期中真题必刷01【基础提高 55道】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

期中真题必刷01 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 4．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 7．（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 9．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江·模拟预测）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 12．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 17．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 20．（23-24高二下·湖北恩施·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．CE与OF所成角的余弦值为 C．四点共面 D．的面积为 21．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 22．（23-24高二下·江苏南京·期中）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 23．（24-25高二上·河南漯河·期中）设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（    ） A．则，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 24．（23-24高二上·四川成都·期中）设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（    ） A． B． C．若，则的面积为 D．若平行于轴，则 25．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 26．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D．若，则的最小值为18 28．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D． 29．（23-24高二上·广东中山·期中）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（    ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．的最小值为 30．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为1 C．切线长的最小值为1 D．直线恒过定点 31．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为 D．若直线与BC所成的角为，则 三、填空题 32．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 33．（23-24高二上·吉林长春·期中）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 34．（23-24高二上·北京·期中）如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则 .    35．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 36．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 37．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 38．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为 ． 39．（2024·云南昆明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 . 40．（23-24高二上·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 41．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 42．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知A，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为 . 43．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 44．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是 . （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 四、解答题 45．（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 46．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知点、、． (1)若直线通过点与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 47．（22-23高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 48．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 49．（23-24高二下·广西贵港·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 50．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线交于点，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 51．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 52．（23-24高二上·安徽安庆·期中）已知椭圆的右焦点是，过点的直线交椭圆于两点，若线段中点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆的下顶点，如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值. 53．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 54．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 55．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷01 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知椭圆的上顶点为P，左焦点为F，直线PF与C的另一个交点为Q，若，则C的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题意可得， 由于，所以， 由于在椭圆上，所以，化简可得， 由于，故， 故选：D    2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若双曲线的右焦点为，且点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用焦点到渐近线的距离求出，从而求出，即可求出离心率． 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 双曲线的渐近线方程为， 不妨取， 又点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得， 所以， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 3．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可． 【详解】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 4．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 5．（23-24高二下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可. 【详解】设， 由，得，化简整理得， 故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， ， 设，则, 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C.    6．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【分析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，易知当最大时，，此时的面积最大，由此容易得解． 【详解】设圆心到直线的距离为到直线的距离为， 又圆心坐标为，则， 又半径为，则当最大时，， 此时面积也最大，． 故选：A． 7．（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线定理即可表示出，进而再求的坐标即可运算. 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 8．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B选项错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C选项正确； 对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，D选项错误. 故选：C. 9．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 10．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且倾斜角为，若抛物线上存在点与点关于直线对称，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性建立方程求解参数，得到抛物线方程，最后求解准线即可. 【详解】由题意可知，的坐标为.设点，则，， 即，得，， 即，得，因此， 解得，故抛物线的准线方程为. 故选：A 11．（2024·浙江·模拟预测）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】设，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 【详解】设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图： 设、，，双曲线其中一条渐近线为， 直线的方程为，① 由，得，即直线的斜率为，直线方程为，② 由点在双曲线上，得，③ 联立①③，得，联立①②，得， 则，即，因此， 所以离心率． 故选：C 12．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 13．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可. 【详解】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 14．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得,， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 15．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由平行六面体求出，接着由已知结合向量的数量积及其运算律求出即可求出. 【详解】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：A. 16．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由得，则求出，结合椭圆定义求出，再由可得答案. 【详解】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出，利用勾股定理求出答案. 17．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意外切条件等价于，进一步求圆弧上一点到定点的距离的范围即可求解. 【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即. 记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围. 由于，故， 且 ， 同时，上面的上界和下界分别在和时取到. 而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为求圆弧上的点到定点的距离，由此即可顺利得解. 18．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知为直线上的动点，为圆上的动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，不妨令，根据两点间的距离公式求出点的坐标，则要使最小，即最小，求出的最小值即可得解. 【详解】设，不妨令， 则， 整理得， 又，所以， 则，解得， 所以存在定点，使得， 要使最小，即最小， 则，B，D三点共线，且DA垂直于直线时取得最小值，如图所示， 所以的最小值为． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：设，令，将所求转化为求的最小值，是解决本题的关键. 二、多选题 19．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【分析】A选项，得到，得到长轴长；B选项，根据曲线是椭圆，得到不等式，求出的取值范围；C选项，根据曲线是焦点在轴上的双曲线，得到不等式，求出答案；D选项，根据曲线是焦点在轴上的椭圆，得到不等式，结合离心率得到方程，求出的值. 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 20．（23-24高二下·湖北恩施·期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．CE与OF所成角的余弦值为 C．四点共面 D．的面积为 【答案】AC 【分析】先根据正方体结构建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标式计算判断A项，利用空间向量的夹角公式计算判断B项，利用空间向量共面定理判断C项，利用三角形面积公式判断D项即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 对于A项，因,则, 即，故A项正确； 对于B项，因，则, 设CE与OF所成角为，则，故B项错误； 对于C项，因,则, 易得，即为共面向量，故四点共面，即C项正确； 对于D项，因，则，记， 则，故， 故的面积为，故D项错误. 故选：AC. 21．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】CD 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 22．（23-24高二下·江苏南京·期中）平面α经过三点，，，向量是平面α的法向量，则下列四个选项中正确的是（    ） A．直线AB的一个方向向量为 B．线段AB的长度为3 C．平面α的法向量中 D．向量与向量夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】根据方向向量、向量模长、法向量，向量的数量积运算可逐一判断． 【详解】因为平面经过三点，，， 则，则，故直线的一个方向向量为，故A正确； 线段的长度为，故B错； 又向量是平面的法向量，， 则，解得，则，故C正确； 又,1,， 则向量与向量夹角的余弦值为，故D正确． 故选：ACD． 23．（24-25高二上·河南漯河·期中）设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（    ） A．则，，两两共面，但，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，不一定能构成空间的一个基底 【答案】BD 【分析】利用空间向量基底的定义可判断AB，根据空间向量基本定理可判断CD. 【详解】对于A，显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确； 对于B，由空间向量基底的定义可知，当，时，所成角不一定为，故B错误； 对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确； 对于D，假设向量，，共面， 则，化简得， 因为，，不共面，所以，无解， 所以，，不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误． 故选：BD. 24．（23-24高二上·四川成都·期中）设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（    ） A． B． C．若，则的面积为 D．若平行于轴，则 【答案】BCD 【分析】根据点到直线的距离，直线斜率、三角形的面积、双曲线上的点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线，即， 所以，不妨设， 而， 到的距离为， 所以，所以A选项错误. B选项，设，其中，则， 所以， 则， ， 由图可知为钝角，为锐角， 所以，则，B选项正确. C选项，若，， 两式相减得， 所以的面积为，C选项正确. D选项，直线的方程为， 由解得，则，所以， 由，所以， ， 所以D选项正确. 故选：BCD 25．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 【答案】ACD 【分析】将直线方程化为，可求得定点坐标；将代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心与定点的连线恰好与垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可判断D. 【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径， 直线方程可化为， 由，可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 对于B，将代入圆的方程有，解得， 弦长为，B项错误； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以， 代入点斜式方程有，即，D正确. 故选：ACD. 26．（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分类讨论所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点两种情况，结合点斜式即可得解. 【详解】依题意，联立，解得，即， 直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为， ①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 综上所述，所求直线方程为或. 故选：BD. 27．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D．若，则的最小值为18 【答案】AD 【分析】A：利用抛物线的定义求得的中点M准线的距离即可判断；B：联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定；C：设，结合选项AB可得：，，消去m即可判定；D：可得结合基本不等式即可判定. 【详解】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：， 设，则的中点， 利用焦点弦的性质可得，而的中点M准线的距离： ， 以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确； B：设直线的方程为，联立， 整理可得：，易知，可得， ，解得， ，解得， ，因此B不正确； C：设，结合A、B可得：， ，消去m可得：，因此C错误； D：若，则抛物线，不妨设，， ， 当且仅当时取等号，因此D正确． 故选：AD．   . 【点睛】方法点睛：直线与抛物线交于两点，与对称轴交点，则，进而可以使用基本不等式求与有关的最值问题. 28．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D． 【答案】BCD 【分析】先根据对称性及得到；进而得到以为直径的圆过点，列方程组求出的关系；对于A、B，求出离心率即可判断；对于C，求出渐近线方程即可判断；对于D，由对称性及题意求出的坐标，进而解出斜率即可判断. 【详解】 由题意知：，不妨取，由， 即，所以， 所以，所以以为直径的圆过点， 所以圆的直径，所以圆的方程为：， 设，连接，则四边形为矩形，则， 则的面积为：，且， 联立，解得， 再由， 所以离心率，故A错误，B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确； 对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知， ，代入中，得， 所以，由对称性知：当，， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：由图象对称性可知：点为双曲线另一个焦点；由定义知，由题意解出关系，不妨设点在第一象限，且，进而求解出直线斜率即可判断答案. 29．（23-24高二上·广东中山·期中）已知点在圆上，点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交轴于，两点，则（    ） A．的最小值为 B．直线必过定点 C．满足的点有两个 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出，即可判断A，设求出切点弦的方程，从而求出定点坐标，即可判断B，求出以为直径的圆的方程，再判断圆与圆的位置关系，即可判断C，设此时满足，则从而求出最小值，即可判断D. 【详解】圆的圆心为，半径， 则到直线的距离， 则，故A错误； 设，以为直径的圆， 又圆，两圆的方程相减得，即， 由，解得，因此直线过定点，故B正确； 对于直线，令，则，即， 令，则，所以， 则的中点为，， 则以为直径的圆的方程为，又， 则，所以以为直径的圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确； 因为，，设，，则， 则，即 又，，所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是转化思想的应用，C选项转化为判断两圆的位置关系，D选项主要是利用阿圆的思想确定，使得. 30．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为1 C．切线长的最小值为1 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】对于A，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；对于B，由圆的性质，切线长，当最小时，有最小值，即可求解；对于C，四边形的面积为，即可求解；对于D，由题可知在以为直径的圆上，利用两圆方程求得直线的方程，即可求解. 【详解】对于A，因为圆，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为， 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于C，由圆的性质，切线长， 当最小时，有最小值，此时，即， 则，故C正确； 对于B，四边形的面积为：， 因为，故四边形的面积为1，故B正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线， 所以，则在以为直径的圆上，又， ，即， 又圆，即， 上述两式相减，得直线的方程为，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是分析得在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解. 31．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，在矩形ABCD中，，，M是AD的中点，将沿着直线BM翻折得到．记二面角的平面角为，当的值在区间范围内变化时，下列说法正确的有（    ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．若四棱锥的体积最大时，点B到平面的距离为 D．若直线与BC所成的角为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，，当时，平面，证明出线线垂直，进而得到线面垂直，得到；BCD选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用线线角的夹角公式得到，B错误；C选项，确定当时，体积最大，利用点到平面向量距离公式进行计算；D选项，计算出. 【详解】A选项，连接，取的中点，的中点， 连接，则， 故即为二面角的平面角，即， 当时，平面， 因为平面，所以， 因为矩形ABCD中，，，M是AD的中点， 所以，故为等腰直角三角形， 故，⊥， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 存在，使得，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，垂直于此平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 当时，， 此时，， 故， 故不存在，使得，B错误； C选项，当时，平面，此时四棱锥的体积最大， 此时， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离，C正确； D选项，，， 故 ，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 三、填空题 32．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【答案】5 【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：.    33．（23-24高二上·吉林长春·期中）直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 【答案】相切 【分析】求出旋转之后的直线的方程，求得圆心到直线的距离即可得直线与圆相切. 【详解】易知直线的斜率为，倾斜角为， 其绕原点按逆时针方向旋转以后倾斜角为，斜率为，此时的直线方程为； 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 因此直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切 34．（23-24高二上·北京·期中）如图所示，空间四边形中，点为的中点，为的中点. 设，，.若以向量为一组基底，则 .    【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】在空间四边形中，点为的中点，为的中点， 连接，根据空间向量的运算法则，可得 所以. 故答案为：.    35．（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 36．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量的距离公式，即可求解. 【详解】由点和，可得， 又由平面的一个法向量为，所以点B到平面PAD的距离为. 故答案为：. 37．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【分析】利用向量的线性运算，即可求得结果;再利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量的数量积运算，即可求出模长. 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 38．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为 ． 【答案】/-0.25 【分析】由题意可得，设，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得. 【详解】解：由题意可得，设，, 则由在椭圆上可得， 直线与的斜率之积为， 椭圆离心率为，可得，即， 故． 即． 故答案为：． 39．（2024·云南昆明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用点到直线的距离公式求出的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得. 【详解】双曲线的半焦距为c，渐近线方程为， 点到渐近线距离为，由双曲线定义得， 由为等腰三角形，得，即，因此， 则，所以的离心率为. 故答案为： 40．（23-24高二上·上海·期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左､右焦点，为的内心，若成立，则的值为 . 【答案】/0.8 【分析】由条件结合内心的定义及三角形面积公式可得，再根据双曲线的定义化简可求. 【详解】设的内切圆半径为， 由双曲线的定义得 由题意得， 故， 又双曲线的， 代入上式得：， 故答案为：. 41．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设，则根据题意可知，，，，又易知，在中，由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】设，则根据题意可知，， 所以，，又易知， 在中，由勾股定理可得：， 解得，又， 所以， 所以的面积为． 故答案为： 42．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知A，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知可推得，即可得出点在以为圆心，1为半径的圆上，方程为.求出直线的定点，结合方程判断，，点在以为直径的圆上，求出圆的方程为.进而得出两圆的位置关系，得出关系式，代入数据即可求出答案. 【详解】由已知可得，圆的圆心为，半径， 根据垂径定理可得，， 所以，点在以为圆心，1为半径的圆上， 方程为，半径. 由已知可得，， 解可得，所以直线过定点. 又， 解可得，所以直线过定点. 因为，所以. 又点为两直线的交点， 所以，点在以为直径的圆上. 因为，且中点， 所以，圆心，半径， 所以，圆的方程为. 综上可得，点是圆与圆的公共点， 所以两圆位置关系为相交、外切、内切， 所以，有，即. 又，所以， 解得，所以. 故答案为：.    43．（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ． 【答案】 【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可. 【详解】圆，整理得，则其圆心为， 由题意得：直线过圆心， 所以，又，， 所以．（当且仅当，时，取“＝”）． 此时直线方程为，即. 故答案为：；. 44．（23-24高二下·上海·期中）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则下列命题正确的是 . （1）的准线为；（2）直线与相切；（3）；（4）. 【答案】（2）（3）（4） 【分析】利用待定系数法求出参数，从而可以得到准线方程；再利用方程组思想得到的一元二次方程来判断是否相切；同理利用方程组和韦达定理，用坐标来表示各线段的长度，并转化到韦达定理上去，从而根据系数满足的范围去加以判断. 【详解】（1）因为在抛物线上，所以，解得：， 所以抛物线的准线方程为：，故（1）错误. （2），所以直线的方程为：， 由可得，抛物线方程为：， 联立直线和抛物线方程可得：可得：， 因为， 所以方程有唯一解， 即直线与抛物线相切，故（2）正确. （3）， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线与抛物线只有1个交点，不合题意，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为：，， 联立可得：， 所以， ，故（3）正确. （4）， ，故（4）正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 四、解答题 45．（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 46．（23-24高二上·北京延庆·期中）已知点、、． (1)若直线通过点与，求直线的一个方向向量，并求直线的方程； (2)求线段的垂直平分线的方程； (3)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1)一个方向向量为，直线的方程为 (2) (3) 【分析】（1）利用直线方向向量的定义可求得直线的一个方向向量，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的垂直平分线的斜率，以及线段的中点，利用点斜式可得出线段的垂直平分线的方程； （3）分析可知，点到直线的距离等于点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离即可. 【详解】（1）解：由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. （2）解：线段的中点为，线段的中垂线的斜率为， 所以，线段的垂直平分线的方程为，即. （3）解：由题意可知，点到直线的距离等于点到直线的距离， 因此，点到直线的距离为. 47．（22-23高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设.结合，得，利用，计算得出结果； （2）利用空间向量法计算平面与平面所成角的余弦值； 【详解】（1）存在点，且当时，. 由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 所以可求得 所以所以. 因为点在线段上，所以可设. 因为，所以点， 所以， 假设存在点，使得，则， 所以，解得，即所以， 所以存在点，且当时，. （2） 由（1）得 所以，，，=. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面与平面所成的角为， 则=， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 48．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【详解】（1）由题知，， 所以， 因为， 所以. （2）因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 49．（23-24高二下·广西贵港·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先证明平面，再由勾股定理求出，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为底面是平行四边形，，所以，． 又，，所以，， 又，平面，所以平面． 设，则，由，得， 解得（负值已舍去），则，． 因为，所以，故， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 由图可知，是平面的一个法向量． 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 50．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线交于点，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)， (2)证明见解析，定点坐标为或 【分析】（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出，即可得解； （2）设，联立方程根据韦达定理得出的关系，进而表示出的方程，求出的坐标，得出圆的方程，进而可得出定点坐标. 【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为， 直线的方程为， 联立，消得， 恒成立， 设，，由韦达定理可得， 则，所以， 所以抛物线的方程为，准线方程为. （2）由（1）得，依题意可设直线， 联立，消得， 恒成立， 则，， 又，， 令，则，即， 同理可得， 设圆上任意一点为， 因为为直径，所以， 所以，即， 整理可得， 令，可得或， 所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或. 【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令参数的系数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标. 51．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式列出方程求解即得. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率.    52．（23-24高二上·安徽安庆·期中）已知椭圆的右焦点是，过点的直线交椭圆于两点，若线段中点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆的下顶点，如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点差法得到，结合，求出，得到椭圆方程； （2）联立与，得到两根之和，两根之积，设的中点为，则，根据题意得到⊥，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1）由题意得，即， 设，若，此时线段中点为，不合要求， 故， 则， 两式相减得， 因为线段中点的坐标为， 所以， 故， 又， 则，即， 又，故， 故椭圆的方程为； （2）由题意得， 联立与得， 设，则， 则， 设的中点为，则， 由于都在以为圆心的圆上，则⊥， 故，解得， 53．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆几何性质列方程组求解可得； （2）利用点差法即可得解. 【详解】（1）由题意可知，则. 因为， 所以椭圆的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 直线和轴的交点为， 该点在椭圆内，故直线和椭圆相交，满足条件. 54．（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆. (1)直线截圆的弦长为，求的值. (2)记圆与、轴的正半轴分别交于两点，动点满足，问：动点的轨迹与圆是否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由. 【答案】(1) (2)有，公共弦长为 【分析】（1）计算圆心到直线距离为，再根据弦长公式计算得到答案. （2）设，根据得到，计算圆心距得到两圆相交，确定公共弦方程，计算弦长得到答案. 【详解】（1）圆心到直线距离为，故，解得； （2），设，由得， 化简得：，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 圆心距，，两圆相交， 所以两圆有两个公共点， 由两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，则公共弦长为. 55．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明； （2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程； （3）由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：； 则，． 所以，为定值． （2）因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． （3）过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，② ①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为． 点到直线的距离， 所以， 所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$