第14讲 角-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第14讲 角 情境课堂 罗巴切夫斯基(1792一1856),饿国数学家,罗巴切夫斯基一生的重要贡 献是创立了“非欧几里得几何”(简称“非欧几何”),这是他在试图证明“欧几 里得第五公设”(过直线外一点只可作一条直线与已知直线平行)屡遭失败 后创立的新几何体系: 质(素)数角度的直角三角形 一天,罗巴切夫斯基在做完老师留的几何作业(计算直角三角形锐角角度 罗巴切夫斯基 的问题)之后,随手拿过一本《数论》来研读,他已知道了不少关于质(素)数的耐人寻味的故事 于是他想: 有无锐角角度均为质(素)数的直角三角形?若有,有多少个? 他首先将90以内的质(素)数全部列出来: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89 稍加验算(从中找出两数之和为90者),他发现这样的直角三角形共有9个,它们的锐角 分别为: (7*,83}),(11{},79),(17^{*},73),(19{,71),(23{},67*),(29{},61),(31”},59),(37^{”:,53) (43,47). 你能从中发现什么规律吗? 三个角度数均为质(素)数的不等边三角形存在吗?这样的等腰三角形存在吗? C典例剖析 类型1 角的度量与计算) 剩1下列角中,可以用一副三角板画出来的是( ). (1)15{ (2)65”。(3)75”(4)135” (5)145. C.(1)(2)(4) A.(1)(3)(4) B.(1)(③)(5) D.(2)(4)(5) 【学找切入点】 一副三角板的几个内角度数分别为30^{},60^{①},90^{},45^{},45^{},90^{},能画出来的角 即是它们的和或差,所以用一副三角板能画出来的角有15^{},30{},45^{},75^{},90{},105^{},120^{},135^{ 150{,1800 [变式1-1 如果a和3互补,且a3,则下列表示a的余角的式子中:①90{一a;②{-90{③}; ③(ga+);④()-a).其中正确的有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 95》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式12 计算:(1)(33{44'×2-20{20')-2 (2)22'53'×3+107*45'5 类型2 角的计数 利2如图,BOD-45^{},AOE=90{},那么不大于90{的角有 个,E 它们的度数之和是 【学找切入点】 求它们的度数之和,关键是把一些角重组,用 BOD. 乙AOE表示. [变式 2-1如图,0是直线AB上一点,AOD=120{,AOC=90{*,OE 对,互余的角有 平分 BOD,则图中彼此互补的角有。 对. 变式2-2如图,已知OB,OC,OD为AOE内的三条射线 (1)图中共有多少个角? (2)若OB,OC,OD为 AOE的四等分线,且图中所有锐角的和为400{,求AOE的度数 (3)若 AOE一89{}, BOD-30{,求图中所有锐角的和 类型3 角的有关计算) 3(1)如图,AOB=90”,BOC=30{,OM平分/AOC,ON平分 BOC, /7 求 MON的度数 (2)若第(1)题中 AOB一。,其他条件不变,求 MON的度数 N (3)若第(1)题中 BOC一3(3为锐角),其他条件不变,求 MON的度数 (4)从(1)~(3)题的结果中你能看出什么规律? (5)线段的计算与角的计算存在着紧密联系,它们之间可以互相借鉴解法,请你模仿(1)~ (4)题设计一道以线段为背景的计算题,并写出其中的规律 【学找切入点】 借助OM平分AOC,ON平分 BOC,写出角平分线的三种表达式中的一 种,再适当运用角的和、差关系,从而求解 《96 第14讲 变式3-1 新定义问题 如图1,已知 AOB和在 AOB内部画射线OC,得到三个角,分别为AOC,BOC. AOB.若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍,则称射线OC为AOB的“幸运线”.(本题 中所研究的角都是大于0而小于180的角) M B “ 图1 图2 备 【阅读理解】 (1)角的平分线 这个角的“幸运线”.(填“是”或“不是”) 【初步应用】 (2)如图1,AOB一45{,射线OC为AOB的“幸运线”,则 AOC的度数为 【解决问题】 (3)如图2.已知AOB-60{},射线OM从OA出发,以每秒20{}的速度绕O点逆时针旋转,同 时,射线ON从OB出发,以每秒15的速度绕O点逆时针旋转,设运动的时间为t秒(0 t 9).若 OM.ON,OA三条射线中,一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”,求出所有可能 的/值. 【学找切入点】(1)根据幸运线定义即可求解 (2)分三种情况,根据幸运线定义得到方程求解 (3)先根据ON的位置分类讨论,再分三种情况,根据幸运线定义得到方程求解 类型4 角度计算中的分类讨论 之AOC的大小(题中所指角都是小于平角的角)是( ). A.300 B.105* C.120* D.30或105* 【学找切入点】 抓住题中信息①OC在AOB平面内,绕点O旋转;②OC的位置关系决定 了角的数量关系,AOB的角的两边及反向延长线把平面分成4个区域,故应分类讨论 变式4-1已知 AOB-20{},AOC=4AOB,OD平分AOB,OM平分 AOC,则 /MOD的度数是( 一 B.20或60。 C.30“或50* A.20或50* D.30或60{ 变式4-2水平直线上依次有三点A,O.B,以点O为顶点,在直线上方作COD-40{ OM,ON分别平分AOC和 BOD,求/MON的度数 97) 培优竞寒超级课堂 7年级数学 类型5 钟表上的角度问题 5(1)在一个圆形时钟的表面,OA表示秒针,OB表示分针(O为两针的旋转中心).若现 在时间恰好是12点整,问;经过多少秒后,△OAB的面积第一次达到最大? (2)钟面上从2点到4点有1次时针与分针成60的角?分别是I点几分 【学找切入点】 】对于(1),设边OA上的高为h,则<OB,所以Sou-OA·hOA· OB,当OAOB时,等号成立,此时△OAB的面积最大.通过角的关系列方程解题.对于(2) 解题的关键是准确画图,需考虑多种情形 变式5-1(1)求上午10时30分,钟面上时针和分针的夹角. (2)在上午10时30分到11时30分之间,钟面上时针和分针何时成直角? (3)在0时到12时之间,钟面上时针和分针何时成60{的角?(试尽可能多地找出答案)秒针 与时针共有几次成60的角? 类型6 与角度有关的动态问题 测6(2023,武汉洪山区期末)已知点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使乙AOC-70”. (1)如图1,若OD平分AOC,求DOB的度数 (2)射线OM从OA出发,绕点O以每秒6的速度逆时针旋转,同时,射线ON从OC出发绕 点O以每秒4的速度逆时针旋转,OM与ON同时出发(当ON首次与OB重合时,两条射线都 停止运动),设运动的时间为秒 (1)如图2,在整个运动过程中,当 /BON一2/COM时,求:的值 (II)如图3,OP平分/AOM,OQ平分 BON,是否存在合适的t.使OC平分 POQ,若存 在,求出的值;若不存在,请说明理由 C C r _M 3 【学找切入点】 (1)由角平分线的定义求出/AOD.再由平角求得 BOD (2)())分两种情况:OM没超过OC时,OM超过OC时,列出7的方程; (lI)由题意知OP在OQ的右边,据此画出草图,分别用/表示COP和COQ,由两角相 等,列出,的方程进行解答 《9 第14讲 角 研讨乐园 7如图1,要将一张长方形纸折成一个纸袋,两条折痕的夹角为70{(即 POQ一70}),将折过来的重叠部分粘上胶水,即可做成一个纸袋,则粘胶水 部分所构成的角/AOB'三 度。 【学找切入点】 折痕OP,OQ两旁的部分能互相重合,即OP平分 图1 AOA,OQ平分BOB,利用此条件即可 【解】 甲的探究 折叠后纸可分为三层:第一层 POQ一70{*;第二层 POA与第三层 A'OQ之和刚好为70{;第三层还有 A'OB'.而这些角展开之和为180{},由此可得 AOB' 180*-70×2-40 乙的探究 .AOB-180{POQ=70* * AOP+ BOQ-180-70{-110{,即 AOP+ B'OQ=110 'A'oB'= A'OP+ B'O~-POQ-110*-70*-40{。 丙的探究 我们做过这样的题; 将一张纸按如图2的方式折叠,BC,BD为折痕,则 CBD的度数为 ). A.80{ B.90{* C.100* D.110d 在此题中,:1=2,3=4,且1+2十3+4-180{},即 2 2+23-180*,.2+3-90”,即 CBD-90。 想象一下,对比两题,此题中OA,OB先是重合,此时,/POQ一90{*};而 例7中 PO~-70{},即 P0Q变小了90*-70{}-20{,则 AOB'变大了两个 图2 20{},即2×20{一40{}你知道为什么吗? 丁的探究 代数化.设 AOP= AOP-a,BOQ= BOQ=3.由题意有 a十{-乙A'OB'-70*, 。③ a+3十700-1800 由①②可解得A'OB'-40{。 名师支招 甲的探究,以操作为解决问题的基础,在操作中思考,直观而具体地解决问题 乙的探究和丁的探究,用推理方法去分析论证,但丁的探究有方程意识; 丙的探究,试着去解决一个简单的问题,去运用一个已解决的问题,在抽象思维中也有大胆 的想象、具体的操作 此类操作型题目的知识背景是什么?角平分线,解决问题的途径是什么?角的和、差、倍、 分,对我们能力的要求是什么?既要大胆想象,又要借助代数式、方程去理性分析,认真探究 变式71 (2022,长沙天心区期末)已知长方形纸片ABCD,E,F分别是AD,AB上的一 点,点I在射线BC上,连接EF,FI,将 A沿EF所在的直线对折,点A落在点H处, B沿FI [9) 培优竞寒超级课堂 7年级数学 所在的直线对折,点B落在点G处 (1)如图1,当HF与GF重合时,则/EFI三 (2)如图2,当重叠角 HFG-30时,求 EFI的度数 (3)如图3,当 GFI=a, EFH-③时,GFI绕点F逆时针旋转,且 GFI总有一条边在 /EFH内,PF是/GFH的角平分线,QF是 EFI的角平分线,求出旋转过程中 /PFQ的度 数(用含a,3的式子表示) B A B 图2 图1 图3 能力平台 .优l练 建议用时:30分钟 2/BAD,且CAD-15*,则DAE的度 数为( 1.(2023,武汉江岸区期末)如图,OM,ON,OP ). A.12* B.24 C.3 分别是AOB,BOC,AOC的角平分 D.45* 线,则下列选项能够成立的是( ). 3.一昼夜中,时针、分针和秒针三者重合的次 A. AOP/MON 数是( ). B. AOP-/MON A.2 B.4 C.6 D.24 C. /AOP/MON 4.如图,已知O是直线AB上的一点,COD D.以上情况都有可能 是直角,OE平分BOC若AOC一。,则 DOE的度数为 ). B 1. D. B 0 A 第2题图 第1题图 5.4点钟后,从时针到分针第一次成90{角到时 2.(2022,武汉东西湖区期末)如图,把一长方 针与分针第二次成90{角,共经过多少分钟 (答案四舍五入到整数)( 形纸片ABCD的一角沿AE折叠,点D的 ). C.40 A.60 B.30 对应点D落在 BAC内部,若CAE三 D.33 《100 第14讲 6.(2023,长沙开福区期末)已知 AOB-100*; (3)已知 AOB-160{},射线OC从OA出 COD=40{,OE,OF分别平分AOD. 发,绕0点以每秒15{按顺时针方向旋 BOD. 转,射线OD从OB出发,绕O点以每秒 1 10{按逆时针方向旋转,两条射线同时旋 转,当射线OC与OB重合时,旋转停止 -(C) 设旋转时间为7(单位:秒),射线OE为 一~ COD的平分线,射线OA,OD,OE中 图1 图2 图用图 若其中一条射线是另两条射线组成的角 (1)如图1,当OA,OC重合时,EOF 的“虚学线”,直接写出所有/的值 度。 # (2)若将 /COD从图1的位置绕点O顺时 针旋转,旋转角 AOC=a,满足0{< A 90且g去40* 备图 ①如图2,用等式表示 BOF与 COE 之间的数量关系,并说明理由; ②在/COD旋转过程中,请用等式表示 BOE与 COF之间的数量关系,并直 接写出答案 赛训练 建议用时:40分钟 8.在如图所示的4×4正方形网格中,1+ 2+3+4+5+6+7-( ). A.330* C.310* B.315^{* 7.如图,射线OP在 AOB的内部(AOB的 D.320* 度数大于0{}且小于180{}),图中共有三个角; AOP,POB,AOB.若这三个角中有两 个角的度数之比为3:1,则称射线OP为 AOB的“虚学线” 乙AOB的 (1)AOB的角平分线 9.以 AOB的顶点O为端点引射线OC,使 “虚学线”,AOB的一条三等分线 AOC:BOC=5:4,若 AOB-15{*,则 AOB的“虚学线”.(填“是” AOC的度数是 或“不是”) 10.如图,射线OC,OD,OE,OF分别平分 (2)射线OP为AOB的“虚学线”,若 AOB,COB,AOC,EOC,若 AOP-30{},求 AOB的度数 FOD-24*,则AOB-_. 101》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 15.(2023,武汉黄陂区期末)如图,平面上顺时 针排列射线OA.OB.OC.OD.BOC 90{}, AOD为钝角,且AOB:COD= -B C 2:3.射线OM,ON分别平分AOC. 第10题图 第11题图 AOD. 11.如图,已知 AOB十AOC=180{},OP,QQ (1)若 AOD=150{*,求 AOB和 CON 分别平分AOB,AOC,且POQ=50{, 的度数. 则 AOC的度数为 (2)当AOD的大小发生改变时, AOM 12.g,⑧,2中有两个锐角和一个钝角,其数值已 和 AON之间是否存在着固定的等量 关系?如果存在,求出它们之间的数量 关系;如果不存在,请说明理由. 分别算出了23{},24^{},25{这三个不同的结 (3)在条件(1)下,与AOB重合的 果,若其中只有一个是正确的,则a十3十 A.OB(OA,OB 的对应边分别是 OA.OB)绕点O以每秒9的速度顺时 13.钟表在12点钟时三针重合,经过x分钟秒 针旋转,与此同时与/COD重合的 针第一次将分针和时针所夹的锐角平分 COD(OC,OD的对应边分别是 求x的值 OC.OD)绕点O顺时针以每秒3{的速 度旋转,则 A.OB. 第一次在 /COD 内部时持续了 秒. 14.如图所示,AOA:是一个平角,AOA AOA =AOA-AOA= AOA-AOA=..=AOA- /A。OA。-2,求/AOA的度数 ... 《102参考答案与提示 (4) MON-乙AOB.乙MON与乙BOC的大小 '线段的中点是这条线段的巧点 无关。 (2)4或6或8.提示;.AB-12cm,点C是线段AB (5)如图,线段AB-a,BC-b. 的巧点, B MN M是AC的中点,N是BC的中点,求MN. -12x×2-8 cm. 解:MN=MC-NC-AC-BC-(AC-BC) (3)秒后,AP-2.AQ-12-(0 6 #AB-a# ①由题意可知点A不可能为线段PQ的巧点,此情况 排除. 规律:MN-AB.MN与BC的长度无关. ②当点P为线段AQ的巧点时。 则4D提示:(1)如图1.若OC在/AOB内部,设/BOC -5.r, III APAQ,即2-(12-),解得1-12s; 则 AOC-3r,3+5x-80”,-10. 'AOC-30。 III AF-AQ,即2(-(12-1),解得13s (2)如图2,若OC在 AOB内部,设 BOC-5x. ③当点Q为线段AP的巧点时, 则 AOC-3.x,5.x-3x-80”,解得x-40. 1.A-AP,即12-(-2x,解得1-3(舍去); 'AOC-120*$B0C-200180*,不合题意 (3)如图3,若OC在 AOB'内部,设 B0C=5x: II. AQ-AP,即12-)-2(x,解得1-6s; 则 A0C=3x,5+3.r+80=360*,t-35^{},AOC= II. AQ-AP,即12-1-2(x2,解得1-36 105*. B0C-175{}180{,符合题意. (4)如图4.若OC在A'OB内部,由图可知乙AOC> 第14讲 角 A 210;450*. 提示:一共有10个角,分别为AOB. 综上所述,AOC的度数是30{或105{ AOC.AOD.AOE,BOC.BOD.BOE.COD COE,DOE,其中 AOE=90{BOD=45^* AOB+ BOE=90”AOC+ COE=90AOD 图1 2 +DOE=90*,BOC+COD=45”,故这10个角的 /A 过过_ 度数之和为90*×4+45”×2-450{。 ③(1):OM平分AOC,ON平分BOC. .#MOC-)AOC# NOC-BOC.# C 图3 $. MON=MOC- NOC-(<AOC- BOC) 图4 (1)当OA1OB时,△AOB的面积最大.设经过/秒 - AB-90-45 时,OA与OB第一次垂直,又因为秒针1秒旋转6^{},分 (2)#MON-# AOB-# 针1秒旋转0.1*,于是有(6-0.1)-90,解得/-15 . (3)MON-AOB-45”。 (2)共有四次时针与分针成60}的角 ①第一次正好是两点整. 29 培优竞赛超级课堂 7年级数学 ②如图1,设2点x分,第二次时针与分针的夹角为60 由x-1+10+10.解得--21. 综上,1-15或125. ③如图2.设3点y分,第三次时针与分针的夹角为60{, (II)如图3.AOM-6. BON-110*-41. ( ④如图3,设3点:分,第四次时针与分针的夹角为60”. _M __ 图3 ·OP平分AOM.OQ平分BON. “A0P-3t,NOQ-55*-2f. 图1 图2 图3 (1):A0C-70*,OD平分AOC. 55十22. ..A0D-35*, .:OC平分POQ. 'D0B-180{*- AOD-145{ .70-31-55+2,解得1-3(秒). (2).AOC-70 *当/-3秒时,OC平分POQ 'B0C-180-70-110 【变式题组】 (1)·'70*-6-35(秒),110{-4-55(秒). 1C 提示:①②④正确. 当0~35时,如图1. E(1)原式-33-44x2×1-20-20×1 -3344'-10*10'-23“34'. “ (2)原式-68{39'+21*33’-9012 _M 6;6.提示:互补的角有 AOC和 BOC,AOD和 BOD.AOE和BOE,AOD和COE.AOE 图1 和 DOE,AOE和COD;互余的角有COD和 则 BON-180*-70*-41-110-4.COM-70 BOD.DOE和BOD.COE和 BOE.COD -6t. 和COE,COE和DOE.BOE和BOD. “.BON-2 COM 2(1)10个角:它们分别是AOB,AOC,AOD. +110*-41-2(70*-6t),解得(-15(秒). AOE.BOC.BOD.BOE,COD. COE.DOE 当$时,如回2 (2)图中所有角的和为/AOB十AOC十/AOD+ AOE十BOC十BOD十BOE十COD十 ##### COE+DOE-20 AOB-400*, . AOB-20,.AOE=80”。 (3)图中所有锐角的和为AOB十AOC十AOD十 阁2 AOE+_BOC+BOD+BOE+COD+ 则 BON-180*-70*-41-110{-4.COM-6 $$$ COE+ DOE=4 AOB+4 DOE+6BOC+ -70. 6 COD=4( AOE-BOD)+6 BOD=4 AOE+ ./BON-2/COM 2 B0D-4X89*+2X30*-416 30 参考答案与提示 (1)是. # (2)①设 AOC=x.则 BOC-2. 由题意得x+2x=45”,解得x-15 ②设 AOC=x,则 BOC=. B # 由题意得x+x-45{,解得x-22.5^}。 图2 ③设乙AOC-x,则/BOC-. 4-2分两种情况讨论 由题意得一+x-45”,解得x-30. ①如图1.:AOC+COD+BOD=180,COD -40{. 故答案为15{或22.5{或30{。 ' AOC+B0D-180*-40*-140 (3)当0 1<4时,MON-(60+5t)*AON= . AOM+BON-AOC+ BOD (60-15t)*. -寸(A0C+ B0D)-×140”-70”。 若射线OA是/MOY的幸运线 则AON-MON.即60-15t-(60+5t), '. MON-180*-(AOM+ BON) 解得(-12 -180*-70-110{。 #_# 解得(-2 图1 图2 AONV-}~ MON:即60-52-}(60+5t), ②如图2.:AOC-COD+BOD=180COD 解得,-12 -40{, '.AOC+B0D-180*+40*-220 当4<<9时,MOA=(20),AON-(15t-60) .AOM+BON-(AOC+ BOD) 若射线ON是/AOM的幸运线: '.MON-180*-(AOM+ BON) 解得/-12(舍去); -180*-110-70° $AOV-MOA.即151-60-1×201 综上所述,MON-110{或70{。 解得1-3. 5-(1)4×30+0.5×30*-135. (2)设过x分钟,时针与分针的夹角为90{,列方程6x一 AON-~MOA.即15-一60-20t 0.5-135-90或6x-0.5x-135+90,解得 = 1或x1400. 解得(-36(舍去). 故,的值是12或12或12或3 (3)设从0时开始,过x分钟后分针与时针成60角,此 C提示:分两种情况.如图1,当乙AOB在/AOC内 时分针多走了n圈(n-0,1,2,3,...,11),则x- 部时,: AOB=20{}AOC-4 AOB-8 0$$$ 60+10或-12-60n+50.解得x-12(60-+10)或 -12(60+50),分别令-0.123..11,即得本 COM-AOC=40”:DOM= AOM- 题的所有22个解(精确到秒): AOD-40*-10}-30{,如图2,当 AOB在 AOC 0.54:33,2:00:00,3:05:27,4:10:55,5:16:22,6:21:49 外部时, DOM- AOM+AOD-40+10-50。 7:27:16,8:32:44.9:38:11.10:43:38.11:49:05 31- 培优竞赛超级课堂 7年级数学 1:16:22,2:21:49,3:27:16,4:32:44,5:38:11.6:43:38 多跑6-0.5-5.5{,所以所需时间为180{-(6-0.5)。 7.49:05,8:54:33.10:00:00.11:05:27,0:10:55 ~33(min). 在12小时内,秒针相对于时针走了60X12-1-719(圈). E(1)50. 提示::OA,OC重合. 所以秒针与时针共有719×2-1438次成60{的角 '. AOD=COD=40.BOD= AOB+ COD (1)90{。提示:·EF平分 AFH,IF平分 BFG。 -100+40“-140. '. EFH- AFH,IFH-BFH. .OE平分AOD,OF平分/BOD. :/EFI= EFH+/IFG=( AFH+ /BFH)= AFB=90”. FFI-<AFB=90°。 B0D-×140*-70, “ EOF-DOF-FOD-70*-20-50 (2)令 EFG-x.HFI-y “. HFG-30”, (2)①BOF+COE-90 理由如下: '.EFA-30*+x.BFI-30*+y. '. AFE+EFI+BFI-(30+c)+(x+30+y)+ :OE平分AOD.OF平分BOD. (30{+y)-180. $ FOD-AOE= AOD-(40*+a)-20+ 即2r+2y-90, #, BOF-乙BOD-(AOB+ COD+a) 'xy-45..EFI-+y+30-75. .EFI-75. -(100+40*+a)-70+}, (3)由题意得 AFE- EFH-$. BFI-GFI-a '.GFH-2a+23-180*。 'COE= AOE- AOC=20 +-a=20-1. '.GFP- HFP-。+3-90{。 $. BOF+COE-70”++20-=90。 180{一(a十③) 又.EFQ-IFQ- ②由①得/EOD- AOE-20”+a. DOF- :. PFQ- GFI-GFP- QF1. BOF-70*+ { #P 当乙AOC<40{时,如图1所示。 0OF- DOF-20D-=70”+-40 =30+1 【能力平台】 B2C OE= BOD- FOD=2(70*+)-(20*+ A 提示:24h的过程中,时针、分针和秒针三者重合 #)-120+。 两次,都是在时钟上的12点整位置,即中午12点整和 晚上12点整. .$ BOE-CoF=120*+a-(30+。)-90°。 C 提示::COE-<B0C-(180*-)=90{ B $. DOE-COD-cOF-90”-(90”-。)- D 10 图1 图2 D 提示:分针每分钟转6{,时针每分钟转0.5{,故分 当40<AOC<90时,如图2所示. 针从“落后”时针90}到“领先”时针90{}(按顺时针方 ((OF-乙DOF+D0C-(360°-140”-a)+40 向)应比时针多跑了180{},又因为分针每分钟比时针 32 参考答案与提示 160-25t×3,解得(-32(s)或(-4(s). BE= BOD- DOE=140{+a-(20$+a= D 120+。 '.COF+BOE=150*-+120°+= 0°。 图1 图2 综上所述,/BOE,COF,AOC之间的数量关系为 当OC与OD重合后,旋转的时间1的取值范围为 BOE-COF=90*或 COF+BOE=270{ 7(1)不是,是. 3 (2)由一个角的“虚学线”的定义可知,当AOP一 .OE平分/COD. 寸<AOB或/AOP-乙AOB时,射线OP是乙AOB .COF=2DOF-C0D-(101t+15t160) 25-160 的“虚学线”。 2 当 AOD-2 DOE或 AOD-3 DOE时,射线 即 AOB-3X30{-90{。 OD是/AOE的“虚学线”. 即160-10r-2x252-160或160-10r-3x251-160 2 2 当/AOP- POB时 当2 AOD=DOE时,射线OD是 AOE的“虚 学线”, . AOP-30. ..POB-3X30*-90*. '.AOB-30*+90*-120”。 综上所述,当射线OA,OD,OE中的一条是另外两条 当/POB-/AOP时, 组成的角的“虚学线”时,的值为2s或4s或64s或 “.AOP-30. 160. '.POB-10. . A0B-10{+30{-40{ 8B 提示:1+7=2+6=3+5=90。$ 综上所述,乙AOB的度数为40*或45*或90或120{。 乙4-45*. 甲8{20或750。 (3)由题意得 AOC-15^*,B0D-10* 提示:有两种情况:(1)OC在AOB的 当OC与OD重合前,旋转的时间7的取值范围为0~ 内部;(2)OC在AOB的外部,其中要满足条件AOC: BOC-5:4. D64. 提示:设 FOC-x*,则COD-乙BOC= .:OE平分/COD. ·COE- D0E-CoD-(160-10:-15t) 1 AOC- EOC-2 FOC-2t,FOD=3x°, 160-25t AOB-2AOC-4COD-8x*而FOD-24 '3*-24'-8,'AOB-8*-64 由于AOE>DOE. 140”提示:设乙AOP=x*,则乙AOQ-(50十x)。 所以当 AOE-2DOE或 AOE-3 DOE时,射 AOB-(2x)”,AOC=[2(50+x)]'2x+2(50 线OE是AOD的“虚学线”. 即15 +160-25160-251×2或15+160-25- +)-180.'x=20..AOB-40*,AOC 2 2 2 180-40-140 33 培优竟赛超级课堂 7年级数学 2345°.提示:1(a+g+7)<1(90{+90+180°)= OB 追上OD的时间为162*-(9{*-3})-27(秒) 27-23-4(秒). 24 ,正确的是23”,15×23*-345” 答: A.OB;第一次在 COD.内部持续了4秒. 圈易知1<x2.由题意可知x分钟分针走(6x)*,时针 [直接用(72*-48}-(9*-3)-4(秒)求出答案亦可] 走(一t){,秒针走(360r)*,因为秒针平分分针和时针 第15讲 破解数轴上的动点间题 1349. 提示:第1次点A向左移动3个单位长度 的夹角,所以6-1--2(360x-360-x),解得 至点B.则点B表示的数为1-3--2; -140 第2次从点B向右移动6个单位长度至点C.则点C 表示的数为-2十6-4; 圈将条件中的9个等式相加,得 第3次从点C向左移动9个单位长度至点D.则点D AOA-AOA -92*,即 AOA= AOA + 表示的数为4-9=-5: 18由题设可得 第4次从点D向右移动12个单位长度至点E,则点E AOA=AOA+AOA十.十AOA 表示的数为-5+12-7: 1(乙A:OA+之A:0A。)×10=180°, 第5次从点E向左移动15个单位长度至点F,则点F 表示的数为7-15--8; '. AOA+AOA。-36”。 .... .AOA。-27* 由以上数据可知,当移动次数为奇数时,点在数轴上所 图(1设 AOB-2a,则COD-3a. 表示的数满足一(3n+1). 根据题意得2a+90+3a+150{-360. 解得a-24. 当移动次数为偶数时,点在数轴上所表示的数满足 '.AOB-2a-48*COD-3a-72 #(3nt2). .ON平分/AOD 当移动次数为奇数时,一 寸(3+1)--2024.n= .. CON=COD+D0N-72*+150*-2-147*。 (2)假设存在.设 AOB-2x,则/COD-3x 1349. .BOC-90”. 当移动次数为偶数时,(3t+2)-2024.n-13482} . AOC-BOC+/AOB-2x+90{。 (不合题意,舍去). .:OM平分AOC. 2(1)①10;3.②-2+3t;8-21. . AOM-AOC-450+x. (*) (2).当P,Q两点相遇时,P,Q表示的数相等. .BOC=90*AOB-2r.COD-3x. -2十3(-8-2,解得/-2. 'AOD-360-90*-2x-3x-270*-5x. *.当/-2时,P.Q两点相遇, .:ON平分乙AOD 此时,-2+3t=-2+3×2-4. . AON-AOD-135- '.相遇点表示的数为4. (3).秒后,点P表示的数为一2十3t,点Q表示的数 由(*)得x- AOM-45*, 为8-2. . AON-135*-( AOM-45) 'PQ- (-2+3-(8-2t)-15t-10. 又P-AB-1X10-5-# '.2 AON+5AOM-495。 故假设成立,且2AON+5AOM-495 *.15-10-5,解得/-1或3 (3)4. 提示: AOC- AOB十BOC-48*+90*- .当/-1或3时,PQ-AB. $38{ BOD- BOC+COD-90*+72*-16$。 OA.追上0C;的时间为138{}-(9{-3)-23(秒). 2 34