精品解析：山东省枣庄市滕州市北辛街道北辛中学 2024-2025学年八年级上学期第一次质量检测数学试卷

北辛中学2024-2025学年度第一学期八年级学业达标检测 数学试卷 一．选择题（共10小题，分） 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 . B. 5，6，7. C. 4，5，6. D. 7，24，25. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动（ ） A. B. C. D. 4. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 6. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心．以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 在实数，，，，，（两个之间依次多一个）中，无理数的个数是（ ）． A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1的平方根与算术平方根都是1 B. 的算术平方根是2 C. 的平方根是 D. 4的平方根是 10. 当时，代数式的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二．填空题（共6小题） 11. 的平方根是________． 12. 如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是__________． 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为_______. 14. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 15. 若y＝＋＋1，则xy＝_____． 16. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为__________． 三．解答题（共9小题） 17. 网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题： （1）______；______；______； （2）求的面积 （3）求边上的高 18. 计算： （1）； （2）． 19. 计算． （1）． （2）． 20. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 21. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度AD 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长． （2）若想要风筝沿方向下降12米，则在的长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 22. 如图，将一张长方形纸片折叠，使两个顶点、重合，折痕为．已知，，求的面积． 23. 【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： （1）的值； （2）的平方根． 24. 观察下图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________； （2）作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）； （3）在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且，直接写出点N表示的数． 25. 阅读下面计算过程： 试求： （1）的值为________． （2）求的值． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北辛中学2024-2025学年度第一学期八年级学业达标检测 数学试卷 一．选择题（共10小题，分） 1. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 . B. 5，6，7. C. 4，5，6. D. 7，24，25. 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形，即可得出答案． 【详解】A.∵62+72=85；82=64， ∴62+72≠82， 则此选项线段长不能组成直角三角形； B、∵52+62=61；72=49， ∴52+62≠72， 则此选项线段长不能组成直角三角形； C、∵42+52=41；62=36， ∴42+52≠62， 则此选项线段长不能组成直角三角形； D、∵72+242=625；252=625， ∴72+242=252， 则此选项线段长能组成直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由（，），，（，），合并同类二次根式，据此进行计算即可． 【详解】解：A．，结论错误，不符合题意； B．，结论错误，不符合题意； C．，结论错误，不符合题意； D．，结论正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式运算，掌握公式是解题的关键． 3. 如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离． 【详解】解；梯子顶端距离墙角的距离为， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 4. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解． 【详解】解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 5. 下列根式中，不是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母的二次根式就是最简二次根式，据此一一判断得出答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，故不是最简二次根式，此选项符合题意； C、是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母；不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 6. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，令二次根式的被开方数大于或等于零即可求出结论． 【详解】二次根式在实数范围内有意义， ，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的定义的理解与掌握情况．形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数．正确理解只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键． 7. 如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心．以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5，且， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 8. 在实数，，，，，（两个之间依次多一个）中，无理数的个数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴在实数，，，，，（两个之间依次多一个）中，无理数有，，（两个之间依次多一个），共个， 故选：． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1的平方根与算术平方根都是1 B. 的算术平方根是2 C. 的平方根是 D. 4的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的计算，理解这两个概念及区别是解题的关键．注意仔细审题．分别对各选项进行计算即可． 【详解】解：A、1的平方根是，1算术平方根是1，原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、，而4的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 10. 当时，代数式的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用以及代数式求值，利用完全平方公式将代数式变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11. 的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 先求得，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故答案为：． 12. 如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：设定字母如图所示： ①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∵ ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，这样的二次根式称为最简二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，根据最简二次根式和根式的定义进行解答即可． 【详解】解：，最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故答案为：． 14. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 15. 若y＝＋＋1，则xy＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，求出x，代入求出y，即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得x＝ ， ∴＝1， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出x、y的值是解题关键． 16. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，其中是互质的奇数，则为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据规律写出第⑩个等式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一些常用的勾股数，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑩个等式． 【详解】解：∵， ∴第一个数的底数是，指数是2， ∵， ∴第二个数的底数是，指数是2， ∵第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， ∴第n个等式为， ∴第⑩个等式为， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17. 网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题： （1）______；______；______； （2）求的面积 （3）求边上的高 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理与网格的联系，列式作答即可； （2）根据网格的特征，利用割补法列式作答； （3）运用等面积法，进行列式作答即可． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 解：的面积， 【小问3详解】 解：的面积边上的高， 即边上的高． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，理解平方根和立方根的定义是解题关键． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 解得：． 19. 计算． （1）． （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，化简二次根式，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算二次根式的乘法，化简二次根式，然后计算加减； （2）首先利用平方差公式和完全平方公式化简，然后计算加减． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 21. 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度AD 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求线段的长． （2）若想要风筝沿方向下降12米，则在的长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝线应该往回收多少米？ 【答案】（1）米 （2）小明同学手中的风筝线应该往回收8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用： （1）过点B作于点C，根据勾股定理得到，于是得到米； （2）如图，由风筝沿方向再下降12米后到达F点，求出的长度，进而求出的长，再结合已知即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点B作于点C． ，，， ， 四边形为矩形， 米，米． 在中，，米， 由勾股定理，得（米）， （米）． 【小问2详解】 解：如图2，设风筝沿方向下降12米至点F，连接， 风筝的高度（米）， （米）． 原来的风箏线的长为25米，（米）． 答：小明同学手中的风筝线应该往回收8米． 22. 如图，将一张长方形纸片折叠，使两个顶点、重合，折痕为．已知，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠可得，设，则在中，由勾股定理，建立方程，解方程，进而可得，再根据三角形的面积即可求解． 【详解】为折痕， 是的垂直平分线． 设，则 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ． 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23. 【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是． 【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求： （1）的值； （2）的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【小问1详解】 解：， 即， ， ∴的整数部分是，的小数部分是， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 的平方根是． 24. 观察下图，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________； （2）作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）； （3）在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且，直接写出点N表示的数． 【答案】（1）17， （2） 如图，点即为所求． ． （3） 【解析】 【分析】（1）图中阴影部分（正方形）的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积；利用勾股定理即可求出边长； （2）先过数轴上表示4的点作垂线，再以数轴上表示4的点为圆心、1半径画弧，在数轴上方交垂线于点，然后设数轴上表示0的点为点，以点为圆心、长为半径画弧，交数轴于点，由此即可得； （3）设点表示的数为，利用数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：图中阴影部分（正方形）的面积是， 边长是， 故答案为：17，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设点表示的数为， 由题意得：， 解得， 所以点表示的数为． ． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键． 25. 阅读下面计算过程： 试求： （1）的值为________． （2）求的值． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）44 （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化，二次根式的加法以及平方差公式的应用，解题的关键是根据求出的结果得出规律． （1）分子与分母者乘以，再根据平方差公式求出结果即可； （2）先进行分母有理化，再合并即可； （3）根据分母有理化求出，再把变形为，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $