第23讲 菱形-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第23讲 菱形 情境课堂 菱形邮票的历史 所谓异形邮票,是相对于矩形邮票来说的,世界上第一枚邮票是1840年英国发行的黑便 士邮票,邮票是矩形的,在集邮界,凡是非矩形邮票,都可称为异形邮票,185l年,英属新不伦瑞 克发行的3便士菱形邮票,是世界上第一枚菱形邮票 在世界各国的异形邮票中,除了菱形邮票外,还有梯形、平行四边形、三角形、圆形、圆 形、多边形、钻石形、水果形、鸟兽形、人形、照相机镜头形等异形邮票。 2001年9月28日,国家邮政局发行了我国第一套4枚菱形邮票《兜兰》,同时发行了一枚 小全张,从邮票的印刷和排版上看,菱形邮票的排版与正方形邮票相同,只要在正方形邮票的 基础上,将邮票上的图形作45度的旋转,就成为菱形邮票了 国外不仅早就发行过菱形邮票,还发行过菱形的兰花邮票,如1937年12月,哥斯达黎加 的首都圣何塞举办了全国农业展览会,发行了1套13枚纪念邮票,其中第一枚邮票就是菱形 邮票,画面上是哥斯达黎加的国花卡特莱兰花(图1).1968年,民主德国发行了1套6枚热带 兰花邮票,也采用了菱形票幅(图2).兰花,尤其是热带兰花,花姿妖娆,花朵大而艳丽,用菱形 构图,更能显示其独特的风姿。 虽说《兜兰》邮票是我国发行的第一套菱形邮票,可是在我国发行的邮资明信片上,却早就 使用过菱形的邮资图了,1981年,我国发行的第一套共2枚邮资明信片上,邮资图就是菱形的。 画面分别为狗造型的中国传统艺术品,以及两只黑白天鹅,此后,我国发行的纪念邮资信封和 纪念邮资明信片上多次使用过菱形的邮资图,美在出新是邮资票品设计中的一条重要原则,而 菱形构图,更是获得了众多邮票设计者的青睐。 图1 图2 .典例剖析z 类型1 萎形的性质 1如图,在菱形ABCD中,/BAD-80*,AB的垂直平分线交对角 线AC于点F,E为垂足,连接DF,则 CDF的度数为( A.80。 B.70* C.65* D.60* 【学找切入点】 菱形具有对称性,再由线段垂直平分线的性质找角之 《138 第23讲 菱形 间的关系 变式 1如图,四边形ABCD为菱形,ABC-70{},延长BC至点E 在 DCE内作射线CM,使得 ECM-15{,过点D作DF ICM,垂足为 EM F,若DF一/5,则对角线BD的长为 (结果保留根号). E 变式12(2024,重庆育才中学期末)如图,四边形ABCD为菱形,点F在菱形对角线BD 的延长线上,点E在边AB上,线段EF与AD交于点G,EFIAB,且EF=AB,其中FG=4,BE= 3,求AG的长. 知识清单 萎形的性质 1.菱形具有平行四边形的性质 4.菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角 2.菱形的四条边相等。 线所在的直线. 3.菱形的对角线互相垂直且平分两组对角. 5.菱形的面积等于对角线乘积的一半。 类型2 菱形的判定) 利2(2023,云南中考)如图,平行四边形ABCD中,AE,CF分别是 BAD.BCD的角平分线,且E,F分别在边BC,AD上,AE=AF (1)求证:四边形AECF是菱形 (2)若 ABC=60{*},△ABE的面积等于4v3,求平行线AB与DC间的距离 【学找切入点】 (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)从△ABE的形状入手 变式2-1(2023,天津中考)如图1,在平面直角坐标系中,O为原点,菱形ABCD的顶点 A(3.0),B(0,1).D(23,1),矩形EFGH的顶点E(o,),F(-v3.),H(o,). (1)点C的坐标为 ,点G的坐标为 (2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移,得到矩形EFGH,点E,F,G,H的对应点分别 为E',F,G,H',设EE'-t,矩形E'FGH'与菱形ABCD重叠部分的面积为S ①如图2,当边EF'与AB相交于点M、边GH'与BC相交于点N,且矩形EFG'H'与菱形 ABCD重叠部分为五边形BME'HN时,试用含有/的式子表示S,并直接写出.的取值范围 139》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 ②当2③ 3 4 ### GHNH 图1 图2 变式2-2 (2024,合肥四十五中期末)如图,已知△ABC是等腰三角形,顶角 BAC一a( 60*}).D是BC边上的一点,连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转a到AE,过点E作BC的平行 线,交AB于点F,连接DE,BE,DF (1)求证:BE-CD (2)若AD BC,试判断四边形BDFE的形状,并给出证明 D方法视窗 菱形的判定 1.一组邻边相等的乎行四边形是菱形 4.对角线平分一组对角的平行四边形是 2.四条边都相等的四边形是菱形. 菱形. 3.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 5.对角线互相垂直的乎行四边形是菱形. 类型3 萎形与质点运动, 3(2024,临川一中月考)如图,在Rt△ABC中,B-90{,AC-60,AB-30.D是AC上 的动点,过点D作DFIBC于点F,过点F作FE//AC,交AB于点E.设CD=x,DF=y. (1)求v与x的函数关系式 (2)当四边形AEFD为菱形时,求:的值 (3)当△DEF是直角三角形时,求x的值 【学找切入点】 (1)在CDF中寻求x与y的关系.(2)利用“若四边形 《140 第23讲 形 AEFD为菱形,则FD三DA”建立方程求解。(3)八DEF为直角三角形,并没有交代清楚直角项 点,需分类讨论,然后每一类建立方程求解 变式3-1(2022,德阳中考)如图,在菱形ABCD中,ABC-60{},AB-2v③cm,过点D 作BC的垂线,交BC的延长线于点H,点F从点B出发沿BD方向以2cm/s的速度向点D匀 速运动,同时,点E从点H出发沿HD方向以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点E,F的运动 时间为t(单位:s),且0 3,过F作FG1BC于点G,连接EF (1)求证:四边形EFGH是矩形 (2)连接FC,EC,点E,F在运动过程中,△BFC与△DEC是否能够全等?若能,求出此时 的值;若不能,请说明理由 1 类型4 菱形性质与判定的综合运用 例4(2024,南宁三中期末)如图,在坐标系中放置一菱形 OABC,已知 ABC一60{},OA一1,将菱形OABC沿:轴的正方向无 滑动翻转,每次翻转60{,连续翻转2024次,点B的落点依次为B, B,B,...,则B的坐标为 B.(B,B) 【学找切入点】 因为要找的是连续翻转2024次后落点B的坐标,2024数据太大,落点 的坐标是否有规律?可画出图形,寻求横、纵坐标变化的规律 变式 过4-1 (2024,合肥寿春中学月考)如图,在菱形ABCD中,A-100{,M,N分别是边 AB,BC的中点,MPCD于点P,则NPC的度数为 -r 变式41图 变式4-2图 变式42(经典,绵阳中考)如图,在菱形ABCD中,A一60{*},G为AD的中点,点E在 BC的延长线上,F,H分别为CE,GE的中点,EHF- DGE,CF-V7,则AB- 14) 培优竞赛超级课堂 日年级数学 类型5 萎形的轴对称性与几何最值) 利5(2024,黄石十四中月考)如图,在边长为4的菱形ABCD中, BD-3AB,将△ABD沿射线BD的方向平移,得到△EFG,连接EC. ED.FC,则EC+FC的最小值为 【学找切入点】 由菱形的性质将FC等量代换成ED,利用“将军饮马”原理找最小值的位置 变式51 (2024,安庆二中期末)如图,在矩形ABCD中,AB一4. AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF的中点,连接PB 则PB的最小值是 研讨乐园 例6(2024,景德镇一中月考)如图1,在△ABC中,AB一AC,延长边AB到点D,延长边 CA到点E,连接DE,恰有AD-BC一CE-DE,求 /BAC的度数 【学找切入点】 条件中没有任何角度信息,只有两组相等的线段,如何求出一个角的度数? 如何将分散的相等线段转化到一个三角形中,实现边角转换? 【解】 甲的探究 考虑到已知条件中两组相等的线段还隐含第三组相等线段AE一BD.只 要将BD平移到CF的位置,这些分散的相等线段就构成两个等腰三角形且△ADE与△CEF全 等,△EDF为等边三角形,从而求出BAC 图1 图2 如图2,过点C作AD的平行线,与过点D所作的BC的平行线交干点F,连接EF,则四边形 BCFD为平行四边形, ..DB=CF,BC=DF,EAD= /ECF ·AB-AC.AD-CE..'AF-DB 在△ADE与△CEF中,AD=CE,AE-DB=CF,EAD= ECF. ..△ADE△CEF(SAS),..ED-EF. 又ED=BC=DF, ..△DEF是等边三角形,.. EDF-60{ 设 ABC-x,则 BAC=180*-2x, ADF=x,EAD-2x.'.ADE=180*-4x. 由ADE十ADF-60{,可列出方程180*-4x十x-60{},解得x-40*} .B/AC-100 乙的探究 分别过点C.D作CG/ED,DG/EC,DG.CG相交于点G,连接BG,如图3. 《142 第23讲 菱形 丙的探究 分别过点B,E作EC,BC的平行线,两线相交于点H,连接DH,如图4 同学们不妨试一试并写出其过程 C 图3 图4 能力平台 蹈优|练 (建议用时:30分钟) 分别作AD,DC延长线的垂线,垂足分别为 1.(2024:南昌二中月考)如图,在菱形ABCD 点 E,F,若 ABC-120{*},AB-2,则PE PF的值为( -. 中,AB-8,点E,F分别在AB,AD上,且 AE-AF,过点E作EG/AD交CD于点G 过点F作FH/AB交BC于点H,EG与 FH交于点O.当四边形AEOF与四边形 CGOH的周长之差为12时,AE的值为 B.3 ( C.2 B.6 C.5.5 A.6.5 D.5 #_#7## 4.以点A(4,1),B(0,4),E,F为顶点的四边形 为菱形,其中E为y轴上一点,F在坐标平 面内,则符合条件的点F的坐标为 AF 5.如图,矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均 第1题图 第2题图 交于点O.且EG/BC,将矩形折叠,使点C与 2.如图,在菱形ABCD中, A-60*,AD-8. 点Q重合,折痕MN恰好过点G.若AB-/6 F是AB的中点,过点F作FE AD,垂足 EF-2. H-120*,则DN的长为 为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移 得到AEF,设P,P'分别是EF,EF'的 中点,当点A与点B重合时,四边形 FD PPCD的面积为( ). B A.28/3 B.243 第5题图 第6题图 C.32③ D.323-8 6.(2024,重庆八中月考)如图,在边长为2的 3.(2021,乐山中考)如图,已知点P是菱形 菱形ABCD中,ABC-60{*,若将△ACE ABCD的对角线AC延长线上一点,过点P 绕点A旋转得到△ACD,当AC',AD分别 143》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 与BC.CD交于点E,F时,△CEF的周长的 9.已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的 最小值为 乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的 7.(2024,重庆南开中学期末)如图,在菱形 一个钝角的大小是( ). A.165* B.150* C.135{ $ABCD中,AB=5,BE=4,过点E作EG$ D.120* AD于点G,连接DE,若 /A=4 DEG,求 10.在菱形ABCD中. DCB=120{*},E为CD EG的长. 上一点,F为CB上一点,EAF-30 (1)如图1,连接EF,求证:EA平分 DEF. 7 图1 图2 赛训练 (建仅用时:20分钟) 8.(2024,安庆四中期末)如图,菱形ABCD的 边长为1,BD-1,E,F分别是边AD,CD上 的两个动点,且满足AE+CF一1,设△BEF 的面积为s,则;的取值范围是( ). <1 B33 <③ 8 《144参考答案与提示 #AD-AD 最大值与最小值之和为300 (1)四边形CEGF是菱形.证明如下: 又'AD-/3AB 由题意可知EF是CG的垂直平分线 .NN-3AB-ABMM. ..FC-FG,EC-FG. 又'AD//BC. ..GFECEE 由折叠的性质知 CEF一 GEF 当点M在点M位置时 '. GFE=$$GEF$ $'$EG=FG-FC=EC$$ .OMA-90”,N'AB-90.MON'-90 '.四边形CEGF是菱形. '.四边形AMON'是矩形. (2)如图1,当点F与点D重合时,四边形CEGF是正 '此时Swv-SMow,故②正确. 方形,此时CE最小,且CE-CD-3. 由题意可得MN-(AB-BM)*+(AD-DN ? AB-2AB·BM+BM*+AD-2AD·DN+DN$= D(F.HD A(G)f ($AB-2AB·BM+3AB$-2 3AB·DN)+BM$+ DN$=(4AB$-2AB·BM-2/3AB·DN)+BM+DN 图1 'AN-AD+BM-AB+BM. 图2 如图2,当点G与点A重合时,CE最大. $DN=AD-AN-V3AB-(AB+BM)= 设CE-x,则BE-9-r,AE-CE-x. #AB{A.A 在Rt△ABE中,AB+BE-AE, 即9+(9-x)-r.'x-5.即CE-5. $23AB·DN=23 AB·(2AB-BM)- 综上所述,线段CE的取值范围为3 CF 5 第23讲 菱形 4AB-2AB·BM D 提示:如图,连接BF,在菱形ABCD中,BAC '.MN*-(4AB-2AB·BM-23AB·DN)+ - BBD-$×80{-40” BCF- DCF-BC- BM$+DN*-BM*+DN,故③正确 回33. 提示:如图所示,取BC的中点Q,连接MB. DC. ABC-180{*-BAD=100{$·EF是线段AB$ AQ.则MBC-MCB,故 MBN= MBC 的垂直平分线,.'.AF=BF, ABF-BAC-40*。$ NBC- MCB- NBC-33{$由图形的对称性知 '. CBF= ABC- ABF=60{·CF-CF NAQ-33{。因为MC//AQ,所以 MPA=NAQ 'BCF△DCF(SAS).'. CDF=CBF=60 -33”. C 0300. 提示:设AP=x.AS=y.CQ=u.CR=v(0 (1)''四边形ABCD是平行四边形, r.8.0y.6),于是PQ+QR+RS+SP= . BAD- BCD.AD//BC &++++(8-)+(6-y)+(6-)+(8 .AE,CF分别是BAD,BCD的平分线, )-2-16r+2-12+-12+2-16-+200 $. BAE- DAF- BAD. BCF- DCF- -2(-4)+2(-4)+2(y-3)+2(-3)+100 1_BCD..DAE-/BCF. 所以当x-y-u-v-0时,和取得最大值200 当x=v-4,y=a-3时,和取得最小值100. .AD/BC,'.DAE- AEB 81 培优竞赛超级课堂 日年级数学 '. BCF=AEB,'.AE//FC. 若 DEF-90{,如图2. ·.四边形AFCF是平行四边形 在Rt△ABC中, B=90{.$ .AE-AF,'四边形AECF是菱形 C=30$$AC-60$AB-30. (2)如图:连接AC 由勾股定理得BC-30/3. .AD/BC ·四边形ABCD是平行四边形, .FE/AC. .EFB=/C-30*。 图2 . DAE-AEB “DFC-90”..DFE-60{. .AE平分 BAD ../BAE DAE 而 DEF-90*,'EDF-30*。 '. BAE- AEB...AB-EB. 在Rt△DFC中,DFC=90{},C=30{,$CD=. . ABC-60.'△ABE是等边三角形 .DF-/CF.# . BAE-AEB-ABE-60 .gA . 同理,在Rt△DFE中. DEF=90{。 EDF-30{ ·△ABE的面积等于43. DF-.EF一. 'AB-4.即AB-AE-EB-4. 由(1)知四边形AECF是菱形,.'.AE一CE-4. 在Rt△EBF 中, EBF-90” EFB-30”,EF-, 'EAC-ECA. .FBrF-#- .AEB是△AEC的一个外角. .. AEB-EAC+ECA-60 .FB+CF-CB. '.EAC- ECA-30*。 '. BAC= BAE+EAC-90*,即AC1AB. 解得x-48. 由勾股定理得AC-BC-AB-(4+4)*-4 若 DFE-90*,显然不成立. 4v3,即平行线AB与DC间的距离是43. 综上所述,x-30或48. 例(1350.0).提示:如图,连接AC. ·四边形OABC是菱形,'.OA-AB-BC-CC ·ABC-60”,..△ABC是等边三角形 '.AC-AB. ..AC-OA. (1)在Rt ABC中.B-90*.AC-60.AB-30 .OA-1..AC-1. .AB-AC._C-30”。 画出第5次,第6次,第7次翻转后的图形:如图 在△DFC中,DF 1BC,则 DFC-90*。 由图可知每翻转6次,图形向右平移4 ·.2024-337×6+2. “C-30”DFCD,即y-(0<60). '.点B:向右平移1348(即337×4)到点B; (2)若四边形AEFD为菱形,则DF-DA.其中DF .点B的坐标为(0.v③). y.AD-60-r. .x-60-x,解得x-40. .点B的坐标为(2.0). (3)若 FDE-90{},易证四边形DFBE是矩形(如图1). .点Bo.的坐标为(1350.0). .DE/FB .:FE/AC. :.四边形CDEF是平行四边形 '.EF-CD-x..四边形 AEFD是平行四边形, B(B,B.) ..EF-AD-60-x. 图1 例4v3. 提示:如图,作点D关于定直线AE的对称 'x-60-.r,解得:-30. 点M.则ED-FM 82 参考答案与提示 &f :EF-AB,FEB- ABH-90{} '.△FEB△ABH..BE=BH. '.TE-HT=HB-BE-3. 根据菱形的对称性可知HB一HD,HD AD ..HD-HT,连接HG. '.Rt△DHG-Rt△THG(HL). ..DG-GT. ..FC+FC=EC+ED=FC+EMCM.CM的长度 $$AG-AD-DG-EF-GT-FG+TE-3+4-7. 即EC+FC的最小值 鹿21(1)(3.2):(一3.). 提示:如图1,连接 · EAD- ADB-30*,AD=4. .ADM-60. “点D.M关于AH对称,.DH-MH-AD-2. AC.BD,交于一点K. ..DM-4...DM-CD. CDM-/MDB+CDB-90*+30*}-120 ..CMD= /DCM-30*. '. CBD= CDB- CMD- DCM. 圈1 .:CD-CD...△CDM△BCD. ·四边形ABCD是菱形,且A(/3.0),B(0.1).D(23. '.CM-BD4/3,则FC+FC的最小值为4③ $.AC 1BD,CK-AK-OB=1.BK-KD=$OA 【变式题组】 -3. 变式1125. 提示:如图,连接AC交BD干点H ..AC-2. .C(3,2). 由菱形的性质得 BDC-35{, DCE-70{。 '四边形EFGH是矩形,且E(o,),F(-v3. .MCE-15*..DCF-55. .DF1CM..CDF=35”. ).H(o.). 又:四边形ABCD是菱形, *.BD平分/ADC.AC BD $EF-GH-3.EH=FG=1.'.G(-3.). .HDC-35*. (2)①:点E(o.),点F(一3.),点H(o.3) 在△CDH和△CDF中. EM (CHD-CFD. '在矩形EFGH中,EF/x轴,EHL:轴,EF-③ 1 HDC- FDC EH-1. .DC-DC. '.在矩形EF'GH'中,EF'/:轴,EHI:轴,EF' ..△CDH△CDF(AAS). -V3.FH'-1. '.DF=DH-. '.DB-25 由点A(3,0),点B(0.1),得OA-3,OB-1.DBA 变12如图,过点B作BHAB交AC于点H.过点 -600 H作HT1EF于点T,则四边形HBET是矩形,连接 在Rt△BME中,由 EB-1--,EBM-60”。 HD.设AC与BD相交 于点O. 得EM一# ·四边形ABCD是菱形, 4. SAr-eBxEM一 同, SAo. .ACBD. '.FBE+OAB-90{ .EE'-1.'.Srmrrr-EE'xEH-1, ".EF1AB, 又s-Srn-Sm-Snu,.S-t-3. '. F十FBE-90,.F-OAB. 83 培优竞赛超级课堂 日年级数学 22(1)由题意知AE-AD.AB=AC, BAC= EAD-a. 叠部分为△BEH'. : BAC= BAD+DAC.EAD=BAD+ EAB..EAB=DAC. ..EABDAC. 叠部分为五边形BME'H'N ..BE-CD ._.的取值范围是^<<. (2)四边形BDFE是菱形,理由如下: *AB-AC.AD BC. ..BD=CD <S/3. 提示:由①及题意可知,当23 < .BE-CD. ..BE-BD. .△EAB△DAC.'.EBF=C 33时,矩形FF'G'H'和菱形ABCD重叠部分的面积 .ABC=C..'.EBF= ABC S是增大的,当3 11时,矩形EF'G'H'和萎 又BF=BF. .$EBFADBF(S$AS$) '.FF-DF. 形ABCD重叠部分的面积S是减小的. .EF/BC. '. EFB FBD 当1-3时,矩形EF'G'H'和萎形ABCD重叠部分 '.EFB- EBF. ..EF-EB '$BD-BE一EF=FD. ..四边形BDFE是菱形. 如图2所示. 31(1)*: EH BC.FG1 BC. '.EH//FG ) 由题意知BF=2t cm,EH-t cm. G HN ·在菱形ABCD中. ABC-60{, 'CBD-30*. 2□ .FG-BF-1 cm M ..EH-FG. 0 A 图2 '.四边形EFGH是平行四边形 此时面积S最大,最大值为S-1×/③-/③. . FGH-90{}'.四边形EFGH是矩形. 当-11时,矩形FF'G'H'和菱形ABCD重叠部 (2)△BFC与△DEC能够全等,理由如下 ·在菱形ABCD中. ABC=60”,AB=23cm 分如图3所示 '. ADC= ABC-60{$CD-AB=2 3 cm,AB/ CD. _---H CBD= $CDB=30 DCH= ABC=6 0$ .DH BC,'. CHD-90{, ' CDH=90{-60=30*= CBF$$$ 图3 ·在R△CDH中,DH=2v3X3 由(1)可知B.D之间的水平距离为2v3,则点D到边 G'F'的距离为/3-(13-2/③)-3. :BF-2t cm,EH-1cm. '.DE-(3-7)cm. *.当BF=DE时,△BFC△DEC...21=3- . 易知D-60{} ..-1. ·.矩形EFGH'和菱形ABCD重叠部分为等边三角形, 瘦式4-150”. 提示:如图,连接AC,延长MN交PC的 且该等边三角形的边长为. 延长线于点O. 此时面积s最小,最小值为- 因为M和N分别是边AB和BC的中点,所以MN为 △ABC的中位线,所以MN/AC.MN-AC. 综上所述,当2{<1时,<3. 在菱形ABCD中,AB/CD.AC平分BAD. 84 参考答案与提示 所以在四边形AMOC中,AM/ '.当BP PP时,PB取得最小值,BP的最小值为 OC. B$ 的长.':CP =BC-2.'$BP.-2②..$PB$ 又因为AC/MO. 的最小值是2/② 所以四边形AMOC为平行四边 P 形. 因为乙BAD-100,所以乙BAC-1乙BAD=50”。 所以MOC- BAC-50{ 【能力平台】 因为MN-AC,所以MN-ON, C 提示:四边形AEOF和四边形GOHC都是菱形 所以Py为MPO的中线 4AE-4BE-4AE-4OH-12.',AE-BE-3. 因为MP1CD于点P,所以MPO-90{ 而AB-AE+BE-8. '.AE-5.5.BE-2.5. 所以△MPO为直角三角形 图A 提示:如图,分别 所以PN一ON(直角三角形斜边上的中线等于斜边的 过点D.P,E作DH 一半),所以八NPO为等腰三角形。 AB.PK AB.EL] AB,垂足分别为H,AtKHF 所以NPC-MOC-50 AA) 变424. 提示:如图,连接CG,过点C作CM1AD. K.L.则EL/PK//DH.在菱形ABCD中.A-60. 交AD的延长线于点M AD-8,F是AB的中点:..AF-4,EF-2V③,DH- ·.F.H分别为CE,GE的中点. 43,..EL-3.'·P是EF的中点,PK/EL. '.FH是△CEG的中位线 .Hr-]G. 行四边形,.□PPCD中PP'上的高为4v3-3- ·四边形ABCD是菱形,A .# '.AD//BC.AB/CD .S-7×8-28、3. .DGE-E. .EHF-DGE,..E- EHF. B 提示:.在菱形ABCD中,ABC=120{AB-2. '. BAD= BCD=60*$DAC=$DCA-30*$$ $.HF=EF=CF-V7'$CG-2HF-27 :AB/CD..CDM-A-60。 AD=AB-2.BD | AC 在Rt△AOD中,OD-AD-1,OA-VAD-OA 设DM-x.则CD-2x.CM-/3x. .G为AD的中点,'.DG-x. -3..AC-2OA-2v3. 在Rt入CMG中,由勾股定理得 在Rt△APE中, DAC-30”,PE-AP. CG-GM+CM-V7:-2/7 '-2.AB-CD-2x-4. 在Rt△CPF中, PCF- DCA-30*PF-CP$ 应52v②. 提示:如图,当点F与点C重合时,点P PE-PF-AP-CP-(AP-CP)AC 在点P处,CP -DP,当点F与点E重合时,点F 在点P。处,EP。一DP。,由中位线定理可知,PP/ ..PE-PF-3. (-4.1)或(4.-4)或(4,6)或(4.31). CE且P.P=CE. 当点F在EC上除点C.E外的 提示:当以 点A,B,E,F为顶点的四边形是菱形时,则以点A. 位置处时,有DP一FP.由中位线定理可知,PP/CE B.E为顶点的三角形为等腰三角形。 且PP-CF. '点P的运动轨迹是线段PP. ①当AB一AE时,如图1,连接AF,交v轴于点G,则 85 培优竞赛超级课堂 日年级数学 AGLy轴. CM. MOG- /MCG ·.A(4.1),'$OG-1,AG-4.·四边形ABFE为菱 '.PG-CG-CP 形,'$AG-FG-4..F(-4,1). ②当AB-BE时,如图2..A(4.1).B(0,4). *.AB- (4-0)+(1-4-5. OG//CM...MOG+OMC-180”. '. MCG+OMC=180{. 'AB-AF=AF-5..$F(4.-4.F(4,6). ..OM/CG ③当BE一AE时:如图3:则点E在线段AB的垂直 *.四边形OGCM为平行四边形 平分线上, ·OM一CM..'.四边形OGCM为菱形 过点E作EHIFA于点 H.设E(0,w),则BE-4一m. 'CM-OG-③ '.H(4,m),..AH-1-m,EH-4. 过点N作NO MC于点O.NQ GP于点K ·四边形AFBE为菱形,..AE-BE-AF=4-m. 根据题意得KG是三角形MNQ的中位线. 在Rt△AEH中,AH+EH-AE. ..MO-2KG '.(1-m)+4-(4-m),解得n- ..DN=PK-CQ-CM-MO=CM-2GK=CM- 2(PG-PK)-CM-2(PG-DN) AF-BF-25. .F(4.31). ·.DN-2PG-CM-/6-③ 综上所述,符合条件的点F的坐标为(一4.1)或 D2十/③. 提示:易证△ADF△ACE. (4.-4)或(4.6)或(4.31). 则DF-CE,AF-AE,△AEF为等边三角形,C CE+CF+FF-DF+CF+EF-CD+EF-2+AF ·当AF1CD时,AF最小,最小值为v③. 1F ..△CEF的周长的最小值为2+3 7设 DEG-,.EGAD. . DGE-/GEB-90* .GDE-DEC-90*-a. “:A-4DEG,.A-4a. “r '. ABC-180*-4 A-180*-4a 图1 罔2 ·.BD是萎形ABCD的对角线. # ' ABD=DBC-ADB- BDC-90*-2 '. BFE=90*-DBC-90{-(90*-2a)-2 '. BDE- BFE-DEF-2a-a-a. 如图,过点D作DM1BD 交BC的延长线于点M. 图 则 EDM-90*-. DMB E6-③. -90- DBM-90*-(90” 提示:如图,延长EG交DC于点P,连接 GC,FH. -2g)-2. .. /MDE-/MED ..DM-EM 又.BDC-90*-2. BDE-a. ·四边形EFGH是萎形, EHG-120{。 '. EDC- BDC- BDE-90*-3. '$GH-EF=2./OHG-60*,EG 1FH. '. MDC-EDM-EDC-90--(90*-3)=2 '.OG-V③.由折叠的性质得CG-OG-3.OM= .. MDC= M .MC=DC-5. 86 参考答案与提示 “.BC-5.BE-4. .CE-1. (1)在DC上截取GD=FC,连接AG.FG.AC,如图1 ..MD-ME-MC+CE-5+1-6 .AD-CD-AB=CB.B- D-60. *.BM-BC+CM-5+5-10. *.八ADC和ABC都是等边三角形: 在Rt△BDM中,BD+MD-BM$ 'AD-AC.D- ACF= DAC=60 *.BD-BM-MD-10-6-8$$$ ..ADGACF. 过点D作DN I BM于点N,则FG-DN '.AG-AF, DAG- CAF. 又.BD·DM-BM·DN. .FAG=CAF+CAG=DAG+CAG= .DN-BD.DM8X624. DAC-60{,..△AFG是等边三角形 .EG-24 BM 10 FAF-30*./EAG- EAF=30 BD 提示:·四边形ABCD是菱形. ..AE垂直平分FG,'.EF-EG. *.AD=BC-CD-AB-1. *. AFG AEF. '.EA平分/DEF :BD-1...AB-AD-BD ..△ABD是等边三角形. '.A-ADB-C-DBC-60 .AE+CF-1,AE+DE-1...DE-CF 图1 DE-CF, 图2 在△BED和△BFC中ADB-C. (2)在DC上截取GD=FC.连接 EF,AG.FG.AC.如 BD=BC. 图2.由(1)得AG=AF,EF=EG, FAG=6 0{$$$ ..△BEDCBFC(SAS) △AFG是等边三角形. “CD-GD-CB-FC. ..BE-BF, EBD- FBC .BF-CG *. EBF- EBD+DBF-FBC+DBF BF-2FC...CG-2GD DBC-60{. 作GP 1AD于点P.FQ1DC交DC的延长线于点Q ..△BEF是等边三角形. 则 APG- GQF-90{*,设PD-m. 根据等边三角形的面积公式得x-BE*, . DPG-90$D-60*$'DGP-30{} ..GD-2PD-2m,CG-2GD-4m. 当点E与点A或点D重合时,BE最大,此时BE-1 *AD-CD-2m+4m-6m.'PA-6m-m=5m 此时;最大,且最大值为-3 ' D= AGF-60*.AG=GF '. PAG-180*- D- AGD-120*- AGD 当BEIAD时,BE最小,则AE-AB-,由勾股 $QGF=180$- AGF- AGD-120*- AGD . PAG-QGF,'△PAG△QGF. ..PG-QF,PA-QG-5m. 小,且最小值为,-#(3)-## 'QF-PG-(2m)-n-3n。 .QF+FQ-EF,EF=EG,FQ-5m-EG DB 提示:过点A作AE1BC(图略),因为Smuco= AC·BD-BC·AE.又AC·BD-AB,所以 AB"-BC·AE,所以AE-AB,所以乙ABC- .D .D的值是4. 30*,于是BAD-150”。 87