第五章 二次函数 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第五章 二次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线的对称轴是直线（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过定点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数，当时，y有最大值17，则（    ） A．或 B．15或 C．或1 D．15或1 8．（2024九年级下·江苏·专题练习）在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用，则足球最大的飞行高度是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知平行四边形中，，，以为直径的圆经过点C，Q为线段上任一点（与点O、点C不重合），过点作直线垂直于于，交直线于P，设，的面积为．以下结论其中正确的是（　　） ①点B的坐标是； ②直线的解析式是：； ③S与t的函数关系式是：； ④当时，直线与已知圆相切． A．②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④ 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）把二次函数化为的形式，则 ． 12．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为 ． 13．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 14．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 15．（23-24八年级上·江苏南通·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ 若方程有四个根，则这四个根的和为4，其中正确的结论有 ． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示．当批发商在进货后第 天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 17．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则m的取值范围是 ． 18．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点C，点Q为抛物线上一点，若，则点Q的坐标是 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是二次函数且其图象开口向下． (1)求m的值和函数解析式； (2)直线与此二次函数图象交于点，求k的值． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点和． (1)求此函数解析式； (2)求出该抛物线顶点C的坐标，并求出 的面积． 21．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知抛物线． (1)在如图的直角坐标系内画出的图像； (2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则_____（用或）填空； (3)①当时，直接写出的范围__________ ②当时，直接写出的范围__________ 22．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 23．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于5元/件，物价局核定该商品的售价不能高于15元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表： 销售单价x（元） 6 7 8 9 日销售量y（件） 90 85 80 75 (1)求出y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围； (2)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为375元？ (3)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？ 24．（2024·贵州·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 25．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)当四边形的面积最大时，求的坐标及最大面积． 26．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 27．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 28．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知如图，抛物线（是常数，且）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接． (1)填空：　 　； (2)设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值； (3)将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二次函数 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线的对称轴是直线（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数对称轴，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线经过定点，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值，先把代入求出的值，然后整体代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过定点， ∴，则， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数的图象中，若y随x的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质知抛物线开口向上，对称轴为，即可得到y随x的增大而减小时x的取值范围． 【详解】解：根据二次函数可知抛物线开口向上，对称轴为：直线， 若y随x的增大而减小，则， 故选：A． 5．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 6．（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，一元二次方程根的判别式，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数和二次函数图象是解题的关键． 【详解】解：当时，，图象与轴有一个交点； 当，把代入得，， ∵函数的图象与轴有交点， ∴， 解得； 综上，的取值范围为， 故选：． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数，当时，y有最大值17，则（    ） A．或 B．15或 C．或1 D．15或1 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的增减性，最值，利用分类思想，分当时和当时两种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大， ∵， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值17， ∴， 解得，符合题意； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值17， ∴， 解得，符合题意； 故选C． 8．（2024九年级下·江苏·专题练习）在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用，则足球最大的飞行高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 根据题意，设关于的函数解析式为，当时，，当时，，运用待定系数法可求出解析式，再运用顶点坐标公式即可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 依题可知：当时，，当时，， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标的横坐标为：，纵坐标为， ∴该函数的顶点坐标为， ∴足球最大的飞行高度是， 故选：． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图象是解题的关键，根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图象即可得到答案． 【详解】解：当时，， 整理得， 根据题意得， ∵二次函数经过点， ∴， 即， 整理得， 解方程组得， ∴函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图象如下：    ∵时，时，解得或，当时，， ∴， 故选：B． 10．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知平行四边形中，，，以为直径的圆经过点C，Q为线段上任一点（与点O、点C不重合），过点作直线垂直于于，交直线于P，设，的面积为．以下结论其中正确的是（　　） ①点B的坐标是； ②直线的解析式是：； ③S与t的函数关系式是：； ④当时，直线与已知圆相切． A．②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据的性质得证明四边形是矩形，可得，可得点的坐标． ②利用待定系数法可得直线的解析式； ③根据三角形的面积公式可得与的关系式，由于为线段上任一点（与点、点不重合），可得 ； ④根据的值，代入③中的关系式可得两个对应的值，求出的中点到的距离的长，可知一个相切，一个不相切． 【详解】解：①如图1，连接， 是圆的直径， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故①不正确； ②点的坐标为， 设直线的解析式为：， ， 解得： ， 直线的解析式为： 故②正确； ③， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ；故③正确； ④当时， ， 解得： ， 如图2，过的中点作 于，交于， 当 时， ， ， ， ， ， 直线与已知圆相切； 当时， ， ， ， 此时直线与已知圆不相切，故④不正确； 正确的结论有2个是：②③． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数和圆的综合题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，直线和圆相切的判定，平行四边形的性质，三角形的面积，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解决本题的关键是掌握圆和平行四边形的性质． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）把二次函数化为的形式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法，将一般式转化为顶点式，是解题的关键．把转化为顶点式，即可得解． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 12．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点为，则它与x轴的另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及抛物线的对称性，根据抛物线解析式得到其对称轴，再结合抛物线的对称性，即可得到它与x轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的一个交点为， 其对称轴为直线， 它与x轴的另一个交点的坐标为， 故答案为：． 13．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或 故答案为：或 14．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 15．（23-24八年级上·江苏南通·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤ 若方程有四个根，则这四个根的和为4，其中正确的结论有 ． 【答案】③⑤/ 【分析】由二次函数的图象的开口向下，抛物线的对称轴为，二次函数的图象与轴交于正半轴，可得，故①不符合题意；由抛物线与轴有两个交点，可得，故②不符合题意；由，结合当时，，可得，故③符合题意；当时，函数最大值为：，当时，函数值为，可得，故④不符合题意；由方程有四个根，可得方程与方程各自有两个根，设分别为，，，，则，，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵当时，， ∴，即，故③符合题意； 当时，函数最大值为：， 当时，函数值为， ∴， ∴，故④不符合题意； ∵方程有四个根， ∴方程与方程各自有两个根，设分别为，，，， ∴，， ∴方程有四个根，则这四个根的和为4，故⑤符合题意； 故答案为：③⑤． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数的各项系数的符号的判断，二次函数与一元二次方程的关系，熟记二次函数的图象与性质是解本题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗15千克．根据市场预测，该产品的销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图像如图中的折线段所示．当批发商在进货后第 天将这批产品一次性卖出，将获得37500元的利润． 【答案】4或32/32或4 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出与之间的函数关系式是，设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得：当： ，解得：（舍）或当时，，解得： ． 【详解】解：当，设解析式为：， 把和代入得：， 解得：． ． 当时，， 故与之间的函数关系式是； 设到第天出售，批发商所获利润为元，由题意得： 当：， 由上得， ∴， 化简得： 解得：（舍）或 当时，， 由上得， 解得： ， 故答案为：4或32． 17．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为： 18．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点C，点Q为抛物线上一点，若，则点Q的坐标是 ． 【答案】 【分析】将代入，可求，则，令，可求，当时，，即，如图，作于，过作轴于，过作于，设，证明，则，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立，求解作答即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴， 令， 解得，， ∴， 当时，，即， 如图，作于，过作轴于，过作于，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是二次函数且其图象开口向下． (1)求m的值和函数解析式； (2)直线与此二次函数图象交于点，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、二次函数的定义及性质，二次函数的定义条件是：为常数且，自变量最高次数为2．当时，二次函数图象开口向下；当时，二次函数图象开口向上． （1）根据二次函数的定义，得且，确定的值，然后把的值代入函数式即可得到答案． （2）把点求出n，得出点的坐标，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数且其图象开口向下， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （2）解：把点代入，解得：， ， 把代入，得：， 解得：． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点和． (1)求此函数解析式； (2)求出该抛物线顶点C的坐标，并求出 的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式即可； （2）根据（1）中的解析式求出，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）把和代入得：， 解得：， ∴函数解析式为； （2）由（1）得：函数解析式为， ∴ ， ∴， ∴． 21．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知抛物线． (1)在如图的直角坐标系内画出的图像； (2)点和点，两点在该抛物线上，且满足，则_____（用或）填空； (3)①当时，直接写出的范围__________ ②当时，直接写出的范围__________ 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②   【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质，对于（1），根据列表，描点，连线画出图象即可； 对于（2），结合两个点的与对称轴的位置关系，再根据增减性可得答案； 对于（3），观察图象，根据函数的增减性可得答案． 【详解】（1）列表： x 0 1 2 y 0 3 4 3 如图所示： （2）当时， 函数值y随着x的增大而减小， ∴． 故答案为：； （3）①当时，，当时，，且当时，， 当时，． 故答案为：； ②观察图象，可知当时，或． 故答案为：或． 22．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 23．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于5元/件，物价局核定该商品的售价不能高于15元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表： 销售单价x（元） 6 7 8 9 日销售量y（件） 90 85 80 75 (1)求出y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围； (2)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为375元？ (3)该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)该商品的销售单价定为9元，公司日销售此商品获得的利润为375元 (3)该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将代入解方程组即可得到结论； （2）设公司日销售此商品获得的利润为w元，根据题意得， ，当时，解方程即可得到结论； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得， , 解得，， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：设公司日销售此商品获得的利润为w元， 根据题意得， ， 当时， 解得（舍去）， 答：该商品的销售单价定为9元，公司日销售此商品获得的利润为375元； （3）解：∵， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为500， 答：该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元． 24．（2024·贵州·模拟预测）“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 25．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)当四边形的面积最大时，求的坐标及最大面积． 【答案】(1)该抛物线的解析式为； (2)点，四边形的面积最大为． 【分析】（）设二次函数表达式为，再将点代入，求出值即可； （）连接，设点坐标为，利用得出关于的表达式，再求最值即可； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴设抛物线表达式为， 将代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，设点坐标为， ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴，，， ∴ ， 当时，最大，最大值为， 此时， ∴点． 26．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 【答案】(1) (2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大 (3)2 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键． （1）先判断与x成一次函数关系，设与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解； （3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少， ∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值． ∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大； （3）解：设日获利为元，由题意得： ， 对称轴为， 当时，，则当时，有最大值，将代入，得： ， 当时， ， 解得（舍去）； 当，，则当时，有最大值，将代入，得： 当时， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【详解】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 28．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知如图，抛物线（是常数，且）的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接． (1)填空：　 　； (2)设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值； (3)将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函数的图象上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)，的最大值为 (3) 【分析】（1）先求出点的坐标，得出，根据，即可得到答案； （2）先求出顶点的坐标，然后求出直线的解析式，求出点的坐标，根据，得出，并求出的最大值即可； （3）根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：，， ， ， ， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为， ， 把代入得：， 点的坐标为， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得， ， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 把代入得：， ， ， ， ， 当时，有最大值，且最大值为； （3）解：，， 点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，可以得到点， ， 根据平移可知，点的横坐标为，点的纵坐标为， ， 当在抛物线上时，， 解得：或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与轴、轴的交点及定点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$