第8讲 等边三角形-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第8讲 等边三角形 情境课堂 完美正三角形 现有边长为1,2,3,4,5的小正三角形若千个，你能否将它们组成一个边长为9的正三角 形（每种小正三角形必须用到）？请给出你的方案.反过来，你会将一个边长为11的正三角形 分割成边长为整数、种类不少于4种的小正三角形吗（以下给出了其中部分答案，如图所示）？ 图1 图2 图3 图4 回典例剖析 类型1等边三角形的判定与性质 例1①(2024，南昌外国语学校期未)如图，△ABC是等边三角形，D是边 BC(端点除外)上一动点，连接AD.M是AB延长线上的一点，BM=CD,N 为AD的中点，连接NC,NM,求证：CN⊥MN 【学找切入点】先利用N为AD的中点构造全等三角形，再利用“等边 D 三角形三边相等，三个角均为60”、“有一个角为60的等腰三角形是等边三 M 角形”以及等腰三角形“三线合一”的性质得到结论 变式11(2024，重庆一中月考)已知△ABC是等边三角形.如图，AE∥BC,点D在AB 边上，点F在射线AE上，且DC=DF,过点F作FG⊥AC于点G.求证：AD+AC=2CG. 类型2构造或利用含30角的直角三角形解题 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，在直角三角形的边和角之间建立起 45》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 关系.一般遇到30°角时，常用的添加辅助线的方法是作垂线，构造直角三角形解决相关的线段问 题：遇到60或120°角时，常利用截长补短法或作平行线等方法构造等边三角形来解决相关问题. 例2(2024，鄂州一中期未)如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BN D为AB上一点，BC的垂直平分线交CD于点E,∠BCD=15.求证：AE=BC 【学找切入点】利用底角为15的等腰三角形构造含30°角的直角三角形，过 点B作CD的垂线，过点A作CD的垂线，构造全等的直角三角形. 变式21在等边△ABC中，点D,E分别在BC,AB上，连接AD,CE交于点M,BE=CD. (1)如图1，点F在CE的延长线上，且∠CFB=30°.求证：CF=AM+2CM. (2)如图2，连接BM,若BM⊥AM,求证：AM=2CM. 图2 类型3构造等边三角形解题> 构造等边三角形的方法有：作平行线构造等边三角形：构造共顶点的两个等边三角形：利用 30或60°角构造等边三角形. 例3如图，在△ABO中，∠BAO=90°，AB=AO,在AB的右侧存 在-点P,使∠AOP=30°，∠APO=15°，求∠ABP. 【学找切入点】由∠AOP=30构造等边三角形，用对称变换的思O 想可快速找到两个对应的全等三角形，再进一步观察边、角的条件 变式3-1(2024，武汉吴家山第二中学期末)如图，P是△ABC内一点，∠PBC=30°， ∠PBA=8°，且∠PAB=∠PAC=22°，求∠APC的度数. 《46 第8讲等边三角形 类型4等边三角形与最值， 例4(2024，泉州一中期未)如图，在等边△ABC中，AB为定长，BF是 AC边上的中线，D为BF上一动点，连接AD,在AD的右侧作等边△ADE,连 接EF,当△AEF的周长最小时，求∠CFE的度数 【学找切入点】利用△ABD≌△ACE找到点E运动的轨迹，它是一条射 B 线，作对称点的连线，找到周长最小时点E的位置. 变式41如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，P是x轴上的一个动点， 将线段AP绕点P顺时针旋转60得到线段FP,连接OF,则线段OF的最小值是 变式4-1图 变式4-2图 变式4-2(2024，黄石八中月考)如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M,N分别 在AD,AC上，且AM=CN,连接BM,BN,当BM+BN的值最小时，∠MBN的度数为 召研讨乐园' 例5(2024，合肥四十五中期末)如图1，在等边△ABC中，点E,F分别 在AC,BC上，AE=CF,BE与AF交于点O.连接CO,若CO⊥BE,求证：OB =2A0 【学找切入点】容易求得∠BOF=60°，利用构造等边三角形或含有30° 角的直角三角形的边长关系着手证明， 图1 【证明】甲的探究，'△ABC为等边三角形， .∠BAE=∠ACF=60 又'AB=CA,AE=CF, ,'.△BAE≌△ACF(SAS), ∴.∠ABE=∠CAF, .∠BOF=∠ABE+∠BAO=∠CAF+∠BAO=6O° 如图2，在BO上取点G,使得AO=(OG,则∠OAG=∠AGO=30°， .∠AGB=150°. 又.∠BOC=90°，∠AOB=120°，∴.∠AOC=150°. 图2 47》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 在△ABG和△CAO中，∠ABG=∠OAC,∠AGB=∠COA,AB=AC .△ABG≌△CAO(AAS),∴.BG=AO,∴.BO=BG+OG=2AO. 乙的探究易证△BAE2△ACF(SAS),∠BOF=60°，∠A(OB=120°. 如图3，以AO为边作正三角形AOP,连接PB, 易证△APB≌△AOC(SAS),.∠APB=∠AOC=150° 又，∠APO=60°，∴.∠OPB=90°，∠POB=60°，∠PBO=30°， ∴.在Rt△PBO中，2OP=BO,即BO=2OA. 丙的探究如图4，过点B作BH⊥AF. 同上方法得∠BOH=60°，则∠OBH=30°，OB=2OH. 易证△ABH≌2△BCO(AAS), ∴.OB=AH,.OH=OA,则OB=2OA. 丁的探究如图5，延长OF至点P,使OP=OB,连接PB,PC,易得∠BOF=60°.故△BOP 为正三角形 易证△ABO≌△CBP(SAS), ∴.∠BPC=∠AOB=120°，AO=PC,∴.∠CPO=60° ,OC⊥OB,∴.∠COP=30°， .在Rt△COP中，OP-=2PC,∴.BO=2OA. 戊的探究如图6，延长OE至点P,使OP=AO,可证△AOP为正三角形， 易证△ABO2△ACP(SAS), ∴.CP=BO,∠APC=∠AOB=120° .∠APO=60°，.∠OPC=60°，∠PCO=30° 在Rt△PCO中，CP=2OP,.OB=2AO 同学们，请你观察图7，你能探究其他做法吗？ B 图3 图4 图5 3 图6 图7 《48 第8讲 等边三角形 能力平台2 培优训练 (建议用时，50分钟) 与B,C重合)运动，当其他条件不变时， 1.(2024,南京一中月考)如图，B是线段AC上 0.5BC+EC是定值.其中正确的是( DC 任意一点（点B与点A,C不重合），分别以 A.①③④ B.①②④ AB,BC为边在直线AC的同侧作等边三角 C.①②③④ D.①②③ 形ABD和等边三角形BCE,AE与BD相 4.(2024,河南省实验中学 交于点G,CD与BE相交于点F,AE与CD 期末)如图，在边长为 相交于点H,连接HB,则下列结论： 6cm的等边△ABC中， ①AE=CD:②∠AHC=120°：③HB平分 点D从点A出发，沿 ∠AHC;④CH=EH+BH. A→B方向以1cm/s的 M 其中正确的结论有( 速度运动，点E从点B出发，沿B→C方向 A.4个 以2cm/s的速度运动，D,E两点同时出发， B.3个 当点E到达点C时，D,E两点停止运动.以 C.2个 DE为边作等边△DEF(D,E,F按逆时针方 D.1个 向排列)，N为线段AB上一动点，M为线段 2.(2024,泰安一中期中)如图，在Rt△ABC BC的中点，连接MF,NF,当MF+NF取 中，∠ACB=90°，CA=CB,∠BAD= 最小值时，线段BN的长为(). ∠ADE=60°，DE=3,AB=10,CE平分 A.5 cm B.4.5 cm ∠ACB,DE与CE相交于点E.则AD的长 C.4 cm D.3 cm 为( 5.如图，已知△ABC是等 A.4 B.13 C.6.5 D.7 边三角形，点D在BC的 延长线上，连接AD,E 为AD上一点，AE= H AC,连接BE交AC于点F,若AF=2ED B 3,则线段CF的长为 B 6.(2024,娄底三中月考)如图，等边△ABC的 第2题图 第3题图 边长为5，点D,E在AB,AC上，△DEF为 3.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点， 等边三角形，且EF=CF,求AD的长， 点D在线段BC上，连接DF,以DF为边在DF 的右侧作等边△DEF,ED的延长线交AB于 点H,连接EC,则下列结论：①∠AHE+ ∠AFD=180°：②2AF=BC:③点D在线段 BC上（不与B,C重合）运动，当其他条件不 变时，部是定值：①点D在线段BC上（不 49》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 7.(2024,临川一中期末)已知等边△ABC和 △ABC,△AB'C,△A'BC,则下列关系正确 等腰△CDE,CD=DE,∠CDE=120° 的是( (1)如图1，点D在BC上，点E在AB上，P 是BE的中点，连接AD,PD,则线段AD 与PD之间的数量关系为 60 (2)如图2，点D在△ABC内部，点E在 B" C △ABC外部，P是BE的中点，连接 A.S△x十SAAn=S△Bc十SAA'x AD,PD,则(1)中的结论是否仍然成立？ B.S△B十S△AB=S△A'十S△A 若成立，请给出证明：若不成立，请说明 C.S△A+S△A'B=SABe十S△BC 理由 D.S△u+S△B+S△Ax=3S△A (3)如图3，若点D在△ABC内部，点E和 9.如图，在四边形ABCD中，AB=6,AD= 点B重合，点P在BC下方，且PB+PC BC=3,E为AB边的中点，且∠CED 为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为 120°，则DC边长度的最大值为 B D 10.(2024,南宁三中月考)在△ABC中，已知 ∠CAB=60°，D,E分别是边AB,AC上的 图 图2 点，且∠AED=60°，ED+DB=CE,∠CDB =2∠CDE,则∠DCB= 11.(2024,中科大附中期末)如图，在△ABC B 中，点D,E分别在AB,AC上，且∠AED= ∠A=60°，DB+DE-EC,∠BDC-2∠EDC, 图3 求∠BCD的度数（请用两种方法解答）. 宽赛训练 (建议用时：50分钟) 8.(经典，“希望杯”邀请赛)如图，在△ABC 中，∠ACB=60°，且AC>BC.分别以 △ABC的三条边为一边，向外作等边 《50参考答案与提示 ∴.△ACH≌△CBMCAAS),∴.CH=BM B3l08 又：BM=CE,CH=HE 72 36 D 网5 .AH垂直平分CE,AE=AC,AE=BC (2)分割线过点B 例3如图，过点A作AQLAP,且AQ 设分割线是BE,此时△AEB的3个内角是132°，24°， =AP,连接QP,QB.QO. 24°，△ECB的3个内角是156°，12°，12（图6）. 在△AQB与△APO中，AB=AO, A ∠QAB=∠PAO,QA=PA, 。1322r 156° ∴.△AQB≌△APO(SAS. 12C 图6 ∴.∠ABQ=∠AOP=30,∠AQB=∠APO=15 综上，原三角形的另外2个内角有5种情况：①108°， :∠AQB+∠ABQ+∠QAB=180°， 36°：②126,18°：③90°，54°：④72°，72：⑤132°，12. ∴.∠QAB=135 第8讲等边三角形 :∠QAB+∠OAB+∠QAO=360°. 例1如图，过点A作AP∥BC交 ∴.∠QA0=∠QAB=135. CN的延长线于点P,连接PM, 在△AQ0与△AQB中，QA=QA,∠QAO=∠QAB, MC,∠APN=∠DCN. AO=AB,'.△AQOP△AQB(SAS) :N是AD的中点， 再证△OPQ为等边三角形，∴∠ABP=105° ∴.AV=DN 例4如图，连接CE,易证 :∠ANP=∠DNC,∴.△APN≌△DCN. △BADX≌△CAE, ∴.AP=DC=BM,PN=CN. ∴.∠ABD=∠ACE :AP∥CD,.∠PAC+∠ACB=180 AF-CF. :∠ABC=∠ACB=60°，.∠PAC=∠MBC ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°.∴点E在射线 120.,AC=BC,.△PAC≌△MBC CE上运动.作点A关于直线CE的对称点M,连接 ∴.PC=MC,∠PCA=∠MCB. FM交CE于点E',当点E在点E处时，AE+EF的 ,∠PCA+∠PCB=60,·∠MCB+∠PCB= 值最小，即△AEF的周长最小.：CA=CM,∠ACM ∠PCM=60°.，∴.△PCM是等边三角形 =60°，∴.△ACM是等边三角形.，AF=CF, PN=CN,.CNMN. .FMLAC..∠CFE=90 例2如图，过点B作BM⊥CD交CDB 【变式题组】 的延长线于点M,过点A作AH⊥ 变式1I如图，过点D作DM CD于点H. ⊥AC于点M,DN⊥FA交 ,E为BC垂直平分线上的点， FA的延长线于点N, ..EB=EC. :∠DAM=∠DAN=60, ∴.∠EBC=∠ECB=15, .DM=DN,∠ADM= ∴.∠BED=2∠BCD=30°. ∠ADN=30°. ∴在R△EBM中，BM=BE∴BM=CE DC-DF,.Rt△DMC≌R△DNF. .∠ACB=90°，.∠ACH=90°-15=75°， .∠MDC=∠NDF,∴∠CDF=∠MDN=6O ∴.∠ACH=∠CBM=75. DC=DF,△DFC为等边三角形， ∠ACH=∠CBM, ..FC=DF. 在△ACH和△CBM中， ∠AHC=∠CMB, 连接CF,作FH⊥BA交BA的延长线于点H. AC=BC, ∠FAG=∠FAH=60°， 27 培优竞赛超级课堂 日年级数学 .FG-FH.AG-AH-AF, ∠PBC=30°，.∠PBC=∠DBC BP=BD. ,FC=FD,R△FCC≌R△FHD,∴.CG=DH. 在△PBC和△DBC中，{∠PBC=∠DBC, AC-CG=AG=AH=DH-AD-CG-AD. BC=BC. 即AD+AC=2CG .△PBC≌△DBC. 变式2☑)方法一如图1，作CN⊥CF交AD于点N, ∴.PC=CD,∠CPD=∠CDP=8, ∠N=30°，△ACN≌△CBF(AAS),CF=AN=AM+ ∴.∠APC=∠APD-∠CPD=150°-8°=142° 2CM. 变式42.提示：如图，以AO为 方法二如图2.作BH⊥FB交CF于点H,△ACM 边作等边△AOC,连接FC,由题 ≌△CBH,CH=AM,.CF=CH+FH=AM+ 意得△APF为等边三角形， 2BH=AM+2CM. ∴.AO=AC=4,∠0AC=60, (2)方法一如图3，作AN⊥EC交EC于点N,证明 ∠PAF=60°，AP=AF, △CAN≌△ABM,∴.AM=CV.又：AM=2MN, 易证△AOP≌△ACF, ∴.CM=MN,.AM=2CM ∴.∠ACF=∠AOP=90°，即C⊥AC 方法二如图4，在AM上取点G,使AG=CM,连接 ∴点F在直线FC上运动，过点O作OF'⊥FC交直 CG,.△ACG≌△CBM,.∠AGC=∠BMC= 线FC于点F‘,.OF≥OF. 150°，MG=CM,∴.AM=2CM. ∠AC0=60°，A0=0C=4,∴.∠OCF=30°， ∴.OF=2,∴.当点F在直线FC上运动到点F'的位 置时，线段OF的最小值为OF'=2. 变式4-230°.提示：如图，在BC 上方作CH⊥BC,CH=BC,连 接NH,BH. 图2 易证△ABM≌△CHN, ∴.BM=HN BM+BN=HN+BNBH. ∴.当B,N,H共线时，BM+BN的值最小 ,△ABM≌△CHN, 图3 图4 .∠ABM=∠CHB=∠CBH=45. 变式3如图，延长AC到D,使AD :∠ABD=60°，∴∠DBM=15. =AB,连接PD,BD .∠MBV=45°-15°=30°， :∠PBA=8,∠PAB=22°， ∴.当BM+BN的值最小时，∠MBN的度数为30 ∴.∠BPA=150 【能力平台】 在△ABP和△ADP中， 1A提示：①证△ABE≌△DBC,①正确：②∠DHA= AB=AD. 60°，②正确：③如图，过点B作 ∠BAP=∠DAP BT⊥AE于点T,过点B作 AP=AP, BR⊥DC于点R,则△ABT≌ .△ABP≌△ADP,.∠APD=∠APB=150°，BP △DBR,BT=BR,③正确： =DP,∠PDA=∠PBA=8, ④为常识，④正确。 ∴∠BPD=60,.△BPD是等边三角形. 2D提示：如图，延长CE交AB于点R,延长DE交 28 参考答案与提示 AB于点T,则RT=之ET.设RT ..QH=QD+DH=m,..QH=AB. .△ABF≌△QHF,.AF=Q, =r,ET=2t. DT=AT,.3+2x=5+x: 3=m-3十m-1.5,m=只则CF=是。 即x=2..AD=7. 日2.5.提示：如图，作EM∥AB 3B提示：：∠A+∠HDF=60°+120°=180°， 交BC于点M,连接DM. .∠AHD+∠AFD=180°，∴.①正确. ,△ABC为等边三角形， :F为AC的中点，.BC=AC=2AF,.②正确 ∴∠EMC=∠B=60,∠C=60, BH=0… 记BC的中点为G,若点D与点G重合，则 ∴.△EMC为等边三角形 易证△DEM≌△FEC(SAS),,∴.DM=DE. ∴③错误 ,∠AED=180°-∠DEM-60°=120°-∠DEM 易证△DFG≌△EFC(SAS),.CE=DG, 120°-∠DME=∠DMB. :0.5BC十C-CG+DG-1,④正确 DC DC 又∠DAE=∠B=60°， AB提示：如图，过点 .△ADE≌△BDM(AAS), E作ES⊥AB于点 AD=DB.AD=45=2.5. 2 S,连接FC,设AD ☑(1)AD=2PD.提示：：∠CDE=120, =1,则BE=21,BS =t,..DS=EC= M E G ∴∠EDB=60° 又：∠B=60°， 6-2.'∠SDE=∠CEF,且DE=EF, ∴.△BDE为等边三角形..BD=DE=CD .△SDE≌△CEF,.'.∠FCE=∠ESD=90°， AB=AC,BD=CD,∴∠BAD=∠DAC=30° ∴点F在过点C且与BC垂直的直线上运动，作点M DE=DB,P是BE的中点，PD⊥AB 关于FC对称的点G,连接FG,GN,过点G作GN⊥ 在R△APD中，∠PAD=30°，.AD=2PD. AB于点N1,.MF+NF=GF+NF≥GN≥GN, (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下： 此时BN=BN,=之BG=4.5cm故选B 如图1，连接AP并延长至点Q,使得PQ=AP, 连接QE并延长交CA的延长线于点G,连接DQ 日是.提示：如图，在BC上截取BG=CP,AF= P为BE的中点，PB=PE CG=3.过点D作QH∥AB,分别交AC,BE的延长 又：∠EPQ=∠BPA,PQ=AP,.△PEQ△PBA. 线于点Q,H,易证DE=DH=1.5.设等边△ABC的 ∴.QE-AB.∠EQP=∠BAP..EQ∥AB. 边长为m,易证△ABG≌△BCF, ∴.∠G=∠BAC ∴.∠BAG=∠CBF=x △ABC为等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60 .∠G=60°，QE=AC 又：∠EDC=120°， .∠GED+∠ACD=360°-∠EDC-∠G=180. 而∠GED+∠QED=180°，∴.∠QED=∠ACD. ED=CD,∴△QED≌△ACD. AB=AE,∠ABE=∠AEB=60-x, ∴.DQ=DA.∠EQD=∠CAD ·∠BAE=180°-2(60°-x)=60°+2x ∴.∠DAQ=∠DQ4. ∴.∠DAG=∠DGA=60°+x,.DA=DG=m+1.5, 又：PA=PQ,.∠APD=90 ∴.CD=m-1.5=CQ=DQ, ∠DAC=∠EQD,.∠EQD+∠GAD=180 29 培优竞赛超级课堂 日年级数学 ∴.∠G+∠ADQ=180° .△EMN是等边三角形. ∠ADQ=180°-60°=120°.∴.∠DAQ=30°. ∴.MN=EM=EN=3. ,,在Rt△DAP中，AD=2PD CD≤DM+MN+CN,.CD≤9 .CD的最大值为9. 020°，提示：如图，延长AB到点F, 使BF=AD,连接CF.易知△ADE 为等边三角形，则∠EDB=120. 图1 图2 又因为CE=ED+DB=AD+DB= (3)60.提示：如图2，作∠PDF=120°，且DP= DB+BF=DF, DF,连接PF,CF. 所以△ACF也为等边三角形. 易证△DBP≌△DCF,则PB=CF 由∠EDB=120°，∠CDB=2∠CDE知∠CDB=80. ∴.PF≤PC+CF=PC+PB,PF取最大时，PD取最大， 在等边△ACF中，由AD=BF知CD=CB, 当且仅当P,C,F三点共线时取“=”，此时∠BPC=60° 因此∠DCB=180°-2∠CDB=20°. BA提示：如图，在线段AC上 田方法一如图1，过点B作BF∥DE交AC于点F, 截取CD=CB,连接BD,CD, ,△ADE为等边三角形，∴△ABF为等边三角形. DB. ∴.∠DEC=∠CFB=12O°.AF=BF ,BC=CD,∠ACB=60, DB+DE=EC..AF=BF=AB=EC. ∴.△BCD是等边三角形， ∴.DE=AE=CF 可得∠CBD=60°，BD=BC ∴.△EDC≌△FCB,∠FCB=∠EIDC △BAC是等边三角形， ∠ADE=60°，∠BDC=2∠EDC, .∠ABC=60°，BC=AB. ∴.∠FCB=∠EDC=40°.∴.∠ECD=20° 于是∠ABC+∠ABD=∠CBD+∠ABD, ∴.∠DCB=20 即∠DBC=∠CBA.∴.△BCD≌△BAC ,B'=DC,BD=CD,∠ACB=∠BCD, ∴.△BAC≌△DB'C.于是△BCD≌△DB'C ..DC=B'C=AB',B'D=BC=AC, 又AD=AD,△AC'D≌△DBA, 故S△Mr十S△=S△xD十S△rp十S△LD 图1 图2 又：SAD=SAW, 方法二如图2，延长AB至点F,使AF=AC,连接 ∴.S△x+S△WC=S△ABD十S△me+S△N=S△M CF,则△ADE,△AFC均为等边三角形. 十S△c,故选A. ∴.AF=AC=CF,∠A=∠F 习9.提示：如图，将△ADE沿DE翻折得到△MDE, .DB+DE=EC,..DF=EC=AB.:.AD=FB. 将△BCE沿EC翻折得到△NCE,连接MN, ∴.△ADC≌△FBC..∠ACD=∠FCB. 由翻折的性质可知，AD=DM=3,AE=EB=EM ,∠ADE=60°，∠BDC=2∠EDC,∴∠EDC=40. EN=3,CB=CN=3,∠AED .∠FCB=∠ACD=20°..∠DCB=20° =∠MED,∠BEC=∠NEC 第9讲等腰直角三角形和直角三角形 ∠DEC=120°， 例1如图，作EF⊥AE交射线AN于F, ∴.∠AED+∠BEC=180-120°=60°. :∠ACB=90°，AC=BC, .∠MED+∠VEC=60.∴.∠MEN=60. ∴.∠ABC=∠BAC=45 30