第12讲 因式分解(一)-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第12讲 因式分解(一) 情境课堂 因数分解与因式分解 因数分解是把一个数分解成两个或更多的除了1以外的整数相乘的过程,这些整数称为 这个数的因数,若所有因数均要求为素(质)数,则称为质因数分解,质因 数分解,例如24一3×2×2×2.因数分解,例如16一2×8(其中一种,可 p_. 分解为多种),整数只能以一种方式分解为素(质)数的乘积(例如60一 25 2×3×5),但可以用几种方式因数分解为其他形式的数的乘积[例如 戴德金 2×5-(4十/)(4-6).为了规避这一问题,戴德金(1831-1916)引 入了“理想”这一概念,如图所示的邮票显示了一个理想作为“素理想”乘积的唯一因数分解。 因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式乘积的形式,它是中学数学中最重要的恒 等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具,下面我 们以著名的分马故事为例来一同探讨因式分解的数学思想 古阿拉伯民间有一个非常有趣的故事,一直流传至今: 从前有个牧民,辛苦一辈子所得的全部财产是17匹马,临终前,他把三个儿子叫到身边留下 遗嘱:“孩子们啊!我把17匹马留给你们,老大得,老二得,老三得,把马分完,但不许把马 宰了再分,”事后,三兄弟在一起商量了很久,始终无法按老人的意图把马分开,他们只好去请教 爱动脑筋的邻居老大爷,老大爷认真思索之后说:“我借1匹马给你们,共有18匹马,这样就好分 了.老大得是9匹马,老二得是6匹马,老三得是2匹马,你们总共分得17匹马,剩下的 1匹马再还给我,”巧妙地“借一还一”,既符合老人的遗嘱,又让三兄弟都满意 这种“借一还一”的思想能给我们什么启示呢?例如因式分解工十4,注意当把工十4改写 成+0十4,再把0拆成4x*和一4x*两项时,有 &+4-&+4r②+4-4r* (添一项0) 一(r2+2)2-4-2 (用公式) 一(r*十2x十2)(x-2x十2).(用公式) 这正好是借一个4r^{},还一个一4r^{},即把0拆成字母及其指数完全相同、系数互为相反数 的两项,这种“借一还一”的思想让我们找到了因式分解的新方法 拆项、添项分解法,这是 数学解题的重要技巧. 除了“借一还一”“借式还式”,数学中还有很多“借术”值得我们去探索并研究,我们需要培 养数学思维,打开解题思路 69》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 典例剖析 类型1 利用提取公因式法因式分解 1(2024,武汉光谷实验中学期末)与(3x+2)(-x$+3r*)+(3x+2)(-2x+$十 (x十1)(3x-4x)相同的式子是( ). A.(36-4r)(2x+1) B.(3c-4r)(2x+3) C.-(3x-4x)(2x+1) D.-(3r-4x)(2x+3) 【学找切入点】 首先把前两项提取公因式(3x+2),然后进一步提取公因式-(3-4)即可 变式11 (2024,武钢实验学校月考)下列从左边到右边的变形中为因式分解的是 ). A.(3-x)(3十x)-9-c2 B.n-n-(m-n)(n}+mn+n^*) C.(y+1)(y-3)--(3-y)(y+1) D.4y-2yz+-2y(2-yz)十z 变式12因式分解:(1)a②(x-2a){-2a(2a-c)一 (2)2ab(x+v)(b十c)-6a(x十y)(b+c)= (3)(-q)2m+1+(q-)2n-1- 类型2 利用公式法因式分解 利2(2024,长沙华益中学期末)分解因式:-2y+4-1-2x-*. 【学找切入点】 先提取公因式,再利用完全平方公式与平方差公式进行因式分解 [变式2-1分解因式:(a十b十c十d)②-(a-b十c-d)}- 变式22分解因式:y-4-2xy+x2- [变式2-3满足1998{+m^{}=1997*+r(0<m<n<1998)的整数对(m,n)共有 对. 拓展总结. 因式分解的常用公式总结 1.a-b-(a十b)(a-b). 7.a +2a+3a+2a+1-(+a+1)②. 2.a?士2ab+b-(a士b)?. 8.*-b-(a-b)(a-1+a*-?b+a-3b 3.a+b-(a十b)(a②}-ab十b). 士...十a十),其中n为正整数。 4.a-b-(a-b)(a②十ab十b). 9.a*+b-(a+b)(a-1-a-?b十a”-3b 下面再补充几个常用的公式: ...一a十b),其中n为奇数。 5.+b+2+2ab+2bc+2ca-(a+b+c)?. 运用公式法分解因式时,要观察多项式的 6.+b+c-3abc=(a十b十c)(a?+b 特点,根据字母、系数、指数、符号等正确地选 +c2-ab-bc-ca). 择公式. 《70 第12讲 因式分解(一 类型3 利用分组分解法因式分解> 删3(2024,武汉市第四十九中学期末)分解因式: (1)a?+b+c2-2bc+2ca-2a b (2)a?-ab十{b-b7 【学找切入点】 先将多项式分组,再利用公式继续分解 变式3-1 若a,b(a>b)都是正整数,且满足ab-a-b-4-0,求a十b的值 变式3-2 分解因式:(1)x-4y-2x十4y. 类型4 利用十字相乘法因式分解) 十字相乘法:先看一个乘法分式(x十a)(x十b)一r十(a十b)x十ab.利用这个乘法公式我们 可以得到分解形如-{十x十o的二次三项式的方法:如果我们可以找到两个数a,b,使得常数项 为两者的积,同时一次项为两者的和,也即ab一g,a十6一,如下图; a十b-).a-q ab-A,cd-C,ad+bc-B 第一列的积1×1一1为二次项系数;第二列的积ab-a为常数项;列间的交叉乘积1×b+ 1Xa-a十b-为一次项系数. 那么我们就完成了对r十px十o的因式分解:十x十q-(x十a)(x+b) 对于二次项系数不为1.则Ar+Bx十C-(ax十c)(bx十d). 利4分解因式:6x2-5xy-6y2. 【学找切入点】 6xr}分解为2x,3x,-6v分解为-3y,2y,再十字相乘验证中间xy项的系数 变式4-1 (2024,武汉洪山实验外国语学校期末)若实数m,n满足m+4mn-2vm- 4n十4n-3.,则7+2n-7 /m+2vn+2013 71》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 运用双十字相乘法对Ar*+Bxy+Cv*十Dx十Ey+F型的多项式分解因式的步骤 ①用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式 ②在十字相乘图右边再画一个十字,把常数项分解为两个因数,填在第二个十字的右端,使 这两个因数在第二个十字中交叉的乘积之和等于原式中含v的一次项的系数E,同时还必须与 第一个十字中左列的两个因数交又相乘,使其交又的乘积之和等于原式中含x的一次项的系 数D. 删5(2024,重庆南开中学月考)分解因式:12r*+14xy-20y2+20x-11y+3. 6 -5 【学找切入点】 先将前三项十字相乘,得 ,使交叉的乘积之和等于xy项的系数 14,再将常数3分解为1,3,得 ,使交叉的乘积之和等于y项的系数一11,同时满足 _ 交叉的乘积之和等于x的系数20 变式42 (2024,合肥四十五中月考)分解因式 (1)r+2xy-3+3x+y+2. (2)2-7x-22-5x+35y-3 类型5 利用拆项、添项法因式分解) 测6(2024,常德五中月考)分解因式:x3-3x2十4. 【学找切入点】用常规方法解此题无从下手,解此类题的常用技巧是采用拆项(拆成两项或 多项)或添项的方法,如x-3x^*}+4可拆为x十-}-4r}+4,也可拆为+1-3r*}+3,还可既拆 项又添项变形为x+r*-4r?-4x十4x+4. 变式51 (2024,黄冈外国语学校期末)分解因式:一4r十6x-4 类型6 利用换元法因式分解 删7(2024,南京一中月考)分解因式:(x*十x十1)(r*十x十2)-12. 【学找切入点】 1 将x*十x看作一个整体,或者将x^*十x十1看作一个整体,并用新字母表示; 再因式分解 变式6-1 在有理数范围内分解因式:(6x-1)(4x-1)(3x-1)(x-1)十9x 《72 第12讲 因式分解 研讨乐园 例8(2024,重庆八中月考)分解因式:x*-9x+8. 【学找切入点】 可将x,一9x或8拆项再因式分解,或采用添项再因式分解的方法 【解】 甲的探究 将常数项8拆成一1十9. 原式--9x-1+9 -(3-1)-9x+9 =(x-1)(r*+x+1)-9(x-1) -(-1)(r*十x-8). 乙的探究 将一次项-9x拆成一--8x. 原式---8x十8 -(-x)十(-8x十8) -x(x+1)(x-1)-8(x-1) -(x-1)(*十x-8). 丙的探究 将三次项.拆成9-8x, 原式-93-8-9x+8 -(93-9x)+(-8r+8) -9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x*+x+1) -(r-1)(r*+x-8). 丁的探究添加两项一r*十x^*, 原式--+-9x+8 -(x-1)十(r-8)(x-1) -(-1)(r+1-8) 能力平台 蹈优训练 A.3 (建议用时:80分钟) B-3 C.4 1.如果x十axr*十bx十8有两个因式x十1和 D.-6 ). -十2,则a十6-( 4.(2024,鄂州一中月考)在有理数范围内分解 A.7 C.15 D.21 B.8 因式:(x+1)+(x+3)-272- 2.已知a,,c为任意实数,则(a一b)一4(- 5.(2024,安庆四中月考)已知r*十十一 c)(c-b)的值一定( ). 2x+4y-6+14-0,则(x-y-z)*024- A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.大于或等于0 6.已知a,b,c是正整数,a>b,且a②-ab一ac十 3.(2024,娄底三中月考)方程x-6x?-x十6 bc-7,则a一c的值为 一0的所有根的积是( 7.已知a十b十c-3,a②十b十c-3,则a2十 3》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 13.若a+6-,则+^6+B +3ab-( 8.(2024,岳阳九中期末)若x2十2xy+{- a+ab+ 1## D.### a(x+)十25是完全平方式,则a= A.5 C.25 9.(2024,武汉汉铁初级中学月考)已知a^{}十 14.(经典,“希望杯”邀请赛)如果实数x,y满 $$ $ +2c^*-2ab-2bc-6c+9-0,则$a $=$$$ 10.(2024,武汉市七一华源中学期末)已知 2017x2+2018xy+2019y② 2018r+2019x+2 020的值是 ($+-10)(a+)+25-0,且a- -1,则a十6-。 15.(2021,“希望杯”邀请赛)已知x②十y②十。 11.分解因式:(1)x4-7r*十1. 35.则x+3y+5:的最大值比最小值大 (2)x+x+2ax十1-?. (3)(1+)-2x(1-)+x(1-). 16.(2024,中科大附中期末)已知n是正整数 (4)x+2+3r*+2x+1. 且n-16^*}+100是质数,求n (5)+xy-6+x+13y-6. 17.设实数a,b满足3a?-10ab+8*+5a- $0b-0,求-9a^{}+72b+2的最小值 赛训练 (建议用时:60分钟) $2.已知a>b>c,M-ab+c+a,N=a+$ b^{}+ca^{,则M与N的大小关系是( ). A.MN B.MN C.M-N D.不能确定 《74培优竞赛超级课堂 日年级数学 由①-②得a计c十ca=一之 原式=(6.x-5y+1)(2x+4y+3). 例6方法一原式=x+.x-4.x2+4=x2(x+1)-4(x .a+b+c-3alc=(a+b+c)(a++2-ab-bc +1)(x-1) -ca）. =(x+1)(x-2)2. ak=吉（a+B+)-吉（a+什ea+i+ 方法二原式=x+1一32+3 ab-k-m)=号×3-3×1x(2+号)=合 =(x+1)(2-x+1)-3(x+1)(x-1) =(x+1)(.x2-x+1-3.x+3) (2)将②式平方得 =(x+1D(.2-4.x+4) a+b+e+2a+2a2c2+2ce2=4, =(x+1)(x-2)2. .a+6+c=4-2(a8+a22+2) 方法三原式=x2+x2-4.x-4.x十4x十4 =4-2[(ab+ac+b)2-2alx(a+b+c)] =x(.2-4.x+4)+x2-4r+4 =4-2×[(-3)）-2×6×1] =x(x-2)2+(x-2)9 =4+号 =(x+1)(x-2)2. 例7方法一设无十x=y,则 原式=(y+1)(y十2)-12 =y2+3y-10 第12讲因式分解（一）》 =(y-2)(y+5) 例1C提示：原式=(3x+2)(-x+3x-2x+x)+ =(2+x-2)(x2+x十5) (x+1)(3x-4x5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5). =(3x+2)(-3x+4x)+(x+1)(3x-4x2) 方法二设u=x2十x十1，则 =-(3.x-4.xr2)(3.x十2-r-1) 原式=u(u+1)-12 =-(3.x-4)(2x十1). =2+u-12 例2原式=-2.x-y(xm-2x2"y2+y) =(u十4)(4-3) =-2x1y[(x2)2-2xy2+(y2)2] =(.x2十x+5)(x+x-2) =-2x1y(-y2) =(x-1)(x+2)(x2+x+5). =-2xy(x-y)(.x+y2 【变式题组】 例3(1)原式=(a2-2ab+F)+(-2hc+2ca)+c2 变式11B提示：A选项中，(3-x)(3十x)=9-2,这 =(a-b)2+2c(a-b)+2 是整式乘法的过程：C选项中，(y十1)(y一3)=一(3 =(a-b+c). y)(y+1),不属于因式分解：D选项中，4yx一2y:+ (2)原式=(a2-a)+(a6-6) x=(4y2y+1),提取公因式出现错误. =a(a2-F)+(a2-F) 变式12(1)a(.x-2a)(2x-3a). =(a2-i)(a+) 提示：原式=a(,x-2a)[a+2(x-2a)] =(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab =a(x-2a)(2.x-3a). +D) (2)2ab(x+y)(b+c)(.x+y-3ab-3ac). =(a+b)2(a-b)(a'-ab+a-ab+b). 提示：原式=2：x+y)(+c)[(x十y)-3al(b+c)] 32 =2a2b (x+y)(h+c)(x+y-3ab- 原式=(2x-3y)(3x+2y). 3ab c). 圆赵 (3)(p-g)m-1(p-q十1)(p-q-1). 提示：原式=(p-q)-[(p-q)-1] 42 参考答案与提示 =(p-g)1(p-g十1)(p-g-1). 原式=(x+2y-3)(2x-11y+1). 变式24(a+c)(b+d).提示：原式=[(a+b+c十d) 变式5原式=(.x23-2x2)-(2.x2-4.x)十(2.x-4) +(a-b+c-d0][(a+b+c+d0-(a-b+c-d)]=(2a =x2(x-2)-2x(x-2)十2(x-2) +2c)(2bh+2d0=4(a+c)(b+d0. =(x-2)(.x2-2x+2). 变式22(x-y+2)(x-y-2).提示：y-4-2xy+ 变式6(9x-7x十1)片.提示： x2=(y-2xy十x2)-4=(x-y)2-4=(x-y+2)(x 原式=[(6.x-1)(x-1)][(3x-1)(4x-1)]+9x y-2). =(6.x2-7x+1)(12x2-7x+1)+9x. 变式233.提示：，-m=19982-1997=3995= 设1=6.x2-7x+1, 5×17×47,.(-m)(n+m)=5×17×47. 则原式=t(t+6x)+9x ,0<1998, =F+61x2+9x .n十m>-m>0. =(t+3x2)2 1n+m=17×47=799 1m+m=5×47=235, =(9.x2-7x+1)2. .有 或 n-m=5, n一=17， 【能力平台】 m+n=5×17=85, 或 1D提示：设x2+a.r2+br+8=(.x+1)(x+2)(.x+c) 一m=47, =x+(3+c).x2+(2+3c)x+2c. .得到整数对(m,n)分别为(397,402)，(109,126) 比较得c=4,从而有a=7,b=14,.a+b=21. (19,66). 2D提示：原式=a2-2ab+-4(ac-ab-c2+bc) 故满足条件的整数对(m,n)共有3对. =a++c?-2ub+4ab-Abc-Aac 式3-☑：ab-a-b+1=(h-1)(a-1), =a2+F+4c2+2ab-4ac-4 ∴.ah-a-b-4=0可化为(h-1)(a-1)=5. =(a+b-2c)2≥0. a>h,a,b为正整数， 3D提示：原方程可化为(2一6r2)一(x一6)=0，即 a-1=5,h-1=1,a=6,b=2,即a+b=8. x产(.x-6)-(x-6)=0,即(.x2-1)(x-6)=0,即(x+ 变式3-2(1)原式=(x2-4y)-(2x-4y)=(x十2y)· 1)(x-1)(.x-6)=0,解得x=一1或x=1或x=6, (x-2y)-2(x-2y)=(r-2y)(x+2y-2). 所以方程的所有根的积是一6， (2)原式=(2-y+y）-1=(-2)°-1 42(x2+4x+19)(x十5)(x-1).提示：设x+2=4, (-+(--) 则原式=(1-1)+(1+1)1-272=2+12-270= 2(+15)(-9)=2(.x2+4.x+19)(x+5)(.x-1). 度式一动提示：由m十4vm-2m-4十 50.提示：x2+y+2-2x十4y-6十14=0，- 2x+1+y+4y+4+-62+9=0,即(x-1)2+(y+ 4n=3,得（√m+2m)2-2(m+2√m)-3=0, 2)十(2-3)=0，x-1=0,y十2=0，-3=0.解 则(Vm+2n-3)(√m+2m+1)=0, 得x=1,y=-2,g=3,.(x-y-)2=0. ∴.√m十2n=3或√m+2m=-1(舍去). 日1或7.提示：：a2-ab-a十=7， 原式=平2=动 1 .a(a-b)-c(a-b)=7,∴.(a-b)(a-c)=7. ax :a,b为正整数，且a>b,.a-b>0,a-c>0, .(a-b)(a-c)=1X7=7XL. 原式=(x+3y十2)(x-y+1D. |a-b=1,.a-b=7, 或 即a-c=1或7. 2)1 la-c=7 la-c=1, ☑3.提示：，a+b+c=3,① a2++c2=3,② 43 培优竞赛超级课堂、日年级数学 由②-①×2+3，得a2++2-2(a十b+c)+3=0, (x+3y)(x-2y)+(x+13y)-6=(x+3y)(x-2y) ∴.(a-1)2+(h-1)+(c-1)°=0，∴.a=b=c=1. +[3(x+3y)-2(.x-2y)]-2×3=(x+3y-2)(.x 即a2n十o9+2o9=3. 2y+3). 8士10.提示：原式=(x十y)2一a(x十y)+5,:原式 方法二：x2十xy-6y=(x十3y)(x-2y), 为完全平方式，∴a(x十y)=士2×5(x十y),解得 .可设x2+xy-6y2+x十13y-6=(x+3y+m)(x a=士10. -2y+n), 981.提示：，a2十2+2c2-2ab-2h-6c+9=0, 展开整理得 ∴.(a2-2ab+)+(c2-6c+9)+(-2+c2)=0, x+xy-6y+x+13y-6=x2+ry-6y+(m+n)x .(a-b)2+(c-3)2+(b-c)2=0. 十(3n-2m)y十mm, (a-b)2≥0，(c-3)≥0，(h-c)2≥0， m十=1， 1m=一2， f(a-b)2=0, a=3, 比较对应项系数得3n一2m=13,解得 n=3, (c-3)=0, .b=3, mn=-6, (b-c)2=0, c=3, ∴.原式=(x+3y-2)(x-2y十3). ,.aw=3×33=3×27=81. 方法三原式=2+(y+1)x-(6y-13y+6) 103或-3.提示：：(a2+一10)(a2+?)+25=0, =x2+(y+1)x-(3y-2)(2y-3) .(a2+)°-10(a2+)+25=0, =x+[(3y-2)-(2y-3)]x-(3y-2)(2y-3) .(a2+-5)2=0,∴a2+=5. =(x+3y-2)(x-2y+3). a-b=1,∴.(a-b)￥=a2+f-2ab=1, 2B提示：M-V=a2b+c+a-al-b2-ca2 .5-2ab=1,ab=2. =a(b-c)+bc(b-c)-al+ac .(a+b)2=a2+B+2ab=5+2×2=9, =a2(b-c)+lx(b-c)-a(b+c)(b-c) ∴.a+b=3或-3. =(b-c)(a2+bc-ab-ac) 团(1)x-7x2+1 =(b-c)(a-c)(a-b). =x+2.x2+1-9.x2 a>b>c,.b-c>0,a-b>0,4-c>0, =(x2+1)2-(3.x) .M-N>0..MN =(x2+3x+1)(x-3.x十1). 因A提示：原式=a+ab+)gb++3ab atab+l (2)x+x2+24.x+1-a2 =(a+b)2=5. =x3+2x2+1-x0+2a.x-a =(.x2+1)2-(x-a)月 四88 提示：2-2y+-y=0， =(x+1+x-a)(x+1-x+a. -2y叶y)+(y-2叶)=0， (3)(1+y)2-2x2(1-y)+x(1-y) =(1+y)-2.x(1一y(1+y)+x(1-y) 即(x-y2+y-1)=0, =(1+y)2-2.x2(1-y)(1+y)+[x(1-y)] ∴x=y=1, =[(1+y)-x2(1-y) =(1+y-2+xy)°. 号88888器 (4)x+2x2+3.x2+2x+1 2017+2018+2019 2018+2019+2020 =x+x+x2+x+2十x+x2+x+1 3×20182018 =2(x2+x+1)+x(.2+x+1)+(x+x+1) 3×20192019 =(x2+x+1)2 因70.提示：2+1>2x,y2+9>≥6y,x2+25≥10x, (5)方法一原式=(x+xy-6y)+(x+13y)-6= .2x+6y十10≤x2+y+g+35=70, 参考答案与提示 .x十3y十535，故原式最大值为35. =(u+分）+w--1≥-1 同理可得-2x一6y-10≤70， x十3y+5≥-35，故原式最小值为-35. 当且仅当a+号2=0,6-1=0， ∴.最大值比最小值大70. 即a=0,b=1时，等号成立，故所求的最小值为一1. 16n-16m+100=n+20m2+100-36r=(m+10) 例3设n=2015,则原式=示+(n十1)”+(n+1) 一362=(m2十6+10)(m2一6+10). =n+22+2m2+(n+1)2=n+2(n+1)+(n+1) ,n一16m+100为质数，且n为正整数，.m+6n =(㎡+n+1)2,为完全平方式..2015+2015× +10≠1，∴n2-6n+10=1,即n-6m+9=0, 2016+2016是一个完全平方数. .(n-3)2=0,..n=3. 例4设x十y=a,xy=b,则 1☑由3a2-10ab+85+5a-10b=0,可得(a-2b)(3a 原式=(b-1)2+(a-2)(a-2b) 4b+5)=0.,.a-2b=0或3a一4b+5=0. =-2b+1+a-2a-2ab+4b ①当a一2h=0时， =(a-b)2-2(a-)十1 u=9G2+72h+2=366+72h+2=36(h+1D-34. =(a-b-1)9 (6+1)2≥0，.当b=一1时，u的最小值为一34， =(r+y-xy-1)” 此时a=一2，b=一1. =[x(1-y)+(y-1)F ②当3a-4b+5=0时， =(x-1)2(y-1). M=9a2+72h+2=16+32b+27=16(b+1)2+11. 【变式题组】 ,(6+1)≥0，.当b=一1时，4的最小值为11，此 变式11B提示： 时a=-3,b=-1. 4-号024X2024-2023)-2023×2025 2022×(2023-2022)-2021×2023 综上可知，4的最小值为一34. =2024-(2024-1D×(2024+1) 第13讲因式分解（二） 2022-2022-10×(202+71, 例1(1)设1001=4，则 同理可得b=1, 2a十1y一42a十1)+2a(4a十+D2a十1D2十2 ∴.a=b 原t2r十D-8a+22r+D-2a+H2a+3+oa+38a十2 变式21.提示：m=2m十1，m-2n=1, =(2a+1)(-2a+1)+(2a+2)(2a-1) .m2-4mm十4r=(m-2n)2=1. (2a+1)(-4-1)+(2a+3)(a+1) =2a-1_667 变式2236.提示：：x十y=3,x2+y2-xy=4, 2a+26681 ..x+y+ry+ry o)原式-g+38十8+8股 =x(x+y)+y(x+y) =(x2+y)(.+y) (1子-4×15+8)×…×(3+4×39+8)(39-4×39+8) =(x+y)(a+y-xy)(x+y) (11一4×11+8)××(3子+4×35+8)(39一4×35+8) =32×4=36. (3×7+8)(7×11+8)(11×15+8)(15×19+8)×…× =0X3+83×7+8(7X1+801x15+8》X…又 变式23x=6,y=5或x=4,y=5.,提示：原方程可变 (35×39+8)(39×43+8) 形为(x一y)(x一5)=1.x,y为整数，.x一y=1, (31×35+8)(35×39+8) x-5=1或x-y=-1,x-5=-1,.x=6,y=5 39×43+8 (-1DX3+8=337. 或x=4,y=5. 例2-1.提示：a2十ab+-d-2b 变式31将已知不等式变形为 (x2+y-2)+x(y十2-x)十y(x+x2-y)- =a+(b-1)a+-2b 2r3yg>0, -(+号)+6-号6- 即zxr+ey一g2十xy十x2一x2十y22十yx一y- -45