第28讲 图形面积计算初探-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第28讲 图形面积计算初探 情境课堂 希波克拉底，古希腊医师，西方医学奠基人.曾致力于尺规作图“三大难 题”（化圆为方、三等分任意角以及倍立方体）的研究.其数学著作失传，据传 包括欧几里得《几何原本》的前四卷内容， 巧分正方形 希波克拉底的一位病人得知他善几何，便拿来一题讨救（与其说是讨教， 不如说是“测试”).如何用最简便的方法将一个正方形分成面积比为3：4：5 希波克拉底 的三块？ 解法并不困难，比如图1为边长为12的正方形，则图2,3均较简便： 20 12 345 1 图2 1图3 那位病人看了上面的做法，摇摇头接着说：“不用直尺，也不用圆规，同时所求面积比是精 确的.” 对于一贯用尺规作图的希波克拉底来讲，这道题无疑是一个挑战！然而希波克拉底凭借 沉着冷静的思考，以及他对几何知识的巧妙运用，很快便将问题解决了.他采用的方法是折纸， 其步骤如下所示： 对折 斜折 对角折 折痕 分刻 图4 图5 图6 图7 图8 图9 几次折叠将正方形纸片折出三条折痕，从而亦将正方形分成面积比为3：4：5的三部分 I、Ⅱ、Ⅲ（见图9） 你能证明这种做法是正确的吗？ 注：若能将正方形纸片的一边折成12等份，问题亦可求解.由于12=22×3，将纸边三等分 的折叠方法（精确的）是困难的，这样将纸边折成12等份亦难办到. 典例剖析 类型1求不规则图形的面积， 例1正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图1所示，点G在线段DK 《202 第28讲图形面积计算初探 上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为( A.10 B.12 C.14 D.16 B B E H B 图1 图2 图3 【学找切入点】思路一：将△DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图2，S△ =S正方形AD十S正方形G十S矩形EHPF一S△ME一S△xG一S△GK一S△HHK. 思路二：运用等积变形转化问题.如图3，连接DB,GE,FK,则DB∥GE∥FK,S△D= SEB,S△GEK=S△EF. 变式1-1如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为m,,那么△AEG的面 积( A.只与m的大小有关 B.只与n的大小有关 C.与m,n的大小都有关 D.与，n的大小都无关 变式1-1图 变式1-2图 变式1-3图 变式1-2如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△B=5,SAAD=2,则S△Pc(即阴影 部分的面积)= 变式13如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在AB上，点F在AD上，S△E= 2SADF= :4SD三1，则SAr月 类型2面积比和对应线段比之间的相互转化 例2如图，在△ABC中，D为BC的中点，AF=2FB,CE=3AE,连接CF交 DE于点P,求器的值 【学找切入点】恰当连线，促使面积比与线段比进行转化. 203》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式21（第二十届“华罗庚金杯”少年遂请赛）如图，在△ABC中，D是 BC上一点且CD:DB=2：3,E是AB上一点且AE:EB=2:1,F是CA的 延长线上一点且CA:AF=4：3.若△DFE的面积为1209，求△ABC的 面积 变式22如图，在△ABC中，点M是AD的中点，BD:DC=3：1,尽可能多地说出你所 知道的结论。 类型3用“代数化”方法求面积> 例3如图，已知△ABC的面积为1，D,E为AC的三等分点，F,G为BC 的三等分点.AF与BE相交于点P,AG与BE相交于点N.求： (1)四边形PECF的面积. B (2)四边形PFGN的面积. 【学找切入点】(1)连接CP,设S△F=x,S△E=y,可列关于x,y的方程组，解题的关键 是把相关图形的面积用x,y的代数式表示出来 (2)连接VC,仿照(1)，先求出△BEC的面积，再求出△BVG的面积，进而可求出四边形 PFGN的面积. 变式31如图，点E,F分别是矩形ABCD的边AB,BC的中点，连接AF CE.设AF,CE交于点G,则影等于( S矩形AD A哥 B c n号 变式3-2如图，△ABC的面积等于25cm,AE=ED,BD=2DC,则 △AEF与△BDE的面积之和等于 cm,四边形CDEF的面积等于 cm2. 《204 第28讲图形面积计算初探 方法技巧一 图形“代数化”的常见形式 求一些关系复杂的图形的面积时，“代数化”是一个重要的技巧，利用“代数化”能清晰明了地表 示图形面积之间的关系，从而可以化解问题或降低问题的难度.“代数化”的常见形式是： (1)设而不求，整体求解. (2)借助方程、方程组求解 促使面积比与对应线段比之间相互转化，是求图形面积的一个常用技巧，解题的关键是加强 对图形结构的分析，寻找共高、共底或共角的三角形， SMABD BD 如图1·SACD 中周2，号 AD·AE D AB·AC 图1 图2 类型4等积变换 例4如图所示，在四边形ABCD中，AM=MN=ND,BE=EF=FC, 四边形ABEM,MEFN,NFCD的面积分别记为S1,S,和S,求s干S 52 【学找切入点】连接AE,EN,VC和AC,把四边形分割成多个三角 形，运用三角形等积变换定理即可求出答案， 变式41在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边的中点，分别连接AE,BF,CG,DH, 已知图中四个角上的阴影小三角形的面积分别为a,b,c,d,求中间阴影四边形的面积 205》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 类型5格点多边形的面积 例5皮克公式：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形 的顶点被称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,多边形 各边上的格点个数为L,内部的格点个数为N,S可用含N,L的式子表示 (1)如图1，△ABC是格点三角形，其中S=2,N=0,L=6,图中格点多边形DEFGHI所对 应的S,N,L分别是 .经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aV十bL十c, 其中a,b,c为常数，则当V=5,L=14时，S= (用数值作答). (2)小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究，正三 角形网格中每个小正三角形的面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为 格点多边形，如图2是该正三角形格点中的两个多边形 B■ 多边形1 多边形2 图1 图2 根据图中提供的信息填表。 格点多边形各边上的 格点多边形内的 格点多边形的面积 格点个数 格点个数 多边形1 8 1 多边形2 7 3 t… … 般格点多边形 a b s 则多边形1的面积为 ,多边形2的面积为 ,S与a,b之间的关系为：S= (用含a,b的代数式表示) 【学找切入点】(1)本题以阅读的方式，考查对“皮克公式”的建立及应用.题目给出了S aN+bL十c这一关系，其中含有a,b,c三个待定系数，需三组S,N,L的值.但现在的值只有两 组，需自己动手画一个格点多边形 (2)根据8=8+2×(1-1)，11=7+2×(3-1)，得S=a+2(b-1). 《206 第28讲图形面积计算初探 研讨乐园2 例6如图，若长方形APHM,BNHP,CQHN的面积分别为7,4,6，则 图中阴影部分的面积是 【解】甲的探究先求出四边形MHQD的面积，然后可得 S用影=S因边形xp一S△Pp一S△Pv一S△DNC. 设S四边形MHaD=x,则x:6=7:4,.x=10.5. ∴Sms=7+4+6+10.5-(7+10.5)×号-(6+10.5)×号-4×号=85， 乙的探究设AP=7,PB=4,BN=1,NC=1.5,则可用小学知识求出S期影=8.5. 丙的探究我发现甲、乙算后的结果是7十4十6的一半（从条件和结论的关系着眼，易形成 数感，有创新之举) 丁的探究我发现丙的感觉（或说猜想）是对的.可以这样证明，设长方形APHM,BNHP, MHQD,CQHN的面积依次为a,b,c,d,则 Snw-a+b+c+d-2(a+e)-(c+d)-jb-j(a+b+d). 而a=7,6=4,d=6,∴Se=2×(7+4+6)=85. 于是有以下算法： 设S长方形MHQD=x,则 Se=7+4+6+x-2(7+x)-2(6+x）-2×4=85, 戊的探究我可以这样解决这个问题吗？S△=2X4=2,关键是求剩下阴影部分的面 积，连接DH,AH,由等积变换或面积公式知 SADHP=SAAPH= 5张形m=35,同理，Sam= ×6=3. .S用影=2+3.5十3=8.5. 中思维拓展， 甲的做法用到了平行四边形对角线分得两部分的面积相等；乙的做法是利用已知条件构造 符合条件的图形：丙的做法是做题后的反思，在已知条件和所求结论之间架起了桥梁；而能验证 猜想正确性的仍然是推理、分析.故可设参数x,用代数法解决，即丁的做法：而戊的做法仍是在 已知和所求之间寻求联系，当我们解决了问题的一部分，S△PN= XS时，就子找到了 运用知识的关键，从而S△HD和S△Hv的面积也就随之求出. 207》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 能力平台 培优训练 建议用时：30分钟 cm 1.如图，两条线段EF,MN将大长方形ABCD D 分成四个小长方形，已知DE=a,AE=b, AN=c,BN=d,且S=8,S2=6,S3=5,则 阴影三角形的面积为( ) A号 B.3 C.4 第5题图 第6题图 6.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为 20cm2,△CDQ的面积为35cm,则阴影四 边形的面积等于 cm2. S. 7.如图，在梯形ABCD中，点E是AB的中点， S 点F是AD的中点.已知△BEC的面积为 8cm,△ABF的面积为5cm,则梯形ABCD 第1题图 第2题图 的面积为 cm2. 2.(“希望杯”竞赛)如图，已知正方形ABCD, AB=1,BD与AC都是以1为半径的圆弧， 则无阴影的两部分的面积之差是( A2-1B1-年Cg-1D1- 3.如图，正方形ABCD的面积是1，AE=EB, 第7题图 第8题图 DH=2AH,CG=3DG,BF=4FC,则四边形 8.如图，正方形ABCD的面积是120cm,点E EFGH的面积是 是AB的中点，点F是BC的中点，四边形 BGHF的面积是 cm2. 9.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是 BC,CD边上的点，AE,DE,BF,AF把正方形 分成8小块，各小块的面积分别为S,S,…, 第3题图 第4题图 S,试比较S与S2+S,十Ss的大小，并说 4.如图，在长方形ABCD中，AD=60cm, 明理由. AB=45cm,点Q为CD的中点，在BC上 取一点P,使△APQ的面积等于900cm, 则BP= 5.如图所示，三个大小相同的正方形重叠地放 在一个大正方形ABCD内，已知能看见的部 分I、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是64cm2,38cm, 34cm,那么正方形ABCD的边长是 《208 第28讲图形面积计算初探 宽赛训练 建议用时：30分钟 14.如图，已知正方形ABCD的面积为1，点M 10.如图，已知S△r=1,若S么mE=S1x 为AB的中点，求图中阴影部分的面积. SME,则SE等于(). A吉B吉 G B 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= 12cm,AC=6cm,D,E分别为AB,AC上 的点，且AD=8cm,AE=5cm.连接BE, 15.如图，在△ABC中，点D,E在BC上，且 CD相交于点G,则四边形ADGE的面积 BD=EC=号BC,点F在AC上，且AF= 是( A.21.5cm B.22.5cm 号AC.BF与AD,AE分别交于点C,A,若 △ABC的面积为1155，求： C.23.5cm D.24.5cm 12.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线 提的值 段AC上，点F在线段BC的延长线上，且 (2)四边形GHED的面积 BC=4CF,四边形DCFE是平行四边形， 则图中阴影部分的面积为( A.3 B.4 C.5 D.6 第12题图 第13题图 13.如图，分别延长△ABC的三边AB,BC,CA 至A',B,C,使得AA'=3AB,BB=3BC CC=3AC.若S△B=1,则S△A'BC 209》参考答案与提示 答：公司200名员工中届于偏胖和肥胖的总人数为110人 a+d+e+g=32, (3)小张实际体重：27×(1.70)2=78.03(kg), b+d+f+g=31, 小张正常体重的最大值：24×(1.70)=69.36(kg) c+e+f+g=29, ∴.他的体重至少需要减掉：78.03一69.36≈9(kg. 则e十g=16, 5投镖一次.可能的得分有0,2,5,8,10. d+g=17, 投镖三次，得分之和的可能情况有0,2,4,5,6,7,8.9， f+g=18, 10,12.13.14.15,16.17,18.20.21,22.23,24.25.26. g=10, 28,30:不可能的情况有1,3,11,19,27,29. 解得a=9,b=6,c=5,d=7,e=6,f=8,g=10. 所以有6个号码对应的奖品不会被得到。 故a十b+c+d+e+f+g=51. E设x,y,x分别表示答对题a、题b、题c的人数，则有 说明数学，外语、语文三科至少有一科优秀的学生共有 x+y=29. x=17, 51人，而全班仅有50人，故统计有错误 x十=25，解得y=12 第28讲图形面积计算初探 y十g=20. x=8. 例1D提示：方法一将△DEK的面积转化为规则图 答对1题的人数为37-1×3一2×15=4，全班人数为 形的面积之和或差。 1+4+15=20. 如题图2，延长AE交PK的延长线于点H,设正方形 放全班的平均成绩为17X20+(2+8)X25=42分. ABCD,正方形RKPF的边长分别为a,b, 20 ☑设只收看A,B,C三个栏目的观众人数分别为x,y, 则S△D不=SE方每D十SE方年，十S年彩DF一S△AE一 没有收看栏目A而收看栏目B和栏目C的人数为m, Sag一Sas一SamK=G+4+4h-言a(a+4) 不只收看栏目A的人数为，如图所示， aa-0-b+4)-24-)=2+16+h a2-2a-20+2a-2-2h-26+2r=16. 1 方法二运用等积变形转化问题。 y+m=2(e十m), 如题图3，连接DB.GE,FK,则∠DBA=∠GEB=45°， n=x-1, .DB∥GE,得S=Sam. 则 解得=29一4y x=y十g, 同理，GE∥FK,得S=S△，∴.S△x=S△m x++y+m+=28. 十Sx=SAB十Sr=S方eER=16. 由y一2=m≥0，得9y一58>0。∴23。 例2连接EF,DF,设S=x,则S△=2.x,S△w= 4r,S△mc=3r, 由0一w=≥0.得翠 Sm=S世=PE S△S△wDP' y为整数，∴y=7,从而=1，x=8.n=7,m=5. .PE_Sn十SE=SR=3L=3. 放栏目A的收浅率为密×100%=是×100%≈ ·DPS△Ps+SawS△et 例g(1)连接CP,设S=x,S△x=y, 53.6%. 8如图，A,B,C三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学 r+y=子 ① 则可列出关于x,y的方程组 生的集合，而a,b,c,…,f,g则分别表示各类优秀学生 1 3x十y=3 ② 的人数，如g表示数学、外语、语文三科均优秀的学生 人数，「表示语文、外语两科优秀而数学不优秀的学生 由0+@，得x+y=合，即m=合 人数 (2)连接NC,设SAww=a,SaNE=b,则SANi=2a 71 培优竞赛超级课堂 7年级数学 SANEA=26, 3u+b合 5m-5g-SaE=子 a=21' 2-如图所示，连接BF,AD,设SA=x. 则 解得 2a+3w= 0-21 4 吉-品 例4连接AE,EN,NC和AC. CA AF=4:3. AM-MN.EF-FC. 4 ∴.S△ANE=S△iEN,SN=S△Py, .S边形Mcv=2SW边形3NFr=2S2. ① 由CD:DB=2:3,可知Sm=子xX号-易 又BE=EF=FC,AM=MN=DN, 又由AE:BB=2:1,可知S6E=是xX号= .S△=3S△Vw,S△m=3S△CpN, 再由AE:EB=2:1和CD:DB=2:3, 5e+Sw=子mm=吉（5+5+S.@ ①+@，得S+s+5=25十号(5+s+s 因此SAm一50aE一Sm=Sm,可得器一十 S+S=2S，六S+s2 号x=1209,解得=2015. 5(1)7,3,10:11,提示：使四个小正方形格子组成格 2-2①Sm:S△c=3:1. 点正方形，可以得到S=4,N=1,L=8,可列出方程组 3 (2=6h+c, a=1, ②Saum是SAm的子3=是：Sam是SAr的 7=3a十10h+c,解得b=2· 1 11 1+3-4 14=a+8b+c, c=-1. 如图1，若连接ED,则有如下结论： s=2+N-1.s-2×14+5-1=1. (2)8:11:a+2h-2. 【变式题组】 1B提示：S△：=SE方形UD十SE方形m,一S△uE一 图1 图2 5w-Sam=m+-之m(n十m）-是m(n- ③SIM=SAWt,④S△AM=SAEM: 之n=2r, ⑤S△AE=S△mE ⑥SAmc:SAim=1:3. 2&.提示：因为S十Sm=号Sm=Sm, DAE:EC=SNE SABEC=SARED SAREC=BD:BC= 所以S△XD一S△D=S△PB,则S△PC=SAD一S 3：(3+1)=3：4. -S△D=S∠M-S△Pb=5-2=3. 如图2，若连接MC,则有如下结论： 图子提示：连接AC,DE,则S6E=1,Saaw=号， ⑧S△D:Sacm=3:1. BE·h:(△ABE的底边BE上的高) SAMD=4,AB=2EB,点E为AB的中点，AD=4FD, @能-器 BE·h2(△BCE的底边BE上的高) AF=AD.Sa=5Am=子，Sam=SD 4 72 参考答案与提示 ⑩BM:ME=Sr:SaE=(×号）：(X 3是×号）=71 ①若已知S△r=1m,可求四边形MDCE的面积 方法-（相加）Svm=Sw十SE=号× 变式3-2图 变式4-1图 4如图，连接BD,点H,F分别为AB,CD的中点， 3 a+d+S:=SAmm=2S 方法二（相减）SC=S△e一SAND一3十 什c+S,=Sa=2S6D· 是×号-最(em) .a+d+s+6+c+s= 方法三（相减）SaE=S△r一SaE=} 吉（Ssw+Sam）=之Sn, ① 1 ××号=}是-最m, SamH十Smw=SA, 1 S-1D提示：连接BG,设SwE=x,Sm=y 即Sa边形I=之S边形， S形a=1,则S△法=x,S△市=y, 1 “S,十S,十S4=2S边e. 2t= ① 连接AC,同理可得 于是有 2y+r= ② a+d+b+c+S+5=Ssm… 由①+@，得x+y=言， S:+S+Sn-SnmwwD. ④ ①+③=②+④，即2(a+d++c)+S,+S:+S+S ∴swem=1-2+0=1-2Xg=1-3=号 =S+S+S+S,+2S4, :new= ∴.S4=a十b+c十d. S联A雀里 31 【能力平台】 ☑10：号提示：如图，设△AEF的面积为x,△BDE 日A日A目贸 440cm. 的面积为y,连接DF,则△DEF的面积为x,△ABE 12.5.655.726. 的面积为y,于是有△DFC的面积为十义 B14.提示：连接GF,易知S△r=SAt=S△x= 2 120X-30(cm),由对称性可知5m=Sar,而 由56=25m,得2r+2+安=25， S△mF=Sbr, 即2.5(x+y)=25.解得x十y=10. .S6F=30÷3=10(cm). 放56m=5=×号5度=号×号×25= .Sam=20c.S△m=30cm2. ∴.SAfH:,SA月=SAD年SA=2:3. 2（m).所以56g=10-S=10-萄-号（am) 2 六San=10X2千3=4(cm), 3 S形w=10+4=14(cm). 9S=S十S,+S.理由如下： 号-(em S+S+S=S+S:+S=S+S+S+S;+ 73 培优竞赛超级课堂 7年级数学 S.SMEMRO ,.S1+Sg+S+S,+5=S1+S1+S5. 故5=S2+S,+S. OB提示：由SE=Sm,得BD=DC. 图1 图2 图3 又S△w生=2S△Mx, 方法三如图3，连接BD,BG,设BD,AC交于点O, 六BE=2AE,于是S-2, SAM-I 1 因此S=sm=×5=×号= 因为SnNm=SAMo=子Sg边郑D, 所以SH地=S△MB一S△MD=S△A他一S△YD= 团B提示：连接AG,设S△x=xcm,S△：=ycm, SAM. 15 2x+6y=24, x= 又SaG=S△aD=x,S△，=SA:=t: 解得 13.x+5y=30, 3 S△Nm=S△XM十S△B十S△n:, y=2' 即}-十x十，所以x品 ∴.S=SABE-S△G,= 2X5-15=22.5(cm), 2 2 所以S=Sam十Saw,=2(Sww一S2:)=3 回D提示：设△ABC底边BC上的高为A,则A=瓷 因1)如图1，连接R,则58m=号×115=231， 各-是-是Sae+Se=·DE:A+号 5E=693.Sae=号×1155=924,5m=3× DEha=名·DE(h+:)=是·DE·h=号， 1155=385,5△w=2X385=770,5am-号×385= DE·是-6 ☒19.提示：连接A'C,BB-3BC,Sgw 3S△m,又：AA'=3AB,.A'B=2AB,S△x= 2S=2,则S4rm=3SA4m=6.S△4=3X6+1 =19. 西方法一 知图1,5m=5r=子，5为公共部 图2 (2)如图2，连接EG,设Sm=a,Sa1=b,则Sm 分，所以S△D=S△，因为△AMG与△AMD的高 相等（以A为顶点作高），△MCG与△MCD的高相等 号，Sam=2.S6=号56e=264, (以C为顶点作高)， 学4+6=264， /a=63. SaM: 有 解得 所以=令△红=MC, b=180. 4 2 所以Sg边m=a+b=63+180=243. 解得Saw=言S=2X合=号 第29讲操作探究型问题 方法二如图2，连接GB,由正方形的对称性得Sm 刚1(1)矩形ABCD是3阶奇异长方形，裁剪线的示意图 如下 1 SAD,又SAM=25A,=交5aaD· 所以Sm=25sm=2X子2S6w=子 74