第19讲 勾股定理(一)-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第19讲 勾股定理（一） 情境课堂 从勾股定理到毕达哥拉斯树 图1中的几何图形像什么？它像是一棵枝叶茂盛、姿态优美的树.不错，它就是著名的毕 达哥拉斯树 D E 图1 图2 毕达哥拉斯树是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯所画，它由若干个图形组成，而每个图 形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形虽大小不一，但形状一致，结构奇巧. 引起人们对该树有浓厚兴趣的，不仅仅是它外观美丽，更重要的是毕达哥拉斯树还隐含着一个 著名的定理一毕达哥拉斯定理，我国称它为商高定理，其实就是勾股定理.定理论述了直角 三角形三条边的关系，在R1△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,则a2十=c2.毕达哥拉斯树的 每一个组成单元都是如图2所示的形状.很明显，该图隐含着勾股定理：十=c2 勾股定理的发现，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数 学的几何与代数两大门类结合起来， 典例剖析 类型1勾股定理用于长度的计算或几何作图 圆1(2024，重庆八中月考)如图，画出一个以格点A为顶点且面积为号的格点等腰直角三 角形，并直接写出共可以画出 个这样的等腰直角三角形 111》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 【学找切入点】 根据面积计算出腰长，再以A为直角顶点或锐角顶点分类找出等腰直角三 角形 例2如图所示，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形 ABE,BCF,CDG,DAH,则四边形AFGD的周长为(). A.4+2V6+2√2 B.2+26+22 H C.4+23+42 D.2+23+42 【学找切入点】根据条件可证AF=G,再利用勾股定理求长度， 变式11(2024，安庆二中月考)如图，在△ABC中，点E在边AC上，EC=EB,∠C 2∠ABE,AD⊥BE于点D.若AC=22,BD=16,则AB的长为 3 变式1-1图 变式1-2图 变式1-2(2024，河南省实验中学期未)如图，在长方形ABCD中，AD=9,点G在边AD 上，AB=GD=4,边BC上有一点H,将长方形沿GH折叠，点C和点D的对应点分别是C'和 D',当A,D和C三点恰好在同一条直线上时，AC的长为 类型2勾股定理与全等构造~ 例3(2024，景德镇一中期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为 边AB的中点，E,F分别为边AC,BC上的一点，且AE=AD,BF=BD.若 DE=√2，DF=2,则AB的长为 【学找切入点】从D为AB中点找突破口，倍长ED,证∠EDF=45°. 《112 第9讲勾股定理（一） 变式2-1(2024，南京一中期未)如图，在Rt△ABC中，∠BAC =90°，AB=AC,D,E为BC上的两点.若∠DAE=45°，∠ADE=60°， 则2的值为 B D 变式22如图，在△ABE和△CDE中，∠ABE=∠DCE=90°，AB=BE,CD=CE.连接 AD,BC,点M,V分别为AD,BC的中点，连接MN,MC,当BC=10时，求MC 类型3利用勾股定理解决几何最值问题， 例4如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B与点C的距离为5，一只 B 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是( ). A.521 B.25 C.105+5 D.35 20 【学找切入点】将长方体的侧面展开，根据“两点之间线段最短”求距离，注 15 意分类比较最短线段 变式31(2024，衡阳成章实验中学月考)如图，圆柱形容器高为18cm,底面周长为 24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm. 蚂蚊 B蜂蜜 变式3-1图 变式3-2图 变式32(2024，武汉外国语学校期中)如图，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角 形，∠ABC=∠FDE=9O°，AB=BC,DE=DF,当等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动 时，AB=2√3，DE=√3，求BE+BD的最小值. 113》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 研讨乐园” 例5](2024，西南大学附属中学期未)(1)如图，在直线1的同侧有A,B两点，在直线1上找 点P,P,使PA+PB最小，PB-PA最大 (2)平面直角坐标系内有两点A(2,3),B(4,5),请分别在x轴， ●B y轴上找两点P,P',使AP+BP最小，BP-API最大，则点P, ·A P的坐标分别为 (3)①代数式√x2一8x+41十√x2一4x+13的最小值是 ,此时x= ②代数式√x2一8.x十41一√x2一4x十13的最大值是 ,此时x一 (4)在直角坐标系中，有四点A(一8,3)，B(一4,5)，C(0,n),D(,0),当四边形ABCD的周 长最短时，m 【学找切入点】这是一组形异实同的题目，转化是解决这类问题的核心，而其基本知识就是 运用两点之间线段最短这个知识点， 【解】(I)作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线1于点P,延长BA交直线I于 点P',则点P,P即为所求. (2p()P0.D. (3)同(2)，设平面直角坐标系中有两点A(2,3),B(4,5),且在直线1的同侧，则①类似于(1)， √/x2-8.x+41+√x2-4x+13=(x-4)2+5+√(x-2)2+32=BA'=√22+8=217， 此时x=是 ②类似于(1)，延长BA交直线1于点P',则 √x2-8.x+41-wx2-4x+13=√/x-4)2+52-√/(x-2)2+32 =BP'-AP'=AB=22. 此时x=一1. (4)作点B关于y轴的对称点B',作点A关于x轴的对称点A',则B(4,5),A'(一8，一3) 5=4k+b. 设直线A'B'的解析式为y=kx+b,则 -3=-8k+b. 6 3 六直线AB的解析式为y=号+子 令x=0,得y=子，C0,) 7 令y=0,得x=-员D-员0小 ，”= 2 n 7 2 《114 第9讲勾股定理（一） 能力平台业 培优训练 (建议拥时：60分钟) BC=12,D是BC上一点，当AD是∠BAC 1.如图，在△ABC中，D为AC上一点，连接 的角平分线时，则CD= BD,∠C+3∠A=180°，BD=BA=2,BC= 6.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A 5,则△ABC的面积是( 顺时针旋转到△ABC的位置，点B,O分别 A.5 落在点B,C处，点B在x轴上，再将 5 C.35 D.3 5 △ABC绕点B顺时针旋转到△AB,C2的 位置，点C2在x轴上，再将△ABC2绕点C2 顺时针旋转到△ABC2的位置，点A在x轴 上，依次进行下去，…，若点A(受，0小， 第1题图 第2题图 2.(2024,武汉第三寄宿中学期末)如图，已知 B(0,2),则点B2o16的坐标为 圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在 y 圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属 B 丝，则这圈金属丝的周长最小为( A B B. C,A,之 A.4√2dm B.2√2dm C.2/5 dm D.4√5dm 7.(2024,南宁三中月考)如图是由边长为1的 3.(2024,安庆四中月考)D 小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点 如图，在四边形ABCD 叫作格点，A,B,C均为格点，AB与网格线 中，DC∥AB,BC=1. B 交于点E,P,Q是网格线上的点.仅用无刻 AB=AC=AD=2,则BD的长为( ) 度的直尺在给定的网格中按下列步骤画图： A14 B.√/15 C.32 D.2w3 (1)在AB上画点D,使得DA=DC 4.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3√3， (2)画一个点F,使得EF=√10. BC=6,E,F分别是BC,AD边上的点，沿EF (3)将线段CP向右平移得到线段HQ,且 折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D 点P的对应点为点Q. 落在点Q处，AD与PQ相交于点H.若 ∠BPE=30°，则QF的长为(). A.2 B.3 C.23 D.1 P D 8.(2023,十堰中考)过正方形ABCD的顶点D 作直线DP,点C关于直线DP的对称点为 点E,连接AE,直线AE交直线DP于点F 第4题图 第5题图 (1)如图，若∠CDP=25°，则∠DAF 5.如图，已知Rt△ABC的两直角边AC=5, (2)如图，请探究线段CD,EF,AF之间的数 115》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 量关系，并证明你的结论 C.等腰直角三角形 (3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a, D.等腰三角形或直角三角形 EF=b.请直接用含a,b的式子表示DF 12.(2024,南昌二中期末)如图，在 的长 △ABC中，∠BAC=30°，AB= AC,AD是BC边上的中线， ∠ACE=2∠BAC,CE交ABBD 于点E,交AD于点F.若BC=2,则EF= 备州倒 13.(2024,岳阳九中期末)如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°. (1)当点D在斜边AB内部时，求证： CD-BD AD-BD BC AB (2)当点D与点A重合时，第(1)小题中的 等式是否存在？请说明理由 (3)当点D在BA的延长线上时，第(1)小 题中的等式是否存在？请说明理由。 宽赛训练 (建议用时：50分钟) 9.如图所示，△PQR是 一个直角三角形，它的 斜边PR被点S及点 T三等分，若QS+Q QT=PR,则k的值为( A. B号C名 D.2 Ei 10.若将三条高线长度分别为x,y,之的三角形 记为(x,y,),则在以下四个三角形(6,8， 10),(8,15,17),(12,15,20),(20,21,29) 中，直角三角形的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 11.△ABC的内角∠A和∠B都是锐角，CD 是高若部 C ,则△ABC是( A.直角三角形 B.等腰三角形 《116参考答案与提示 2n(n+1Dy=(m+1+√m)2=2n+1+2√n(n+1D. DE,连接BG,FG,过点F作FH⊥DE于点H,易证 ∴.x十y=4十2，xy=(√n+I-√m)2(√/+T+√n) △ADE≌△BDG(SAS).∴.∠DBG=∠A,BG=AE. =[(m+I+m)(n+I-m)下=1. ∴.∠FBG=90°，BF=BG=BD,易证∠EDF=45 将xy=1代人方程，化简得x+y=98. DF=2,FH=DH=2,又：DE=√2，∴点 .(x+y)2=x2+y2+2.xy=98+2×1=100, H与点E重合，GH=DG+DH=2V2,.FG= .x十y=10, √(W2)+(22)2=√10，∴.BF=BG=√5，∴.AB ,.4n十2=10，解得n=2 =2BF=25. 西-+++a-D+- 例4B提示：将长方体侧面展开有如图所示的几种情 =+--1 况，经计算得爬行的最短距离为25. 2 D 1)=2 f3)-西≥2，f5)=6≥.， 5 2 2 f999)=T000-9998 20③ -A 2 10 ∴.f1)+f(3)+…+f(2k-1)十…+f(999)= 15 E y100=5. 2 ① B 10 第19讲勾股定理（一） ⑧ B5C D D D 20 例18. 提示： 20 20 0 10 15E10A E 10A 【变式题组】 变式1-185. 提示：如图所示，延长BD至点F,使 例2A提示：如图所示，连接AG,等腰△ABF的顶角 DF=BD=16,连接AF,过点A作AG∥BC,交DF于 为90°+60°=150°，等腰△FC℃的顶角为360°-90° 点G. 2X60°=150°，又AB=BF-FC=CG,所以△ABF≌ △FCG(SAS),所以AF=FG.同理AF=AG,设AB 的中点为K,连接GK,易见△AKG为直角三角形， AK=1,KG=2十3，由勾股定理，得AG= √1+(2+3)=√8+43=V(W6+V2)2=√6+ 2.四边形AFGD的周长为AF+FG+GD+DA= 2(w6+2)+2×2=4+2√6+22 'EC=EB,∴∠C=∠EBC, ,AG∥BC..∠AGB=∠EBC,∠GAC=∠C ∴∠AGB=∠GAC,∴.EA=EG,∴EG+EB=AE +EC..BG=AC=22,.GD=BG-BD=6, ∴.FG=DF-DG=16-6=10. :∠C-2∠ABE,∴∠AGB=2∠ABE, 例2题图 例3题图 AD⊥BE,DF=BD,∴AD为BF的垂直平分线， 例32√5.提示：如图所示，延长ED至点G,使DG= .AF=AB,∠F=∠ABE,·∠AGB=2∠F 63 培优竞赛超级课堂 日年级数学 :∠AGB=∠F+∠FAG,∠F=∠FAG, ∠CEB+90°=540°，∠MAF+∠DAB+∠FAB=360°， GF=GA=10. 又，∠CDM=∠MAF,∠DAB=∠DAB, ∴.AD=√AG-Dg=8, ∴∠CEB=∠FAB. .AB=√AD+BD=√8+16=8V5. 又：BE=BA,CE=FA,∴.△CEB≌△FAB(SAS). 变式127或1.提示：如图1，当点A在CD'的延长线 .BC=BF,BC⊥BF 上时，根据题意可知DG=DG=AB=4,∠ADG= 又MNL号BR,÷MNLBC,且MN=2BC=5. ∠CD'G=∠D=90°.：AG=AD-DG=5.在 N为BC的中点，CN=5. R△ADG中，AD=√AG-DG=3,.AC= 在Rt△MVC中，MC=√CN+MN=5√2. AD+DC'=3+4=7.如图2，当点A在线段C'D'上 变式3-120. 时，AC=CD'-AD=4-3=1,所以AC的长为7 或1 变式32如图，延长AB至点M,使BM=DE=√3，连接 ME.BE.BD. 易证△DEB≌△MBE(SAS. B ∴.ME=DB. ∴.BE+BD=ME+BE 作点B关于AC的对称点B',M2 连接BM交AC于点E',当点E在点E上时，BE+ 图1 图2 变2☒气提示：如图，将△ABD绕点A逆时针旋 BD=ME+BE最小，此时，MB=√(23)2+(3√3) =√39.∴BE+BD的最小值为√39. 转90得到△ACF,连接EF,则AF=AD.CF=BD, 【能力平台】 ∠CAF=∠BAD,∠ACF=∠B=45..∠ECF= IB提示：如图，过点A作AE⊥CB于点E,作AFI ∠ACB+∠ACF=90°.：∠DAE=45,∠FAE= BD于点F,过点B作BH⊥AD于点H,∠EBA ∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=45°， =∠BAC+∠C3∠BAC+∠C=180°，∴∠EBA ∴∠FAE=∠DAE,∴.△FAE≌△DAE(SAS), =180°-2∠BAC=∠ABD,则AE=AF,BE=BF :∠ADE=60°，∴∠AEF=∠AED=75, ∴.∠CEF=180°-∠AED-∠AEF=30,∴.EF :Sam=号BC·AE=25AE,Sm=2BD 2CF,∴.CE=√EF-CF=√2CFy-CF-3CF. AF=AF,SAAC SND=5:2..AD:AC= ·BDCFCF-E 2:5,设AD=2x,则AC=5x,DC=3x,BA=BD, CE CE3CF 3 :.AH=DH=x.HC=4x..BD-HD-BH =BC- CH,∴2-产=5-(n,=(负值已 5 0 变式22如图，延长CM至点F,使CM=MF,连接BF, 5 2 AF.:M为DA的中点，DM=MA. 又：CM=MF,∠DMC=∠AMF, ∴.△CMD≌△FMA(SAS). ∴.CD=FA=CE,∠CDM= ∠FAM 2A提示：圆柱的侧面展开图如图所示，最小周长为 :∠CDM+∠DAB+90°+ 2AC=2√2+2=4v2dnm 64 参考答案与提示 8(1)20°.提示：如图1，连接CE,DE, ,点C关于直线DP的对称点为点E, E B ∴.CD,ED关于DP对称，∠CDP=∠EDP=25°，CD 第2题图 第3题图 =ED. 3B提示：如图，过点C作CE⊥AB于点E,过点A作 四边形ABCD是正方形， AF⊥CD于点F,过点D作DG⊥BA交BA的延长线 ∴.AD=CD,.AD=ED, 于点G.设AE=x,则BE=2-x.由2-x2=1 ∴∠DAF=∠DEA=号(I80°-∠ADE)=÷(180 (2-,得E=子.从面AF=DG=CE=平.AG 一90°-50)=20° =VAD-G=子，GB=AG+AB=子+2=只， 故BD=√15. ④D提示：由题知AB=3√3，BC=6,AD=BC= 6,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠得CE=PE. QF=DF,∠EPH=∠C=90°，∠Q=∠D=90°. ∠BPE=30°，.CE=PE=2BE,.BE+2BE (2)结论：CD=号(A+EF). =6...BE=2,PE=2BE=4.PB= 理由：如图2，连接DE,CE,AC,CF, √PE-BE=√/4-2=2，.PA=AB-PB 由轴对称知CF=EF,CD=DE=AD,∠DEF= ∠DCF,而∠DEF=∠DAF,.∠DAF=∠DCF =33-23=3.·∠APH=90°-∠BPE=60, '∠FAC+∠FCA=∠FAC+∠DAF+∠DCA= ∴.∠FHQ=∠AHP=90°-60°=30，.PH=2AP 90°，.∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=90, 23,又AP+Af=PF,.AH=√PF-AP 在R△ACF中，AC”=AF+CF=AF+EF, =√(23)2-(W3)=3,HF=2QF=2DF,∴.3+ 在R△ACD中，AD+CD=AC, 2DF+DF=6,..QF=DF=1. 日号.提示：如图，作DE⊥AB 2CD-AF+EF CD-(AF+EF). (3),∠AFC=90,CF=EF=b 于点E,设CD=x, 则BE=13-5=8,DE=x, C D CH=HE=FH=竖. BD=12-x,由x+8=(12-x产得r=9. 3 :CD=号(AF+EF)=2(a2+: 日(6048,2). 提示由题意可知0A=号，0B=2 由勾股定理得AB=喜.∴0C=2+喜+是-6 D-D-√+)-(-a. 如图3，当点F在D,H之间时，DF=DH一FH= ∴点B的坐标为(6,2). 同理可得B(12,2),B(18,2),… 点B:ms的横坐标为1008×6=6048. ∴.点B16的坐标为(6048,2). ☑如图所示.！ 图3 如图4，当点D在F,H之间时，DF=FH一DH= -65 培优竞赛超级课堂、日年级数学 ,AB=AC,AD是BC边上的中线， ∴.∠BAD=∠CAD=15=∠ACE. ∴.∠CFD=∠BFD=30°.∴∠BFC=60. ∴△BCF为等边三角形 ∴.∠BEC=15°+30°=45. △BEC为等腰直角三角形. BC=2, 4 .CG=FG=1,BG=EG=3. 如图5，当点H在F,D之间时，DF=DH+FH= ∴，EF=3-l. P ☒(1)作DE⊥BC,垂足为E(图略).由勾股定理得CD -BD=(CE:+DE)-(BE:+DE )=CE-BE 图5 =(CE-BE)BC. 回A提示：如图所示，作SA⊥QR,TB⊥QR,QS+ 所以"D_-畏畏 BC QT=(QA+SA)+(QB+TB)=(QR)+ 因为DE/AC,所以侵-品器-器 (号rQ)]+[(号Qx)+(号PQ)]=号PQ+ 故CD-BD_AD BD_AD-BD BC ABABAB QR)=号PR. (2)当点D与点A重合时，第(1)小题中的等式仍然 成立.此时有AD=0,CD=AC,BD=AB. 所以CD-BD=ACAB=-C BC BC =-1, AD-BD--AB AB AB =-1. 从而第(1)小题中的等式成立， 0A提示：由于三角形的三条高线的长度分别为x,y, (3)当点D在BA的延长线上时，第(1)小题中的等式 ,则其相应的三边a,6,c的比为a:b:c=上：上： 不成立. r y 如图所示，作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则 ,故只有12,15,20)为直角三角形。 DD-CEkE-C法E=-1 BC BC 团D提示：设AD=a,BD=h. 而ADBD二AB =-1 可令AC=√a.z,则BC=√c, AB AB 由a.x-a2=r-得(a-b)[x-(a+b)]=0. 所以CD一BD≠ADBD BC AB ∴.a=b或x=a十h. E 分别推出△ABC为等腰三角形或直角三角形. 23-1.提示：如图，连接BF,过点B作BG⊥CE于 点G. —66