第25讲 中位线及直角三角形斜边上的中线-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第25讲 中位线及直角三角形斜边上的中线 情境课堂 公元前6世纪,古希腊毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法,因此现代 数学家们推断当时该学派已经触及甚至掌握了黄金分割法。 公元前300年前后,欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系 统地论述了黄金分割,成为最早的有关“黄金分割”的论著 黄金分割点是指把一条线段AB分割为两部分,并使其中一部分AQ与全长AB之比,等 2 常称为黄金比值,取小数点后面三位数字的近似值是0.618.由于按比例设计的造型人们感觉 十分和谐、美丽,故称为“黄金分割”,也称为“中外比”,0.618是一个十分有趣的数字,通过简单 .1-0.618~0.618. 的计算就可发现:- 0.618 我们称顶角为36{}或108{}的等腰三角形为黄金三角形,这种三角形既美观又标准,黄金三角 形有2种:(1)两个底角为72{},顶角为36^{},这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比;(2)两个 底角为36{},顶角为108{},这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比 2 1.0 1 0.618 典例剖析 类型1 三角形的中位线) 1(2023,赤峰中考)如图,在Rt△ABC中,ACB-90*,AB-10,BC= 6.点F是AB的中点,连接CF,把线段CF沿射线BC方向平移到DE,点D 在AC上.则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和 D 面积分别是( ). A.16,6 B.18.18 / C. 16,12 D.12,16 【学找切入点】 先证明四边形CFDE是平行四边形,再分别求CF,CD.DF 153》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 变式 1-1 如图,已知四边形ABCD中,AC1BD.AC=6,BD=6v2,点 E.F分别是边AD,BC的中点,连接EF,则EF的长是( 一. A.3 B.3/2 C.33 D3-32 删2(2024,临川二中期末)如图,在△ABC中,AB-7,AC-11,M 是BC的中点,AD平分 BAC,MF/AD,则FC的长为 【学找切入点】 根据点M为中点,对应地取AC的中点N,构造中位 线求解,或通过延长BA,FM,构造BMP。CMF,再对相等的线段进行 DM 转化,或作垂线,利用角平分线构造全等,或通过比例关系进行转化计算 变式12(2024,鄂州一中期末)如图,在Rt△ABC中,C=90{,BCD =8,D.E分别为AC,BC上的点,AD=CE-2,F,G分别为AE,BD的中点 连接FG,则FG的长是 类型2 梯形的中位线 3如图,等腰梯形ABCD的中位线EF长为m,且对角线ACIBD于 点O,求梯形的高和面积 【学找切入点】 构造平行四边形DBGC,作CH|AB于点H,求梯形的高 和面积的关键在于求出CH的长即为高,再根据中位线求出面积 [变式21(2024,重庆八中月考)如图,分别以△ABC的边AC和BC为一边,在△ABC外 作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证;点P到边AB的距离是AB长的一半. [变式2-2 (2024,宜春实验中学月考)如图所示,在等腰梯形ABCD中,上底AD一2,下底 BC一8.M是腰AB的中点,若MD |CD,则该梯形的面积是 《154 第25讲 中位线及直角三角形斜边上的中线 归纳总结 梯形的中位线以及中位线的一般使用情况 (1)梯形两腰中点的连线叫作梯形的中位 (2)在遇到与三角形一边的中点、梯形一 线,梯形的中位线平行于上、下底,且等于上、 腰的中点相关的问题时,常作出三角形或梯形 下底和的一半. 的中位线,这是一种重要的辅助线 类型3 直角三角形斜边上的中线 4(2024,重庆十八中期末)如图,在△BCD和△BCE中,BDC= BEC=90{*},O为BC的中点,BD,CE交于点A.BAC=120{*}.求证:DE OE. 【学找切入点】 连接OD,利用直角三角形斜边上的中线的性质证明 变式3-1(2024,黄石八中月考)如图,在Rt△ABC中,BAC=90”},AB=4.CD是 AABC的中线,E是CD的中点,连接AE,BE,若AEIBE,垂足为E,则AC的长为 B C N 变式3-1图 变式3-2图 变式③2如图,在Rt△ABC中,ACB-90*,通过尺规作图得到的直线MN分别交AB, 研讨乐园 5](2024,岳阳九中月考)如图所示,在△ABC中,D是AB的 ). ###C C.AB A.AB B.AC 【学找切入点】 D为AB的中点为构造中位线提供了条件 【解】 甲的探索 如图1,过点B作BF//DE交AC于点F,则 BFC-DEF. A # .EF-/AE. .E是AF的中点; 又D是AB的中点; 图1 155》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 ·. FBC-180”- C- BFC-90*-1 ] C BFC ..BC=FC,..BC+2AE-AC 乙的探索 如图2,取AC的中点F,连接DF,则DF为△ABC 的中位线. '.DF/BC,.4-180*-C 图2 .23-24-2-90-(C=2 *.BC+2AE-2EF+2AE-2AF-AC 丙的探索 如图3,延长ED交CB的延长线于点N,过点B 作BM/AC交DN于点M,则 1= BMD 又: ADE- MDB,AD-BD '.△ADEBDM(AAS)..'.AE-BM 图3 .CE=CN. “:AE/BM,.2-3. '. 3- N,..BM-BN-AE. ..BC+2AE=BC+AE+BN=CN+AE-CE+AE=AC 丁的探索 如图4.延长ED至点M,使得DM一DE,连接BM 过点M作MN/BC交AC于点N. 易证△ADE△BDM(SAS). 图4 'AE-BM.A-ABM.1=BMD .BM/AC 又:MN/BC. :.四边形BCNM为平行四边形: .'.AE-BM-CN,MN-BC,BMN=C 《156 第25讲 中位线及直角三角形斜边上的中线 '. 2= 3...EN-MN=BC. '.BC+2AE-EN+AE+CN=AC 。 能力平台 .优训练 (建议用时:60分钟) 1.如图,AB AF,EF1 AF,BE与AF交于点 C.点D是BC的中点,/AEB-2 B.若 BC-8,EF-/7,则AF的长是( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 A.v6 B.7 C.3 D.5 5.在Rt△ABC中.C=90{,A=30*},BC= 2.点D,E分别是AB,AC的中点:点F是 AC上的一个动点,连接DF,作BQ DF交 M DF于点Q,连接EQ,点F从点C向点A运 第1题图 第2题图 动的过程中,EQ的最小值为 2.(2024,南昌外国语学校月考)如图所示,M 6.如图,矩形ABCD2矩形BGFE,点C在BG 是△ABC的BC边的中点,AN平分 BAC 上,连接DF,H为DF的中点,连接CH,若 AN IBN于N.且 AB=10.BC-15.MN AB=10,BC=6,求CH的长 3.则△ABC的周长等于( ). A.38 C.40 B.39 D.41 3.已知顺次连接一个四边形的各边的中点所得 的四边形是菱形,那么这个四边形是 ). A.矩形 B.菱形 C.对角线垂直的四边形 D.对角线相等的四边形 4.如图,在△ABC中,AD平分 BAC,过点C 作CD |AD,AD交BC于点G,DE//AB交 AC于点E,作 BCA的平分线CF交AD 于点P,交AB于点F,若 /B一60{*},下列结 论:①$P[CD-30{};②AFC+$DCG-90}$$$ ③BG=AE;④AC=AF+CG;S+ Scr一SArc.其中正确的个数是( 157》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 7.(2024,言安一中月考)如图所示,MAN BC.BC-10,AD=2./B-45^{},直角三角$$$ 90{*},点C在边AM上,AC=4,点B为边 板含45^*}角的顶点E在边BC上移动,一直 AN上一动点,连接BC,△ABC与△ABC 角边始终经过点A,斜边与CD交于点F 关于BC所在直线对称,点D.E分别为AC 若△ABE为等腰三角形,则CF的长等于 BC的中点,连接DE并延长交AB所在直 线于点F,连接AE.当△AEF为直角三角 12.(2024,淮北二中月考)如图所示,已知M 形时,求AB的长 是线段AB的中点,从AB上另一点C任 意引线段CD,设CD的中点为N,BD的中 点为P,MN的中点为Q.求证:直线PQ平 分线段AC 观赛练 (建技用时:50分钟) 8.△ABC的三边长分别为a,b,c,三条中位线组 成第1个中点三角形,第1个中点三角形的三 条中位线又组成第2个中点三角形,依此类推. 求第2024个中点三角形的周长为 13.(2024,安庆四中月考)如图所示,在梯形 9.某学校共有3125名学生,一次活动中全体 ABCD中,AD//BC,以两腰AB,CD为一 学生被排成一个”排的等腰梯形阵,且这 边分别向两边作正方形ABGE和DCHF, 排学生数按每排都比前一排多一人的规律排 连接EF,设线段EF的中点为M.求证; MA-MD. 列,则当取到最大值时,排在该等腰梯形阵 最外面的一周的学生总人数是 10.如图所示,已知四边形ABCD为等腰梯形, AD/BC,AB=CD,AD=/2.E为CD中 点,连接AE,且AE=2 ③,DAE=30*$ 作AF AE交BC于F,则BF 第10题图 第11题图 11.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AD/ 《158培优竞赛超级课堂 日年级数学 ,△CED是等腰直角三角形，，CD=5√2. ,OD=2√2，如图2，取AD的中点P,连接FP,MP, 易证CD=GF, CP,CF,且CP交BD于点H ∴.中间的小正方形的边长是52，因而中间的小正方 :M为AO的中点，∴MP∥OD,MP=OD=√2. 形的周长是20V2. EF=√2，.EF=MP 方法二由题图联想到构造弦图，如图2，则小正方 .四边形MEFP为平行四边形.ME=PF, 形的边长为AB-BC=AB-BD=AD=5√2，因而中 四边形ABCD是正方形， 间的小正方形的周长是202. ∴点A,C关于BD对称，AF=CF, 5 .AF+ME=CF+FP>CP, ⊙ 45 即当点F与点H重合时，AF十ME最小，最小值为 PC的长， G 45* 5 PD=2,CD=4. 5+C 图1 ∴.PC=√PD+CD=V2+平=25， 图2 2(1)①，在正方形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD, ∴.AF+ME的最小值为25. OA-TAC.OD-BD.OA=OD. 第25讲中位线及直角三角形斜边上的中线 例IC提示：由平移的性质可知CF∥DE,CF-DE, ,AQ⊥DM,∴.∠DNQ=∠AOQ=90°， .四边形CFDF是平行四边形.在Rt△ABC中， ∴.∠QAO=∠ODM=90°-∠OQN. ∠ACB=90°，AB=10,BC=6,.AC= ∴.△AO≌△DOM(ASA),.OQ=OM √AB-BC=√I0-6=8.在R1△ABC中， ②如图1，连接ON,过点O作OP⊥ON,交MD于点P. ∠ACB=90°，AB=10,点F是AB的中点，.CF= ∴.∠NOP=∠QOM=90 .∠NOP-∠NOM=∠QOM-∠NOM. 合AB=5.:DF/CE,点F是AB的中点，∴把 即∠NOQ=∠POM, =A5=号：∠CDF=180°-∠ACB=90,点D 由(1)得△AOQ2△DOM, ∴.OQ-=OM,∠NQO=∠PMO. 是AC的中点，CD=子AC=4点F是AB ∴.△NQ≌△POMCASA),.ON=OP,QN=MP, 的中点，点D是AC的中点，∴.DF是Rt△ABC的 .QN+NM=MP+NM=VP,又：NP=2ON, ∴.QN+NM=√2ON, 中位线，DF=之BC=3,四边形CFDE的周 长为2(DF+CF)=2×(5+3)=16,四边形CFDE的 DQ=DA,AQ⊥DM,∴.AN=NQ, 面积为DF·CD=3×4=12. ∠A0Q-90°，∴.AQ=2ON. 例29.提示：方法一如图1，取AC的中点N,连接 ∴NQ+NM=号AQ-号MD MN,则MN∥AB,MN= 2AB,∠NMC=∠R MF∥AD, 刀M ∴.∠FMC-∠ADC=∠B 图 图2 +∠1， (2)25.提示：在正方形ABCD中，AB=4, 即∠FMV+∠NMC=∠B+∠I. :.BD=42. ∴∠FMN=∠1. MF∥AD,AD平分∠BAC, 94 参考答案与提示 ∴.∠1=∠2=∠3，.∠FMN=∠1=∠3， 例3如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,EF是 ∴FN=MN=2AB, 中位线，AC⊥BD于点O,过点C作CG∥BD交AB 的延长线于点G,显然四边形BGCD是平行四边形， FC-FN+NC-2AB+AC-名+号-=9， BG=CD,BD=CG.因为BD⊥AC于点O,所以CG⊥ 方法二如图2，延长MF,BA交于点Q,延长FM至 AC,即∠ACG=90°，又因为四边形ABCD是等腰梯 点P,使MP=MF,连接BP,则△BMP≌△CMF, 形，所以AC=BD,于是AC=(CG.过C作CH⊥AG于 .PB=FC,∠P=∠3 点H,则H是AG的中点，所以CH=号AG=号(AB :MF∥AD. ∴.∠1=∠Q,∠2=∠3. +BG)=2(AB+CD)=EF,故梯形的高CH=EF= :AD平分∠BAC, m,梯形的面积为EF·CH= 5 ∴.∠1=∠2=∠P=∠Q =∠3=∠AFQ, ∴FC=BP=BQ=2(BQ 图2 +FCO=2(BA+AF+FC)=合(BA+AC)=合× 例4如图，连接OD,则OD=(OE=OB=OC, (7+11)=9. 设∠OBD=∠ODB=a·∠OEC=∠OCE=R 方法三如图3，过点B作BH⊥AD于点H,交AC ∠BAC=120°，.a+3=60 于点K,连接MH. ,∠B0E+∠DC=28+2a=120°，.∠DOE= :AD平分∠BAC,.易证△AHB2△AHK(ASAD, 60°，∴.△DOF为等边三角形，.DE=OE .AB=AK,BH=KH,∴.HM是△BCK的中位线， .HM/CK.HM-CK. 又AD∥FM,∴.四边形AHMF为平行四边形， ∴.AF=HM. 设AF=a, 【变式题组】 可得AK=AB=7,AF H 2a 变式1C提示：如图，取AB的 HM=a.FK=7-a.CK DM 中点G,连接EG,FG. 图3 =2a,.7+2a=11,解 E,F分别是边AD,CB的中点， 得a=2, B∥BD且BG= BD= ∴.FC=7+a=9. 方法四：AD平分∠BAC 是×6E=3E,PG/AC且PG=AC-2×6=3 提器 :ACL BD,.EG⊥FG,.EF=√EG+F :M是BC的中点， √(32)2+32=33. 能影微 变式12√/10.提示：如图，取 AB的中点H,连接FH,HG. 解得兴号 :F为AE的中点，G为BD :MF∥AD, 器删号 的中点， ∴.GH∥AD,GH= FC+FA=11,∴.FC=9. 2AD=1 -95 培优竞赛超级课堂 日年级数学 FH/BE.FH-EB-3. 平分线，，AE=BE=3. 在R1△ECB中，BC= ∴.∠AHF=∠ABC.∠GHB=∠CAB. BE-CET=22. :∠C=90°，∴.∠ABC+∠CAB=90, .∠AHF+∠GHB=90°，∴∠FHG=90°， ∴.AB=√AC+C=2√6. ∴.FG=√FH+GF=√1G. CD为R△ABC斜边上的中线，CD=2AB=6. 变式2如图，点P到边AB的距离为PH,过点E,C,F 【能力平台】 分别作AB的垂线EE,CC,FF,E,C,F为垂足. 1C提示：，AB⊥AF,∠FAB=90° 在Rt△CCB与RL△BFF中，CB=BF,∠CBC=90 一∠FBF=∠BFF,于是Rt△CCB≌Rt△BFF,所 “点D是BC的中点，AD=BD=号BC, 以BC=FF.同理可证AC=EE. .∠DAB=∠B, 显然PH是梯形EF'F的中位线，PH=(EE+ ∴.∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B. ∠AEB=2∠B.∠AED=∠ADE, FF)-(AC+C)-AB. ..AE=AD. BC=8,∴AE=AD=4. EF=7,EF⊥AF, AF=AE-EFT=V-)2=3. 2D提示：如图，延长BN交AC于K,易证△ABV≌ 变式225√②I.提示：如图，作梯形的中位线MN,则 △AKN,MN是△BKC的中位线，于是AK=AB= MN=7(AD+BC)=5.取MN的中点O,连接DO, 10,KC=2MN=6,AB+BC+CA=10+15+16=41. 则DO-是MN=号.作OHLAD于点H,显然H为 AD的中点，于是DH=L. D ④C提示：如图，延长CD交AB的延长线于点H,连 接HP,HG. 所以0f-0D-DF=(停)广--4.0H=. 于是梯形面积=MN·2OH=5√2I. 变式323.提示：：AELBE,.∠AEB=90 CD是△ABC的中线，AB=4,∴，DE是△ABE斜 边上的中线，∴DE=AD=号AB=2.:∠DAC= AD平分∠BAC,CF平分∠BCA, 90°，E是CD的中点，.AE=DE=(CE=2,∴CD ∴∠APC=90°+号∠ABC=90+30=120, 4,由勾股定理得AC=CD-AD=√4-2=23. ∴.∠CPD=60°， 度32y6。提示：如图，连接ECE-3AE-1, 又：CD⊥AD,∴∠PCD=30°，故①正确. ∴.AE=3,AC=4,而根据作图可知MN为AB的垂直 ,∠CGD=∠GCP+∠CPG=∠GCP+60°，∠AFC 96 参考答案与提示 =∠GCP+∠FBC=∠GCP+60°， "'EQ≥ME-MQ,,EQ≥3-1， ,∴.∠AFC=∠CGD. ∴Q的最小值是3-1. 又：∠CGD+∠GCD=90, 如图，连接GH并延长交CD于点Q. ∴∠AFC+∠GCD=90°，故②正确. :AE=DE=BC=号AH,无法判断BG=AH,故 ③错误. :∠PCD=30°=∠PHD,CF为∠ACB的平分线， ∴.HP为∠FHG的平分线， "矩形ABCD≌矩形BGFE..AB=CD=BG= ∠FHP=∠GHP, 10,BC=FG=6,FG∥AE∥CD,∠GQ=90°， 在△HFP和△HGP中，PH=PH, ∴.∠HFG=∠HDQ. ∠HPF=∠HPG=60°， H为DF的中点，HF=HD .△HFP≌△HGP(ASA). ∠HFG=∠HDQ, .HG=HF=CG.FP=GP. 在△HFG和△HDQ中，HF=HD, ∴.AF+CG=AF+HF=AH=AC,故④正确. ∠GHF=∠QHD, 如图，作PMLAB于M,PNLAC于N,PQ⊥BC于 ∴.△HFG2△HDQ(ASA),∴.DQ=FG=6,HG Q,∴.PM=PN=PQ, HQ.CG-=BG-BC-10-6-4.CQ-CD-DQ-10- S.wr-jAFXPM.Sem.-jCGXPQ.Sw- 6=4,,.△GCQ是等腰直角三角形， .GQ=/2CQ=42. 乞ACXPN,.∴Sr十Sa元=5ae,故⑤正确， 在Rt△GCQ中，HG=HQ, 固3-1.提示：如图，作EN⊥AB于N,取BD的中 cH=2cQ-号×4E=22. 点M.连接MQ,ME, 7当△A'EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF=90时，如图1所示. 因为△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称， 所以A'C=AC=4,∠ACB=∠A'CB, 因为点D,E分别为AC,BC的中点， :∠C=90°，∠A=30°，BC=2, 所以DE是△ABC的中位线， .AB=2BC=4,AC=V3BC=23. 所以DE∥AB,所以∠CDE=∠MAN=90°， :D是AB的中点，∴BD=2AB=2 所以∠CDE=∠A'EF, 所以AC∥A'E,所以∠ACB=∠A'EC, ∠BQD=90°，M是BD的中点， 所以∠A'CB=∠AEC,所以A'C=A'E=4. ∴MQ-MB=2BD=1. 在Rt△A'CB中，因为E是斜边BC的中点， :E是AC的中点，AE=2AC=3, 所以BC-2A'E=8. 由勾股定理得ABP=BC一AC, NE=AE-AN=BNE=号， 所以AB=√8-4平=4V3. MN-AB-MB-AN-1-1- ②当∠AFE=90时，如图2所示. 因为∠ADF=∠A=∠DFB=90°，所以∠ABF=90°， ∴.ME=√MN+EN=3. 因为△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称。 97 培优竞赛超级课堂日年级数学 所以∠ABC=∠CBA'=45, 如图，过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥ 所以△ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC=4. BC于点N,则MN=AD=② 综上所述，AB的长为43或4. 因为四边形ABCD为等腰梯形，所以BM=CV. M 因为MG=AG×号-45×-6， A 所以CN=MG-MN-CG=6-√②-√2=6-2V2. D 因为AF⊥AE,AM⊥BC,所以∠FAM=∠G=30°， 所以FM=AFX号=4X号=2， 图 图2 所以BF=BM-MF=CN-MF=6-22-2=4-22. aa十b+g 提示：根据中位线定理，第1个中点三角 团32或22或10一42.提示：有如下三种情况. 形的周长是原三角形的二，第2个中点三角形的周长 ①如图1所示，当AE-BE时，过D作DH⊥BC于H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BE=CH 是第1个中点三角形的号，第3个中点三角形的周长 合(BC-AD)=4,所以CE=BC-BE=6. 是第2个中点三角形的2…，于是，第2024个中 因为AE-BE,所以∠B=∠BAE=45, 所以∠AEB=90°， 点三角形的周长为（号×号×合×…×号）a十计 所以∠FEC=180°-90°-45°=45°=∠C e)=atbte 22 所以∠EFC=180°-45°一45°=90. 日221.提示：设第一排有a名学生，则第n排有a+ 所以由勾股定理得CF=EF=3,√瓦. -1名学生，所以a十a+”-D=3125,因为a与 ②如图2所示，当AB=AE=42时， 2 由勾股定理求得BE=8,所以CE=BC-BE-2, n为正整数，n取到最大值，所以a=38,n=50,所以排 同理可求出∠FEC=90°，∠EFC=45=∠C, 在这个等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是 由勾股定理得CF=√E+CE区=2√2. a+a十1-1十1-2+n-2=221 04一2V②.提示：如图，延长AE交BC的延长线于G H BF M 图 图2 因为E为CD的中点，所以CE=DE. 因为AD∥BC,所以∠DAE=∠G=30°. ∠DAE=∠G, 在△ADE和△GCE中，∠AED=∠GEC. DE-=CE. 所以△ADE≌△GCE(AAS), 图3 所以AD=(CG=2,AE=EG=25, ③如图3所示，当AB=BE=4√2时 所以AG=AE+EG=23+23=45. ∠AEB=∠BAE-180°-∠B)=67.5, 因为AE⊥AF,∠G=∠DAE=30°， 所以∠FEC=180°-67.5-45=67.5°. 所以AF=AG×5-43×5-4,GF=2AF=8, 3 3 因为∠C=45°，所以∠CFE=180°-∠C-∠FEC= 98 参考答案与提示 67.5°=∠FEC, =1. 所以CF=CE=BC一BE=IO一4√2. 图C提示：r=号满足1Kr<2,将x=号代入y= 2如图所示，设PQ交AB于E,连接PN, P为BD的中点，N为CD的中点， -+21<≤2)中，得y=-是+2-号 :.PN/CB.PN-CB. 例4D提示：由题意可得，机器人（看成点）分别从M, N两点同时出发，设圆的半径为R,两个机器人 又，Q为MN的中点， 最初的距离是AM+CV+2R,:两个机器人速度相 ∴.△QME≌△QNP, 同，同时到达点A,C,.两个机器人之间的距 从面EM=PN=CB. 离y越来越小，故排除A,C.当两个机器人分别沿 M为AB的中点， A→D→C和C→B→A移动时，两个机器人之间的距 ..AM=BM. 离是2R,保持不变，当机器人分别沿C·N和A→M ..AE=AM-EM=BM-EM=CM+BC-EM=CM 移动时，两个机器人之间的距离越来越大，故排除B. +EM=CE,即直线PQ平分线段AC. 故选D. 因如图所示，自点B,C,E,F分别作直线AD的垂线，垂 例5(1)x≥-2且x≠0. 足分别记为B,Co,E,F,另取线段AD的中点N, (2)-1. 连接MN (3)描点连线绘出如图1所示的函数图象。 因为四边形ABGE是正方形，所以AB=EA, 314 又因为∠BAB=90°-∠EAE=∠AEE,∠ABB =∠EEA=90°，易证△ABB≌△EAE,所以BB =AE. 同理，由于四边形DCHF是正方形，易证△DCC≌ 图I △FDF,所以CC=DF. (4)在每个象限内，函数y随着x的增大而减小（答案 在梯形ABCD中，AD∥BC,BB⊥AD,CC⊥AD,所 不唯一入. 以四边形BBCC是矩形，所以BB=(C。,所以AE (5)1.提示：在(3)的基础上，画出y=x十4的图象， =DF. 如图2，从图象上看，两个函数有1个交点 又因为N为线段AD的中点，所以EA十AN=DF +ND,即EN=NF, 由此可知MN是直角梯形EE,F。F的中位线， 所以MN⊥EF,即MN⊥AD.故点M在线段AD 的垂直平分线上，因此MA=MD 第26讲 变量与函数 例1D 15-x≥0 例2(1)根据题意得 解得x<5. x一5≠0 【变式题组】 （2)把x=1代人解析式可得y-V后一+与=2-1 变式1-1A变式12B 99