第16讲 相交线与平行线的判定-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第16讲 相交线与平行线的判定 情境课堂 牛顿(1642一1727)，英国著名的物理学家、数学家和天文学家。 植树问题 1659年，寄养在外婆家的牛顿被母亲召到乡下管理农庄，当时牛顿年 仅17岁，他对此不感兴趣，常常因读书或思考问题而耽误农活 春天到了，农庄要栽树，牛顿看着田埂边一行行树木，一边干活一边琢 磨许多奇怪的问题： 牛顿 9棵树栽成9行，要求每行有3棵，如何栽？ 乍一看这似乎不可能，可牛顿的巧妙处理足以让你折服 答案可见图1（图中黑点表示树的位置）， 稍后牛顿又给出了“9棵树栽成10行，每行有3棵”的种植方法（见图2）. 图 图2 风典例剖析 类型1与对顶角、邻补角、垂直有关的角度计算 例1如图，点O在直线EF上，点A,B与点C,D分别在直线EF两侧，且∠AOB=120°， ∠COD=70° 图1 图2 图3 (1)如图1，若OC平分∠BOD,求∠AOD的度数. (2)如图2，在(1)的条件下，OE平分∠AOD,过点O作射线OG⊥OB,求∠EOG的度数. (3)如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH,若∠COH:∠BOH=2：3,∠DOE= 5∠FOH,试判断∠AOE与∠DOE的数量关系. 【学找切入点】(1)根据角平分线的定义和周角是360°可得∠AOD的度数. 111》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 (2)分两种情况：当OG在EF下方时：当OG在EF上方时. (3)由∠COH:∠BOH=2:3,∠DOE=5∠FOH,设∠DOE=5a,则∠FOH=a,再结合角 平分线的性质可用α表达出∠COH与∠BOC的度数，求出∠AOE与∠DOE的度数： 变式1-1(2023，武汉江夏区期末)如图，AB,CD交于点O,∠AOE=4∠DOE,∠AOE的 余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）. (1)求∠AOE的度数. (2)请写出∠AOC在图中的所有补角. (3)从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP,当∠COP=∠AOE+ ∠DOP时，求∠BOP的度数. 变式12已知直线CD⊥AB于点O,∠EOF=90°，射线OP平分∠COF (1)如图1，∠EOF在直线CD的右侧： ①若∠COE=30°，求∠BOF和∠POE的度数： ②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由. (2)如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方： ①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系： ②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系. D D 图1 图2 类型2对顶角、邻补角的探究性问题> 例2 图1 图2 图3 (1)观察图1，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角 (2)观察图2，图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角. (3)观察图3.图中共有 条直线， 对对顶角， 对邻补角. (4)若有n条不同直线相交于一点，则可以形成 对对顶角， 对邻补角. 《112 第16讲相交线与平行线的判定 【学找切入点】对于探究性问题，不妨先从最基本的图形开始.如图1,2条直线相交于点 O,得到2对对顶角，4对邻补角：3条直线相交于点O,思考可转化成多少个这样的基本图形是解 决问题的关键：2+1=3个，故形成3×2=6对对顶角，4×3=12对邻补角.依此类推，n条直线相 交于一点，形成1+2十3+…十(n-一)=”2D个基本图形，可得到n(m-1D对对顶角。 2n(n一1)对邻补角. 变式2-1O为平面上一点，过点O在这个平面上引2023条不同的直线4,2,1，…，22s, 则可形成 对以O为顶点的对顶角. 类型3平面上多条直线的交角问题>> 例3平面上7条直线两两相交，试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于26°. 【学找切入点】将所有的直线平行移动到一点，形成的7个交角的和等于180°. 变式31能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰 好与另3条直线相交？如果能，请画出一例：如果不能，请简述理由. 变式32两条直线相交，四个交角中的一个锐角（或一个直角）称为这两条直线的“夹角” (如图所示)，如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°，30°，45°，60°， 75,90°其中之一，问： (1)L的最大值是多少？ (2)当L取最大值时，所有“夹角”的和是多少？ 夹角 113》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 类型4平行线的判定> 例4将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图1），其中∠A=30°，∠B=60°， ∠D=∠E=45. (1)若∠BCD=150°，求∠ACE的度数. (2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由. (3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE,试探究∠BCD等于多少度时，CD∥ AB,并简要说明理由. B 备H刻1 备州2 【学找切入点】(1)由∠BCD=150°，∠ACB=90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE 的度数 (2)根据(1)中的结论可提出猜想，再由∠BCD=∠ACB十∠ACD,∠ACE=∠DCE一 ∠ACD可得出结论 (3)根据平行线的判定定理，画出图形即可求解. 变式4-1如图1，线段BA⊥AC于点A,BD平分∠ABC,M为射线AC上一点，ME⊥ BC,垂足为E,∠AME的平分线交直线AB于点F. (1)如图1，当M为线段AC上一点，你能判断BD,MF的位置关系吗？请说明理由， (2)如图2，当M为线段AC延长线上一点，你能判断BD,MF的位置关系吗？请说明理由。 图1 图2 和归纳总结 平行线的概念及判定 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 3.平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线 平行 《114 第16讲 相交线与平行线的判定 研讨乐园业 例5如图1，平行直线AB,CD与相交直线EF,GH相交，则图中同旁内 E/G 角共有( ). A4对 B.8对 C.12对 D.16对 【学找切入点】思路一：因为每一个“三线八角”基本图形中，都有两对同 图1 旁内角，而图1可分解成如图2的八个基本图形 图2 由此可知有16对同旁内角. 思路二：（罗增儒《数学解题学引论》） (1)取出EF,得到基本图形如图3(1)，有2对同旁内角. (2)取出GH,得到基本图形如图3(2)，有2对同旁内角. (3)取出AB,得到基本图形如图3(3)，有6对同旁内角. (4)取出CD,得到基本图形如图3(4)，有6对同旁内角. 故共有2+2+6+6=16对. E、 B 2 (3) (4) 图3 思路三：以第1个点为顶点形成的角中，其同旁内角有8对，去掉这个点：以第2个点为顶点 形成的角中，其同旁内角有4对，去掉这个点：以第3个点为顶点形成的角中，其同旁内角有2对， 去掉这个点：以第4个点为顶点形成的角中，其同旁内角有2对.故共有8十4十2十2=16对： 思路四：从同旁内角的概念出发，图中每对线段两旁各有2对同旁内角，故只需数线段的条 数.图中共有8条线段，故共有8×2=16对同旁内角， 变式51在平面上有4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对同旁内角. 115》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 能力平台 蹈优训练 建议用时：0分钟 少度可使所铺管道CE∥AB?试说明理由。 1.(2023,河南中考)如图，直线AB,CD相交于 此时CE与BC有怎样的位置关系？ 点O,若∠1=80°，∠2=30°，则∠AOE的度 数为( 北 A.30° B.50° C.60° D.80° 67 B C D 6.(2023,北京昌平区期末)如图1，若对于两条 直线，l2被第三条直线所截的同旁内角 第1题图 第2题图 ∠a,∠3满足∠3=∠a十30°，则称∠3是∠a 2.(2023,乐山中考)如图，点O在直线AB上， 的关联角。 OD是∠BOC的平分线，若∠AOC=140°， (1)已知∠3是∠a的关联角. 则∠BOD的度数为 ①当∠a=50°时，∠3= 3.如图，点O是直线AB上一点，OC是一条射 ②当2∠a一∠3=45时，直线l1,l的位 线，且∠AOC=32°，若过点O作射线OD,使 置关系为 (2)如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联 OD⊥OC,则∠BOD的度数为 角，点O是直线EF上一定点， E ①求证：∠DHG是∠BGH的关联角； B ②过点O的直线MN分别交直线CD, AB于点P,Q,且∠CHG=80°：当 ∠EOP是图中某角的关联角时，所有符 第3题图 第4题图 合条件的∠EOP的度数为 4.如图，已知AB,CD,EF相交于点O,EF⊥ AB,OG为∠COF的平分线，OH为∠DG -B 的平分线，若∠AOC：∠COG=4:7,则 H H ∠GOH= 图1 图2 备刀图 5.如图，某工程队从点A出发，沿北偏西67°方 向铺设管道AD,由于某些原因，BD段不适 宜铺设，需改变方向，由B点沿北偏东23°的 方向继续铺设BC段，到达C点又改变方 向，从C点继续铺设CE段，∠ECB应为多 《116 第6讲相交线与平行线的判定 7.如图，已知直线a,b被直线c,d所截，直线 9.如图是一个小区的街道图，A,B,C,…,X, a,c,d相交于点O,按要求回答下列问题， Y,Z是道路交叉的17个路口，站在任一路 (1)在图中的∠1~∠9这9个角中，同位角 口都可以沿直线看到过这个路口的所有街 共有多少对？请全部写出来 道.要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么 (2)∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和 最少要设 个岗哨 ∠8之间的位置关系与∠4和∠5的位置 关系相同吗？ RN B S X Y Z 10.(1)平面上有10条直线，无任何3条交于 一点，要使它们出现31个交点，怎样安 排才能得到？ (2)在平面上作17条直线，使它们的交点 总数为101个，怎样安排才能得到？ 宽赛训练 建议用时：20分钟 8.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而 过，如果第一次拐的角∠A=120°，第二次拐 的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C,这时 的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行， 则∠C=( A.120°B.130° C.140° D.1509 117》参考答案与提示 离分别为20海里、32海里、20海里. (4)nn-1);2n(n-1). 例3如图,先将所有的直线平行 第16讲 相交线与平行线的判定 移动后,使它们相交于一点O,L (1):OC平分BOD. 从图中可以发现1十乙2十 *BOD-2COD=2$70-140 3+ 4+ 5+6+ 7= “AOB-120*, 180{}。.假设这7个角中没有一 *. AOD-360*- AOB- BOD-360{-12 0*- 个角小于26^{},则这个角的和至少为26{×7-182*}这 140{-100{. 是不可能的,因此,这7个角中至少有一个角小于26} (2)如图1,当OG在EF下方时 4(1)": ACB- DCE-90*BCD=150. 12 C * ACD-B[CD- ACB-150*-90*=60*$ ' ACE- DCE-ACD-90*-60-30 (2)/BCD+/ACE-180*}理由如下; 图1 .BCD= ACB+ACD-90*+ ACD. “OE平分AOD,AOD-100*。 ACE= DCE- ACD=90*- ACD. . AOE-1AOD-50”。 . BCD+ACE-180 .:OG1OB...BOG-90{. (3)当 BCD=120或60时,CD/AB.理由如下; '. AOG- AOB- B0$G-120$-90{-30$$ 如图1,根据同旁内角互补,两直线平行可知,当 B十 : EOG- AOG+AOE-80{。 BCD-180*时,CD/AB,此时 BCD-180*-B 如图2.当OG在EF上方时 180*-60-120。 “:OE平分乙AOD.AOD-100{. .. /AOF-AOD=50°。 :OG1OB.. BOG-90{ “.AOE+AOB+BOG+EOG-360{AOB -120{) ' E0G-360°-50-120°-90*-100° ### 图1 图2 如图2,根据内错角相等,两直线平行可知 当 BCD- B-60*时,CD/AB 图3 D 图2 (3)如图3,设 DOE-5a,则 FOH-a 【变式题组】 *. COH=180*-DOE-COD-FOH-110* 11(1)设DOE-r*,则 AOE-4r*。 -6. . AOE的余角比 DOE小10{. ..B0C-275*-15. .90-4r=-10..=20..AOE-80 '. AOD-360*-COD- BOC-AOB-360*- 70*-(275*-15 )-120*-15-105 (2)AOC在图中的所有补角是AOD,BOC, .AOE-10-105. 乙BOE '.AOE-2 DOE-105”。 (3).' AOE-80*,DOE-20{. 2(1)2;2;4. (3)4;12;24. (2)3;6:12. 'AOD-100*:A0C=80 39 培优竞赛超级课堂 7年级数学 如图,当OP在CD的上方时. $2.当n-4时,a=a+2x3...,az=a+2x 设 AOP-x...DOP=100*-x”. $022-2×2022+2$2021+..+2×4+2×3+2$ A $+2t1-2023×2022-4090506 _P 在平面上不能画出没有3线共点的7条直线,使得其 _E 中每条直线都恰与另外3条直线相交,理由如下:假设 -D 平而上可以画出没有3线共点的7条直线,其中每一 P 条直线都恰有与另外3条直线相交得到的3个不同的 交点,于是共有3×7一21个交点,但每个交点分属两 ./COP=/AOE+/DOP 条直线,被重复计数了一次,所以这7条直线交点总数 *80+x-80+100-x,x-50。 '. AOP-DOP-50{。 .BOD-AOC-80..BOP-80*+50-130 设条件的7条直线是画不出来的 2(1)如图1.固定平面上一条直线,其他直线与此条固 当OP在CD的下方时 设DOP-x'BOP-80*-* 定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是 COP-AOE十/DOP. 15{,30{,45{,60{75^{,90{,105{,120{,135^{,150{,165这 *.180-,-80+..r-50 ./BOP-30. 11种角度之一,所示平面上最多有12条直线,否则,必 综上所述,BOP的度数为130或30。 有两条直线平行,故L的最大值为12. 12(1①.:CDAB...COB-90 “.EOF-90”. 交角 一固定直线 .. COE+BOE=BOE+BOF-90{。 '. BOF=COE-30{'.COF=90+30{=120 图1 图2 :OP平分COF,.COP-COF=60”。 (2)如图2,将所有直线作平行移动,使它们交于同一个 :. POE-COP-COE-30”。 点,这样的平行移动显然不改变两条直线的“夹角”,不 ②相等,理由如下:.CD]AB. ./COB-90” 妨设其中一条直线水平,从水平直线开始,逆时针将12条 “.EOF-90”, 直线分别记为第1一12条 :. COE+BOE=BOE+/BOF=90* ①第2条至第12条直线与第1条直线的“夹角”和是 . BOF-/COE 15+30+45+60+75+90+75+60+45+30 + :OP平分COF...COP=POF. 15{-540{; '. /POE-/COP-/COE./BOP=/POF-/BOF ②第3条至第12条直线与第2条直线相交的“夹角” ./POE-BOP 和是15{+30{+45*+60+75+90+75°+60+45*+ (2)①:EOF- BOC-90”. 30*-(540-15)*; ·PO平分COF,:COP=POF. ③第4条至第12条直线与第3条直线相交的“夹角” ' POE-90{+POF,BOP-90+COP. 和是15+30+45*+60+75{+90+75+60+45- .POE-BOP (540-15-30)*; ②:POE=BOP,DOP+BOP-270 ._.._. . POE+DOP-270 第11条和第12条直线与第10条直线相交的“夹 2-14090506. 提示:设过点O的n条不同直线可形成 角”和是(30+15)*: a.对对项角,当n-2时,a-2,当n-3时,a-a 第12条直线与第11条直线相交的“夹角”和是15{ 40 参考答案与提示 将②和.③和,④和,和,和配对,得到 当 ECB+CBD-180*时. 所有的“夹角”之和是6×540{-3240* 可得CE//AB(同旁内角互补,两直线平行) 4-(1)BD/MF.理由如下: ..ECB-90”. .BAAC..A=90 .CE]BC(垂直定义). .MEBC..A-CEM. E(1)80.提示:①:乙③是乙a的关联角,乙a=50”, ..CME-ABC ' 3- a+30 -50+30 -80。 '.ABC+AME-180{。 ②平行。 提示:2a-(a+30)-45{,解得a= ·BD平分ABC,MF平分 AME. 75*, 3- a+30*-105*, .. AMF+ABD-90*。 '乙a+乙-75*+105 -180。 ./. '.AFM- ABD,'.BD//MF. (2)①·AGH是CHG的关联角, (2)BD1MF.理由如下: ..AGH- CHG+30{。 如图,延长BD.交MF于点G 又: DHG=180*-CHG. BGH-180{- AGH *. DHG-BGH=180*-CHG-(180$- AGH)= AGH-CHG-30$ , ..DHG- BGH+30*. .在RtABC和RtCME中.BAC=CEM .DHG是BGH的关联角. BCA-MCE. ②140{,145*或155*. 提示:当直线MN位于如图1 ..ABC-/CME 所示位置时. 又.BD.MF分别为/ABC和/CME的平分线 1__ '.FBG- AMF 又.AMF+AFM-90 .FBG+AFM-90{} 一D .. BGF-90*$..BD|MF. N 5-24. 提示:共有12条线段,有2×12-24对同旁内角 / 图1 【能力平台】 ·AGH是/CHG的关联角,/CHG-80{。 1B220{ *AGH-CHG+30{-80*+30*-110 358或122*。 提示::OD|OC. 若 EOP是乙AGO的关联角,则EOP=AGO十 .'.COD-90. 30-110*+30-140。 ..AOC-32。 若 EOP是CPO的关联角,则EOP=CPO十 *BOD-180*-(90*-32 -122*或BOD-18 $0 30*-80*+180*-EOP+30*-290*-EOP,得 -32-90-58{. EOP-145*。 472.5*提示:设 ACC=4r,则 COG-GOF=7。 4+7r+7x-90”.'-5.'A0C-20. 当直线MN位于如图2所示位置时. $COG-35^{。D0G-180{-$C0G-180*-35^{* 145°. .GOH-DG=72.5”。 .分别过A,B两点的指正北方向的两直线是平行的, &. 1一乙A一67(两直线平行,同位角相等). 'CBD-23*+67*-90 图2 41 培优竟赛超级课堂 7年级数学 ' AGH-110{$ $CHG-80{$$ ·AC/DE.2-4. . $GH-180{- AGH-180{*-110{- 0$$ 3- 41- 2-4-3- . GHD-180*-$CHG-180*-80*-100$ 即/EDF-/BDF 若 EOP是 BGO的关联角,则 EOP= BGO十 例2可分别得到下列关系: 30-70+30-100°。 ① AEC=A+C;② AEC+A+C=360; :/FOP=/GHD+/OPH=100*+$OPH100$.$ ③ AEC=C-乙A:④ AFC= A-C; .. F0P-100(舍去) AEC= A-C; AFC=C- A 若 EOP是DPO的关联角,则/EOP=DPO+ 对于①,证明如下: 30 -100{*+180*-F0P+30{=310{*-FOP. 过点E作EF//AB. F0P-155”. *'AB//CD.FF//AB (1)同位角共有5对,分别是 1和5,2和3,3 ..EF//CD..AEF=A.CEF=C 和7,4和6,4和9 '. AFC= AEF十/CEF=/A十/C (2) 4和5是同旁内角,6和8也是同旁内角; 【拓展】对. 故 6和8之间的位置关系与 4和5的位置关系 (1).AB-6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方 相同. 向平移5个单位长度,得到矩形A.B.C.D. BD 提示:过点B作GB//AE//CF,..ABG=A 第2次平移将矩形A.B.CD 沿A.B 的方向平移 $$ 0°.又· ABC=150{。'.GBC-30。又'·BG/ 5个单位长度,得到矩形AB.CD, '$AA -5AA-5,AB-AB-AA-6-51 CF..GBC+C-180”.C=150 D4. 提示:当岗哨设置在N,D.Y,F时,岗哨们能看到 '$AB-AA +AA+AB-5+5+1-1$ *.AB的长为5+5+5+1-16 小区的所有街道,故最少要设4个岗哨 (2) AB-2$5+1-11,AB-3$5+1-16; (1)如图,这三组平行线即为所求. '.AB-(n+1)×5+1-56,解得n-10. (2)由于每组平行直线的条数(注 【变式题组】 意:不是平行线的“对”数)不同,可 11:AD/EF(已知). 有下面的一些解答,相应每种情况组内的平行直线条 2. 2十3-180”(两直线平行,同旁内角互补). ()# 数分别是(1,2,3,3,8),(2,3,5,7),(1,5,5,6),(1,1. 又1十2-180(已知) 1.2,4.8). .1-乙3(等式性质). ·1一4(角平分线的定义) ..3-4(等量代换). '.AB/DG(内错角相等,两直线平行). '. 1一乙B(两直线平行,同位角相等) 12/AED=/ACB.理由如下; ·1+4-180”(平角定义).1+2-180(已 知).2-乙4. '.EF/AB(内错角相等,两直线平行). .. 3一乙ADE(两直线平行,内错角相等) 上图中的四种情况即为所求答案的一部分, .3= B(已知),'.B=乙ADE(等量代换). 第17讲 平行线的性质及平移 ·.DE//BC(同位角相等,两直线平行) :CE AB.DF1AB . AED一ACB(两直线平行,同位角相等). '.CE/DF,1=2.3=5. (1)C-1+2.理由如下: 42