可得出，，然后代入计算即可． 【详解】解： 变形为：，即， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 9. 把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为( ) A. y=320(x-1) B. y=320(1-x) C. y=160(1-x2) D. y=160(1-x) 2 【答案】D 【解析】 【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160(1-x)(1-x)，由此即可得到函数关系式. 【详解】解：第一次降价后的价格是160(1-x)， 第二次降价为160(1-x)×(1-x)=160(1-x)2， 则y与x的函数关系式为y=160(1-x)2. 故选D. 【点睛】本题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数. 10. 如图所示为二次函数的图象，在下列结论 ①； ②时，随的增大而增大； ③； ④方程的根是； 中正确的个数有( )个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向和与y轴的交点即可判断a和c的符号，从而判断①；再根据抛物线与x轴的交点坐标，结合抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，从而判断②和④；根据当x=1时，y＜0，将x=1代入解析式中即可判断③． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，与y轴的交于负半轴 ∴a＞0，c＜0 ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的交点为（-1,0）和（3,0） ∴抛物线的对称轴为直线x=，方程的根是，故④正确； ∴当时，随的增大而增大，故②正确； ∵当x=1时，y＜0， ∴，故③错误． 综上：正确的有3个 故选C． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个解，则代数式的值是_________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：把x=a代入中得，a2-a-1=0，即＝1. 故答案是：1. 12. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 13. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染多少人？设每轮传染中平均一个人传染x人， 则列方程为_____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，分别求出第一轮和第二轮传染后患流感的人数，即得方程． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数为：，第二轮传染后患流感的人数为：，经过两轮传染后共有169人患了流感，可列方程为：． 故答案为：． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是，当着陆后滑行时间t为____秒时，无人机才能停下来． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握运用配方法得到顶点式是解题关键． 飞机停下时也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值． 【详解】解：由题意得， ， 所以当秒时，飞机才能停下来． 故答案为：20． 15. 如图，E、F 分别是边长为2的正方形边、上的两个动点，连接、、，若的大小始终保持不变，则的周长为___________________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定以及性质，由正方形的性质拉得出，，将绕着点A逆时针旋转，得到，由旋转的性质得出，，，，进一步证明，由全等三角形的判定以及性质得出，最后根据三角形周长以及等量代换可得出答案． 【详解】解：正方形中，，，将绕着点A逆时针旋转，得到，如图： 则，，，， ∴G点在的延长线上， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 即的周长为4． 故答案为：4． 三．解答题（共8小题，75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：因式分解发，提公因式法，进行解答，即可． （1）根据因式分解，可得：，得到或，解出未知数，即可； （2）根据方程，提取公因式，得到，推出或，解出未知数，即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 17. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D，点C的对应点为E． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 直线经过点E．理由： 如图，连接， 根据作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点B，C，E在一条直线上， ∴直线经过点E． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． （1）先分别以点A，C为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点E，再以点E为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接即可； （2）先证明为等边三角形，得出，根据，得出，说明点B，C，E在一条直线上，即可得出结论． 【小问1详解】 解：先分别以点A，C为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点E，再以点E为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，则即为所求． 【小问2详解】 略 18. 抛物线的图象如图所示，根据图象回答问题． （1）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大； （2）直接写出方程的根； （3）直接写出不等式的解集； （4）若方程没有实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数开口向上，对称轴为直线，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，可得出当时，y随x的增大而增大即可； （2）根据观察图象可知，由二次函数与x轴交点的坐标求解即可． （3）根据观察图象，函数图象在x轴下方自变量的范围满足不等式，结合函数图象即可得出答案． （4）由方程没有实数根 ，得出函数和直线无交交点，结合函数图象可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数开口向上，对称轴为直线， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； ∴当时，y随x的增大而增大 【小问2详解】 解：观察图象可知，二次函数与x轴交点的坐标为，， ∴方程的根为，， ∴， 【小问3详解】 解：观察图象，函数图象在x轴下方自变量的范围满足不等式， 当时，函数图象位于x轴下方， ∴不等式的解集为； 【小问4详解】 解：∵方程没有实数根 ， ∴函数和直线无交交点， ∴，方程无实数根． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象的增减性，二次函数图象与x轴的交点，一元二次方程的解，掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 19. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　　件，每件商品盈利 　　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）3x，（60﹣x） （2）每件商品应降价30元 【解析】 【分析】（1）根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出3件可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润； （2）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280-x-220=（60-x）元， 故答案为：3x，（60-x）； 【小问2详解】 解：根据题意得：（30+3x）（60-x）=3600， 解得=20，=30， ∵要更有利于减少库存， ∴x=30． 答：每件商品应降价30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量（桶）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）试求每天销量y与x之间的函数表达式并直接写出x的取值范围； （2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元? 【答案】（1）（） （2）销售单价定为元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在销售问题中的应用，二次函数在销售问题中的应用，待定系数法； （1）设每天销量与之间的函数表达式为，将和代入求解即可； （2）等量关系式：总利润销售每桶消毒液的利润销售量，据此列出函数关系式，用二次函数性质求解即可； 掌握待定系数法，能找出等量关系式进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每天销量与之间的函数表达式为，图象经过和，则有 ， 解得：， 每天销量与之间的函数表达式为（）； 【小问2详解】 解：设药店每天获得的利润为元，由题意得： ， ， ∴当时，， 答：销售单价定为元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润元． 21. 如图，在中，，，，动点 P从点 A 出发沿边向点B以的速度移动，同时动点Q从点 B 出发沿边向点 C 以的速度移动，当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为． （1） ； ；（用t的代数式表示） （2）D是的中点，连接、，t为何值时的面积为？ 【答案】（1）， （2）或4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 根据题意得： ，， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， 又∵D是的中点， ∴，是的中位线， ∴， 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 当或4时，的面积是． 22. 如图，在中，，，D是斜边所在直线上一点（不与点B重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图①，当点D在线段上时，求证：； （2）如图②，当点 D在线段 上，且时，连接交于点 O，求证：； （3）如图③，当点 D在 的延长线上时，试判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2） 证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，则， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，得，然后在证明即可求证； （2）证明，进而，根据，得出，得出，进而得出，即可得出结果； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，同理（1）得出，，进而得出，则，根据可证得，进一步得出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：将线段绕点A逆时针旋转得到线段， 连接、， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角；全等三角形对应边相等，对应角相等． 23. 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点，都是“龙点”． 如图， 抛物线L： （m为常数）， 与x轴交于点A、B． （1）写出抛物线L的对称轴，并求当抛物线L与y轴的交点恰为“龙点”时，m的值； （2）我们发现，若用来表示“龙点”，则无论x怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线l上． 直接写出直线l的解析式； 当抛物线L上有两个不同的“龙点”时，求m的取值范围． 【答案】（1）抛物线L的对称轴为，； （2）①；② 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，求抛物线的对称轴，根的判别式，正确地理解“龙点”的定义是解题的关键． （1）根据“龙点”的定义即可得到结论； （2）①设这条直线的解析式为，把，代入解方程组即可得到结论； ②根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于的不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴为， 当时，， 抛物线与轴的交点为， ， ， ； 【小问2详解】 解：①设这条直线的解析式为， 把时，，时，，，代入得， 解得， 这条直线的解析式为； ②由题意得， 整理，得， 抛物线上有两个不同的“龙点”， △， 解得． 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期学业水平跟踪（一） 初三数学试卷 时间：120 分钟 满分：120分 一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数的最小值是 D. 函数图象与y轴的交点坐标是 4. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点刚好落在边上，且，若，则的角度为（ ） A. B. C. D. 5. 若点与点关于原点成中心对称，则m的值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知 a， b 满足，则 的值是 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为( ) A. y=320(x-1) B. y=320(1-x) C. y=160(1-x2) D. y=160(1-x) 2 10. 如图所示为二次函数的图象，在下列结论 ①； ②时，随的增大而增大； ③； ④方程的根是； 中正确的个数有( )个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个解，则代数式的值是_________． 12. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 13. 一个人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染多少人？设每轮传染中平均一个人传染x人， 则列方程为_____________________________． 14. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数解析式是，当着陆后滑行时间t为____秒时，无人机才能停下来． 15. 如图，E、F 分别是边长为2的正方形边、上的两个动点，连接、、，若的大小始终保持不变，则的周长为___________________． 三．解答题（共8小题，75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 17. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D，点C的对应点为E． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 18. 抛物线的图象如图所示，根据图象回答问题． （1）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大； （2）直接写出方程的根； （3）直接写出不等式的解集； （4）若方程没有实数根，直接写出k的取值范围． 19. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　　件，每件商品盈利 　　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 20. 新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量（桶）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）试求每天销量y与x之间的函数表达式并直接写出x的取值范围； （2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元? 21. 如图，在中，，，，动点 P从点 A 出发沿边向点B以的速度移动，同时动点Q从点 B 出发沿边向点 C 以的速度移动，当 P 运动到 B 点时 P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为． （1） ； ；（用t的代数式表示） （2）D是的中点，连接、，t为何值时的面积为？ 22. 如图，在中，，，D是斜边所在直线上一点（不与点B重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图①，当点D在线段上时，求证：； （2）如图②，当点 D在线段 上，且时，连接交于点 O，求证：； （3）如图③，当点 D在 的延长线上时，试判断、、之间的数量关系，并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点，都是“龙点”． 如图， 抛物线L： （m为常数）， 与x轴交于点A、B． （1）写出抛物线L的对称轴，并求当抛物线L与y轴的交点恰为“龙点”时，m的值； （2）我们发现，若用来表示“龙点”，则无论x怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线l上． 直接写出直线l的解析式； 当抛物线L上有两个不同的“龙点”时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $