第25讲 一元一次不等式(组)与二元一次方程(组)-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

一元一次不等式（组)与二元 第25讲 一次方程（组) 情境课堂 帕斯卡(1623一1662)，法国著名数学家、物理学家.帕斯卡的数学造诣很 深.在代数研究中，他发表过多篇关于算术级数及二项式系数的论文，发现了 二项式展开式的系数规律，他与费马共同建立了概率论和组合论的基础，并得 出了关于概率论问题的一系列解法。 一个数学家等于十个师 在第二次世界大战中，盟军为了和德国法西斯作战，需要将大量军需物品 帕斯卡 穿过大西洋运送到各个战场.可是在1934年以前，负责运送物资的盟军船队 常常受到德国潜艇的袭击，损失惨重，在这进退两难之际，有位美国海军将领专门去请教了一 位数学家。 数学家运用概率论分析后发现，运输船队与敌潜艇相遇是一个随机事件，即船队是否被袭 击取决于航行过程中是否与敌潜艇相遇，而与敌潜艇相遇是有可能发生，也有可能不发生的 从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律： 1.一定数量的船只，编队规模越小，批次就越多：批次越多，与敌潜艇相遇的概率就越大 2.一旦与敌潜艇相遇，船队的规模越小，每艘船被击中的可能性就越大， 这是因为德军潜艇的数量与船队的数量相比总是少的，潜艇所载弹药有限，每次袭击，不 论船队规模多大，被击沉的数目基本相等.假如运输船的总量为100艘，按每队20艘船编队， 就要编成5队：而按每队10艘船编队，就要编成10队，两种编队方式与敌潜艇相遇的可能性 之比为5：10，即1：2.假设每次遭到敌潜艇袭击损失5艘运输船，那么，上述两种编队方式中 每艘运输船与敌潜艇相遇并被击沉的可能性之比为1：4.这说明，100艘运输船，编成5队比 编成10队的危险性小 盟军接受了数学家的建议，改进了运输船由各个港口分散起航的做法，命令船队在指定海 域集合，再集体通过危险海区，然后各自驶向预定港口，奇迹出现了，盟军船队遭袭击被击沉的 概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了战略物资的供应， 于是，盟军军方宣称：一名优秀数学家的作用超过十个师的兵力！ @典例剖析 类型1不等式（组）与方程组的结合 3x+y=k+1 例1已知方程组 的解x,y满足0<x十y<1,则k的取值范围是( x+3y=3 183》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 A.-4<k<0 B.-1<k<0 C.0<k<8 D.k>4 【学找切入点】把x,y转化为关于k的代数式，把0<x十y<1转化为关于k的不等式. 思路一：两式相加得x+y生，利用0<十1得到关于k的不等式 思路二：解方程组求x,y,代入0<x十y<1得到关于k的不等式 2x-3y=5, 变式11已知关于x,y的二元一次方程组 x-2y=k 的解满足x>y,则k的取值范围 是 例2关于x,y的方程组 2x十y=a, 只有唯一一组解，那么a的取值为 |x|-y=1 【学找切入点】注意题中x的讨论，得出不等式组. 5.x+3y=23, 变式21关于x,y的二元一次方程组 的解是正整数，则整数p的值为 x十y=p a.x+4y=8, 变式22（第十八届“希望杯”邀请赛）已知a是正整数，方程组 的解满足x> 3.x+2y=6 0,y<0,则a的值是( A.4 B.5 C.6 D.4,5,6以外的其他正整数 类型2求多项式的最值 例3已知三个非负数a,b,c满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1,若m=3a+b-7c,求m 的最大值和最小值。 【学找切入点】本例综合了方程组、不等式组的丰富知识.解题关键是通过解方程组，用含 一个字母的代数式来表示m,通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的 最大值与最小值. 变式31已知a,b,c,d是正整数，且a十b=20,a十c=24,a十d=22,设a十b十c十d的最 大值为M,最小值为N,则M一N= 变式3-2若a,b满足3a2+5b=7,s=2a2-3b1,则s的取值范围是 《184 第25讲一元一次不等式（组）与二元一次方程（组】 类型3放缩法的应用> 例4将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下的数的平均数 为53号，问删去的那个数是多少？ 【学找切入点】设所写的数为1,2，，n,删去其中的a(1≤a≤n),则余下的数的平均数为 1十2+十一a=53号，由1<a≤n,通过放缩法建立关于n的不等式组。 n-1 变式4已知正整数ab,c满足a<c,且。+方+-1，求a,bc的值 圆5设M-20s+20+2020+十20·则的整数部分是( 11 ). A.60 B.61 C.62 D.63 11 【学找切入点】 20820020…,200共有3个数，得出7>298=61最又因为 33 M=(20is+209++230+(20十2082++200小所以MD2080×13+200×20 32可得梁0-61需即可求解 =1345 厦式5团已知日+名+上+日十品)十右-1，且a,6c,d正好是因个连线的自然数。则 b十d等于多少？ 迎方法技巧 放缩法 将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从 方法有： 而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的 (1)添加或舍去一些项. 放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范 (2)把分子放大或缩小. 围逼近求解。放缩法体现了化“相等”为“不 (3)运用常用结论 等”，以“不等”求“相等”的策略思想。 1 1 如 nn(n-1 n-1 n 如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好 处”，是运用放缩法解题的关键，放缩的技巧和 185》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 类型4 多元问题的求解， 例6已知a1,a2,ag,a4,a6,a6,a,是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小 数a1的最大值。 【学找切入点】不妨设a<a2<aa<<a,则a1十a2十ag十…十ar=159,解题的关键是怎 样把多元等式转化为只含a1的不等式.这里要用到整数的如下性质：设a,b为整数，若a<b,则 a+1≤h. 变式6-1已知a1+2aa≥3a2,a2+2a1≥3a3,ag+2a5≥3a1,…,ag+2a1o≥3ag,aa+2a1≥ 3a10,o十2a2≥3a1和a1十a2十a3十…十a十d10=100,求a1,a2,3,…,a,a1o的值. 研讨乐园' 例7甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃， 三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？ 【学找切入点】设甲组有学生a人，乙组有学生b人，丙组有学生c人，由题意得28a+ 30b十31c=365,运用放缩法，从求出a十b+c的取值范围入手 【解】设甲组有学生a人，乙组有学生b人，丙组有学生c人 依题意得28a+30b+31c=365. 由28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+6+c35<13.04. 28 所以a+b+c≤13， 由31(a+6计c0>28a+30b+31c=365,得a+b+c236>11.7☑ 所以a+b+c≥12， 因此a+b+c=12或13. 当a+b+c=13时，注意到28×13=364， 所以28a+30b+31c=365=364+1=28×13+1=28(a+b+c)+1=28a+28b+28c+1, 即2b+3c=1.易知b,c都是正整数，故无解， 所以a十b十c≠13，当a十b+c=12时，注意到28×12=336，同理可得2b+3c=29.显然满足 该条件的正整数a,b,c存在，因此a十b十c=12. 当然如果数感强，我们会联想到此题是对于一年12个月共365天这一常识的描述：平年 2月28天，大月31天，小月30天.由此不难知道a十b+c=12. 《186 第25讲 一元一次不等式（组）与二元一次方程（组） 能力平台' 蹈优训练 建议用时：30分钟 大值为m,最小值为，则”的值为 171 1.已知实数x,y,m满足(x十2)2+3.x+y十 m=0,且y为负数，则m的取值范围是 x-y=2, 7.已知方程组 若方程组有非负整 m.x十y=6, (). 数解，那么正整数m的值为 A.m>6 B.m<6 8.(1)若(x-1)2+|2x-y+3a=0,请用含a C.m>-6 D.m<-6 2.有一份选择题试卷共六道小题，其得分标准 的代数式表示y. 是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答 (2)若y为负数，求a的取值范围。 得2分，某同学共得了20分，则他( . A.至多答对一道小题 B.至少答对三道小题 C.至少有三道小题未答 D.答错两道小题 3.(2022,聊城中考)关于x,y的方程组 2x-y=2k-3, 的解中x与y的和不小于 x-2y=k 5,则k的取值范围为(). A.k>8B.k>8 C.k≤8 D.k<8 4.(2022,攀枝花中考)如果一元一次方程的解 是一元一次不等式组的解，则称该一元一次 方程为该一元一次不等式组的关联方程.若 方程号x一1=0是关于x的不等式组 x-2≤n 的关联方程，则n的取值范围是 2n-2.x<0 5.(2023,泸州中考)关于x,y的二元一次方程 2.x+3y=3+a 组 的解满足x十y>2√2，写 9.(2023,长沙长郡中学自主招生改编)某次足 x+2y=6 球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表： 出a的一个整数值 胜一场 平一场 负一场 6.(2023,内江中考)已知非负实数a,b,c满足 积分 3 0 a162-3,设S=a+26+3c的最 23 奖励/（元/每人） 1500 700 187》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12 11.某校食堂在开晚餐前有4名学生在食堂排 场)时，A队共积19分.试判断A队胜、平、 队等候就餐，开始卖晚餐后，仍有学生前来 负各几场？ 排队买晚餐，设学生前来排队买晚餐的人 数按固定速度增加，食堂每个窗口卖晚餐 的速度也是固定的，若开放一个窗口，则需 要40min才能使排队等候的学生全部买到 晚餐：若同时开放两个窗口，则15min就可 使排队等候的学生全部买到晚餐。 (1)写出开放一个窗口时，开始卖晚餐后窗 口卖晚餐的速度y(人/min)与每分钟 新增加的学生人数x(人)之间的关系. (2)食堂为了提高服务质量，减少学生排队 的时间，计划在8min内让排队等候的 学生全部买到晚餐，以便于后到的学生 园赛训练 建议用时：20分钟 能随到随买，则至少要同时开放几个 10.设x1,x2,…,xw是整数，一1≤x≤2(i=1, 窗口？ 2,…,n),且同时满足： ①x号十x十…十x=2004: ②.x十x3+…+x=2002. 求x十x十…十x的最大值与最小值 《188参考答案与提示 第25讲一元一次不等式（组） 当n=106时，a=46: 与二元一次方程（组） 当n=107时，a为非整数，舍去. 3x+y=k+1, ① 答：删去的那个数是46 例1A提示：方法一 x+3y=3, ② 图B提示：M208×38,÷7>2g=610 ①+②得4+)=什4+)0+1. 又M=(20s+20++20）+(2+202 0<生<1，-4k<0 4 +…+20)>200×13+20×20 1 1 1345 83230 方法二解方程组得 又0<x+Jy<1, “动<智器=61”放最的整数部分为61 y=1-g 例明不妨设a<a<au<…<a.a1,4g,a,,a 0<是+1-k,-4<k<0. 为正整数，∴a1十1≤a,a1十2≤aa,a1+3≤a, a1十4≤a,a1十5≤ag,a1十6≤. 2-1.提示：由题意知a一之=” ∴7a+(1+2+3+4+5+6)≤159，a,≤19号. x=1+a-2x 又，4为正整数，a1的最大值是19. 当20时=1+a-2r=号1+a: 【变式题组】 11k<5.25,7. 2-2B3136. 当x<0时，-x=1+a2r=-21+, 2-<< ,方程组有唯一解， 号1+u≥0 号1+a<o. 网由<得>>故站+2+<是 c a 或 -2(1+a)0 -2(1+a)<0. 即3>1，a<3.又a>1,得a=2 .a=一1或无解，a=一l 从面有+又名甲 例3由已知条件得 3a+2h=5-c a=7c-3, 解得 2a+b=1+3c, b=7-11c. 又>a=2,得b=3,从而c=6. 则m=3a+b-7c=3(7c-3)+7-11c-7c 故a=2,b=3.c=6为所求. =21c-9+7-11c-7e=3-2. 5令a<<d,则这四个连续自然数分别为a,a十1， a≥0,17c-3≥0， a+2,a+3, 由b>0,得7-1≥0，解得号<≤ 站+市+市+=1高-品 则+1 1 c≥0 c≥0， 11 1<1+1+1+上=4 故m的最大值为一 ·最小值为一马 a+l a+2 a+3 aaaa a' 例4,1≤a≤n, 也就是端<台所以a<4吉 1+2+3++m)-”≤1+2+3++m）-0≤ 易知a=1,2,4均不合题意，故a=3, n一】 n一1 这四个自然数为3,4.5,6， (1+2+…+m)-1. 即a=3,b=4,c=5,d=6:b十d=4+6=10. n一1 i B-将10个不等式累加得(a+a十a+…十am)+2(a+ ag十a十…十ao)≥3(a十a2十…十aa),只有10个式 n-1 子都取等号，上式才成立.由a:十2aa=3a,得 解得105号≤m<107号，∴1=106或107. a1-a:=2(a2-a),由a2十2a:=3aa,得a2-as 65 培优竞赛超级课堂 7年级数学 2(a1-a),这样a1一a2=22(aa一a,)=…=2(a1- 均为整数， a2),所以a1=a2,同理，a1=a2=as=…=a,故a1= 19-3x≥0， a2=a=…=d1w=10. 2r-7≥0，解得<<号 【能力平台】 x≥0， IA x可取4,5,6， 2D提示：假设答对的有x题，答错的有y题，不答的有 ∴A队胜、平、负的场数有三种情况： x+y+=6,① 当x=4时，y=7,2=1: x题 满足0≤x≤6,0≤y≤6,0≤ 8x十2x=20,② 当x=5时，y=4,2=3: 6,且都为整数.由②化简得4x十=10，=10一4x 当x=6时，y=1,=5. 5 0设x,x,…,x中共有a个-1，b个1，c个2. “0≤6，解得1≤≤号，“x为整数，六1=1,2 a++4c=2004, ① 则 当x=1时，2=6，不合题意，舍去；当x=2时，=2， -a+b+8c=2002. ② y=2. 由①+②得b+6c=2003. ☒A41≤n<3. .0≤333. 2x+3y=3十a, ① ∴.xi+x+…+x=a+b+16c=2004+12≥2004， 56(答案不唯一).提示： x+2y=6, @ ∴.当c=0,b=2003,a=1时， ①-②得x+y=a-3.x+y>22, x+x+…十x取得最小值，最小值为2004. ∴.a-3>22,解得a>2v2+3. 又，2004+12c2004+12×333=6000, ∴.当a=667,b=5,c=333时， 4<⑧<9，.2<22<3.5<2w2+3<6. x1十x4十…十x取得最大值，最大值为6000. ,a取整数值，∴a可取大于5的所有整数 日器提示：设号-号2-子-6则a=2+1 日(1)y=a+40z 40 4 (2)设至少要同时开放个窗口. 3k+2,c=3-4k,得S=a+2b+3c=2k+1+2(3k+ 2)十3(3-4)=一4+14.，a,b,c为非负实数， a+40r_a+15r 40 30 2k+1≥0， 依题意得 a+8ra15x8m, 3让+2≥0，解得-号<k≤子.∴当k=一时， 30 3-4>≥0， 由0得x一品 S取最大值，当k=子时，S取最小值。 ∴m=-4× 代入@，得a+8X品≤ 十15× 30 X8n. (号)+14=16=-4×+14=.品-0 71或3. 即a+8X品<8m×号即≥号 8(1)(x-1)2+12.x-y+3a=0, n取不小于号的最小正整数，∴m=4 ∴x一1=0且2x-y+3a=0,解得x=1. 答：至少要同时开放4个窗口。 ∴.2-y+3a=0,即y=3a+2. 第26讲破解坐标与图形的性质问题 (2)由y0得3a+2<0,解得a<-号 例1(1)A(3,6).B(5,2) x+y十2=12， ∴.13-51=2,16-2=4. 日设A队胜x场，平y场，负之场，得 3x+y=19. ,2<4,点A与点B的“非常距离”为4 y=19-3x (2)①，点D在y轴上，点D的横坐标为0， 可得。 依题意知x≥0，y≥0，z≥0，且x,y =2x-7. .1-1-01=1<2. 66