专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题专训（45道）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 1．二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 2．如图为二次函数的图像，下列说法：①：②；③；④当时，随的增大而增大：⑤；⑥对于任意实数，均有．正确的说法有（    ） A．①④⑤⑥ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②⑤⑥ 3．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．二次函数的图像如图所示，①；②；③；④；上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤点是该抛物线上的点，则，正确的有（   ）    A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 7．如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 8．如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 10．如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数），其中正确的是（    ） A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④ 11．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤若，是该抛物线上的三点，则．其中，正确结论的序号有（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 12．已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：；②；③多项式可因式分解为；④无论 m 为何值时，．其中正确个数有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 14．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．以下4个结论： ①若这个函数的图象经过点，则它必有最小值； ②若这个函数的图象经过第四象限的点，则必有； ③若，则方程必有一根小于， ④若，则当时，必有随的增大而增大．正确的是（） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 15．抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论： ①． ②． ③． ④． ⑤． 其中，结论正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③4a＋2b＋c＞0；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的值随值的增大而增大 C．点的坐标为 D． 19．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点，点是函数图像上的两点，则y1＞y2；④ ；⑤c－3a＞0，其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．如图，抛物线y＝a2＋bx＋c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，当时，y1＜y2；⑤m为任意实数，都有a（4m2﹣1）＋2b（2m＋1）≤0．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．如图为二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点．以下说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是 ．（填序号） 22．已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若是抛物线上两点，若，则； ③若方程有四个根，则这四个根的和为12； ④当时，若，对应y的整数值有4个，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 23．如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，，，是抛物线上两点，则，其中结论正确的结论是 (填序号)． 24．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；（的实数）．其中正确的结论有 个． 25．二次函数（，是常数，的图象过点．现有以下结论： ①； ②若，则随的增大而增大； ③若该抛物线过点，在抛物线上，则在时，； ④若该抛物线与直线没有交点，则； 其中，正确的结论是 ． 26．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为函数图象上的两点，则．其中正确结论有 （填入序号）． 27．如图，已知二次函数、、为常数，且的图像顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的是 28．二次函数的图象如图所示，给出下列说法：； ； ；；当时，． 其中正确的序号是 ．        29．已知二次函数（，a、b、c为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①；②；③；④（k为常数，且）．其中正确的结论序号是 ．    30．已知二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，在下列结论中：①，②，③，④．其中正确的结论有 （请填写序号）． 31．抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 32．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①； ②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图像经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有 ．（填序号） 33．如图，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴相交于点，下列结论：①﹔②B点坐标为，③抛物线的顶点坐标为，④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是﹔⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有 ． 34．二次函数图像的一部分如图所示，下列结论：①；②；③有两个相等的实数根；④．其中正确的为 （只填序号）． 35．已知二次函数的图象与x轴交于和．其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论： ①； ②； ③若点，，均在二次函数图象上，则； ④． 其中一定正确的结论的序号是 ． 36．如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 37．如图：已知二次函数过，对称轴为直线．并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间；①；②；③的最大值为3；④对于任意实数t，一定有．上述结论正确的是 （填序号） 38．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②abc0；③8a+c0；④9a+3b+c0．其中，正确结论的序号为 ． 39．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号为 ． 40．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号） 41．如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号） 42．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有 ．（填序号） 43．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 ． 44．抛物线经过点，，其对称轴在y轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②开口向下；③方程有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论为 ． 45．如图，二次函数的图像过点(－1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(－3，)、点B()、点C()在该函数图像上，则：⑤若方程的两根为，且，则其中正确的结论有 ． (只填序号) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道） 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 1．二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口方向和，与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， 那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，不一定成立，故④错误， ∴正确的有②③， 故选：C． 2．如图为二次函数的图像，下列说法：①：②；③；④当时，随的增大而增大：⑤；⑥对于任意实数，均有．正确的说法有（    ） A．①④⑤⑥ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，根据二次函数的图像确定系数以及代数式的值是解题关键． 根据抛物线的开口方向及抛物线与y轴的交点的位置，判断a、c的值，即可判断①；先求出对称轴可得出2a和b关系判断②；根据时函数值的大小判断③即可；再根据x的取值与对称轴的关系讨论函数值的大小即可判断④；根据时，，再将代入判断⑤；当时，，再比较即可判断⑥. 【详解】解：由抛物线的开口向上，则， ∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴， ∴，则①正确； ∵抛物线经过点和， ∴对称轴为， ∴，即，则②正确； 当时，，则③不正确； 当时，函数值随着y的增大而减小，之后函数值y随x的增大而增大，则④不正确． 由②得，当时，， ∴，即，则⑤正确； 当时，， ∴对于任意实数m，， ∴对于任意实数m，均有，则⑥正确． 所以正确的有①②⑤⑥． 故选：D． 3．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；，，判断，由此即可判断②；求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴， ，， 对称轴为直线 ，， 故①正确； ，， ， 故 故②错误； 二次函数的图象与轴的一个交点坐标为； 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为； 时，； 将代入中，则 故③正确； 由函数图象可知，当当时，，故④正确； 故正确的个数为：个 故选：C 4．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 5．二次函数的图像如图所示，①；②；③；④；上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出，，，对称轴的关系是解题的关键．由函数图象可知，对称轴，图象与轴的交点位置得，对称轴与直线的位置关系；再由图象可知当时，，即；当时，，即；当时，，即，即可求解． 【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴，图象与轴的交点位置得， ，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，，即； 当时，，即； ，即；故③正确； 时，， ，即，故④错误； 故选：A． 6．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤点是该抛物线上的点，则，正确的有（   ）    A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由时可判断③，由时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定： 时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，所以①正确； 与轴的一个交点在和之间， 由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故②正确； 由②知，时，且， 即， 所以③正确； 由函数图象知当时，函数取得最大值， ， 即为实数）， 故④正确； 抛物线的开口向下，且对称轴为直线， 抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ，故⑤错误； 故选：A． 7．如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的对称轴在负半轴， ， ， ，故①正确． 即，故②正确． 抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2， 当时，函数值小于零， 即，故③正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大， 当时，， 当时，， ， 所以，故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， ， 所以，故⑤正确． 综上所述：正确的有 故选：D． 8．如图，抛物线的对称轴是直线，其中一个点的坐标为，下列结论：①；②；③；④若，在函数图象上，则，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据图象可判断①，根据抛物线的对称轴判断②，根据图象与性质判断③④． 【详解】解：抛物线开口向下，， 对称轴在轴右侧，， 抛物线与轴交于正半轴，， ，故①正确； ，， ，故②正确； 对称轴是直线，其中一个点的坐标为， ， ，，故③正确； 当、同在对称轴左侧时， ，在对称轴左侧，随增大而增大， ，， 当、同在对称轴右侧时， ，在对称轴右侧，随增大而减小， ，，故④错误． 故选：C． 9．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想． 首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴画出示意图如下， ∴当时，，故①正确； ∵ ∴，故②错误； 如图所示，抛物线和直线有两个交点， ∵方程的两个实数根为，，且， ∴，，故③正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵抛物线开口向下，对称轴为 ∴当时，y有最大值 ∴若为任意实数，，故④正确． 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 10．如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数），其中正确的是（    ） A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像的性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列不等式． ①抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴，可得结论；③根据抛物线的对称性，可知时，，结合，可得结论；④根据抛物线y的取值列不等式，可得结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴ 因此， 故①正确； ②∵对称轴， ∴，故②正确； ③当时，， 又∵，， ∴，故③结论错误； ④由图可知当时，有最大值， ∴，即，故④正确； 因此正确的选项有①②④． 故选：A． 11．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤若，是该抛物线上的三点，则．其中，正确结论的序号有（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②④ 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据抛物线的对称轴可对结论①进行判断；根据抛物线与x轴的两个交点坐标的位置可判断出抛物线与y轴交点的位置，进而可对结论②进行判断；根据抛物线与x轴的两个交点坐标的位置可判断出点的位置，进而可对结论③进行判断；根据抛物线的对称轴可求出顶点坐标为，由此可判定为抛物线的最大值，据此可对结论④进行判断；根据抛物线的开口向下，且对称轴为直线可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，据此可对结论④进行判定；，进而可得出答案． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为， ， ，故结论①正确； ②∵抛物线的开口向下，与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在负半轴上， ，故结论②正确； ③对于，当时，， ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，开口向下， ∴点在第二象限， ， 由①， ， ，即：，故结论③正确； ④对于，当时，，当（t为实数）时，， ∵抛物线的对称轴为， ∴点为抛物线的顶点， 又∵抛物线的开口向下， ∴为抛物线的最大值， ，即：，故结论④正确； ⑤∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， 观察函数的图象可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大， ，故结论⑤不正确． 综上所述：正确的结论是①②③④． 故选：A． 12．已知二次函数 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：；②；③多项式可因式分解为；④无论 m 为何值时，．其中正确个数有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 图象的性质等等： 先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为可知时y有最大值，由此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，结论①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 即当时，， ∴， ∴，结论②错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为，， ∴多项式可因式分解为，结论③错误； ∵对称轴为直线，且函数开口向下， ∴当时，y有最大值， 由得，当时，， 当时，， ∴无论m为何值时，， ∴，结论④正确； 综上：正确的有①④． 故选：B． 13．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图象开口向上可得： 由于图像与轴交于负半轴，可知： 根据对称轴公式：可知： ，故①正确 抛物线过点 即：，故②正确 当时，取得最小值 （为任意实数），故③错误 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离 根据图像可知：，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中．以下4个结论： ①若这个函数的图象经过点，则它必有最小值； ②若这个函数的图象经过第四象限的点，则必有； ③若，则方程必有一根小于， ④若，则当时，必有随的增大而增大．正确的是（） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 将点代入，可得出，结合，可得，即，进而可判断①；根据题意，设，可知当时，，即，从而可得，由，即，可得，即，进而可判断②；方程可转化为，可得或，在中，由于，可得，因为，结合，可得，则，即可判断③；若，则二次函数的图象开口向下，对称轴为，由，可得，故，所以当时，有随的增大而减小，即可判断④． 【详解】解：将点代入， 可得， 即 抛物线开口向上，有最小值． 故①正确； 二次函数的图象经过第四象限的点． 设 当时，， 即， 即 故②正确； 方程可转化为， 或 在中 则， 若，则方程必有一根小于， 故③正确； 若， 则二次函数的图象开口向下， 对称轴为， 当时，有随的增大而减小， 故④错误． 故选：A． 15．抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论： ①该抛物线一定经过； ②； ③点，在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，判断对错即可解答． 【详解】解：①∵抛物线经过点， ， ， 当时，， ， ∴该抛物线一定经过， 故此项正确； ②由①得：， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； ③抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， ， 也符合题意与矛盾， 故此项错误． ④∵抛物线，对称轴为直线，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线图象向左平移2个单位得到抛物线的图象， ∵抛物线经过点， ∴抛物线经过点， 是方程的两个根， 是抛物线与直线交点的横坐标， ， ， 故此项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质和数形结合的思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 16．如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论： ①． ②． ③． ④． ⑤． 其中，结论正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴， ∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线之间， ∵， 又∵， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵抛物线顶点纵坐标大于2， ∵， ∴，故④错误； 当时，， ∴, ∵当时，，当时，, ∴，， ∴, ∴，， ∴， ∴，故⑤错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③4a＋2b＋c＞0；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据二次函数的基本性质及对称轴即可判定①；由对称轴可得，可判定④；将代入函数解析式可判定②；抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，当时，代入可判定③；由抛物线与x轴有两个交点，可判定⑤． 【详解】解：①由开口向下，可得， 抛物线与y轴交于正半轴，可得， 然后由对称轴, ∴， ∴，故①正确； ②，， 当时，，即， 将代入可得：，故②错误； ③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间， ∴当时，，故③正确； ④根据对称轴为，可得，所以，故④正确； ⑤由抛物线与x轴有两个交点，即y=0的方程有两个实数根，即可得，即，故⑤正确； 综上可知，正确的有①③④⑤，共计4个， 故选：C． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括开口方向，对称轴，抛物线与坐标轴的交点等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 18．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的值随值的增大而增大 C．点的坐标为 D． 【答案】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可． 【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意； B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意； C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意； D、根据可知，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键． 19．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点，点是函数图像上的两点，则y1＞y2；④ ；⑤c－3a＞0，其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点（-1，0）及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x=3时y＞0，进而判断②，根据M，N两点与抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得b=-4a，再根据x=-1时y=0及2＜c＜3可判断④，根据x=1时y＞0可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x=-＞0， ∴b＞0． ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①正确． ∵抛物线与x轴交点坐标为（-1，0），对称轴为直线x=2， ∴抛物线与x轴另一交点为（5，0）， ∴当x=3时，y=9a+3b+c＞0，②正确． ∵，抛物线开口向下， ∴y1＜y2，③错误． ∵-=2， ∴b=-4a， ∴x=-1时，y=a+4a+c=5a+c=0， ∵2＜c＜3， ∴-3＜5a＜-2， 解得， ∴④正确， ∵x=1时，y=a+b+c=-3a+c＞0， ∴c-3a＞0，⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 20．如图，抛物线y＝a2＋bx＋c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，当时，y1＜y2；⑤m为任意实数，都有a（4m2﹣1）＋2b（2m＋1）≤0．其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置、抛物线的对称性及及函数的增减性进行一一判断． 【详解】（1）由图象知．又对称轴， ∴． 则． ∴①正确．②正确． （2）由对称性得与x轴另一交点为，则． 由，可得．． ∴③正确． （3）时，y随x的增大而增大． ∴④错误． （4）由图象可知当时，函数值最小． ∴． ∴． ∴． ∴⑤错误． 综上，说法正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 二、填空题 21．如图为二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点．以下说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当时，开口向上，当时，开口向下；当对称轴在y轴左侧时，b与a同号，当对称轴在y轴右侧时，b与a异号；当对称轴与y轴正半轴相交时c为正，与y轴负半轴相交时c为负，过原点时．对于①：根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；对于②：根据对称轴为直线判断即可；对于③：把代入函数，结合图形即可判断0的大小关系；对于④：根据x轴上和到对称轴的距离即可判断y1和y2的大小． 【详解】解：对于①：抛物线开口向下，得到， ∵对称轴，得到，抛物线与y轴正半轴相交，得到， ∴，故①正确； 对于②：根据对称轴为得出，则，故②正确； 对于③：抛物线经过点，将代入抛物线中： ∴，故③错误； 对于④：x轴上离对称轴有2.5个单位，离对称轴有2个单位，根据开口向下，自变量离对称轴越远，对应的函数值越小可知：，故④正确； 故答案为：①②④． 22．已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若是抛物线上两点，若，则； ③若方程有四个根，则这四个根的和为12； ④当时，若，对应y的整数值有4个，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．根据题意可得，从而得到a，b异号，但无法判断c的符号，故①错误；根据题意可得，再由，可得，故②正确；根据题意可得，可得这四个根的和为12，故③正确；④分两种情况讨论，可得④错误． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴，即， ∴a，b异号， ∴， ∵无法判断c的符号， 是错误的，故①错误； ②由题意知：， ． ， ． ， ， ， ， ．故②正确． ③， ， 当时，， 当时，， 这四个根的和为12，故③正确； ④（i）当时，若随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ， 的整数值有4个， ， ， （ii）时，若随x的增大而减小， ， 的整数值有4个， ， ， 综上所述：或，，故④错误． 23．如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，，，是抛物线上两点，则，其中结论正确的结论是 (填序号)． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征；①由抛物线的开口方向、对称轴即与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线，可得出，结论②正确；③由抛物线的对称性可得出当时，进而可得出，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出，结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ，，， ， ，结论①错误； ②抛物线对称轴为直线， ， ， ，结论②正确； ③抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标是，， 另一个交点坐标是，， 当时，， ，结论③正确； ④，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ，结论④正确； 综上所述：正确的结论有②③④， 故答案为：②③④． 24．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；（的实数）．其中正确的结论有 个． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故错误； 当时，， ∴，故错误； 当时，，故正确； 由图象可知对称轴为直线，则， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵图象开口向下， ∴当时，有最大值， 当时，，则 ∴，故正确； 综上可知：正确，共个， 故答案为：． 25．二次函数（，是常数，的图象过点．现有以下结论： ①； ②若，则随的增大而增大； ③若该抛物线过点，在抛物线上，则在时，； ④若该抛物线与直线没有交点，则； 其中，正确的结论是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．先求出，可得，故①正确；再求出抛物线的对称轴为直线，可得若，则随的增大而增大，故②正确；求出抛物线的解析式为，可得当时，函数有最小值，最小值为，从而得到时，，故③正确；，由该抛物线与直线没有交点，可得，从而得到，故④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象过点． ∴，即， ∵， ∴， ∴，故①正确； 根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴若，则随的增大而增大，故②正确； ∵该抛物线过点，在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，函数有最小值，最小值为， ∴时，，故③正确； 联立得∶，即， 整理得：， ∵该抛物线与直线没有交点， ∴， 解得：，故④正确； 故答案为：①②③④． 26．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为函数图象上的两点，则．其中正确结论有 （填入序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系问题，根据抛物线的对称轴、的取值与抛物线与x轴的交点的个数关系、抛物线与x轴的交点与对称轴的关系及抛物线的特征进行分析判断． 【详解】解：①由函数的图形可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即：，故结论①正确； ②∵二次函数的对称轴为直线， ∴ ∴,即：，故结论②正确． ③∵二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线， ∴二次函数与x轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，有，故结论③错误； ④∵抛物线的开口向下，对称轴， ∴当时，函数值y随着x的增大而减小， ∵，则，则结论④正确， 所以，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 27．如图，已知二次函数、、为常数，且的图像顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的是 【答案】①④⑤ 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．二次函数图像与系数的关系；二次函数图像上点的坐标特征 【详解】解：由抛物线的开口方向向下，则， 故①正确； 抛物线的顶点为， ，， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ， 故②错误； 抛物线经过点， ，即， 故③错误； 抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小， 故④正确； ，， ， 故⑤正确 故填：①④⑤． 28．二次函数的图象如图所示，给出下列说法：； ； ；；当时，． 其中正确的序号是 ．        【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； 由图象可知，当时，，故正确； 所以正确的序号是， 故答案为：． 29．已知二次函数（，a、b、c为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①；②；③；④（k为常数，且）．其中正确的结论序号是 ．    【答案】①③/③① 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向和对称轴判断①；特殊点判断②；对称轴结合特殊点判断③；最值判断④．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∵k为常数，且， 所以，故，故④错误． 故①③正确． 故答案为：①③． 30．已知二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，在下列结论中：①，②，③，④．其中正确的结论有 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据已知画出图象，根据对称轴和开口方向可判断①；把代入得：，可判断②；由②的结论，可得，根据c的取值范围可得的取值范围，可判断③；根据图象与x轴的交点可用表示对称轴，易确定a，b的取值范围，可判断④． 【详解】解：画出图象如图，    ∵开口向下， ， ， ， ， ∴①正确； 根据二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，把代入得：， ∴②正确； 由得 ， 而， ， ， ， ∴③错误； ∵图象与x轴两交点为、，且，对称轴， 则对称轴，且， ， ， 由抛物线与y轴的正半轴的交点在下方，得，即， ∴④正确； 所以正确是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键． 31．抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】①：根据函数图象经过点的意义，只要得到即可； ②：由①得，结合判断出的正负即可； ③：特值法，取时也符合题意，从而可得到结论； ④：将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断． 【详解】解： 抛物线经过点， ， ， 当时，， ， 该抛物线一定经过，故此项正确． ②由①得：， ， ， ， ， ， ．故此项正确． ③抛物线的对称轴为直线， 当时，，， ， ， 也符合题意与矛盾，故此项错误． ④，是方程的两个根， ，是抛物线与直线交点的横坐标， ， 如图： 由图得：．故此项正确． 故答案：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 32．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①； ②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图像经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线对称轴的方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用时得到，把代入得到，然后利用可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，，则可对⑤进行判断． 【详解】抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线，即， ， 抛物线与轴的交点在轴的下方， ， ，所以①错误； 抛物线与轴有2个交点， ，所以②正确； 时，， ， 而， ， ， ，所以③正确； ，有最小值， （为任意实数）， 即，所以④正确； 图象经过点时，方程的两根为， ， 二次函数与直线的一个交点为， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与直线的另一个交点为， 即，， ，所以⑤正确． 故答案为：②③④⑤ 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴的交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由判别式确定． 33．如图，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴相交于点，下列结论：①﹔②B点坐标为，③抛物线的顶点坐标为，④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是﹔⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】①代入点的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把带入后，即可表示出，进而求出h的取值范围；⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，再列出方程组即可求出Q点坐标． 【详解】解：①∵抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点， ∴可得：， ∴，故①正确； ②∵函数函数值为0， ∴， ∴， ∴时，， ∴B点坐标为，故②正确； ③抛物线的顶点坐标为，故③错误； ④把带入后，， 解得：， ∴h的取值范围是，故④正确； ⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小， 直线和对称轴联立方程组， 可得， 解得， ∴Q点坐标为，故⑤正确． 综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键． 34．二次函数图像的一部分如图所示，下列结论：①；②；③有两个相等的实数根；④．其中正确的为 （只填序号）． 【答案】④ 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴ ∵抛物线的对称轴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴①错误； 对称轴为，，抛物线与x轴的交点为， 其中为， 为 由图可知，可知， 则当时，， 则 ∴②错误； ③由图可知 且， ∴有两个不相等的实数根 ∴③错误 ④由图可知，对称轴且， ∴ 故④正确； 故答案为：④ 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 35．已知二次函数的图象与x轴交于和．其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论： ①； ②； ③若点，，均在二次函数图象上，则； ④． 其中一定正确的结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据与坐标轴的交点判断出；根据图象与轴交于两点判断；根据对称轴和开口方向，综合增减性即可判断；根据当时，，当时，可以判断④． 【详解】解：抛物线与轴的交点为和，与轴交于正半轴， ，故正确； 图象与轴交于两点， ， ， ，故错误； 图象与轴交于和，其中， ， ， 点，，均在二次函数图象上， ，故错误； 抛物线与轴的交点有一个为， ， 当时，， ， ， ，故正确， 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出是负数是解题的关键，结论的判断有点难度，先根据与轴的交点坐标求出是关键． 36．如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 【答案】②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点可得，由对称轴可知 ，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则，， 由抛物线的对称轴在y轴的右侧可得， 故，所以①不符合题意； 由图象知时，函数最大值是，故②符合题意； ∵图象过点，顶点为，则对称轴为直线， ∴图象过点， ∴当时，，故③符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故④符合题意； 由图象过点可得，由对称轴可知 ，即， ∴，故⑤不符合题意， 故正确的有②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数间的关系，能正确地根据图象的开口方向、对称轴、与y轴交点等来确定a、b、c的符号以及利用抛物线的对称性来确定抛物线与x轴交点等是解题的关键． 37．如图：已知二次函数过，对称轴为直线．并且二次函数与x轴的一个交点位于0和1之间；①；②；③的最大值为3；④对于任意实数t，一定有．上述结论正确的是 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】由函数图像可得：当时，，可判定①；由对称轴为直线可得，再根据二次函数过，可得，从而得到当时，，进而得到，即可判定②；再由，可得，然后根据，可判定③；根据当x=2时，二次函数的函数值最大，可得，即可判定④． 【详解】解：由函数图像可得：当时，，即，故①正确； ∵对称轴为直线 ∴，即， ∵二次函数过， ∴， ∴，即， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 根据题意得：当时，二次函数的函数值最大， ∴， ∴， 即对于任意实数t，一定有，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质以及数形结合思想是解题的关键． 38．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②abc0；③8a+c0；④9a+3b+c0．其中，正确结论的序号为 ． 【答案】①②③ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故①正确； 由图象可知，a0，c0， ∵对称轴直线x=-=1， ∴b=-2a0， ∴abc0， 故②正确； ∵对称轴x=-=1时， ∴b=-2a， ∵当x=-2时，y0， ∴4a-2b+c0， ∴8a+c0， 故③正确； 与图象知，图象与x轴的一个交点在-2和-1之间， ∵对称轴x=1， ∴图象与x轴的另一个交点在3和4之间， ∴x=3时，y0， ∴9a+3b+c0， 故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握和运用． 39．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②⑤ 【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的图象与性质对每个选项依次进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴，、异号，故， 与轴交点在正半轴，故， ，故①正确； 当时，，故②正确； 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为3，则与轴的另一个交点为， 当时，，故③错误； ， ， ，故④错误； ，， ， ， ，故⑤正确． 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键在于能结合图象灵活运用二次函数的性质进行求解判断． 40．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（m为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴交点判断c的正负，由抛物线对称轴判断a与b的关系，根据抛物线的图象的性质对结论进行判断． 【详解】由图象可得a>0，c<0，- <0， ∴b> 0， ∴abc< 0，故①正确，符合题意． 由抛物线对称轴-= - 1可得b= 2a， ∵x= 1时，y=a+b+c= 0， a+ 2a+c= 0， 即c+ 3a= 0， c+2a=-a< 0， 故②正确，符合题意． ∵图象对称轴为直线x= - 1，且经过点(1，0) ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(- 3， 0)， x=-3时，y= 9a- 3b+c= 0， 故③正确，符合题意． 当x=-1时，函数有最小值为a-b+ c， 当x=m时，y=am2+bm+c， ∴ am2 + bm+c≥a-b+c， 整理得a-b≤m(am + b)， 故④错误，故不符合题意． 所以正确的有：①②③ 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系，二次函数与方程的关系． 41．如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后再根据对称轴判定与0的关系，得到；当时，；然后由图像确定当取何值时，． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1 ∴ ∴ ∴， 故②正确； ∵a≠0 ∴，故①正确； ∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 结合题意，当时， ∴ 故③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 设点A坐标为 当时， 故⑤错误； 将代入a+b≥m（am+b） ∴ ∴ ∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下 ∴ ∴ ∵恒成立 ∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 42．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④⑤⑥ 【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点，其对称轴为直线 抛物线与轴交于点和，且 由图象知：，， 故结论①正确； 抛物线与轴交于点 故结论②正确； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 结论③错误； ， 抛物线与轴交于点和 的两根是和2 ， 即为：，解得，； 故结论④正确； 当时， 故结论⑤正确； 抛物线与轴交于点和， ，为方程的两个根 ，为方程的两个根 ，为函数与直线的两个交点的横坐标 结合图象得：且 故结论⑥成立； 故答案为：①②④⑤⑥ 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 43．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴判断①，开口方向判断②，对称性，增减性判断③和④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故①错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；故②正确； ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵点在此抛物线上， ∴点关于对称轴的对称点为：， 由图象可知：当时，；故④正确； 故答案为：②③④． 44．抛物线经过点，，其对称轴在y轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②开口向下；③方程有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论为 ． 【答案】②③④ 【分析】将点，代入解析式得到，，从而得到，结合对称轴在y轴右侧得到，，即可判断②，当时得到即可判断①，根据最高点大于3，平移即可判断③，根据及过点即可判断④， 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴，， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴，， 故②正确， 当时， 故①错误， ∵抛物线过，开口向下， ∴抛物线最大值大于3， ∴方程有两个不相等的实数根， 故③正确， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确， 故答案为：②③④； 【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质判断代数式的大小，解题的关键是根据对称轴及所过点判断出，． 45．如图，二次函数的图像过点(－1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(－3，)、点B()、点C()在该函数图像上，则：⑤若方程的两根为，且，则其中正确的结论有 ． (只填序号) 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：①由对称轴可知：x＝−＝2， ∴4a＋b＝0，故①正确； ②由图可知：x＝−3时，y＜0， ∴9a−3b＋c＜0， 即9a＋c＜3b，故②正确； ③令x＝−1，y＝0， ∴a−b＋c＝0， ∵b＝−4a， ∴c＝−5a， ∴8a＋7b＋2c ＝8a−28a−10a ＝−30a 由开口可知：a＜0， ∴8a＋7b＋2c＝−30a＞0，故③正确； ④由抛物线的对称性可知：点C关于直线x＝2的对称点为（，y3）， ∵−3＜−＜， ∴y1＜y2＜y3 故④错误； ⑤由题意可知：（−1，0）关于直线x＝2的对称点为（5，0）， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋1）（x−5）， 令y＝−3， ∴直线y＝−3与抛物线y＝a（x＋1）（x−5）的交点的横坐标分别为x1，x2， ∴x1＜−1＜5＜x2 故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$