第18讲 二次根式(二)-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第18讲 二次根式(二) 情境课堂 刘徽(公元250年左右),我国古代杰出的数学家,也是中国古典数学理论 的奠基者之一,他在《九章算术·圆田术》注中,用割圆术证明了圆面积的精确 公式,并给出了计算圆周率的科学方法,刘徽的工作不仅对中国古代数学的发 展产生了深远的影响,而且在世界数学史上也具有崇高的地位,因此,他也被 称作“中国数学史上的牛顿”. 刘徽 蜘蛛与苍蝇 一间卧室的长、宽、高分别为7,6,4饿尺(1饿尺约为0.71米),在相对的两面较大的墙壁 上,分别有一只苍蝇和一只蜘蛛,苍蝇距地板1饿尺半,蜘蛛距天花板也是1饿尺半,它们离与 它们较近的墙角分别为2俄尺和1饿尺,如图1.问蜘蛛沿怎样的路线前进,才能经过最短的距 离追捕到苍蝇? 图1 图2 将房子的墙壁、天花板、地面展开成平面(如图2),连接苍蝇与蜘蛛所在的A,B两点,共有 4条路径,易知经过天花板和地板的两条路线的距离相等,故只需计算3条路线的长度,由勾股 定理得: AB- (6+6+2)+1-v197~14.04 AB-(4+6)+4-116~10.77. AB-V(6+1十5)+12-145~12.04. 因此,最短的距离是经过天花板或地板的路线,长约10.77饿尺 典例剖析 类型1 二次根式的运算与规律探索) 1(2024,重庆南开中学月考)观察下面的式子: $-1+1+2,8-1+2+1, -1+1+.,$-1+0+ (十1)2 《104 第18讲 二次根式(二) (1)计算:S-,vS-_;猜想S.- (用含:的代数式表示). (2)计算:S一S十S十S十..十S(用含n的代数式表示) 【学找切入点】 分别观察被开方数中各项的特点和开方后各项的特点,直接填写答案;也可 以从一般情形去进行推理、验证,从而找到答案 [变式1-1在草稿纸上计算:11-2×1.1111-2×11,111111-2×111.观察你计算 的结果,用你发现的规律直接写出下面式子的值:v11...1-2×11...1- 2个1 个! 观察下列各式:。 ##--、#1×(3)-#、#(-) 变式12 类型2 二次根式的分母有理化及分子有理化) 例2(2024,中科大附中月考)阅读材料: 黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌,这是武侠小说中的常见描述,其意是指两个人合 在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的“对子”.如:(2十③)×(2一3) 1.(/5十②)×(5一/②)一3,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一 “3③X33'2-③ (2十③)X(2十、③)-7十4v3.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把 (2-/③)X(2十③) 根号中的分母化去,叫作分母有理化 解决问题: (1)4十/7的有理化因式是 )×(/2010+1). 2+1③十24+3 2010+2009 ####的值# (4)已知a=2006-2005,b-2007-2006,c=2008-2007,求a,b,c三者的 大小关系. 105》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 【学找切入点】 4道题逐层递进,对于第(3)小题,要有整体思想,先将x,y分母有理化,再 将x十y,xy的结果整体代人求值 26 变式 2-1 (2024,古安一中月考)化简 ③十②-5 变式22 (2024,黄冈外国语学校期末)已知x三 -,则-2②019- /2020-v2019 r+-22020x+2x-2020的值为( ). A.0 B.1 C.②019 D.v2020 13(2024,武路路实验中学单元检测)已知Va十4十a-1-5,则v6-2v- 【学找切入点】 将等式左边分母看成1,再将分子、分母同乘以a十4一a一1,从而达到化 分子为有理式的目的 变式23 (2024,岳阳九中月考)解方程:x十42十vr^十10-16. 类型3 二次根式性质的灵活运用 4(2024,南昌育新学校月考)已知m=1+v②,n=1-v2,且(7n}-14m+a)(3n-6n- 7)一8,则a的值等于 【学找切入点】题目提供的第三个条件是方程,关键是如何由第一、第二个条件求出7n^{}一 14m和3n^}-6n-7的值,变换条件m-1-/2,然后直接平方 变式3-1 ($ 2024,重庆+八中期末)如果a+b- 2002+2,a-b-2002-2,+ 一6一,那么a一的值为( : 《106 第18讲 二次根式(二) B.2001 A.2002②002 C.1 D.0 5已知a,b为有理数,且满足等式a+3b-v6×1+4十23,则a十b的值为 ). A.2 B.4 C.6 D.8 【学找切入点】 将等式右边化简,直至完全开方 变式32(2024,鄂州-中月考)设1 995*=1996=1997z3,xyx 0,且 V$1995*+1 996+1997-V1 995-+V1996+V1997,则+1+1 变式3-3 的值为 /x 类型4 二次根式在整数和小数部分上的应用) 6(2024,湖北华宜寄宿学校月考)设a为3十5-V3-5的小数部分,b为V6+3v3- 【学找切入点】 将a,b看成是分母为1的分数,再将分子有理化进行化简 研讨乐园 例7【阅读材料】 2 上述不等式可表述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,它在数学中有广泛的应 用,是解决最大(小)值问题的有力工具 已知x0,求式子x十4的最小值. 实例剖析 ) 107》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 【解】 式子有最小值,最小值为4 【学以致用】 1. 根据上面材料回答下列问题 时,式子c十取到最小值,最小值为 (1)①已知x>0,则当x= 2 时,式子x+2取到最大值,最大值为 ②已知x0,则当x= 时,分式^}-7-+10取到最小值,最小值为 (2)①已知x-1时,则当x= 十1 时,分式2o ②已知x0时,则当x=_ -取到最大值,最大值为 【学找切入点】 抓住公式特征,代入公式计算 2 最小值,最小值为2 -2时,式子--2取到最小值22,那么x+2取到最大值-2/2. 21 2十1 .当且仅当x-□,即x=3时,式子取到最小值,最小值为4. 2 的最大值是. 2.-3+2/②, 6 7 [2 a-2-1, #由{## 得{ 《108 第18讲 二次根式(二) 能力平台 语优训练 (建议用时:60分钟) 2-8x+15 1.已知m,n是正整数,若 满足条件的有序数对(m,n)为( ). A.(2,5) B.(8,20) C.(2,5),(8,20) D.以上都不是 -m0. 2 2.如果关于x的不等式组 的解 3 10.(2024,武汉二中广雅中学期末)小明在解 集为x2,且式子3一n的值是整数,则 方程v24-x- 8---2时采用了下面的 符合条件的所有整数n的个数是 ). 方法: A.5 C.3 B.4 D. 2 ·(24--8-x)(v24-x+ 8-)= 5-24 3.化简: (24-)-(8-)=(24-)-(8-r= 10+3-6-15 16,又v24-r-8-x-2. 4.已知a+b+c+3=2ā+4-1+2-2 ·24-x十8-x-8.将这两式相加可得 则a十十c的值是 v24-r-5. 将V24-:一5两边平方,解得 5.(2024,黄石八中月考)已知y-(x-2){②}- 8-:-3, x+3,当x分别取1.2,3,..,2021时,所对 x-一1.经检验,x一一1是原方程的解 应的y值的总和是 请你学习小明的方法,解下面的方程: 6.(2024,南京一中期末)已知+1-3,且0< (1)解方程:vx+42+r+10-16. (2)解方程:4r^+6x-5+4r-2x-5 -4.x. 1,则 7.(2024,娄底三中期中)已知x,y满足1x <100.且x+yr-v2009x- 2009y+ 2009xy-2009,则Vxy- 2-1 小数部分,则a十十3ab一 9.(2024,华中师大一附中初中部月考)若x= 109》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 赛训练 (建议用时:70分钟) 15.(2024,武汉解放中学期末)已知x n+l-n 11.若实数a,b满足a{}十-4,则a(b-4)+ _n+n .且19+ n十I+vn n+I-vn ab-3a+2b-6-( ). 123.xy+19*-1985,试求正整数 C.2 A.-2 B.0 D.4 12.设实数-4-6十,则满足( ). A.0<<1 B.1<<2 C.23 D.-7 3 3 _. 14.(2024,西南大学附属中学月考)已知x ##),且a>)#)→),求 26 G-1 --1 16.(2024,湖北水果湖第一中学期末)定义: 的值. /(r)一 2+21+-1+V2-2x+1 求f(1)十f(3)十.十f(2k-1)十..十 f(999)的值 《110参考答案与提示 5-5+5++2震-× 1x-199+y20, 2V32/15235 2√2303 4由二次根式a中a≥0得 199-x-y20, 1-言)+号×（房后）+号×（房清）+ x十y≥199， .x十y=199. x+3≤199. +号×（而）×)=导 √3.x+5y-2-m+√2.x+3y-m=0, (2原式=35+18+3③-（而+26+@ 13.x+5y-2-m=0, w5+23+1 2x+3y-m=0, 33×(W5+23+1)-2×(W5+23+1D .3x+5y-2=2x+3y, 5+2w5+1 ∴.x+2y=2,.x=396,y=-197, =(35-②)×(5+23+1) .m=201. 5+23+1 因由a+b=2,得b=2-a,将其代入U=√0+4+ -35-√2. +I, 四原式=2+是+2+6+2+5=(+上)十 得U=√+2+√(2-a)+1 6(x+2)+5=(x+1+1)(+1+5) =√(a-0)+(2-0)+√(a-2)+(2-3)产， “=3+2原、32后8-2 构造图形（如图），可得U的最小值为AB一√AB+BB西 =13. ∴.原式=(3+22+3-22+1)×(3+2√2+3 22+5)=7×11=77. 团A提示：：(+1十x)(√r+T-x)=2+1 x2=1,(√y+1+y)(y+-y)=y2+1-y=1. 4 2 B 又：(+I+x)(√y+T+y)=1, 第18讲二次根式（二） F币-=万+，⑩ 团a2是 (√y+1-y=√+I+x.② 由①十②得一x一y=x十y, 提示5=+品+安-号，S√牙-2 ∴.2(x十y)=0,即x十y=0. “s=1+是+-器s=名 2a+3b1=6, 2C提示：由条件知 4va-9b1=6c, s=1+安+-器v-是 解得a=3+9,61=4 5 5 S-十m+1n+1)+ 由va≥0，lb1≥0知 解得-3≤≤2 (n+1) (H十1) 2s=号+名+提++“岁-1+号+1 n(n十1) 图2.提示：设√6-√6-√6-√6-√6-=a,两 言+1+b++1+=+(1-专+ 边平方有6-√6-√6-√6-6-=，即6 a=d,.a2+a-6=0,(a+3)(a-2)=0,.a1= 一3，a2=2.根据二次根式的性质知a≥0，.a=2 2D4-:号 59 培优竞赛超级课堂 日年级数学 (2)①原式=2-3+3-23=2. 四原式=[(w2-1)十(w3-2)+(W4-3)+…+ 【变式题组】 (√2010-√2009)]×（√2010+1）=（√2010-1）× 变式1133…3. (√2010+1)=2010-1=2009. 个3 (3)x=5+26,y=5-26,xy=1.x+y=10, ☑（中 .x+y=(x+y)2-2.xy=10-2=98. 原式=十立=98 提示：√（十2）-√mw+ ty 1 1 = 十1 (4)由分子有理化得a= 0= nn(n+2) /2006+/2005 变式213+2+/5. 1 1 /207+V/20056-/2008+/20m7' 26 26×(w5+√2+√5) .a>b>c. 提示：+2一店 (3+2-√5)×(w3+V2+5) 例35-1.提示：将式子√a十4+√a-1-5,①的 26×5+2h_26×3+2+®-5+v2+w5. (3+2)2-5 26 左边分子有理化，a十+(a+-a 1 a十4-√a-1 变式22C提示：：x= √2020-√2019 =5,化简得a+4-√a-1=1,② =√2020+√2019， 由①+②得a+4-3, .原式=x(x-22019)-x+x2(.x-2v√202而)+ ,.a=5, 2x-√2020 “√6-2a=v6-25=√(W5-1)2=5-1. =x(√2020+√/2019-2√2019)-x+ 例4-9.提示：由m=1十√2得m㎡2-2m=1, x2(V2020+√2019-2√/2020)+2x- ∴.7m2-14m=7.同理，3n2-6n=3, √2020 ∴.(7+a)(3-7)=8,.a=-9. =x(√2020-√2019)-x+xr(2019- 例5B提示：：×W√1+V4+2√5=6X √2020)+2x-√2020 √1+(1+3)=V12+63=√(3+3)=3+√5， =x[x(√/2020-√2019)-1]+x(√2019 .a十√36=3+√5，即(a-3)+3(h-1)=0. √2020)+2x-V√2020 ,a,b为有理数， =,x(√2020+J2019)×(√2019-√/2020)+ ∴a=3,b=1,即a十b=4. 2x-√202丽 例6：√3+5-√3-√5>0. =-x十2r-√/2020 ∴W3+5-V3-5=√（√3+5-√35)-② =x-√2020=√2019. 变式23(W/F+42+√/：+10)(W/+42√+10) :a为√3+5-√3-5的小数部分，∴a=2-1. =(T+42)°-（√+10）=(.x2+42)-(x2+10) :√6+3-VW6-35>0, =32,而√+42+√+10=16. √6+35-√6-33=√（√6+3-√6-3） ∴.√+42-√π+10=2，两式相减得2√x+10 =√6. 14,即√x+10=7,两边平方得到x2=39, :b为√6+33-√6-3√3的小数部分， ∴x=土√39.经检验，x=士√39是原方程的解，故答 .h=6-2. 案为士√3丽 60 参考答案与提示 变式3C提示：由(a+b)P-(a-b)2=4ab,得 日-3+ .提示：原式5x3一②一5×3一② √/3-26+2 (√2002+2)-（√/2002-2）=4ah.解得ab=1.若2 2 十2<0，则由+21=-2，解得=0，与ab=1 √(W3-2)￥ 矛盾，故B十2≥0，将1心十2|=B一2去绝对值，解 (w3-5)×(W3-2 得c=0,故a2-2=a=1. 3-2 变式321.提示：设1995.x=1996y2=1997=, (w3-√5)×(W3-2 则沂啊=兰江丽=兰汀啊=兰，有 1 3+⑤ 2 江99正+196Y+92-冬+长+点.甲 49.提示：：a十b+c+3=2√a+4√-1+2√-2， y .a-2a+1+1-4√-1+4+c-2-2Vc-2+ ++-++，放++ y 1=0, (侵+}+)广，因为o>0所以++=1 .(Wa-1)2+(6-I-2)2+(√-2-1)2=0， ∴wa-1=0,√-1-2=0，e-2-1=0, 度式3图0.提示：由丘+上=2，得x十1=2. wa=1.0-I=2,√-2=1. .a=1.b=5.c=3. √x2+3x+- √x+1+3 .a+b+c=1+5+3=9. 52023.提示：，y=√(x-2)-x十3=z-2-x十3， .当x<2时，y=2-x-x十3=5-2x ∴.当x=1时，y=5-2=3:当x≥2时，y=x-2 变式4☑√/11-62=√9-2√18+2=3-√2. x+3=1, ∴.它的整数部分是1，小数部分是2一②. 即当x分别取2,3，…，2021时，y的值均为1， ∴.a=1,b=2-√2， 综上，当x分别取1,2.3.，2021时，所对应的y值 a+b计号-=1+2-2+，2 6 的总和是3十2020×1=2023. 【能力平台】 日6+1 2. 口C提示：“√层+√月是整数mm是正整数， (+)=x+2+1=8=9. ∴.m=2,n=5或m=8,1=20. 当m=2,n=5时，原式=2，是整数：当m=8,n=20 时，原式=1，是整数. (-)广=一2+=1-2=5 ∴.满足条件的有序数对(m,n)为(2,5)或(8,20). 2C提示：解不等式2”>0得>m 0K,-左6. 解不等式写--2得>2. (+)-)-- =-35, 不等式组的解集为x>2,m≤2. 原式 6 6 2 ,式子√3一m的值是整数。 Vx+9 V9-3后√3 x m=3或2.m=-3,3,2或-2. W√6+25 W5+25+1_√(5+1)_5+1 由m≤2得m=一3，一2或2， 2 2 2 2 即符合条件的所有整数m的个数是3. 7v2009.提示：：xy+ywF-√2009x-√2009+ 61 培优竞赛超级课堂 日年级数学 √2009xy=2009, 10C提示：a(b-4D+√ab-3a+2b-6=a(h-D+ .Vxy(x+)-2009(Wr+√)+2009xy √a(h-3)+2h3)-a(b-④+√(h-3)(a+2. √2009=0. a2+房=4， ∴.(WF+√5+√2009)(y-√2009)=0. ∴.-2≤a≤2，-2≤2.a+2≥0.b-3<0. 1<x<y100,√xy-√/200丽=0. ∴.(6-3)(a+2)≤0. 又原式有意义，得(h-3)(a+2)≥0. .√=√2009. ∴.(6-3)(a+2)=0,而b-3<0, 日1.提示：因为x一22+1.而2<5+1K3, 1 ∴.a=-2,a2+=4,得b=0,故原式-2. 所以a=x一2=2-1.又因为-x=一√2-1，而一3< 回B提示：b=迈+)×（区-视×3+3） 2+3 一√2-1<-2，所以6=-x-(-3)=2-√2，所以 a+b=1.故a3++3ab=(a+b)(a-ab+)十3ab 24万因为号<江<2，<<2，所以< =a2-ab++3ab=(a+b)2=I. 5 日因为x=√19-83=√(4-3)=4-√3，所以x +<所号2 4=-√5，(x-4)2=3,即2-8x+13=0.从而 即1<p<2. 2-6r2-2x2+18r+23_(2+2r+1)2-8r+13)+10 因1. x2-8x+15 (2-8x+13)+2 提示：设a√亨-√。√写 =5 =y,p=x+,则有x+y=2a,xy= 10(1):(wx+42+√+10)(W+42-√+10) (V)-da-D-(2, 27 =(W2+42)2-(W+10)2=(.x2+42)-(.x2+10) =32, 所以xy=124.因为2+y=(x+y)(x- 3 又：√2+42+2+10=16， y)=(x+y)[(x2+2xy+y)-3xy=(x+y)[(x+ ∴.√x+42-2+10=32÷16=2, y)2-3xy],所以p[p-(1-2a)]=2a,即p2-p+ [N+42-9, 2ap-2a=0,所以(p-1)(p+p+2a)=0.因为F+ √+10=7. p+2a=(p+号)广+(8a-1D≥0，所以当8a-1= (√x+42)°=2+42=92=81，∴.x=±√39. 0时，p=2a=1:当8@-1≠0时，p-1=0,即p=1,. 经检验，x=士√3都是原方程的解。 综上可知，p=1. (2):(V4x+6x-5+√/4x-2x-5)(√4r+6x-5 四由x=号（√号+√臣）且a>0,b>0,得2-1 -/4r-2x-5)=(W/4r+6r-5)2-(wW4x-2x-5) =(4x2+6r-5)-(4x2-2x-5)=8x. [(Wg+)]-1a≥a 又：√4x2+6r-5+√4x-2x-5=4x, 故原式=2b√/x-1(x+√x-1) ∴.√4.x2+6r-5-√4x-2x-5=8x÷4x=2, [W4.x+6.x-5=2x+1, -√品[（√层+V)+惑] /4x-2x-5=2x-1. =(atb)la-bl+(a-b)2 2a (√4x+6x-5)2=(2x十1)2， a-b(a≥b), ∴.4x2+6x-5=4r2+4x+1, #一ab(a<b. ∴.2x=6,解得x=3. 经检验，x=3是原方程的解。 固化简x与y,得x=(+百-)=2m+1 62 参考答案与提示 2n(n+1Dy=(m+1+√m)2=2n+1+2√n(n+1D. DE,连接BG,FG,过点F作FH⊥DE于点H,易证 ∴.x十y=4十2，xy=(√n+I-√m)2(√/+T+√n) △ADE≌△BDG(SAS).∴.∠DBG=∠A,BG=AE. =[(m+I+m)(n+I-m)下=1. ∴.∠FBG=90°，BF=BG=BD,易证∠EDF=45 将xy=1代人方程，化简得x+y=98. DF=2,FH=DH=2,又：DE=√2，∴点 .(x+y)2=x2+y2+2.xy=98+2×1=100, H与点E重合，GH=DG+DH=2V2,.FG= .x十y=10, √(W2)+(22)2=√10，∴.BF=BG=√5，∴.AB ,.4n十2=10，解得n=2 =2BF=25. 西-+++a-D+- 例4B提示：将长方体侧面展开有如图所示的几种情 =+--1 况，经计算得爬行的最短距离为25. 2 D 1)=2 f3)-西≥2，f5)=6≥.， 5 2 2 f999)=T000-9998 20③ -A 2 10 ∴.f1)+f(3)+…+f(2k-1)十…+f(999)= 15 E y100=5. 2 ① B 10 第19讲勾股定理（一） ⑧ B5C D D D 20 例18. 提示： 20 20 0 10 15E10A E 10A 【变式题组】 变式1-185. 提示：如图所示，延长BD至点F,使 例2A提示：如图所示，连接AG,等腰△ABF的顶角 DF=BD=16,连接AF,过点A作AG∥BC,交DF于 为90°+60°=150°，等腰△FC℃的顶角为360°-90° 点G. 2X60°=150°，又AB=BF-FC=CG,所以△ABF≌ △FCG(SAS),所以AF=FG.同理AF=AG,设AB 的中点为K,连接GK,易见△AKG为直角三角形， AK=1,KG=2十3，由勾股定理，得AG= √1+(2+3)=√8+43=V(W6+V2)2=√6+ 2.四边形AFGD的周长为AF+FG+GD+DA= 2(w6+2)+2×2=4+2√6+22 'EC=EB,∴∠C=∠EBC, ,AG∥BC..∠AGB=∠EBC,∠GAC=∠C ∴∠AGB=∠GAC,∴.EA=EG,∴EG+EB=AE +EC..BG=AC=22,.GD=BG-BD=6, ∴.FG=DF-DG=16-6=10. :∠C-2∠ABE,∴∠AGB=2∠ABE, 例2题图 例3题图 AD⊥BE,DF=BD,∴AD为BF的垂直平分线， 例32√5.提示：如图所示，延长ED至点G,使DG= .AF=AB,∠F=∠ABE,·∠AGB=2∠F 63