第15讲 分式的化简与求值-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第15讲 分式的化简与求值 情境课堂 数学与游戏(2)--棋类游戏 棋类游戏与数学知识息息相关,是人们所共知的事,棋类游戏常常能 训练人们的想象力,这种能力不管是在文科方面还是在理科方面都是很有 用处的,一般提到棋,通常指的是围棋、中国象棋、国际象棋等,中国象棋和 国际象棋有很多相似的地方,著名的《中国科学技术史》的作者李约瑟博士 认为,中国早期的六博游戏是象棋的源头 1.60中国改 围棋是在3000多年前由中国人发明的,随后在唐朝(公元618年 907年)传到了日本和朝鲜,最后才传到欧洲,围棋由两位棋手在一块19× 围棋的一种布局 19的方形棋盘上进行博弈,如右图的邮票上就列出了围棋中的一种布局. 国际象棋在公元6世纪左右起源于印度,由印度一种叫“卡特兰 EPLIQU DJIUT! 卡”的游戏发展而来,到11世纪,国际象棋已基本上为普通大众所接 受,国际象棋是世界上流传最广的棋类游戏之一,分析一下国际象棋 和数学知识之间的关系,可以体会出棋类游戏中所蕴含的数学智慧 国际象棋中所蕴含的数学思维十分丰富,它需要每一名棋手在对变 王室象棋聚会 过程中,有客观判断局势,严密制订计划和精确计算变招的能力 典例剖析 类型1 先化简,再求值 ). B-1 C.2 A.1 D.-2 【学找切入点】 先化简括号内的减法,再将除法变成乘法,化到最简后整体代入即可 变式1-1 ,其中:-3. )-n,当B-0时,求A的值 85》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 类型2 分式开放求值问题 选一个合适的数代人求值 【学找切入点】 先化简并将x的范围求出,在范围内选数代入求值 变式21 n是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长,且n是整数 变式22 (x-3(x-2)4. 中x是不等式组 2x-35-x 的整数解. 3 $-2 类型3 整体代入求值技巧) 【学找切入点】 首先运用乘法分配律将所求的代数式去括号,然后合并化简,最后代值求解 即可: 《86 第15讲 分式的化简与求值 类型4 巧取倒数求值) 14(经典,华中师大一附中自主招生)已知 a+b c十a _ ). B2 C} A.12 D.-12 【学找切入点】 x z文) 变式4-1 (2024,武汉武路路实验初级中学月考)如果a,b,c是正数,且满足a十b十c-6. a+bbcc十a3' c十a -的值为。 变式4-2 已知a,b.c,d都是非零实数,且 的值. 类型5 巧引参数求值 2求(a+){+(6+-)#}+(+2){ 的值. 【学找切入点】 将相等式子的值设为,通分得三个等式,变形使每个等式均含有abc,观察 特点,求出 (a十b)(6十c)(c十a)的值为 b abc 研讨乐园 【解】 甲的探究 87》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 分析条件:①是a,b的关系;②是b,c的关系 分析结论;是关于a,c的关系的值 思路:消去6即可。 ④ ③$④得(1-a)(1-1)-1,即1-a-1+-1,-+1. 方法二 由①得b-代人②得_=1. 1-C '.c+1-a=c(1-a)...1-a=-ac. :azo,两边同时除以a,.c+1-1. d 分析条件:条件具有对称性 结论中含a^{②},^,c2②。 对于对称式,观察一个就可以看到全局, 分析结论: 同理,ca-ab--,以上三式相乘得a2①{}1. 一C c- 此法讲究退,即“退,足够的退,退到原始而不失去重要性的地方,是学好数学的诀穷”(华罗 唐语). ⑧ 可化为6与a,x的关系,代人⑧仍是a,x的关系,从而达到消元的目的,只含a,x - 2-a:-1r -7 由⑧得-__ _2-.r-1 一C -ar2-2x+a' _-2-1 'a-a2-2ax十a2-r2-a:-1, 即ax③-(a②+1)x*-ax+a*十1-0. .?(ax-a2-1)-(axr-a*-1)-0. 《8 第5讲 分式的化简与求值 '(a-a-1)(-1-0 由a-a-1=0,得x-a十,此时a=b,与题设不符. 则-1-0,'=1. 以上解法是否是此类题的通用解法呢?能否用于这道题? 一, 1-, C d 由上题结论得d-*-ax-1 -a{-2x十 1 -ax2-2x十a x-d r2-x-1 x-ax-3x+2ax+1 7 -x2-2x十a 'ar-a-3ar*+2a-+a-x-ax2-2x+a. 即a-(a^{+1)-2ar2+2(a+1)x-0. '(ax-a-1)-2x(ax-a-1)-0, ..(ax-a-1)(-2x)-0, '(ax-a2-1)(”-2)x-0. 同理,bc--1,则ab-bc-0. '.b(a-c)-0..b0,..a=c.与题设矛盾. .-2-0,则r-士2. 看来以上解法有通用性,但对运算能力要求非常高,拓展一下,结果又将如何? --x(a,b,c.d,e互不相等),求x的值 C 。 1_,e1- 3-ax2-2x十a 由上题结论知e一一 r-ax-32+2ax十1 将上式代入得a- 1. )一e -ax2-2x十a -ax3-3x+2ar十1 -a-3r*+2ax十1 1-ax-4x+3ax*+3x-a' 9》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 即-a-4ar+3a{}+3ar-a^}-x-ax-3x^2+2ax+1 ',a-(a^+1)r-3ar+3(a+1)r}+ar-a-1-0 '.(a-a-1)-3x(ax-a-1)+(ax-a2-1)-0 '(ar--1)(x-3+1)-0 当ax-a2-1-0时,可推出a-b,与题设不符 当-3x{}+1-0时,-3+. 2 3一 ..-士 .能力平台 "优训练 的值是 (建议用时:60分钟) m^{2-9 n{}-9 __的值是( a-2 ). B- A.-1 D.1 成立的正整数. 2.(2024,重庆育才中学月考)已知”-5x- 2016=0,则代数式(2-2)+(r-1)×-1 (x-1(x-2) 的值为 。. A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 3.设实数a,b,c满足a十b十c-3,a{②}十十 #-_$.则##4_#一 {#2-+2- 2-b ). A.9 B.6 C.3 D.0 8.(2023,枣庄中考)先化简,再求值:(a一 #).其中的值从不等式一1< #则十1 -的值是( ). a</5的解集中选取一个合适的整数 A.1 B.1 n{②十3 C. D 5.(2024,黄石十四中月考)已知a2十4a十1 #+m^{}1-5,则m- 0.目 3+m^{}+3 6.已知ab 15'b十= 十b一 17'c十a 《90 第15讲 分式的化简与求值 12.(2024,九江十一中期末)已知实数a,b, 22-6 (--1)(x-2),求A,B的值. 1③ 13.(2024,长沙荒山国际学校月考)已知实数 a,b,c满足abc=-1,a十b十c=4, 6 求a十十c^的值 冒赛训练 (建议用时:50分钟) 10.(经典,四川竞赛试题)已知正实数a,b,( 满足x二 2b 26+3'= a十2,则 +的值为( ). B} A.1 C.2 D.3 11.已知x十y十z=3a(a去0),那么 (-a)(y-a)十(y-a)(-a)+(-a)(x-a) (r-a)”十(y-a)?十(-a)? 的值是 91》参考答案与提示 故De士ID(+D=2+D(+1D(e2+D (x+1)(y+1)(2+1)(2+1)(y+1)(2+1) 则(u+号)广+（叶2）广+(e+是)'=3=6. =1. 【变式题组】 第15讲 分式的化简与求值 原式寻· (x-1)” 「2x11,(+1)2 A提示：原式千+· x(.x-1) x-1 .x+y=+.:x-x-1=0,d= 当一3时，原式-3名-是 +1,原式-串 变式12：B=0, m-1-)÷千2-[2 x+1 (m-4)(m+1)-㎡=0，解得m=一专 高]-=+ A=(+2产)".2 m一3 :x+1≠0.x2+2x+1≠0，x2-4≠0 =m-9.2(m=2_m+3)(m-32.2(m-2 ∴x≠-1≠士2 -2 m一3 1一2 m一3 将x=1代人上式，得原式=1十1=2 =2(m十3)=2m十6. 函原式-÷+号 2(.x-2)3(x+4) 当m=号时.原武=2x(一号)十6=一号+6=9 =x-2.2(x+20(x-2)_x+4 x 2(x-2)2 2x+2 原式-录÷[”+g+] 1-3 =十2_x十44 =m(m-2÷9+m-9=m2÷m2 xx+2x(x+2) (一2)9 m-3m-2「m-3 x2+2.x-2020=0,x(x+2)=2020. 兴2- ∴.原式=2020505 ,m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ☑D提示：由题意可知-1，仲=号，中 ∴.3-2<m<3+2.即1<m<5. ab bc 2'ca ,m为整数，m=2,3或4. 由分式有意义的条件可知m≠0,2或3，∴m=4, 三式相加有2（合+名+）=号， 原式-是 从面有+古+上是， -[老成] 则有=（公+片+2）-（任+方）=立： 成可 故c=-12. x-3(T-2)≤4， 丽令a+号=什名=c+2=-6, 解不等式组2红一35-工. 得1≤r3, 3 21 ab+2=b,bx+2=ck,ac+2=ak, 则不等式组的整数解为1和2 由ab+2=k可得alc+2=r=k(ck一2)，移项，得 又，x≠土1且x≠0，x=2, abe+2k=(k2-2)c, 2 原式=2千3 同理可得abr十2k=(k-2)a,ac十2k=(2-2)b. ∴.(k2-2)a=(k2-2)b=(k2-2)c. 变式30.提示：原式可化简为中y-(1一r一y十 ry ,a,b,c为互不相等的非零实数， y). ∴.k一2=0，即k2=2, 变式41.提示：：a十b+c=6,.a=6-(b+c),b 51 培优竞赛超级课堂、日年级数学 =6-(a+c)c=6-(u+),6千c+c+a十atb =2(x-1)-5x(r-1)+8(xr-1D x-1 -54+4结+5结=年。1+ =x2-5.x+8. c十G 2-5.x-2016=0,x2-5.x=2016. 。-1+61=6(++)-2 .原式=2016+8=2024. a十b十十。导，原式=6×号-3=1. 日A提示：原式-多三+号二+号 E医2曲条件式得出片+古专，名+上号·十 =c+2+a+2+b+2 =(a+b+)+6=3+6=9. 合-，从而日+日-（日+方）+（日+） AC提示：由条件知x≠0，因而一m1=1,即x+ (公+)号+日-高兴-导 上=m+1又因为出=+号-m 度58或-1.提示：设“士少_生=中=k,则 b (x+》'-x…(x+)-m=(m+10-3m a十b=kc,b+c=ka,c十a=b,∴.(a+b)十(b+c)+ (c+a)=kc+ka+kb.:.2(a+b+c)=k(a+b+c). 十1)m=3m-2.所以-话x中32 即(a十b+c)(k-2)=0,所以a+b+c=0或k=2. 日提示：a+日-4， ①当4十b十c=0时，a十b=一6，a十=一1，同理可 c 原式 得，告=-1，去=-1.所以a+0c+@ a 3(a+)+m-2 =a+b.+c.+e=(-1)×(-1)×(-10=-1. b 提示：由条件可知。+=15，六+上-17。 ②当k=2时，+也-十=十=2，所以 +日=16，三式相加得2（合+古+2）=48，故 a+h)+@-4+出.-.士4=2×2x2=8. 1 b 原试++上的 【能力平台】 2-4 日A提示：原式=21-5m ☑原式=a》÷4d+5_a-3 a-2 2-aa-2 ·8-a3+@ m2-9 m+3m-X03 m (a-3) a-2 =43 a-2·a-3a+3-+3 -智-(3+0》 号<1，解得a< m2-9 _21-5mm+3十m2-6m十9 a是使不等式号≤1成立的正整数，且4一2≠0。 m2一9 m2-9 21-5m-m㎡2+5m-12_9-m 。一3≠0，a=1,原式=导-号 m2-9 m2-9 =-1, 日(a-5)-(a-=a… 与m的取值无关。 11g 日D提示：-2+x-1D- (x-1)(x-2) a-1≠0，a≠0，.a≠士1，a≠0，∴a=2, ==2)十x(x2-x-2)1+z (x-1)(x-2) 原式=2-2-11 x-1 2 2 =x2-6.2+12x-8+x x-1 日~原式左边=A(x-2)+Br-1) (x-1)(x-2) -52 参考答案与提示 =A+Bx-24-B=,2=6 经检验，当x=1时，x(x十1)(x一1)=0， (x-10(x-2)(x-1D(x-2)' 所以x=1不是原方程的解，故原方程无解。 A+B=2, A=4, 解得 -2A-B=-6,lB=-2 @原式=（片中2+中2六+六 回A提示：“币。十+片十办 2 +8++中) 1 11 千。++心中十产 化简得马占一名即名解 1 团-.提示：由r+y+e=3a得(x一a）)+gy一a)+ 得x=-3.经检验，当x=一3时，(x一1)(.x十2)(，x+ 5)(x+8)(x+11)≠0，所以原方程的解为x=一3. (g-a)=0,所以(r-a)2+(y-a)2+(x-a)2=-2[(x 例2去分母化简为含字母系数的一次方程2(a一1).x= a)(y-a)+(y-a)(z-a)+(-a)(x-a)],所 a一1，需分类讨论. M(r-a)(y-a)t(y-a)(s-a)+(s-a)(r-a)_ (r-a)2十(y-a)2十(x-a)2 (1)当a2-1≠0，即a≠±1时， 2 ①当a≠0时，原方程的解为x=1片心 2 回器提示：a=11-6+o ②当a=0时，此时x=号是增根 -0-鼎。-1 (2)当a2-1=0,即a=士1时， b+c 同理可得，。。-品。1 此时方程的解为x≠士号的任意实数。 故原式。1+品。-1+出。- 综上·当a≠士1且≠0时，原方程的解为=兰， 当a=0时，原方程无解：当a=士1时，原方程的解为 =(+e+a)-8 x≠士2的任意实数 =1×号-3-器 1 1 1 3(1)原方程可化为+200+r+2006+207 Ba-3a-1=a-3a+alxc=a(bxc+a-3)=a(bc- 1 b-c+1)=a(b-1)(c-1), x+2003' 1 1 1 1 六。-a可-c一D同理可得，动一 即z+2006x+207-x+2082+2004 (a-1)(c-1D'e2-3c-(a-1)(b-1 器-告0器 1 六6-Dc-D+(a-D(c-D+(a-1)(6-D-9, ∴x+2006)(r+2007万-(x+2003)(r+2004)' 得4(a-1)(h-1)(c-1)=(a-1)+(-1)+(c-1). .(.x+2006)(.x+2007)=(x+2003)(x+2004) ∴.2+4013.x+4026042=x2+4007.x+4014012, “ak=-1a+b叶e=4,∴ob+c+ac=-} ,.6x=-12030, 故c+F+=(a+b叶e0r-2ab+x+a0)=受 .x=-2005. 经检验，x=一2005是原方程的解， 第16讲分式方程及其应用 ∴.原方程的解是x=一2005. 图aD+2DF+x-D 3 (2)设2-，则原方程可化为y一手=3。 去分母得7(x-1)+3(x十1)=6.x, 方程两边同乘y,得y2一3y一4=0， 即7.x-7+3x十3=6x,所以x=1. ∴.(y-4)(y十1)=0，解得y=4或-1. 53