第10讲 整式的乘法-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第10讲 整式的乘法 情境课堂 从数到式一一次质的飞跃 日常生活中，我们常常需要超越具体的数量，一般地去表示某个量，且一般的表示比具体 的表示具有更重要、更普遍的意义.数是用一个单位去度量它的同类量而得到的结果：而字母 的特，点是抽象，它可以更加一般地表示数以及数与数之间的运算规律.如果说一个数可以表示 无穷多个有实际内容的量，那么，一个字母或式子就可以表示无穷多个有实际意义的数，它的 作用可以说是无限的.学会用字母代替数，我们就可以用字母表示以下数学内容： 数学公式：如面积公式可以表示为 S=ab(长方形)：S=rr(圆). 数学性质：如分数的基本性质可以表示为 名-册m≠0)：号-8产m≠0. 数学法则：如分数加法法则可以表示为 +后生（同分母相加）号+后“陆产（并分母相加。 aa 数学关系：如相等关系3.x一5=0：正比例关系y=k.x(k≠0)：等等. 从数到式是一个由具体到抽象的认识过程.人们在研究整数和分数的过程中，为了更好地 反映一般规律，又抽象出整式和分式的概念，从数到式是我们学习上第一次质的飞跃.真正了 解了式的概念以后，客观世界中的数学规律就会变得简洁明了，数量关系就会变得清晰，一大 部分运算也具有更普遍的意义， 典例剖析金 类型1幂的三种运算> 例个(2024，九江十一中月考)下列各式运算正确的是(). A.3a2b-2a2b=a2b B.a2·a3=a C.a5÷a2=a D.(a2)3=a 【学找切入点】根据合并同类项的方法，以及同底数幂的乘法、除法的运算方法，幂的乘方 与积的乘方，逐项判断即可. 《58 第0讲整式的卖法 变式1-1(2024，黄冈启黄中学月考)已知am=5,a"=2,求a3m+m的值. 变式1-2(2024，重庆-中月考)已知6=192,32=192，求(-2024)-D1)-2的值. 变式13(2024，合肥四十五中期末)对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为： 如果a'=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫作以a为底的N的对数，i记作x=logV.例如：3=9，则 logs9=2.其中a=10的对数叫作常用对数，此时logN可记为lgN.当a>0,且a≠1，M>0, N>0时，log(M·N)=logM+logN. (1)解方程：log,4=2. (2)求值：log8. (3)计算：(lg2)+lg2·lg5+lg5-2024. 类型2幂的运算法则的应用 例2(2024，常德五中月考)填空： (1)已知32m+1+32m=324,则m= (2)已知3.x+4y-6=0,则8·16= 【学找切入点】运用幂的运算性质是化简、变形的关键，如(1)中32m+1=32m×3,(2)中 8·16=(23)·(2). 变式2-1(2024，安庆四中单元检测)已知9+1-32=72，试求n的值. 变式2-2(2024，重庆有才中学期未)若2.x十5y-3=0,则4r·32= 变式2-3已知a=3,b=4,c=58,则a,b,c的大小关系为(). A.c<a<b B.c<<a C.a<K<c D.a<c<b 59》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 类型3多项式乘以多项式的应用 例3(2024，武汉慕甸幸福路中学月考)在某主题活动中，702班的浔浔设计了如图1所示 的徽章，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正 方形，构造出一个大正方形ABCD,并画出阴影部分的图形，形成了徽章的图标，现将阴影部分图 形的面积记作S,每一个边长为b的小正方形的面积记作S:,若S=6S,则号的值是 b 图 图2 【学找切入点】用正方形ABCD的面积减去空白部分的面积，即可求出阴影部分的面积S1, 变式3-1(2024，湖北华宜寄宿学校月考)如图，在长方形ABCD中， AB=x十3，AE=3x一1，CF=2.x十2，用关于x的多项式表示图中阴影部分的 面积为 B 变式32若多项式x2十a.x十2和x2+2x-b的乘积中没有x2和x3两项，求a,b的值. 类型4整体思想在整式乘法中的应用>> 例4若3x2-x=1,则9.x+12.x2-2.x2-7.x+2024的值是( ). A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 【学找切入点】 直接由3x一x=1计算x的值比较复杂，计算量大，可用整体代入法求值」 变式4-1 (2024,岳用九中期末)若x-y-2=0,2y+y-4=0,则号-y 变式4-2 (2024,南昌育新学校月考)已知2m2+2mm一m=3a一35，mn十2=2十a,则式 子m2- 1 2n的值为 变式4-3 当x=1+994时，多项式(4x-1997x-1994)2的值为( 2 A.1 B.-1 C.22001 D.一2201 《60 第0讲整式的乘法 例5已知a,b,x,y满足a+b=x+y=3,ax十by=7,求(a+).xy+ab(x2+y2)的值. 【学找切入点】(a十b)(x十y)=(ax十by)十(bx十ay),已知a十b,x十y和a.x十by,可求出 hx十ay.分析要计算的表达式，将表达式转化为含a.x十by与bx十ay的式子 变式4-4已知a=√5-1，则2a3+7a2-2a-12的值等于 、研讨乐园 圆6(2024，武汉经济技术开发区第一初级中学月考)已知5=2=10，求。十方的值. 【学找切入点】可分别求出日，或整体求。十。古，故求出a十6，b及二者之间的关 系是解题的关键，但产生ab的方法有哪些呢？54=10→(5)=10：2=10→(2)“=10（此法可 行).产生a十b的方法有哪些呢？50=10→52·5=10×5：2=10→20·2=10·2（此法 可行). 【解】方法-5=(9-9=2,2·2必=10，即2=10 又2=10，(2)=10.六2=10=2.b=a+6故2+方1 方法二，5=10，.(5)=10，即10°=5，同理可得10=2. 两式相乘，得10·10=5×2，÷10=10.故2+方-1 方法三5=2=10，∴.(5)=10，(2)4=10 两式相乘，得5b·2=10+,即10=10+b. ∴ab=a+a故d+名=l 能力平台 踣优训练 (建议用时：60分钟) A.-1 B.0 C.2 D.3 1.(2024,十堰实验中学月考)若(db+2)(ab2m) 4.设a,b为实数，多项式(.x十a)(2x十b)展开后， =ab,则m十n的值为( ). x的一次项系数为p,多项式(2x十a)(x十b)展 A.3 B.2 C.1 D.-3 开后，x的一次项系数为q,若p十q=6,且 2.(经典，广西壮族自治区中考)已知2=3， ,q均为正整数，则( 2=6,2=12,则a,b,c的关系是( ). A.ab与号的最大值相等，ab与号的最小值 A.26<a+c B.2b=a十c 也相等 C.2b>aHc D.a+b<c 3.(2024,重庆外国语学校月考)若a2一3a十 B.ab与号的最大值相等，ab与的最小值不 1=0,则a3一2a2一2a十3的值为(). 相等 61》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 C.ab与号的最大值不相等，ab与分的最小值 宽赛训练 (建议周时：60分钟) 9.有( )个整数（不必是正数）可以使得 相等 D.ab与号的最大值不相等，ab与号的最小值 40·(层)的值是一个整数。 A.3 B.4 C.6 D.8 E.9 也不相等 10.(2024,重庆八中月考)填空： 5.(2024,湖北华宜寄宿学校月考)已知a1, a2,…,2e均为正数，且M=(a1十a2十… 尼知c+4a+1=0,且牛m。 +a2m)(a2+a3+…+a2m1一a2ow2),V= 5,则m= (a1十a2十…十a2ow一a2o02)(a2十ag十… (2)对于一切实数x,等式x2一p.x+q 十a2o1),则M,N之间的关系是( ). (x十1)(x一2)均成立，则一4g的值 A.M>N B.M<N 为 C.M=N D.不能确定 (3)已知多项式2x2+3.xy-2y2-x+8y 6.填空： 6可以分解为(x十2y十m)(2x一y十n) (1)已知(-2a.xy2)(3x1y)=12xy2,则 a十b十c= 的形式.则告的值是 (2)已知a,b互质，且(ab2·ab)5=a5b, (4)如果1十x十x2+x3=0,则x十x2+ 则(3m)"= x3十…十x2024= (3)已知2+5·3+3=36-，则x= 11,已知n为正整数且n3+100能被n+10整 (4)已知(x2十mx十8)(x2一3x十n)的展开式中 除，则n的最大值为 不含x项和x2项，则m十= 12.已知正整数a,b,c满足a十一2c一2=0， (6)若(2x-ar+33xr+2一君)的展 3a2-8b+c=0,求abc的最大值 开式中不含x项，则a= 7.(2024,吉安一中期未)有下面三组代数式： 53a,8m,2m,2号a4m12a,m,3a 1 4,从每组中取出一个单项式相乘，则所有 13.已知多项式2.x一3.x3+a.x2+7x+b能被 这样的三个单项式的积的和等于 x+x一2整除，求6的值。 8.已知x,y,是整数且x>y>x,2十2+ 2=4.625,求xy的值」 《62培优竞赛超级课堂 日年级数学 '.△OAE△OBP(SAS). '(a+b)(r+y)=ax+ay+br+by=9. OE-OP.AOE=BOP.'. EOP=AOB '+by-7,'b+ay-2'原式-2x7=14 -90{,△EOP为等腰直角三角形, 【变式题组】 *./OPN-45,即/OPN的度数为定值 变式11.”-5."-2. 12 '+--(”)(”)-5x2-500 12:6- 192,32-192 .6-192-32 $ $$ -192-3266-1-32,32-1- '(61-6.'(-1)(y-1)=1. .(-2024)-n0-1-2-(-2024)-1-- 2024' 图1 图2 式13(1)r-2. (2)原式-. 第10讲 整式的乘法 A 提示::3a-2a=a^',选项A运算 (3)原式-lg2·(lg2+lg5)+lg5-2024 正确,符合题意; -lg2·lg 10+lg5-2024 'a·a}一a^{,'选项B运算错误,不符合题意; -lg2+lg5-2024 .'a-a一a.'.选项C运算错误,不符合题意; -lg 10-2024 '(a)一a”,'.选项D运算错误,不符合题意 --2023. 2(1)2提示:,·3-1+3*-324,即3*×3+3* 21·91-3-72.(3)1-3-72. 32 4.3*x(3+1)-324.故3*-81-3\$ *3+-3-723×3-3-72. *2m-4,即n-2. $ 3$8=72'3=9-3.-1. (2)64.提示:,8·16-(2)·(2)-2·2 变式228.提示:4·32-(2)·(2)y=2·2 y,而3r+4y-6-0.'8·16v-2-64. 22-y. 87. 提示:如图,对需要的交点标注字母, ·2x+5y-3-0. .2c+5y-3. 则S-Sp-S-S '4·32-2-8. 23A 提示:a-(3)-243,b-(4) Ssxx-Swn=(a+20)"-- 256|,c-(5)11-125. #a(at+)0-(at)-# 又·125<243<256,..ca<b. 18x+3. #ab S.-.# ·S65..2ab+-6. 提示:Sns-(AE+CF)·AB 化简得2-. -7.# -1(3x-1+2x+2)(c+3) 4D 提示:.3-c-1,..3-x-1-0.于是 $ +12-2-7r+2024-3r^”(3r--1)+$ -1(5^*+15x+x+3) $ (3r--1+2(3--1)+2026-2026 :'(a+)xy+ab(r”+y)-a”xy+bxy+abr”十 -(5*+16.x+3) ab=(a’xy+abr^)十(xy+aby?)-ar(ay十br)十 #8# by(br+ay)-(ay+bx)(ax+by). 又,a+6-x+y-3. B2(+ar+2)(+2r-b)=+(a+2)+ 36 参考答案与提示 (2+2a-b)x+(4-ab)x-26,根据题意可得 ·多项式(x十a)(2x十b)展开后x的一次项系数为 a十2-0. .:/二-2. 2,多项式(2x十a)(r十)展开后x的一次项系数为 l2+2-b-0. 1--2. 0. '.-b+2a,q-2b+a 1 提示:由题设得x=y+2,2y-4-y .十q-6,且p.q均为正整数 '.b+2a+2b+a-6,整理得a+b-2. 则--+2--2+2+4-4+2+4 2y 2 ,。 又'-b+2a,q-2b+a,'=a+2,q-b+2 '--2,b--2. ',ab-(-2)(q-2)= q-2(+q)+4-(6- ) 变式4-2_ . 提示:.2n+2mn-r-3a-35,mm -2$6+4--$+6 -8--(-3) +1. +2r-2+a. ..均为正整数,.p的可能取值为1.2.3,4,5. '.ab的最大值为1.ab的最小值为一3. .--2.b--2. # no-)1-3- -2 -1(2 子2mn-)(m叶2^) -1(3-35)-#(2+a) ..g均为正整数且q去2, ..q的可能取值为1,3. 一### 4.5. ·的最大值为1,-的最小值为-3. B 提示:令x-a十a十...十at,则M-(a十x). 148B提示:·-1+1994 (r-acoe)-r”+ax-aer-aa,N-(a+r 2 ·(2x-1)-1994..4r-4r+1-1994. -a)x=r?+a-ar,M-N--aao<o ..4-4-1993-0. 从而M<N. ..(4r-1997:-1994):01 (1)7.提示:(-2ar*y)(3)=-6r1. -(4.-4.r-1993x-1993-1):0ot *1-12. (-6a-12. -[r(4*-4r-1993)+(4.r*-4r-1993)-1]20ot (--2. .2-1-11,.6-6. -(-1)200 .十bc-7. 2c十1-7. --1. -3. 4-4o. 提示:由已知得(a+1):-5,所以a*+2a= (2)36.提示:'(a^b·ab)-{bl-a6. 4.于是2+7a-2a-12-2+4a^{+3a-2a-12 且a,互质, (5m+5-15. -3a”+6-12-0. . . (m-2. “1n-2. ..(3m)"-36. 【能力平台】 5n+10-20. B 2B (3)7.提示:·2.3-36. C 提示:':a-3a+1-0 .a-3=-1,'. '(2×3)1-(6)-6-6. -2a-2a+3-a(-3a+1)+a-3a+3-2. '.r+3-2-4.r-7. A 提示;(x+a)(2r+b)-2r+bx+2ar+ab=2 (4)4.提示:(r十mr十8)(r-3r十”) 十(b+2a)x十ab. --3r^+n}+mr-3mr}+mnr+8-24r+8 (2x+a)(r+b)-2*+2bx+ax+ab-2+(2b+a)x -+(m-3)x+(n-3n+8)r+(n-24)r+8n 士a. 且展开式中不含项和项, 37 培优竞赛超级课堂 日年级数学 -3-0. m-3, :. '.nn-4 (16+n)(-4a-1)+8a+2 ln-3m+8-0. -1. (m-12)(-4a-1) (5) (16+n-2)(-4a-1) 提示:(2-ar^*+)(3r+1-) (m-12)(-4a-1) -14 -6r十一 =5. #.-10 所以14+m-5(m12),解得-37. -6$+(1-3) +(3-a)+(a+) (2)9. 提示:,-x+=--2对一切实数 #.# r均成立, -1,q=-2,-4-9 ·(2-+x)(ar+1-)的展开式中不 提示:,(x+2y+m)(2r-y+n)-2”+ 3xy-2+(2n+n)x+(2n-m)y+m=2+ 含项, -a-0,解得a-. 3xy-2-x+8y-6. 2m十n--1, m--2. .2n-m=8, 解得 ._1- 7600^+1135ma+73n*。提示:根据多项式乘法的 n-3. m一6. 规律可知,所有的三个单项式的积的总和为(53a十 (4)0 提示:'1+x十+-0. 8m+23m+22-a+4m)×(12a+m+3a)x(1+ r+十十..十 -(1+x+)+(+x+r+) 4)-(8a+143m)x(15a+m)x5-(40a+ -0+..+0 73n)(15a+m)-600r}+1135n+73**. -0. B方程两边同乘以8,得 11890. 2-++2+21-37. ① 且+100(n+10)G°-10n+100)-900 “'x>y。,'要使①式左边为奇数,只有2-1. n士10 n10 即 --3,则2+2-36. --10n+100- 900 即2*1+21-9.② n10 ..900能被n+10整除. 要使②式左边为奇数,只有21-1,即y--1. ..n的最大值为890 从而有2-1-8,即x-2. 2.3-8+c-0. '-8-3a,代入a+-2c-2-0. 故x-2,y--1.--3y-6. BE 提示:当n0时,4000·()*-2×5×2-是 得+-2(8b-3a)-2-0. '(b-8)2-66-6a}-. 整数,则n-0,1,2.3,当n<0时,400·(2)“- ',66-6a{-a为完全平方数. 'a-3. *,6-5或11,c-13或61. 2*×5×是整数,则n-1,-2,-3,-4.-5.因 ..abc的最大值为3×11×61-2013 此n可取9个值. 因为+x-2-(+2)(-1),所以2-3+ax +7x+b能被(x十2)(x-1)整除 提示:因为a十4a十1-0,所以a--4a- 设商是A,则2-3r+ar^*+7x+b-A(r+2)(r- 1.于是4--41)01 1),于是当x=-2和x-1时,右边都等于0,所以左 (16+m)a+8a+2 边也等于0. (n-12)^{ 当--2时,2-3+a^}+7x+$-32+24+4$ 38 _ 参考答案与提示 -14+b-4a+b+42-0, ① -1 981 045. 当 -1时,2x -3^+ar$+7x+b-2-3+a+7 +$ (2)原式=(1-)x(1+)x(-)x(1+ -a十十6-0,② ①-②得3a+36-0,所以a--12,所以b--6 -a x.x×(1-19)×(1+10)×(1- -6.因此--12--2. )×(1+0) 第11讲 乘法公式 1×3411920000 (1)(a+b+c)-a”+r++2ab+2ac+2bc. 1991992000 #20 提示:大正方形的面积=a+++2a+2ac+ 2hc.又.大正方形的面积一(a十b十c)..(a+b 十c)?-a}+r++2ab+2ac+2bc. (2)155. 提示:由(1)得a十十-(a十b十c)一 (1)原式=(-4n)*+2.(-4rn)·nr (2ab+2bc十+2ac). .a+b+c-15.ab+ac+b-35. -16n-8nr+r. *++-225-2$35-155. (2)原式-[()()] (③)9. 提示;.(2a+b)(a+2b)-2a+5ab+2. .-2.y-2,-5. -() 'ry十-9. (4)由题图可知,S=SrAxD+Sr:-S ##)-2·+(){ 一S. $.Sn-+-1a(a+b-1=1a ##-#0# -ao+-[(a+6)}-3ab],将a+6-12. (3)原式-[(a+2)+2(a+2)-2] ab-20代人得原式-2x(128-60)=42. ·阴影 -(a+2)-(2) 部分的面积为42 -a+4ab+4"-4c. 例2原式=(2-1)X(2+1D)×(2+1)X(2+1)x..x (4)原式-31.5-2×15×31.5+1.--100 (2十1)十1 -(31.5-1.5:-100 =(2-1×(2+1)×(2+1×..×(2*+1D+1 -30-100 -(2-1D×(2+1D×.×(2*+1+1 -800. _.. 设nr-2010-a.n-2008-a. -(2-1)×(2*+1)+1 即有nr-2000,n-n-2. -(2{-1)+1 故n?+r-Gn-n)}+2nm-2+2×2009-4022 -2. 【变式题组】 (1)原式-(1990-1989)+(1988-1987)+...+ 变式11176. 提示:由题意得FC-10-x,FC=6- (2-1) .长方形CEPF的面积为80. -(1990+1989)×(1990-1989)十(1988+ ·(10-r)(6-r)-80 '(10-r)(-)--80. 1987)×(1988-1987)+...+(2+1)× *.阴影部分的面积为(10一c)十(6一x) (2-1) 设10-1-a.-6-b. -1990+1989+1988+1987+..*+2+1 则(10-r)(r-6)-ab--80. -×(1990+1)×1990 +b-(10-x)+(r-6)-4. -x1991×1990 .(10-.o)②+(6-.x) =(10-xo)2十(x-6) 39