第26讲 破解坐标与图形的性质问题-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第26讲 破解坐标与图形的性质问题 情境课堂 笛卡尔是17世纪法国杰出的哲学家,近代生物学的奠基人和物理学 家,解析几何的奠基人之一,《方法论》中的《几何》这一附录,是笛卡尔写过 的唯一一本数学书,其中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想,笛卡 尔的坐标系不同于一般的定理,也不同于一般的数学理论,它是一种思想方 法和技艺,它使整个数学发生了崭新的变化,使业余的数学家笛卡尔成为了 当之无愧的现代数学的创始人之一. 笛卡尔 平面直角坐标系架设了数量与图形的桥梁,使得抽象的数量关系得到直观的几何解释,又 能把几何图形数量化地表示出来。 对于这一重大科学发现,恩格斯作了高度评价:“数学中的转折点是笛卡尔的变量,有了 它,运动进入了数学,因而辩证法进入了数学,因而微分和积分的运算也就立刻成为必要了。” 为纪念这位杰出的业余数学家,人们现在所用的直角坐标系通常叫作笛卡尔直角坐标系. “我思故我在”,这是笛卡尔的至理名言,在他的墓碑上镶刻着:笛卡尔,欧洲文艺复兴以 来,第一个为人类争取并保证理性权利的人. 典例剖析 类型1 坐标系中的新定义图形问题) 1 如图,在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点A(x,y)与B(x,)的“非常距离”. 给出如下定义: 若x一x。>y一y,则点A与点B的“非常距离”为x一x 若x-x<ly一,则点A与点B的“非常距离”为ly一y. (1)已知点A(3,6)与点B(5,2),求点A与点B的“非常距离”. 2----B (2)已知点C(一1,2),点D为v轴上的一个动点 ①若点C与点D的“非常距离”为2,求点D的坐标; ②直接写出点C与点D的“非常距离”的最小值 【学找切入点】 (1)依照题意,分别求出3-5一2和6-2-4. (2)①点D在y轴上,所以横坐标为0,|-1-0l-1<2,所以点C和点D的纵坐标差的绝对 值应为2;②已知点C和点D的横坐标差的绝对值恒等于1,纵坐标差的绝对值是个动点问题,取 值范围和1比较 189》 培优竞寒超级课堂 7年级数学 变式1-1 (2022,南通崇川区期末)【了解概念】在平面直角坐标系xOy中,若P(a,) Q(c,d),式子la-cl+b-al的值就叫作线段PQ的“勾股距”,记作dro=a-cl+lb-d|,同 时,我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形” 【理解运用】在平面直角坐标系xOy中,A(2,3),B(4.2),C(n,n). (1)求线段OA的“勾股距”do: (2)若点C在第三象限,且doc一2d,求dc并判断△ABC是否为“等距三角形” 【拓展提升】(3)若点C在x轴上,△ABC是“等距三角形”,请直接写出的取值范围 类型2 坐标系中的图形动点问题) 烈2如图1,点A(a,b)在第二象限,其中a,b满足等式va十2b-n十a十b十nl=0.点B在 第一象限,射线BC//OA,与y轴交于点C(0,5) (1)当n一1时,求点A的坐标. (2)如图2,点P在v轴上从(0.一3)出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动(到达 点C后停止运动),求当时间为.秒时(不考虑点P与点O,C重合的情况),AOP,OPB /PBC的大小关系 (3)如图3,若 AOF-30{,点D是射线BC上一动点, FOD,ODC的平分线交于点E E的大小是否随点D的位置变化发生改变?若不变,请求出E的度数;若改变,请说明理由 ## 图2 图1 图3 【学找切入点】 (1)根据非负数的意义,可得方程组,进而求出a,,确定点A的坐标 (2)分两种情况画出相应图象,根据两直线平行,同位角或内错角相等和三角形的一个外角 等干与它不相邻的两个内角的和,可以得出这三个角的大小关系 (3)根据两直线平行,同旁内角的平分线相交成90{,又 FOD的平分线与 AOD的平分线 的夹角等于/AOF的一半,由外角可求出 E是个定值 变式21如图所示,点A(1,0)在x轴上,点B在y轴上,将三角形OAB沿x轴负方向平 移,平移后的图形为三角形DEC,且点C的坐标为(一3,2) (1)直接写出点E的坐标: (2)在四边形ABCD中,点P从点B出发,沿“BC→CD”移动,若点P的速度为每秒1个单 位长度,运动时间为秒,回答下列问题 ①当一0 秒时,点P的横坐标与纵坐标互为相反数; ②求点P在运动过程中的坐标(用含/的式子表示,写出过程); 《190 第26讲 破解坐标与图形的性质问题 ③当3 5时,设 CBP-x*,PAD-y*,BPA-c*,试问x,y,之间的数量关系能否 确定?若能,请用含x,y的式子表示。(写出过程):若不能,请说明理由. 变式2-2 (2023,长沙雨花区期末)如图1,以直角三角形AOC的直角顶点O为原点,以OC. OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,点A(0,a),C(b,0)满足va-26十b-2-0. (1)则C点的坐标为 ;A点的坐标为 (2)如图1,已知坐标轴上有两动点P,Q同时出发,P点从C点出发沿x轴负方向以1个单 位长度每秒的速度匀速移动,Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动,点 Q到达A点时整个运动随之结束.AC的中点D的坐标是(1,2),设运动时间为t(1>0)秒.问;是 否存在这样的/.使Sop。一Sooo?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. (3)如图2,点F是线段AC上一点,满足 FOC= FCO,点G是第二象限中一点,连OG 使得 AOG= AOF.点E是线段OA上一动点,连CE交OF于点H,当点E在线段OA上运 G O 图! 1阁2 研讨乐园 例3问题情境: 在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x;v),B(x,v),小明在学习中发现,若 x一x,则AB/y轴,且线段AB的长度为y一y;若y一,则AB/x轴,且线段AB的长度 为x一x. 应用: (1D若点A(-1,1),B(2,1),AB/x轴,那么AB的长度是多少 (2)若点C(1,0),CD/y轴:且CD-2,试求点D的坐标. 【解】应用: (1)甲的解答 AB的长度为-1-2-3. (2)乙的解答由CD/y轴,可设点D的坐标为(1,m) 19)》 培优竞寒超级课堂 7年级数学 ·CD-2,0-ml-2,解得n-士2 '.点D的坐标为(1,2)或(1,一2). 拓展: 我们规定;平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x.y),N(x,y)之间的折线距离为 d(M.N)=x-x|+y-y.例如图1中,点M(-1,1)与点N(1,-2)之间的折线距离为 (M,N)- -1-1+|1-(-2)-2+3-5 图1 图2 图3 【拓展问题1】 如图1.已知E(2,0),若F(一1,一2),求d(E,F). 丙的探究 d(E,F)-2-(-1)+0-(-2)-5. 【拓展问题2】如图2,已知E(2,0),H(1,7),若d(E,H)一3,求1 丁的探究 .E(2,0).H(1.).d(E.H)-3. '2-1+0-1-3,解得-士2 【拓展问题3】如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上,且三角形OPQ的面积为3,求d(P,Q) 戍的探究由点Q在x轴上,可设点Q的坐标为(x,0). .1x×3-3,解得x一士2. .三角形OPQ的面积为3. 当点Q的坐标为(2,0)时,d(P,Q)-3-2+3-0=4; 当点Q的坐标为(-2,0)时,d(P,Q)-3-(-2)|+13-0|-8 能力平台 藉优训练 建议用时:40分钟 (2)当a一0时,线段AB上恰有2个整点,求 1.(2023,南昌青山湖区期末)在平面直角坐标 b的取值范围. 系中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为 (3)若线段AB上整点的个数不少于3个目 整点,例如M(1,1),N(1,3)都是整点,且线 不超过5个,直接写出线段AB长度的 段MN上有(1,1),(1,2),(1,3)三个整点 取值范围. 已知点A(a,2),B(b,2) [a十-1. (1)若实数a,6满足 a---3. ①写出点A坐标,点B的坐标 ②线段AB上整点的个数为 《192 第26讲 破解坐标与图形的性质问题 2.(2023,南京建邺区期末)国际象棋玩过吗? 3.如图所示,在平面直角坐标系中,0为坐标 国王走一步能够移动到相邻的8个方格中 原点,过点A(8,6)分别作x轴、y轴的平行 的随意一个,那么国王从格子(x,y)走到 线,交y轴于点B,交x轴于点C,点P是从 格子(x,y)的最少步数就是数学的一种距 点B出发,沿B→A→C以2个单位长度/秒 离,叫“切比雪夫距离”,在平面直角坐标系 的速度向终点C运动的一个动点,运动时间 中,对于任意两点P(x,)与P(x,)的 为秒. “切比雪夫距离”,给出如下定义;若x二 (1)直接写出点B和点C的坐标 >y-yl,则点P(x,y)与P(x,) B( 的“切比雪夫距离”为&一;若x一 (2)当点P运动时,用含/的式子表示线段 <-,则点P(x,y)与P(x,) AP的长,并写出的取值范围 (3)已知点D(2,0),连接PD,AD,在(2)的 的“切比雪夫距离”为y一y. 条件下是否存在这样的/值,使SArpp (1)已知A(0,2). ①若B的坐标为(3,1),则点A与B的 “切比雪夫距离”为 存在,请说明理由 ②若C为x轴上的动点,那么点A与C n “切比雪夫距离”的最小值为 (2)已知M(2-a,).N(1,-1),设点M与 N的“切比雪夫距离”为d,若a0,求 (用含a的式子表示). 193》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 4.【问题情境】 赛训练 建议用时:15分钟 在平面直角坐标系xOy中,有不重合的两点 5.在平面直角坐标系中(单位长度为1cm),已 A(x,y)和B(x。,v),小明在学习时发现, 知点M(m,0),N(n,0),目m十n-3 若x二x,则AB/v轴:目线段AB的长度 2m十n-0. 为ly一yl;若y=y,则AB/x轴,且线 (1)求n,n的值 段AB的长度为x一x (2)如图,若点E是第一象限内的一点,且 【类比应用】 EN x轴,点E到x轴的距离为4,过 (1)若点A(-2,1),B(2,1),则AB/ 点E作x轴的平行线a,与v轴交干点 轴,AB的长度为 A.点P从点E处出发,以每秒2cm的 【联系拓展】 速度沿直线a向左移动,点Q从原点C 已知点M(m.2),N(m+2.2). 同时出发,以每秒1cm的速度沿x轴向 (2)若线段MN与v轴交于点C.点C把线段 右移动. MN分成1:2的两部分时,求n的值 ①经过几秒PQ平行于y轴? (3)若P(-m,-2m),记三角形MNP的面 ②若某一时刻以A,O.Q,P为顶点的 积为S,若1<S<2,直接写出n的取值 四边形的面积是10cm{},求此时点P的 范围. 坐标. ) 《194培优竞赛超级课堂 7年级数学 2(a1-a),这样a1一a2=22(aa一a,)=…=2(a1- 均为整数， a2),所以a1=a2,同理，a1=a2=as=…=a,故a1= 19-3x≥0， a2=a=…=d1w=10. 2r-7≥0，解得<<号 【能力平台】 x≥0， IA x可取4,5,6， 2D提示：假设答对的有x题，答错的有y题，不答的有 ∴A队胜、平、负的场数有三种情况： x+y+=6,① 当x=4时，y=7,2=1: x题 满足0≤x≤6,0≤y≤6,0≤ 8x十2x=20,② 当x=5时，y=4,2=3: 6,且都为整数.由②化简得4x十=10，=10一4x 当x=6时，y=1,=5. 5 0设x,x,…,x中共有a个-1，b个1，c个2. “0≤6，解得1≤≤号，“x为整数，六1=1,2 a++4c=2004, ① 则 当x=1时，2=6，不合题意，舍去；当x=2时，=2， -a+b+8c=2002. ② y=2. 由①+②得b+6c=2003. ☒A41≤n<3. .0≤333. 2x+3y=3十a, ① ∴.xi+x+…+x=a+b+16c=2004+12≥2004， 56(答案不唯一).提示： x+2y=6, @ ∴.当c=0,b=2003,a=1时， ①-②得x+y=a-3.x+y>22, x+x+…十x取得最小值，最小值为2004. ∴.a-3>22,解得a>2v2+3. 又，2004+12c2004+12×333=6000, ∴.当a=667,b=5,c=333时， 4<⑧<9，.2<22<3.5<2w2+3<6. x1十x4十…十x取得最大值，最大值为6000. ,a取整数值，∴a可取大于5的所有整数 日器提示：设号-号2-子-6则a=2+1 日(1)y=a+40z 40 4 (2)设至少要同时开放个窗口. 3k+2,c=3-4k,得S=a+2b+3c=2k+1+2(3k+ 2)十3(3-4)=一4+14.，a,b,c为非负实数， a+40r_a+15r 40 30 2k+1≥0， 依题意得 a+8ra15x8m, 3让+2≥0，解得-号<k≤子.∴当k=一时， 30 3-4>≥0， 由0得x一品 S取最大值，当k=子时，S取最小值。 ∴m=-4× 代入@，得a+8X品≤ 十15× 30 X8n. (号)+14=16=-4×+14=.品-0 71或3. 即a+8X品<8m×号即≥号 8(1)(x-1)2+12.x-y+3a=0, n取不小于号的最小正整数，∴m=4 ∴x一1=0且2x-y+3a=0,解得x=1. 答：至少要同时开放4个窗口。 ∴.2-y+3a=0,即y=3a+2. 第26讲破解坐标与图形的性质问题 (2)由y0得3a+2<0,解得a<-号 例1(1)A(3,6).B(5,2) x+y十2=12， ∴.13-51=2,16-2=4. 日设A队胜x场，平y场，负之场，得 3x+y=19. ,2<4,点A与点B的“非常距离”为4 y=19-3x (2)①，点D在y轴上，点D的横坐标为0， 可得。 依题意知x≥0，y≥0，z≥0，且x,y =2x-7. .1-1-01=1<2. 66 参考答案与提示 ∴点C和点D的纵坐标的差的绝对值应为2 ∠POE=∠OD=∠FOD.∠A0G=∠GOD= 设点D的纵坐标为yD, ∴.2-w1=2,解得y%=0或m=4, ∠A0D,∠ODE=∠EDC-3∠ODC ∴.点D的坐标为(0,0)或(0,4). ,OA∥BC,∴∠AOD+∠ODC=180, ②最小值为1. .∠ODE+∠GOD=90°，即∠OGD=90°， 理由：已知点C和点D的横坐标的差的绝对值恒等于1， “∠E0G=号∠FOD-号∠AOD=号∠FOA=15, 即1-1-01=1. ∴.∠E=90°-15°=75，即∠E的大小不变，为75 设点D的纵坐标为y: 当1≤y%≤3时，0≤2-o≤1，可得点C与点B的 【变式题组】 “非常距离”为1： 1-1(1)由“勾股距”的定义知，dn=12-0+3-0=5. (2),dw=14-2|+12-3=2+1=3. 当%<1或0>3时，2-%|>1，可得点C与点B ∴.2dw=6, 的“非常距离”为2一yw. ”点C在第三象限 :12-w>1, ,,m0,n0,d=m-0+n-0=m十1n|= 点C与点D的“非常距离”的最小值为1. 一n一n=一(m十n). 例2(1)，a,b满足等式a+2h-n十la十b十n=0,n=1, dx=2da,.-(m十)=6，即m十n=-6 /0+26-1=0. ,∴.dx=2-m+|3-n=2-m十3-n=5-(m+ 解得a=-3,b=2,A(一3,2). a+b+1=0, n)=5+6=11: 故当n=1时，点A的坐标为（一3,2）. dc=4-m+|2-n=4-m+2-n=6-(m十n)= (2)①当0<1<3，即点P在y轴的负半轴移动时（如 6+6=12. 图1)，∠AOP-∠OPB+∠PBC. ,3+11≠12,11+12≠3,12+3≠11， .OA∥BC. ,∴△ABC不是“等距三角形” ∴.∠AOP=∠OQ, (3)点C在x轴上时，点C(m,0), 又：∠OCQ=∠OPB+∠PBC. 则dx=|2-m+3,dx=4-m+2. ∴.∠AOP-∠OPB+∠PBC ①当m<2时，dc=5-m,d=6一m, 若△ABC是“等距三角形”， ②当3≤18，即点P在C上移动时（如图2），∠OPB= 则5-m十6-m=11-2m=3, ∠AOP+∠PBC. 解得m=4(不合题意). ,OA∥BC,∴.∠AOP=∠PCB. 又，5-m十3≠6一m,6-m十3≠5一m, 又：∠OPB=∠PBC+∠PCB, ,.此时m不存在 ,.∠OPB=∠AOP+∠PBC. ②当2≤m<4时，d=m十1，dm=6-m, 若△ABC是“等距三角形”， 则m十1十6-m=7≠3， 6一m十3=m+1,解得m=4(不合题意)， 十1十3=6一m,解得m=1(不合题意). 图1 图2 图3 ③当m≥4时，d=m十1，dx=m一2， (3)∠E的大小不会随点D的位置变化发生改变， 若△ABC是“等距三角形”， ∠E=75. 则m十1十m一2=3，解得m=2(不合题意)， 作∠AOD的平分线交DE于点G,如图3所示， m十1+3=m-2不成立， :OE平分∠OD,OG平分∠AOD,DE平分∠OD, m-2+3=m+1恒成立， 67 培优竞赛超级课堂 7年级数学 ∴.当m≥4时，△ABC是“等距三角形”， (3)∠0HC∠ACE的值不变，其值为2 综上所述，△ABC是“等距三角形”时，m的取值范围 ∠OE℃ :∠2+∠3=90°， 为m≥4. 又，∠1=∠2，∠3=∠FCO. 21(1)(-2,0).提示：根据题意可得，三角形OAB沿 ∴.∠G0C+∠A0O=180°， x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC, .0G∥AC. :点A的坐标为(1,0)，点E的坐标为(-2,0). .∠1=∠CAO. (2)①2.提示：点C的坐标为（一3.2）. ∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4， ,.BC=3.CD=2, 如图2，过点H作AC的平行线，交x轴于点P,则∠4 ,点P的横坐标与纵坐标互为相反数， =∠PHC,PH∥OG. ∴.点P在线段BC上，PB=CD,即t=2, ∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2. .当1=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数. ∴.∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+ ②当点P在线段BC上时，点P的坐标为（一1,2）： ∠2+∠4， 当点P在线段CD上时，点P的坐标为(-3,5-t). ③能确定.如图所示，过点P作PF∥BC交AB于点F, :∠OHCH∠AE=∠1+∠2+∠4+∠4_2∠A+∠④ ∠(C ∠1+∠4 ∠1+∠4 则PF∥AD, =2 【能力平台】 1(1)0: 1a+b=1, 解得 a=-1, a-b=-3. .A(-1,2), b=2, B(2,2). ∴.∠1=∠CBP=x,∠2=∠DAP=y, ②4. ∠BPA=∠1+∠2=x°+y°=°，.z=x十y (2)当a=0时，A(0,2),B(b,2),∴.AB=b, 2-2(1):a-2%+6-21=0, :线段AB上只有2个整点，1≤b<2 a-2h=0,b-2=0,解得a=4,b=2, ∴.1≤2或-2<≤-1. .A(0,4),C(2,0). (3):线段AB上整点的个数不少于3个且不超过5个， (2)由条件可知，点P从点C运动到点O的时间为 .2≤AB≤4 2秒，点Q从点O运动到点A的时间为2秒， 21)①A(0,2),B3,1), ∴.0<2时，点Q在线段AO上，如图1所示 又：10-3=3,2-1=1，∴.10-31>12-1川， 即CP=1,OP=2-1,OQ=24,AQ=4-21, 根据“切比雪夫距离”的定义，点A与点B的“切比 i.Sme-OP(2-x2-2-1.S.mg- 雪夫距离”为3. ②若C为x轴上的动点，则可设点C(m,0), 200:m=2×2X1= 当m>2时，0-m=m>2, 又，12-0=2，.0-m>|2-01, Saop=SA0Q ∴此时点A与点C“切比雪夫距离”的值为m>2: ∴.2-1=4，解得1=1. 当1m≤2时，0-m=m≤2， 又，12-0=2，∴.0-m≤12-0， 此时点A与点C“切比雪夫距离”的值为2 综上所述，若C为x轴上的动点，那么点A与点C“切 比雪夫距离”的最小值为2。 (2)根据已知条件，M(2-a,号)，N1,-1), 图1 图2 则当0≤a≤1时， 68 参考答案与提示 |2-a-1=|1-a=1-4≤1， (2)由题意知，M(m,2),N(m十2,2)， 号+-号+> '.MN∥x轴，MN=(m+2)-m=2. :线段MN与y轴交于点C,.C(0,2). ∴此时点M与点V的“切比雪夫距离”d=号十1： ,点C把线段MN分成1：2的两部分， 当a>1时. ..MC:CN=1:2.MC:CN=2:1. 有2-a-1=1-a=a-1.号+1=号+1， 又，MC+CN=MN=2, ∴MC=号或号 令a-1≤号十1，解得a≤3， 又Mm,2.C0.2,∴m=-号或-寺 即当1<a≤3时，有a-1≤号+1，此时点M与点N (3)由(2)得，MN=2, 的“切比雪夫距离”d=号十1， 六Sw-受N·h=A=Sh即为P到MN的距高 当a>3时，有a一1>号十1，此时点M与点V的“切 ,1≤S≤2,1≤h≤2. 比雪夫距离”d=a一1. MN∥x轴，P(-m,一2m) 综上所述，点M与点N的“切比雪夫距离”d= ∴.P可能在MN上方或下方. 号+10c≤3. ∴.h=-2m-2或2+2m. ①当P在MN上方， a-1(a>3). /2m2. 3(1)(0,6):(8,0. 1≤-2m-2≤2. -2m≤-是 (2)当点P在线段BA上时， ②当P在MN下方， 由A(8,6),B(0,6),C(8,0)可得AB=8,AC=6, 1-2m<2, AP=AB-BP,BP=21,∴AP=8-2t(0≤1<4). 1≤2+2m≤2. 当点P在线段AC上时， AP=点P走过的路程-AB=21一8(4≤1≤7). 综上，-2≤m<-是或-<m<0 1 (3)存在两个符合条件的1值. m十1-3=0 51)依题意得 解得/m一3. 当点P在线段BA上时（如图1所示）， 2m+n=0. n=6. “SAwD=AP·AC,S动sme=AB·AC, (2)①设经过x秒，PQ平行于y轴，依题意得6一2.x= x,解得x=2. ∴号×(8-2)×6=号×8×6，解得1=3<4. ②当点P在y轴右侧时， 依题意得6-2)+X4=10,解得x=1. 2 此时点P的坐标为(4,4)， 当点P在y轴左侧时，依题意得2工一，)十工X4=10. 2 图1 图2 当点P在线段AC上时（如图2所示）， 解得x一 5m=2AP·CD,CD=8-2=6, 此时点P的坐标为（一子4） ∴号×(21-8)×6=尽×8X6,解得1=5<7. 第27讲数据的收集、整理与描述 8 例1(1)本次调查的学生人数为20÷20%=100（人）. 1 综上，当1为3和5时，S6Nm=8S选0c 最喜欢去A地的人数为100-20-40-25一5=10（人. 4(1):4. 补全条形统计图如下， 69