第23讲 一元一次不等式(组)的解法-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第23讲 一元一次不等式（组)的解法 情境课堂 米尔顿·弗里德曼(1912一2006)，美国经济学家，货币主义（亦称货币学 派)创始人，芝加哥学派的主要代表人物之一，诺贝尔经济学奖获得者，他精 通数学、经济学、统计学.在1998年美国年度经济会议上，经150位经济学家 投票，凯恩斯被评为“20世纪最有影响力的经济学家”，弗里德受排名第二不 过有经济学家提出，如果以“最伟大”这一标准来裁定的话，弗里德曼则为第一， 经济学家PK数学家 米尔顿·弗里德曼 (口)数学家的方程主要是不定方程，或者有几个未知数，就有几个方程；经济学家的方程主 要是超定方程，方程的数量比未知数多很多 (2)数学家研究的工具主要是铅笔和纸，计算机只用来写论文：经济学家主要用计算机来 计算 (3)数学家主要研究计算；经济学家既要研究推理又要研究计算. (4)在数学家的坐标系中，横坐标是自变量，纵坐标是因变量；经济学家则正好相反， (5)数学家说，x>y,y>,所以x>;经济学家说，不对，相对于苹果，我更喜欢香蕉，相对 于香蕉，我更喜欢梨，相对于梨，我更喜欢苹果 (6)数学家的字典里，很少有经济学词汇；经济学家的字典里，充满着数学词汇 (7)数学家不一定是经济学家，但经济学家一定是数学家 (8)数学家是艺术家，追求形式的美观：经济学家也追求形式的美观，但主要是不美丽的实 际数据 (9)数学家认为数学距离现实世界太远，而到经济学家的文章中看看，才知道数学距离现 实世界那么近， (10)数学家认为经济学是文科：经济学家认为数学家是统战对象， Q典例剖析 类型1 不等式的概念和基本性质 例1(2021，常德中考)若a>b,下列不等式不一定成立的是( A.a-5>b-5 B.-5a<-5b c> D.a+c>b+c 【学找切入点】 根据不等式的性质进行判定. 《168 第23讲一元一次不等式（组）的解法 变式1-1 设a,b是正整数，且满足56<a+59,0.9<号<0.91，则-a2等于( A.171 B.177 C.180 D.182 变式1-2 如果关于x的不等式(2m一)x-m-5n>0的解集为x<9,那么关于x的不 等式mx>n(m≠0)的解集为 ②归纳总结一一 不等式的性质 1.不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 如果a>b.那么a士c>b士c. 2.不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 如果a>6,c>0,那么ac>x(或g>) 3.不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 如果a>b,c<0,那么a<bc(钱<名 类型2解一元一次不等式 例2满足不等式|x一1+5-x<2π的整数解共有 个 【学找切入点】找零点x=1,x=5,分阶段对绝对值的化简，①x<1,②1≤x5,③x≥5. 变式2四若关于x满足3“1号≥5斗，且x一3-十2的最大值为p,最小值 3 为g,则pg的值为(). A.6 B.5 C.-5 D.4 变式2-2关于x的不等式|2x一1<6的所有非负整数解的和是 变式23解下列不等式： (1)|x-2≤2x-10. (2)x-5-2.x+3<1. 类型3解一元一次不等式组> a(a≥b), 例3(2021，来宾中考)定义一种运算：a*b= 则不等式(2x十1)(2一x)>3的 b(a<b), 解集是( 169》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 A>1或<3 B.-K<r<3 C.x>1或x<-1 D>或<-l 【学找切入点】分2x十1≥2一x和2.x十1<2一x两种情况讨论.根据新定义列出不等式组 分别求解可得 变式3-1(2022，上海进才中学自主招生)有一个解集为一2<x<2,它可能是下面哪个不 等式组的解集(a,b均为实数)(). (ar>l ar<l (ax>I A. B. C. D. a.x<1 h.x<1 br>1 br>1 br<1 类型4与取整有关的一元次不等式的应用， 例4设[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3]=3，[-5]=-5，[2.5]=2，[一2.7]=一3， 请认真理解[x]的意义，然后解决下面的问题 当0<a<1时，若a+动+[a+品]+[a+品]+…+[a+8]+[a+8]=18,试求 [10a]的值. 【学找切入点】取整函数也是这几年全国竞赛的一个重要考点，一般情况下，都是通过不等 式放缩分析解决的，同样也要注意检验。 变式4-1(2022，芜湖一中自主招生)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数，如 [2]=2.1.2]=1.若[r]-2有正整数解，则正实数a的取值范围是( ). A.0a1或2≤a3 B.0<a≤1或2≤a<3 C.0u<1或2≤a<5 D.0<a≤1或2<u≤5 变式4-2若[x]表示不超过x的最大整数（例如[2.3]=2），{x=x一[x],方程x十2{x}= 3[x]的解为 也方法技巧 一元一次不等式组的解集 先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在同一个数轴上，再找出它们的公共部分，即 得不等式组的解集 《170 第23讲 一元一次不等式（组）的解法 类型(a<b) 在数轴上的表示 解集 口诀 xd x>h 同大取大 等 rb 组 x≤a, r<b x<d 同小取小 的 集 x≥a, I<b a≤x<b 大小小大中间找 ISa, 无解 大大小小没有解 r>b 类型5含参的一元二次不等式（组）， 9x-a0 例5如果不等式组 的整数解仅为1,2,3，那么适合这个不等式组的整数a,b的 8.x-b<0 有序数对(a,b)共有( A.17个 B.64个 C.72个 D.81个 9.x-a≥0. 【学找切入点】首先解不等式 则不等式组的解集即可利用a,b表示，根据不等 8.x-b<0. 式组的整数解仅为1,2,3即可确定a,b的范围，并确定a,b的整数解. 注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集，但本题是要求整数解，所以要 找出在这个范围内的整数。 2.x-a>0, 变式51关于x的一元一次不等式组 有解，则a的取值范围是 3.x-4<5 -2x-3≥1， 变式5-2 已知关于x的不等式组 -1≥“一1无实数解，则a的取值范围是( 4 2 A.a≥- 2 B.a≥>-2 Ca>-5 D.a>-2 -(x-a)<3, 变式53， 如果不等式组 1+2x≥x-1 恰有两个整数解，则a的取值范围是 3 研讨乐园上 例6已知有理数a,b满足1≤a十b≤4,0≤a-b≤1，且a一2b有最大值，求当a-2b取最大 值时，8a+2025b的值， 【解】甲的探究先求a,一2b的范围，再求a一2b的范围. ,1≤a十b≤4，①0≤a-b≤1.②由①+②得1≤2a≤5， 171》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 “2长<多由①得-4长-a-b长-1.@ 由②+③得-4长-2≤0，。-名<a-2冰<号， 要使a-2b最大，只有-2b=0,a=号，此时8a+2025b=8×号+2025X0=20, 乙的探究已知a一b的范围，则只需知道一b的范围，即可知a一2b的最大值的情形 ,0≤a-b≤1，①1≤a+b≤4.② 由②知-4≤一a一b≤-1.③ 由①+③得-4≤a-b-a-b≤1+(-1)， ∴.-4≤-2b≤0，即-2≤-b≤0.④ 由①+④得-2≤a-2b≤1. 故欲使a一2b最大，只有a一b=1且一b=0, ∴.a=1且b=0,此时8a十2025b=8. 丙的探究甲、乙的答案不一样，必有一个错误，或者两个答案均错误，能否直接寻求α一2b 和a十b,a一b的联系呢？ 7= m十=1， 21 设a-2b=m(a十b)十n(a-b)=(m十n)a十(m-n)b,得 解得 m-n=-2 3 n= 21 a-2h=-2a+b)+2a-b.又-2<-2a+b)<-号0≤2a-6)<2, ∴.-2≤a-2b≤1.当a-2b最大时，a十b=1,a-b=1,∴.b=0,a=1,此时8a十2025b=8. 丁的探究与丙的做法类似.，一2≤a-2h≤1， .当a一2b有最大值时，a一2b=1, 即6=“号，代人1长a+64得1<a<3. 将b=2代入0<a-b1得-1≤a<1. 故a=1.则6=“2=0.∴8a+20256=8。 甲、乙、丙、丁的做法合理吗？你有什么体会？ 的名师支招… 例6提供了一个研讨的平台. 对于甲的做法，很容易找出其自相矛盾之处，当a=号，b一0时，与②矛盾， 丁的做法从不等式a≤1且a≥1导出等式关系4=1，再次揭示了等式与不等式之间矛盾又 统一的关系， 人人人 《172 第23讲一元一次不等式（组）的解法 能力平台 培优训练 建议用时：35分钟 7.(2021,扬州中考)在平面直角坐标系中，若 3m-2≥1， 点P(1一m,5-2m)在第二象限，则整数m 1.(2023,烟台中考)不等式组 的解 2-m>3 的值为 集在同一条数轴上表示正确的是( 8.(2021,眉山中考)若关于x的不等式x+ 。 <1只有3个正整数解，则m的取值范围 -101 A B 为 9.对非负实数x四舍五入到个位的值记为 C D (.x),即当n为非负整数时，若n一0.5≤ 2.(2023,遂宁中考)若关于x的不等式组 xn十0.5，则(x)=n.如(1.34)=1，(4.86) 4(.x-1)>3.x-1, =5.若(0.5.x-1)=6,则实数x的取值范围 的解集为x>3,则a的 5.x>3.x+2a 是 取值范围是(). A.a>3B.a<3 C.a≥3 D.a≤3 10,对于正整数a,6c,d.,符号日 表示运算 3.(2023,眉山中考)关于x的不等式组 uc- bd,已知1<d 4 <3,则b十d的值 x>n十3， 的整数解仅有4个，则m的 5.x-2<4.x+1 是 取值范围是( 2(x-1)+1>-3, A.-5≤m<-4 B.-5<m≤-4 11.(2023.扬州中考)解不等式组 C.-4≤m<-3 D.-4<m≤-3 并把它的解集在数轴上表示出来 4.(2021,包头中考)定义新运算“☒”，规定： a⑧b=a一2h.若关于x的不等式x⑧m>3 的解集为x>一1，则m的值是(). A.-1 B.-2 C.1 D.2 5.(2023,凉山州中考)不等式组 5x+2>3(x-1), 17多 1 的所有整数解的和是 6.(2023,宜昌中考)若关于x的不等式组 2x+1>x十a, 所有整数解的和为14，则整 数a的值为 173》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 12.试确定实数a的取值范围，使不等式组 +…+[a+0 =4,则a的取值范围是 +1>0, 2 3 恰有两个整数解， x+5a+44(x+1D+ 16.已知a,b是不超过15的自然数，若关于x 3>3 的方程ax=b的解满足}<x<号，则这样 的a,b共有 组 17.若不等式2|x-1|十3|x-3≤a有解，则 实数a的最小值为 3x-a0, 18.已知关于x的不等式组 x<是 的整数 解有且仅有4个：一1,0,1,2，那么适合这 个不等式组的所有可能的整数对(a,b)共 有多少对？ 宽赛训练 建议用时：30分钟 flx+1<4x-1, 13.已知不等式组 无解，则实 I<a 数a的取值范围是( ). Aa号 且a≤号 ca>号 n≥号 14满足不等式号<号<的有序正整数对 (m,n)的个数是( A.12 B.13 C.14 D.15 15.(第二十三届“华罗庚金杯”少年邀请赛) [x]表示不超过x的最大整数，如[一1.3] =-2.[1.3]=1.已知[a+b]+[a+号 《174参考答案与提示 ,.长方形面积的最小值为593×422=250246. [a+]-[a+]=…=[a+器]= 424y2 2x+y+ 5x-2y+x 0a+<1. 10<30a<19 2r13y 18≤30a<48, 4y kc 4y-z 1+<2 +?y +2 18<30a<19,∴6<10u<号，[10a]=6 因如图，易知y=28,设第一行所表示的数依次是4，b,c, b.第2行第4列的数字是山，则有 例SC 提示：由原不等式组可得号<x<名，则依题意 (a+b+c+b=y. ① a b c b> <号<1， 10<a≤9. b+a+c+d=30, 四 b4d30 知 a=1.2,3,4,5,6, 24<≤32. b+b+d+a=25. c b d c <<4, bbd a 25 a++c+b=28, ① 28 7,8,9.共9个：b=25,26,27,28.29.30,31,32.共8个. b+a+b+b=x; ⑤ ∴.满足条件的整数有序数对(a,b)有8×9=72个. 由②-③，得c=b+5, ⑥ 【变式题组】 将⑥代人④，得a+b+(b+5)+b=28,即a+3b=23, 回B提示：09号<0.91,096Ka<0,91b. 故x=23. .-0.91b<一a<-0.9h.又56≤a十≤59， 第23讲一元一次不等式（组）的解法 .56+(-0.91b)<(a+b)+(-a)<59+(-0.9b), 例1C 即56-0.91<b59-0.9b. 例27.提示：零点为x=1x=5. .29.32b31.05. ①当x<1时，原不等式可化为一(x一1)十5一x<2π， ∴.6=30或31 解得x>3-元，又x<1, 当b=30时，由0.96<a<0.91h知，27<a<27.3,这样 ,原不等式的解为3一<x1,整数解有0. 的正整数a不存在： ②当1≤x<5时，原不等式可化为x-1+5-x<2x 当b=31时.由0.9h<a<0.91b知，27.9<a<28.2,故 即4<2x, a=28. 则原不等式的解集为1≤x<5,整数解有1,2,3,4. ∴.-2=31-282=177. ③当x≥5时，原不等式可化为x一1十x-5<2x, ☑<是 解得xπ十3.又≥5， 21B提示：解不等式得x≥1.当x≥3时，|x一3一|zx ∴.原不等式的解为5≤x<r十3，整数解有5,6. +2=-5.当1≤x≤3时，x-3-|x十2=1-2x 由上可知符合条件的整数解共有7个 -6≤-22≤-2，.-5≤1-2≤-1 2+12-x,f2r+12-x …p=-1,9=-5.∴.pg=(-1)×(-5)=5. 例3C提示：由新定义得 2x+1>3. 2-x>3, 函心提示：由条件可知-6<2一1<6，-号< 解得x>1或x<一1. ☒：0a+a+品<…<a+器<2 号则x的韩负整数解为0.1,23放0+1+2+3-6 2-3(1)当x-2≥0，即x≥2时， [a+0,[a+易][a+器]等于0或1 原不等式可化为x一2≤2x-10,解得x≥8： 由题设知，其中有18个等于1. 当x一2<0，即x<2时， 原不等式可化为一x十2≤2x一10，解得x≥4， [e+0]-[a+易]=…=[a+]=o 原不等式无解， 59 培优竞赛超级课堂、 7年级数学 故原不等式的解集为x≥8. 依题意知x十2{x}=3[x],∴.(x}十[x]十2{x (2)当x-5>0,2x十3>0，即x>5时， 原不等式可化为x-5一2x-3<1,解得x>-9, 3.2=31r,-号 故原不等式的解集为x≥5. 0≤x<1.0<号[]<1，解得0<[]< 当x一≥0,2十3<0，即x5且x<一号时x不存在： 又：[x]是整数，.[x]=0或1. 当一5<0,2r+20,即是<r5时， 当=0时=号[小=0 原不等式可化为-x+5-2-3<1,解得>3 ,x={x}十[x]=0十0=0. 则原不等式的解集为兮<<5： 当=1时d=号=号 当-5<0,2x+3<0,即<-号时， =+[]=1+号-高 原不等式可化为一x十5+2x十3<1，解得x一7， 方程x十2x=3[的解为0或号 则原不等式的解集为x<一7， 函a<6。提示：解不等式2x-a>0得>兰， 综上，原不等式的解集为>弓或《-7。 解不等式3x一4<5得x<3. 3D提示：所给不等式组的解集为一2<x<2,如果a, “不等式组有解，受<3，<6， 6为-正一负，设a>0.则0.解得>}<名， 52D提示：解不等式-2x-3>1得x≤-2. ∴.原不等式组无解，同理得到把2个数的符号全部改 变后也无解，A错误：所给不等式组的解集为一2<x< 解不等式号-1>号得≥2a+2 2,如果a6同号，设>0.则>0解得><名 -2.x-3≥1， :关于x的不等式组 解集都是正数，若同为负数可得到解集都是负数，B错 一>会无实数解。 误：C项理由同上，错误：所给不等式组的解集为一2< .2a十2>-2，解得a>-2. <2,如果a6为-正一负.设a>0,则0，解得方< 535≤a<6.提示：原不等式组的解集是a一3<x≤4， :此解集包括两个整数解， .不等式组有解，解集可能为一2<x<2, ∴.2a-33,.5a<6. D正确. 【能力平台】 C提示：[]=-2有正整数解， 1A2D3A4B57. 2.x+1>x十a, 24a<3,即6≤4r+a<9,6-a≤4r<9-a. 3 日2政1提示音+1>受一9， ② ,r是正整数，a为正数， 解不等式①得x>a一1，解不等式②得5， ∴r<号，即x可取1.2 ,,a-1r5. ,所有整数解的和为14， ①当x取1时，6≤4x+a<9,6-4z≤a9-4.x, .不等式组的整数解为5,4,3,2或5,4,3,2,1,0，一1， .2a<5: .1a-1<2或-2a-1<-1, ②当x取2时，6≤4x+a<9,6-42≤a<9-4x, .2≤a<3或-1≤a<0. ∴.-2≤a<1 ,a为整数，.a=2或a=一1. ,a为正数，.0<a<1. 72.8-3≤m<-2. 日13≤x<15, 综上可知，4的范围是0<a<1或2≤a<5. ☑0或号，提示：x=x-[小，x=x+[x小， 03.提示：依题意得 =4-bd, 60 参考答案与提示‖ .1<4-bd3,.1<d3. ①当[a+]+[+品]++[a+品]=4时。 b,d为正整数，1<<3，.x=2, 0a<1. 1b=1,1b=2, d=2或1d=l 或 .b+d=3. [a+]=[a+是]=[a+是]-[a+] 团不等式组的解集为一1<x≤2，该不等式组的解集在 数轴上表示如图所示 [a+]=o, [a+0]-[a+]=[a+8]=[a+0]-. -5-4-3-2-1012346 0a+<4,la+8<2 四由专+宁>0解得>一号由十>青口 3 .0.4≤a<0.5. +1)+a,两边同乘以3，得3.x+5a十4>4(.x+1)+3a, ②当[a+0]+[a+品]++[a+是]=-4时， 解得1<2a二原不等式组的解集为一号<<2 [a+b]-[a+最]-[a+]-[e+]=-l. 又，原不等式组恰有2个整数解，∴x=0,1, lK2a<2∴2<a<1. [a+品]-[a+8]=[a+]-[a+8] 1 [a+0]=a ☒B提示：由x十1<4x一1，得 x+1<4x-1, ∴-l长a+0<0.0a+品<4， 即>号.“ra且方程组无解，a≤号 ∴.-1.4a<-0.4,-0.5≤a<0.5, .-0.5≤a<-0.4. 四B提示：由导<是<品得到骨<号<受· 故a的取值范围为-0.5≤a<-0.4或0.4a<0.5. 即字m<号，因此≤7。 1⑥6. 提示：由<台<兮：得动<a<仙，6的最大值 当n=7时m<号n=号m=1,234: 为4 当b=4时，a=13,14,15: 当=6时m号=m=1,23 当b=3时，a=10,11: 当=5时m<号0=3m=1,2 当b=2时，a=7: 当b=1时，4无解. 当=4时m<号-号m=12 故a,b共有3十2+1=6组. 3 9 ☑4.提示：21x-1+3x-3=2(lx-1+1.x-3) 当=3时，后n=言m=1: +|x一3>2×2+0=4.当x=3时，上式等号成立. 当川=2时m<君=号加=i 6 8原不等式组等价于 当=1时，<号=子n无解（合去》， b 因此满足不等式的(m,n)共有4+3+2+2+1十1-13对. 因为该不等式组的整数解一1,0,1,2不是对称地出 ⑤-0.5≤a<-0.4或0.4≤a<0.5. 现，故其解集不可能是-<<台，而是号<<台 提示：[a+0]+[a+品]++[a+]=4 由整数解的情况可知一2<号≤-1,2<号<3，得 [a+0]+[a+品]+…+[a+]-士4 a=一5，一4，一3：b=5,6.故整数对(a,b)共有2×3=6对. 61