第21讲 平行四边形-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第21讲 平行四边形 情境课堂 从平行四边形法则看数学与物理的关系 数学是物理的基本工具之一,没有数学就不可能得到深层次的物理,就 好像没有微积分就没有牛顿力学的繁荣,没有黎曼几何和张量代数就没有爱 因斯坦的相对论一样,物理是数学得以向前发展的动力之一,物理总是在给 数学提出一个又一个问题,在以后的学习中,大家会很深刻地体会到这一点 ##l### 15 实际上,在很多大学,数学与物理是不分家的,至今仍有很多大学有“数学与 物理系”。 50 下面我们通过一个例子来说明数学与物理的关系。 牛顿与二项式定理 一个氢气球在无风的情况下以速度v(单位:m/s)垂直上升,在有风的时候,它还会垂直 上升吗?如图1,如果风的方向是水平的,速度为v(单位:m/s),你能找到气球的实际上升方 向并求出它的速度吗 _ 图1 图2 实际生活中,这样的例子还有很多,例如,对一个物体M施加两个成某个角度的力F:和 F。,这个物体的实际受力效果并不是F,和F。的简单叠加,它们的合力F的大小和方向由以 F.和F。为边的平行四边形的对角线决定(如图2).对既有大小又有方向的量求和时,一般都 采用上面的方法,我们把这种方法叫作平行四边形法则。 现在,你能找到气球实际上升的方向并求出它的速度了吗? 典例剖析 类型1 平行四边形的性质 1(1)(2024,马鞍山七中月考)如图1,□ABCD的顶点A,B,D的坐标分别为(1,1). (4.2).(2,3),则顶点C的坐标为。 (2)如图2,□ABCD的顶点A(a,b),B(c.d),C(m,n),D(e.f),则四个顶点的横坐标a,c n.e之间的数量关系为 ;纵坐标b.d,n,/之间的数量关系为 (3)在平面直角坐标系中,有A(3,2),B(一1,一4),P是y轴上的一点,Q是x轴上的一点 若以A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形,则Q点的坐标为 《124 第21讲 平行四边形 情境课堂 从平行四边形法则看数学与物理的关系 数学是物理的基本工具之一，没有数学就不可能得到深层次的物理，就 好像没有微积分就没有牛顿力学的繁荣，没有黎曼几何和张量代数就没有爱 因斯坦的相对论一样.物理是数学得以向前发展的动力之一，物理总是在给 数学提出一个又一个问题.在以后的学习中，大家会很深刻地体会到这一点 Q6 实际上，在很多大学，数学与物理是不分家的，至今仍有很多大学有“数学与 c迎b 物理系” 谷品#50 下面我们通过一个例子来说明数学与物理的关系 牛顿与二项式定理 一个氢气球在无风的情况下以速度（单位：m/s)垂直上升，在有风的时候，它还会垂直 上升吗？如图1，如果风的方向是水平的，速度为2（单位：m/s),你能找到气球的实际上升方 向并求出它的速度吗？ 图1 图2 实际生活中，这样的例子还有很多，例如，对一个物体M施加两个成某个角度的力F,和 F2,这个物体的实际受力效果并不是F1和F2的简单叠加，它们的合力F的大小和方向由以 F1和F2为边的平行四边形的对角线决定（如图2）.对既有大小又有方向的量求和时，一般都 采用上面的方法，我们把这种方法叫作平行四边形法则. 现在，你能找到气球实际上升的方向并求出它的速度了吗？ Q典例剖析 类型1平行四边形的性质 例1(1)(2024，马鞍山七中月考)如图1，□ABCD的顶点A,B,D的坐标分别为(1,1)， (4,2),(2,3),则顶点C的坐标为 (2)如图2，□ABCD的顶点A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f),则四个顶点的横坐标a,c, m,e之间的数量关系为 :纵坐标b,d,n,f之间的数量关系为 (3)在平面直角坐标系中，有A(3,2),B(一1，一4)，P是y轴上的一点，Q是x轴上的一点， 若以A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标为 《124 第21讲 平行四边形 1 C D2.3)_ De, Cm,n) B(4.2) A(1.1) A(u.b) Bcd) , △7 1! 2 【学找切入点】 (1)(2)利用平面直角坐标系中点的坐标特征解题.(3)注意分类讨论 变式 1-1(2024,南昌一中月考)已知ABCD的周长为52,自顶点D作DE1AB,DF BC,E,F为垂足,若DE-5.DF-8,则BE十BF的长为 变式12 如图,在ABCD中,AB-6,E为BC的中点,F为CD边 上一点,DF-4.8.DFA-2 BAE,则AF的长为 知识清单 , 平行四边形的性质总结 (1)平行四边形的对边平行且相等, 则有S一S十S; (2)平行四边形的对角相等、邻角互补 b.如图2,当点P在平行四边形内部时,则 (3)平行四边形的对角线互相平分. 有S+S-S+S. (4)平行四边形是中心对称图形(对角线 #### 的交点是对称中心). (5)在ABCD中. a.如图1,当点P是边BC上任意一点时, 图1 图2 类型2 平行四边形的判定 例2(2024.襄阳实验中学月考)下面有四个命题. (1)一组对边相等目一组对角相等的四边形是平行四边形 (2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形, (3)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行 四边形. (4)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平 行四边形. 其中,正确的命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【学找切入点】 画出反例图形或运用平行四边形的判定定理进行判定 125》 第21讲平行四边形 y DX2,3) DXes,DCm,n） B1.2) 41.1) Alu.b) Bc.d) 图1 图2 【学找切入点】 (1)(2)利用平面直角坐标系中点的坐标特征解题.(3)注意分类讨论 变式1-1(2024，南昌一中月考)已知□ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB,DF⊥ BC,E,F为垂足，若DE=5,DF=8,则BE+BF的长为 变式1-2如图，在□ABCD中，AB=6,E为BC的中点，F为CD边 上一点，DF=4.8,∠DFA=2∠BAE,则AF的长为 染知识清单w人一 平行四边形的性质总结 (1)平行四边形的对边平行且相等。 则有S1=S2十Sa; (2)平行四边形的对角相等、邻角互补. b.如图2，当，点P在平行四边形内部时，则 (3)平行四边形的对角线互相平分 有S1+S=S2十S. (4)平行四边形是中心对称图形（对角线 的交点是对称中心). (5)在□ABCD中， a如图1，当点P是边BC上任意一点时， 图1 图2 类型2平行四边形的判定 例2(2024，襄阳实验中学月考)下面有四个命题. (1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 (2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形. (3)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行 四边形 (4)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平 行四边形 其中，正确的命题的个数是(). A.1 B.2 C.3 D.4 【学找切入点】画出反例图形或运用平行四边形的判定定理进行判定， 125》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 变式2-1(2024,重庆八中期末)如图,在四边形ABCD中,AD/BC,B=90{,AB= 8cm,AD-24cm,BC-26cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同 时出发,以3cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运 动,从运动开始,到使PQ//CD和PQ一CD,分别需经过多长时间?为什么? 变式22(2024,武汉外国语学校期末)如图,在/□ABCD中,A一 60{,点F在BC上,将△CDF沿DF翻折,点C在AB边上的点E处,若BC- 2.BE-1,则AB的长为 类型3 平行四边形的判定与性质的综合运用 利3(2024,淮北二中月考)在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D,G,K,Q.下列 四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最 长的行进路线图是( ). C 。 【学找切入点】 分别构造出平行四边形和三角形,根据平行四边形的性质和全等三角形的 性质进行比较即可判断 变式3-1(2024,安庆二中期末)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE1BC,垂足为点E. CE=CD,F为CE的中点,G为CD上的一点,连接DF,EG,AG,1一2 (1D)若CF-2,AE-3,求BE的长 类型4 三角形的中位线 4(2024,南昌外国语学校期中)如图,已知在△ABC中,点E,F分别是AC,AB上的一 《126 培优竞赛超级课堂 日年级数学 变式2-1(2024，重庆八中期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB= 8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动：点Q从点C同 时出发，以3c/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运 动.从运动开始，到使PQ∥CD和PQ=CD,分别需经过多长时间？为什么？ B Q 变式22(2024，武汉外国语学校期末)如图，在□ABCD中，∠A 60°，点F在BC上，将△CDF沿DF翻折，点C在AB边上的点E处.若BC 2,BE=1,则AB的长为 类型3平行四边形的判定与性质的综合运用，~ 例3(2024，准北二中月考)在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D,G,K,Q,下列 四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最 长的行进路线图是( 65 63 65 45°.70245°.709 45°70以43° 70 545 <45°72 45°70%X479 .72 A B D 【学找切入点】分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的 性质进行比较即可判断. 变式31(2024，安庆二中期未)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC,垂足为点E, CE=CD,F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF,EG,AG,∠1=∠2. (1)若CF=2,AE=3,求BE的长. (2)求证：∠CEG=2∠AGE 类型4三角形的中位线 例4(2024，南昌外国语学校期中)如图，已知在△ABC中，点E,F分别是AC,AB上的一 《126 第21讲 平行四边形 点且BF=CE,M.N分别是BE,CF的中点.过点M.N的直线分别交AB,AC 于点P,Q.求证:AP-AQ 【学找切入点】要证AP三AQ,可用等角对等边,即要证 APQ= 之AQP.由已知条件知M,N分别为BE与CF的中点,如果利用三角形的中位 线,则必须作ND//AB或取BC的中点D.再连接ND和MD 方法视窗 , 出现中点的一般解题方法 出现中点,联想到三角形的中位线是常规 位置和大小关系,是我们证明线线平行和倍分 思路,要形成一种习惯性思维,因为三角形的 关系的一座重要桥梁. 中位线说明了它本身与三角形对应第三边的 变式4-1 (2024,武汉武钢实验中学期末)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. AB=OB,E,F分别是OA,OD的中点,连接EF,EMIBC于点M,EM交BD于点N,若 CEF= 45*,FN-5,求线段BC的长 研讨乐园 例5(2024,重庆巴蜀中学期末)如图1,在△ABC中,B-90{,M为AB上一点,使AM- BC.N为BC上一点,使CN-BM,连接AN.CM交于点P,求APM 图1 图2 图3 图 【学找切入点】面对题设中出现的两组错位相等的线段,多数同学往往无从下手,其实,只 要通过平移,就能让这些错位的线段构成全等三角形的对应边,彼此相等的线段就能确定平移的 方向和距离或者说给出了平移的对应点,如图2,因为AM一BC,CN一BM,所以可以将线段AM 平移到CD的位置,使点M与点C为平移前后的对应点,这样就能构造出平行四边形AMCD,从 而得到△CBM与△DCN全等,并产生等腰直角三角形DAN,最后利用等角得出 APM一45* 127》 第21讲平行四边形 点且BF=CE,M,N分别是BE,CF的中点.过点M,N的直线分别交AB,AC 于点P,Q.求证：AP=AQ 【学找切入点】要证AP=AQ,可用等角对等边，即要证∠APQ ∠AQP.由已知条件知M,N分别为BE与CF的中点，如果利用三角形的中位 M N 线，则必须作ND∥AB或取BC的中点D,再连接ND和MD. 方法视窗人 出现中点的一般解题方法 出现中点，联想到三角形的中位线是常规位置和大小关系，是我们证明线线平行和倍分 思路，要形成一种习惯性思维，因为三角形的 关系的一座重要桥梁。 中位线说明了它本身与三角形对应第三边的 变式4-1(2024，武汉武钢实验中学期末)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, AB=OB,E,F分别是OA,OD的中点，连接EF,EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,若∠CEF= 45°，FN=5,求线段BC的长 研讨乐园》 例5(2024，重庆巴蜀中学期末)如图1，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使AM= BC,N为BC上一点，使CN=BM,连接AN,CM交于点P,求∠APM M M 图1 图2 图3 图4 【学找切入点】面对题设中出现的两组错位相等的线段，多数同学往往无从下手，其实，只 要通过平移，就能让这些错位的线段构成全等三角形的对应边，彼此相等的线段就能确定平移的 方向和距离或者说给出了平移的对应点.如图2，因为AM=BC,CV=BM,所以可以将线段AM 平移到CD的位置，使点M与点C为平移前后的对应点.这样就能构造出平行四边形AMCD,从 而得到△CBM与△DCN全等，并产生等腰直角三角形DAN,最后利用等角得出∠APM=45°. 127》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 当然选择不同的线段平移,就会产生不同的做法,如图3、4 【解】方法一如图2,过点C作CD//AM.使CD=AM,连接AD,DN 则四边形AMCD为平行四边形...AD//CM,AD=CM .AM-BC..$CD=BC 又'DCN=B-90{*},CN=BM$$ ..△DCN△CBM...DN-CM.CDN= BCM. . ADC= AMC,.ADN十CDN= BCM十B..ADN= B=90 又.DN-CM=AD,..△AND是等腰直角三角形,..DAN=45*. “.AD/CM..'.APM-DAN-45* 方法二 如图3,过点M作MD/CB,使MD=CN,连接AD,DN. 方法三 如图4,过点A作AD/BC,使AD-CN,连接DM,CD. 以上做法中平移变换真正实现了等角、等边的功能 【思维拓展】 变式1 若例5中AM-BC-4,CN-BM-3,则AN- 变式2 改变例5的题设和结论:若线段AN,CM相交于点P,如 图5.CPN=45*.CNP+AMP-225*$,CN=3,AM-4.则AN 请同学们独立思考. 1,$ 【答案】变式1由例5解题过程可知,BN-1,AB-AM+MB-7, 图5 .AN- AB+BN-7+1-5v2 变式2 同变式1.AN-5②. 能力平台 蹈优训练 (建议用时:50分钟) 3.(2024,武汉外国语学校月考)如图,△ABC 1.(2024,娄底三中期末)如图,二ABCD中. 的周长为26,点D.E都在边BC上,ABC BC-2AB,DE1AB,M是BC的中点, 的平分线垂直于AE,垂足为点Q,/ACE BEM-50*,则B的大小是( 的平分线垂直于AD,垂足为点P.若BC A.100* B.110* D.135* C. 120{ 10.则PQ的长为 {翻 (2_ C 第3题图 第4题图 第1题图 第2题图 4.(2024,南昌一中月考)如图,矩形ABCD中. 2.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,对角线 点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA AC BD.若AD=6.BC=14,则四边形 上,点P在矩形ABCD内,若AB=4cm. ABCD面积的最大值为 BC-6cm,AE-CG-3cm,BF-DH-4cm. 《128 培优竞赛超级课堂 日年级数学 当然选择不同的线段平移，就会产生不同的做法，如图3、4. 【解】方法一如图2，过点C作CD∥AM.使CD=AM,连接AD,DN, 则四边形AMCD为平行四边形.∴AD∥CM,AD=CM ,'AM=BC,∴.CD=BC.又.∠DCN=∠B=90°，CN=BM, ∴.△DCN≌△CBM,'.DN=CM,∠CDN=∠BCM .'∠ADC=∠AMC,∴.∠ADN+∠CDN=∠BCM+∠B,∴.∠ADN=∠B=90°. 又，DN=CM=AD,∴△AND是等腰直角三角形，∴.∠DAN=45. ,'AD∥CM,∴.∠APM=∠DAN=45. 方法二如图3，过点M作MD∥CB,使MD=CN,连接AD,DN. 方法三如图4，过点A作AD∥BC,使AD=CN,连接DM,CD. 以上做法中平移变换真正实现了等角、等边的功能 【思维拓展】变式1若例5中AM=BC=4,CN=BM=3,则AN 变式2改变例5的题设和结论：若线段AN,CM相交于点P,如 图5，∠CPN=45°，∠CNP+∠AMP=225°，CN=3,AM=4,则AN= D45 请同学们独立思考. 【答案】变式1由例5解题过程可知，BN=1,AB=AM+MB=7, 图5 ∴.AN=√AB+BN=√7+1P=5√2 变式2同变式1，AN=52. 能力平台 培优训练 (建议用时：50分钟) 3.(2024,武汉外国语学校月考)如图，△ABC 1.(2024,娄底三中期末)如图，□ABCD中， 的周长为26，点D,E都在边BC上，∠ABC BC=2AB,DE⊥AB,M是BC的中点， 的平分线垂直于AE,垂足为点Q,∠ACB ∠BEM=50°，则∠B的大小是( 的平分线垂直于AD,垂足为点P.若BC= A.100° B.110 C.120 D.135 10,则PQ的长为 H 第3题图 第4题图 第1题图 第2题图 4.(2024,南昌一中月考)如图，矩形ABCD中， 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线 点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA AC⊥BD.若AD=6,BC=14,则四边形 上，点P在矩形ABCD内.若AB=4cm, ABCD面积的最大值为 BC=6 cm,AE=CG=3 cm,BF=DH=4 cm, 《128 第21讲 平行四边形 四边形AEPH的面积为5cm{},则四边形 CD中. ABC=75*$,AF 1BC于点F,AF PFCG的面积为 交BD于点E,若DE=2AB,则 AED的 大小是( 5.(2024,岳阳九中单元检测)如图,在四边形 ). B.65。 C.70* A.60* ABCD中,请过点A作一条直线,将四边形 D.75* ABCD的面积平分,并说明理由。 第8题图 第9题图 9.如图所示,在CABCD中,M,N分别是AB, AD上的点,且 BN-MD,其交点为P,设 CPB=a.CPD=B,则 。. 6.(2024:宜昌五中期末)如图,在△ABC中 A.a-8 D.E分别是AB,AC的中点,连接BE,CD B.a{ 交于点O,连接AO C.B (1)值 D.a,8的大小不能确定 10.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐 标为(9,0),点C的坐标为(3,3v3),四边 形OABC是平行四边形,点D,E分别在边 Q在平行四边形OABC的一组邻边上,以 点D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边 形时,其面积为 B 第10题图 第11题图 赛训练 (建议用时:70分钟) 11.(2024,南京一中月考)如图,分别以 7.某平行四边形对角线的长为x,y,一边长为 Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向 12.则x,y的值可能是( 外作等边三角形ACD、等边三角形ABE A.8与14 B.10与14 C.18与20 D.10与38 8.(2024,黄石八中月考)如图所示,在 AB- 时,四边形ADFE是平行四边形. 129》 第21讲平行四边形 四边形AEPH的面积为5cm,则四边形 CD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于点F,AF PFCG的面积为 cm2. 交BD于点E,若DE=2AB,则∠AED的 5.(2024,岳阳九中单元检测)如图，在四边形 大小是( ABCD中，请过点A作一条直线，将四边形 A.60 B.65 C.70° D.75 ABCD的面积平分，并说明理由. B 第8题图 第9题图 9.如图所示，在□ABCD中，M,N分别是AB, AD上的点，且BN=MD,其交点为P,设 ∠CPB=a,∠CPD=B,则(). 6.(2024,宜昌五中期未)如图，在△ABC中， A.a=3 D,E分别是AB,AC的中点，连接BE,CD B.a>3 交于点O,连接AO. C.a<3 D求82的值， D.a,3的大小不能确定 10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐 (2)若A0=BC,∠ACB=90,求 B的值 标为(9,0)，点C的坐标为(3,3√3)，四边 形OABC是平行四边形，点D,E分别在边 OA,BC上，且OD=0A.CE=4,动点P Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以 点D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边 形时，其面积为 B 第10题图 第11题图 宽赛训练 (建议用时：70分钟) 11.(2024,南京一中月考)如图，分别以 7.某平行四边形对角线的长为x,y,一边长为 Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向 12,则x,y的值可能是( ). 外作等边三角形ACD、等边三角形ABE, A.8与14 B.10与14 C.18与20 D.10与38 EFLAB-于点F,连接DF,当S 8.(2024,黄石八中月考)如图所示，在□AB 时，四边形ADFE是平行四边形. 129》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 12.(2024,安庆二中期末)如图,在△ABC中, 14.(2024,九江十一中期末)已知E是△ABC $BAC=60^{}, ABC=45^{*},AD平分$$$ 的中线AD上的一动点,EF/AC,BF/ CAB交BC于点D,P为直线AB上一 AD交EF于点F,连接AE 动点,以DP,BD为邻边构造平行四边形 (1)如图1,当点E与点D重合时,求证 DPQB,连接CQ.若AC-4,则CQ的最小 AC-DF. 值为 (2)如图2,当点E与点D不重合时,延长 CE交AB于点G,交BF于点H. ①判断四边形ACEF的形状,并说明 理由; ②如图3,AD-5,以BF为腰作等腰直 角三角形FBQ(BF-BQ),连接HQ 13.(2024,常德五中月考)在平行四边形AB CD中.BAD-60{$,AB-AD,M为线段$$ M为HQ的中点,当点E从点D运动 AC上一点(不与点A,C重合),以AM为 到点A的过程中,请直接写出点M的 运动路径长 边向上构造等边△AMN,连接NC.DM,Q # ## 为线段NC的中点,连接DQ,判断DM与 DQ的数量关系,并证明你的结论 图2 13 《130 培优竞赛超级课堂 日年级数学 12.(2024,安庆二中期未)如图，在△ABC中， 14.(2024,九江十一中期末)已知E是△ABC ∠BAC=60°，∠ABC=45°，AD平分 的中线AD上的一动点，EF∥AC,BF∥ ∠CAB交BC于点D,P为直线AB上一 AD交EF于点F,连接AF 动点，以DP,BD为邻边构造平行四边形 (1)如图1，当点E与点D重合时，求证： DPQB,连接CQ,若AC=4,则CQ的最小 AC-DF. 值为 (2)如图2，当点E与点D不重合时，延长 CE交AB于点G,交BF于点H ①判断四边形ACEF的形状，并说明 理由： ②如图3，AD=5,以BF为腰作等腰直 角三角形FBQ(BF=BQ),连接HQ, 13.(2024,常德五中月考)在平行四边形AB CD中，∠BAD=60°，AB=AD,M为线段 M为HQ的中点，当点E从点D运动 到点A的过程中，请直接写出点M的 AC上一点（不与点A,C重合），以AM为 边向上构造等边△AMN,连接NC,DM,Q 运动路径长， 为线段NC的中点，连接DQ,判断DM与 DQ的数量关系，并证明你的结论 0 图1 12 1图3 《130参考答案与提示 ,,AP⊥PD,,∴，由勾股定理得AP=3PD 综上所述，Q点的坐标为(4,0)或（一4,0）或(2,0). 3 23 5 3-2- 723 图1 图2 (2)如图2，取BC的中点O,连接CF,作射线OP,则 OP∥CF,.∠COP=∠DCF=30,.点P在定 图 榴2 射线OP上运动. 作点C关于OP的对称点H,连接CH,OH,PH, BH.AP.AH. 由(1)得AP=3PD, .CP+3PD=CP+AP≥AH, .∠COH=2∠COP=60°，OC=OH, ∴.△OCH为等边三角形，.OH=OB=OC, ∴.∠CBH=30°，∠ABH=90° 图3 BC=12. 例2A提示：命题(1)是假命题，如图1中的四边形 ∴.CH=6,BH=6√，AH=√AB+BF=67, ABCD,它满足命题的条件：∠A=∠C,AB=CD,但它 ∴.CP+5PD=CP+AP≥6√7， 不是平行四边形.命题(2)是假命题，如图2所示，延 故CP+√3PD的最小值为6√7 长等腰△ADE的底边ED至任意点O,以O为对角线 第21讲平行四边形 的交点作平行四边形ABCE,这时四边形ABCD满足 例1(1)(5,4).(2)a+m=c十e:b+n=d+f人 AD=BC且AO=OC,但它不是平行四边形.命题(4) 也是假命题，如图3所示，在四边形ABCD中，∠BAD 提示：连接AC,BD交于点M(图略)，，四边形ABCD 为平行四边形，M为BD,AC的中点，w -∠BCD,BD垂直平分AC,但四边形ABCD不是平 行四边形.命题(3)是真命题，如图4所示，在四边形 =型，w=主业=支地， 2 2 2 2 ∴.a十m ABCD中，∠BAD=∠DCB,且OB=OD,以O为中 =c+e,b+n-d+f. 心，将△ABD逆时针旋转180. (3)(4,0)或(-4,0)或(2,0). 提示：设P(0,m),Q(n,0. ①AB为边（如图1），画出□ABPQ,由(2)中的结论可 得3十0=-1十n,2+m=一4+0，m=一6，n=4, .Q4.0). 图2 ②AB为边（如图2），画出☐ABQP,由(2)中的结论可 得3十n=一1+0,2+0=-4十m,∴m=6,n=-4, ∴Q-4,0). ③AB为对角线（如图3），画出□AQBP,由(2)中的结 论可得3+(-1)=n十0,2+(-4)=0+m,∴.m= 图3 图4 -2,n=2,.Q(2.0). 因为OB=(OD,所以B与D重合，点A与射线OC上 71 培优竞赛超级课堂、日年级数学 的点A'(不是C)重合，连接A'B,则∠BA'D>∠BCD .KS:+S:M>KM. (A'在线段OC上，非点C),或∠BA'D<∠BCD(A'在 ..AI+IK+KM+MB=AI+IK:+MK:+MB< 线段(C的延长线上)，都与∠BA'D=∠BAD= AS:+BS2. ∠BCD矛盾，所以A'即为C,即OA=OA'=OC,所以 D选项，如图4，延长AN,BP交于点Sa,过点N作 四边形ABCD是平行四边形. NK:∥PQ,过点P作PK:∥NQ,NK:与PK:交于 例3D提示：A选项，如图1，延长AC,BE交于点S, 点K,侧四边形VK:PQ为平行四边形. ,∠CAD=∠EDB=45, .PQ=NK:.NQ=PK:. ∴.AS∥ED,则SC∥DE. :∠S=180°-45-72°=63°，∠K2=∠NQP-180° 同理SE∥CD,.四边形SCDE是平行四边形， 70°-47=63. ..SE-CD.DE-CS. ∠KzNQ=∠KPQ=117, 则此人走的路线长是AC十CD十DE+EB=AC+ 又，∠SNQ=180°-65°=115°， CS+SE+EB-AS+BS. .NK:+K:P>NS+S P. ∴.此人走的路线长为AN+NQ十PQ十PB=AV+ NK:+K:P+PB>AN+NS+S P+PB=AS +BS. 又由图5可知AS+BS>AS+BS, 65 65 67 65 ..AN+NQ+PQ+PB>AC+CD+DE+EB>AF+ 45°.709 45°.70 45°70 43 70 FG+GH+HB. 图1 图2 又，AS+BS=AS+BS, B选项，如图2，延长AF,BH交于点S,作FK∥ .AN+NQ十PQ十PB>A+IK+KM什MB,故选D GH,交HS于点K, K 结合图1，∠SAB=∠SAB=45°，∠SBA=∠S,BA =70°，AB=AB, 65 .△SAB2△SAB(ASAU,.AS=AS,BS=BS. 63 65 ,∠FGH=67=∠GHB,.FG∥KH. 70°1 4572 4°7048」 ..7228 B 又：FK∥GH,∴四边形FGHK是平行四边形， 图3 图4 ..FK=GH.FG=KH. (S.) 则此人走的路线长为AF+FG+GH+HB=AF+FK+ KH+HB. 72 .FS +S K>FK, ..AS+BS=AS+BS>AF+FK+KH+HB. 图5 AC+CD+DE+EB>AF+FG+GH+HB. 例4如图，取C的中点D,连接ND C选项，如图3，延长AI,BM交于点S:,过点M作 MK1∥KI交直线AS:于点K. 和MD,于是得到NDL BF,MD :∠IAK=∠MKB=45,.MK∥AS 号CE“BF-CE 又，MK1∥K1,∴四边形MKK为平行四边形， .MD=ND..∠1=∠2. ..IK:=KM,IK=MK. 又，∠1=∠3，∠2=∠4， 则此人走的路线长为A+K+KM什BM=AI+K+ ∴∠3=∠4，.AP=AQ K M+MB. ,在△AS:B中∠ISM=180°-45°-72°=63， 【变式题组】 又：∠1K,M=∠AIK=65°， 变式116+33或26+133.提示：因为DE⊥AB, 72 参考答案与提示 DF⊥BC,所以AB·DE=BC·DF,所以AB:BC 故经过6s,PQ∥CD:经过6s或7s,PQ=CD. 85.又因为2(AB+BC)=52.所以AB=16,DC=10, 使22子 提示：如图，过点E作EGLAD于点G: 所以AE=√AD-DE=53,CF=√CD-DF= 83.若∠A是锐角，如图1所示，因为83>10，点F 设AE=:∠A=60,5AG=,=号. 在CB的延长线上，所以BF=83一10，BE+BF= “GD=AD-AG=BC-AG=2-号x由翻折可知， (16-5√3)+(8V3-10)=6+33:若∠A是钝角，如 DE=DC=AB=AE+BE=x+1.在R△DGE中，根 图2所示，则BE+BF=(16+53)+(83+10)=26+ 据勾股定理得DG+GE=DE,，(2-号x)'+ 135.综上所述，BE+BF的长为6+3,3或26+133 (停)广=(+1，整理得4r=3,解得x=是。 AB=x+1=子 图1 图2 变式127.2.提示：如图，延长AE交DC的延长线于 点G. A 变式31(1)：点F为CE的中点， ∴.CE=CD=2CF=4. :∠DFA=∠FAB=2∠BAE,∠FAE=∠EAB. 又，四边形ABCD为平行四边形，.AB=CD=4. 又：∠G=∠EAB.∠G=∠FAG. 在R△ABE中，由勾股定理得BE=√AB一AE7. ∴.AF=GF.易证△ABE≌△GCE (2)如图，延长AG,BC交于点H. .G=AB=6,CF=6-4.8=1.2. AF=GF=GC+CF=6++1.2=7.2. 变式2设时间为ts,AP=t,CQ=3t, H ①当PQ∥CD,PQ=CD时，'AD∥BC, B .四边形PQCD为平行四边形， :CE=CD,∠2=∠1，∠ECG=∠DCF, ∴.PD=CQ,PQ=CD,.24-1=3t,1=6. .△CEGc≌△CDF(AAS),.CG=CF. ②当PQ与CD不平行，PQ=CD时， :点F为CE的中点，即CF=EF=CE.CE=CD, 如图，过点P作PM LBC于点M,过点D作DN⊥BC 于点N, ∴cG=DG=2CD :AD∥BC,∠GAD=∠H,∠ADG=∠HCG, ∴.△ADG2△HCG(AAS),∴.AG=HG. +QN “∠AEH=90,∴BG=2AH=GH. .PM=DN=AB=8,CN=26-24=2 PQ-=CD,PM=DN,.R△PQf≌Ri△DCN, ∴∠GEH=∠H=∠AGE.即∠CpG-2∠AGE ∴.QM=CN=2. 变式4-I设EF=x,则AD=2x.由AD∥EF可得∠CAD= ,PD∥MN,PM∥DN, ∠CEF=45°，易得△EMC是等腰直角三角形，则 .四边形PMND为平行四边形，∴PD=MN, ∠CEM=45”.如图，连接BE. .24-1=31-4,.1=7. .AB=OB.EA=EO, 73 培优竞赛超级课堂 日年级数学 ∴BE⊥OA. ☒3.提示：由题意知BQ为AE的垂直平分线， ∴.△BEC为等腰直角三角形. ..AB=BE. ∴.EM=BM=CM=EF 由题意知CP为AD的垂直平分线，AC=CD, ∴.△ENF≌△MNB,则EN= :C△M=26,且BC'=10,∴AB+AC=16, MN=号，BN=FN=5在R△BNM中，BN ..AB+AC=BE+CD=16, ..BD+DE+DE+CE=16,..DE=6. Bf+MN,即5=x2+（2x) ,解得x=25. 又：点P,Q分别为AD,AE的中点， BC=2x=45. PQ号DE=号×6=8 【能力平台】 48.提示：如图，连接EH,HG,GF,EF IA提示：如图，取AD的中点N,连接MN,MD, H NE...AN=DN. 四边形ABCD是平行四边形， ,AN∥BM,易得AN=BM, 5 ,.四边形ANMB是平行四边形， 易证△AEH≌△CGF,△GDH≌△EBF, ,.AB∥MN, ..EH-GF.GH-EF. ∴.MN∥CD,∴∠1=∠3. .四边形EFGH是平行四边形. BC=2AB,.MC=CD. SH=S形D一2S△H一2S△aF=14cm, ∠1=∠2.∴∠2=∠3 .S△w+SAm=7cm. 又，V是R△AED的斜边AD上的中点， 又，SH边形.pH=5cm,SAA=3c, ∴NE=号AD=CM .Sam=2 em Sam:=5 em2, 易得MN是DE的中垂线，∴.ME=MD. .S边形wm=8cm. 又，MN=DC.∴.△EMN≌△MDC, 5如图，连接BD,取BD的中点O,连 ∴∠4=∠1=∠3. 接AO,OC,则Sm边形=S酒边形 又∠4=∠5， =之Sm,连接AC.过点O作 ·∠2=∠3=∠4=∠5=50°， OP∥AC,交BC于点P,连接AP交OC于点E, .∠B=150°-50°=1002. 则S△NP=S△Iw· 2100.提示：如图，过点D作DE∥AC,交BC的延长 同时减去S△rP得S△YE=S△， 线于点E, ,四边形ACED为平行四边形，由等底同高的两个 故SAn=S边n=立S边形gD。 三角形面积相等，得出S△=S△E. 故AP平分四边形ABCD的面积 S边形D=S△E, 日(1)如图，分别取OB,OC的中点M,N,连接MN, ,AC⊥BD,∴.△BDE为直角三角形. DM.DE.EN. AD=6,BC=14,∴.BE=20. D,E分别是AB,AC的中点， :Sg边形，D=SAe, ∴MNL BC.DEL受C, ∴.当△BDE为等腰直角三角形时，S大=100， ∴.MNLDE, ∴.四边形DMNE为平行四边形， ..OM-OE. B .)B M为0B的钟点，0B=20M=20E.0呢-2 74 参考答案与提示 (2):D为AB的中点，M为OB的中点，四边形 095或123或155.提示：如图1，过点C作CH1 DMNE为平行四边形，∴.DM=2OA,OD=ON OA于点H, A的坐标为(9,0) :MN=号BC,AO-BC.∴DM=MN, .0A=9. .BE⊥CD OD-0A..OD-3 设0D=x,0E=,由1可知2-2. O(HD 点C的坐标为(3,33)， 图1 ∴.OB=2OE=2y,同理OC=2OD=2x. .OH=3.CH=35, :D,E分别是AB,AC的中点，∴AC=2CE,AB= D,H两点重合 2BD.∴.AC=4CE,AB=4BD .CE=4,.BE=BC-CE=9-4=5.AD=0A- ∠ACB=90°， AD=9-3=6. ∴.AB=AC+BC,∴.4BD=4CE+BC. 动点P,Q在平行四边形OABC的一组邻边上，当以 在R△OCE中，CE=OE2+(OC=y2+4x: 点D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可 在R△OBD中，BD=OD+OB=x+4y: 分以下情况： 在Rt△OBC中，BC=OB+OC=4x2+4y2, ①点P在OC上，点Q在BC上，如图2 .4(.x2+4y2)=4(y+4x2)+4x2+4y, y ∴y=2x2， ∴.AC=4CE2=4(y+42)=2Lr,BC=42+4y2= 12,瓷-器-2、瓷-@含去负值》 (P O(HD Ec 图2 BB提示：因为AF⊥BC,AD∥BC. 当点P与点O重合， 所以AF⊥AD,∠DAF=90. ∴S年行网这形mm=PD·CH=3×3√3=93： 又因为∠ABC=75°，所以∠BAD 当DE是对角线时，如图3. 105,∠BAF=15 .Sg行gw形ma=PD·(CD=3X3V3=9V3. 如图，取DE的中点M,连接AM, 华 则AM=专DE=AB,从面∠MBA=∠AMB= ∠ADM+∠DAM=2∠ADM. (PA 又∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，即105°+ D A 3∠ADB=180°，解得∠ADB=25°，∠ABD=2×25°=50°， 图3 因此∠AED=∠ABE+∠BAE-50°+15=65. ②点Q在OC上，点P在OA上，如图4，点C与点Q 9A提示：如图所示，连接CM,CN,作CH⊥BN于 重合， 点H,CK⊥DM于点K,则S△v=立S边ED· (0) SOODM= 乞S动BD,得S△y=SAaM,由BN=DM 得CH=CK,所以Rt△CPH≌Rt△CPK,所以a=R 图4 .S行g达eag=PD·CD=4X3V3=123. ③点Q在OA上，点P在AB上，如图5，点P与点B 75 培优竞赛超级课堂 日年级数学 重合 =DH,连接NH,AH,易证△ADH是等边三角形， ∴.AH=AD,∠HAD=60° B(P) 易证△ANH2△AMD, ∴.HN=DM. O(HD QA D是CH的中点，Q是 图5 NC的中点， .DQ是△CHN的中位线， .S四oe=PE·CD=5X3V3=153 ∴.HN=2DQ,.DM=2DQ 综上所述，平行四边形面积为9√3或12√3或153. 4(1),EF∥AC,BF∥AD, 面8 提示：当能-号时.∠CAB=30.△ABC≌ ∴.∠C=∠FDB,∠ADC=∠FBD AD为△ABC的中线，CD=BD, △EAF,EF=AC=AD.又EF∥AD,所以四边形 ∴.△ACD2△FDB(ASA),.AC=DF ADFE是平行四边形. (2)①四边形ACEF是平行四边形，理由如下：过点D 223+2.提示：如图，过点Q作QR∥AB,过点C作 作DQ∥EF,交BF于点Q,连接AQ(图略). CM⊥AB于点M,过点D作DN⊥AB于点N. BF∥AD,∴四边形DEFQ为平行四边形， ∠BAC=60, ∴.DQ=EF ∴.∠ACM=30 同(1)可证明AC=DQ,.AC=EF AC=4,∴.AM=2. 又，AC∥EF,.四边形ACEF是平行四边形. 由勾股定理得CM=2√3. ②取CH的中点P,连接DP(图略). ∠ABC=45, ,AD是△ABC的中线，即点D为BC的中点， .∠MCB=45, ∴DP是△CBH的中位线，DP/BH.DP=专B阴 ∴.BM=CM=23. 又，DE∥BH,∴.由平行线的唯一性可知DE,DP :AD平分∠CAB, ·∠DAN=号∠BAC=30. 重合，即点E和点P重合， 设MN=x,则AN=2+x. ∴点E为CH的中点，∴.CE=HE 在R△ADN中，∠DAN=30°，.AD=2DN. 四边形ACEF是平行四边形。 由勾股定理得AD-DN=AN, .AF∥CE,AF=CE,∴，AF∥EH,AF=HE DV-D-(2+:.DN-. ∴.四边形AEHF是平行四边形，∴AE=FH. AD=AE+DE-5.AD=FH+7BH=5. 在Rt△BDN中，DN=BN=BM-MN=23-x BF∥AE, 号2+)=25-，解得x=25-2 ∴.当点E在AD上运动时，点F在直线BF上运动. .DN=2. △FBQ是等腰直角三角形，∠FBQ=90°，BF= 设O为平行四边形DPQB的中心， BQ,∴.点Q在直线BQ上运动， ,.O在PB上 以点B为原点，以直线BQ,BF分别为x轴y轴建立 过点Q作QT⊥PB于点T, 平面直角坐标系（图略），设H(0,m)(0≤1≤10)， ,QO=DO,∠TOQ=∠NOD,∠QTO=∠DNO, FH=5-含m,BQ-BF=5+ 2m. .△TQO≌△NDOCAAS),∴.QT=DN=2. 根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时 :Q(6+号m.0),M为QH的中点， CQ=CM+QT=23+2. 5+ 因DM=2DQ.证明如下：如图，延长CD至点H,使CD 22m 点M在直线y=2.x-5上 76 参考答案与提示 运动.当m=0时.M(号，0)：当m=10时，M5,5)。 ∠A+∠D=180°，.∠A=∠D=90°， ∴.口ABCD为矩形. ∴点M的运动轨迹是从点（号，0），沿着直线y=2 例31或7.提示：(1)当点A在CD'的延长线上时， 5运动到点(5,5)， :DG=DG=AB=4,∠ADG=∠CD'G=∠D 90,DC'=DC=AB=4, 点M的运动路径长为√(6一）+6-0)：-55 2 ∴.AG=AD-DG=5,∴.AD=√AG-DG=3. 第22讲 矩形 .AC=AD+DC‘=3+4=7. 例1如图，过点C作CG⊥BC交AD的延长线于点G,过 (2)当点A在线段CD'上时， 点A作AH⊥GC于点H. 根据题意可知DG=DG=AB=4,∠ADG=∠D=90°， :∠ABC=90°，.四边形ABCH是矩形， .AG=AD-DG=5.在Rt△ADG中，AD= ∴.AB=CH,AH∥BC,.∠CAH=∠ACB. √AG-DG=3, :∠CAD=2∠ACB,∴.∠CAD=2∠CAH, ∴AC=CD'-AD=4-3=1.∴.AC的长为7或1. .∠CAH=∠GAH,又：AH=AH,∠AHC= 例4如图，分别取AB,AC的中点M,N,连接DM,EN, ∠AHG=90°，△ACH≌△AGH,CH=GH, PM,PN,得四边形AMPN为平行四边形，易证 ..GC=2CH,.GC=2AB. ∠DMP=∠PNE,△DMP≌△PNE. :DE⊥AC,.∠DFC=90°-∠ACB=90°- .PD-PE. ∠CA1H=90°-∠GAH=∠G. GC⊥BC,∠BCD=45,.∠DCF=∠DCG= 45,又，CD=CD,∴.△CDF≌△CDG,∴.FC= GC..FC=2AB. 【变式题组】 变式12或1十2.提示：以点D,M,N为顶点的三 角形是直角三角形时，分两种情况： 如图1，当∠MND=90"时，则MN⊥AD. 四边形ABCD是矩形， 例2(1)①（或②）.提示：①当∠1=∠2时，□ABCD ∴.∠A=90°，.MN∥AB 为矩形：②当AM=DM时，□ABCD为矩形. ,M为对角线BD的中点，，.AV=DN (2)若添加条件①：，四边形ABCD是平行四边形， AN=AB=1...AD=2AN=2. ∴.AB∥DC.AB=DC,∴.∠A+∠D=180°， 如图2，当∠NMD=90时，则MN⊥BD, AB-DC. .M为对角线BD的中点，.BM=DM 在△ABM和△DCM中，∠1=∠2， MN垂直平分BD,∴.BN=DN. BM=CM, ∠A=90°，AB=AV=1,∴.BN=2AB=√2， ∴.△ABM≌△DCM(SAS)..∠A=∠D. ∴.AD=AN+DN=1+2. .∠A=∠D=90°，.口ABCD为矩形. 综上所述，AD的长为2或1十√②. 若添加条件②：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=DC,AB∥DC (AB=DC. 在△ABM和△DCM中，AM=DM, BM-CM. 图1 图2 ∴.△ABM2△DCM(SSS),∠A=∠D 变式12. 提示：如图，延长AP交CD于点F, 77