第12讲 多姿多彩的图形-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第12讲 多姿多彩的图形 情境课堂 哈密顿(1805一1865)，英国数学家.他创立了“四元数”理论，为向量代 数、向量分析乃至线性代数的产生做出了开创性的贡献.哈密顿身为爵士，却 并无贵族老爷的架子，他除了喜欢散步、去咖啡馆外，还常常光顾集贸市场. 如何安排旅游路线 一个周日的早晨，露天市场人山人海，有一堆人正聚精会神地看着黑木 板上悬赏的那道周游世界的智力题，题目出自哈密领之手。内容是这样的： 哈密顿 一位旅行家打算做一次环游世界的旅行，他选择了20个城市作为游览 点.这20个城市恰好均匀地分布在地球上，而每个城市均有三条航线或道路 与其他毗邻城市连接（城市分布及航路见图1）.问如何安排一条旅游路线， 使这位旅行家可以不重复地游览完每一个城市后再回到出发点？ 这个看似简单的问题竟难倒了众多的观看者，最终题目的解答还是由哈 图1 密顿本人给出的.他的方法巧妙无比，思想是将空间问题转化为平面图形来处理， 他首先将上面的正十二面体想象成是用橡皮绳制成的，这样可以把它沿 某个面拉开再铺平（在一个平面内），于是上面的立体图形就转化成了平面图 形.我们只需在平面图形上找出这条旅游路线（当然要比在空间图形上找容易 图2 得多)，再还原到空间图形中即可.图2中的粗线即为所求的旅游路线 典例剖析 类型1从不同的方向看立体图形> 例1(2023，枣庄中考改编)榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国 工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图 是( B 主视方向 【学找切入点】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从上面看到的图形，注意将看到的 线画成实线，看不到的线画成虚线。 81》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式1-1(2023，衡阳中考)作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型 式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识.如图是一把做 工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其左视图的大致形状是( G D 类型2根据视图判断正方体的个数> 例②如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的 小正方体的个数是(). 下向看 左治 上面看 A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 【学找切入点】方法一：从正面看、左面看、上面看可知这个几何体底层有4个小正方体，第 二层有2个小正方体，第三层有1个小正方体，所以搭成这个几何体所用的小正方体的个数是 4+2+1=7(个). 方法二：先根据从左面看到的和从正面看到的，再从上面看到的图中标出每个位置上小正方 体的个数，从而得到组成该几何体的小正方体的总个数（如图所示）. 311 变式2-1(2023，河北中考)如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体， 要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体(). 主祝图 视剧 图1 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 《82 第2讲多姿多彩的图形 变式22如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个 几何体的表面积是 上视图 左视图 俯视剁 类型3立体图形的展开与折叠> 例3在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正方体或长方体沿某些棱剪 开，展开成平面图形.其中，小丹同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪成了图1、图2两 部分.根据你所学的知识，回答下列问题： 4 8 图1 图2 图3 (1)小丹总共剪开了几条棱？ (2)现在小丹想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一 个长方体纸盒，他有几种粘贴方法？请在图1上画出粘贴后的图形（画出一种即可）. (3)已知图3是小丹剪开的图1的某些数据（单位：c),求这个长方体纸盒的体积. 【学找切入点】对于(1)根据总共12条棱，其中有4条未剪开，即可得到小丹总共剪开了 8条棱：对于(2)依据展开图的特征，即可得到4种粘贴方法（答案不唯一）：对于(3)设高为xcm, 则宽为(4一x)cm,长为[7一(4一x)]=(3十x)cm,依题意中的等量关系列方程即可求解. 变式3-1(2021，自贡中考)如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后， 有“迎”字一面的相对面上的字是( 迎建党 年 A.百 B.党 C.年 D.喜 83》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 例4在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面 上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，下列图示中画法正确的是( 图1 图2 【学找切入点】既可从展开正方体入手，也可从折叠还原正方体入手。 M 图3 图4 思路一：沿HG.HN,NN1,N1M,MG,V1H,GG(如图3)剪开，展开后的图形为图4. 思路二：依照四个备选答案动手实践操作，看是否能折叠成原正方体 变式41如果把如图所示的立方体展开，可得到下列图形中的( 类型4根据几何体的叠放规律求表面积或体积， 例5]将棱长为a的正方体摆放成如图所示的形状. (1)如果这一物体摆放了3层，试求该物体的表面积 (2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了20层，求该物体的表面积 (3)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了层，那么该物体的表面积是多少？ 【学找切入点】对于(1)分层计算可解决问题：若同时从视图角度去观察，从前、后、左、右、 上、下六个面观察每个方向看到的都一样，故(1)的解题思路有多种 变式51将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂成红色，然后分割成棱长为1的小正 方体.若各面均未染红色的小正方体有2197个，则这个正方体的体积是 《84 第2讲多姿多彩的图形 变式5-2将一个棱长为整数的（单位：dm)长方体的6个面都涂上红色，然后把它全部切 成棱长为1dm的小正方体.在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红 色的有28块，仅有一个面涂红色的有多少块？原来长方体的体积是多少立方分米？ 研讨乐园 例618世纪的瑞土数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存 在一个有趣的关系式，这个关系式被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体的模型，解答 下列问题. 叫面体 正方体 正八面体 正一面体 (1)根据上面的多面体模型，完成表格中的填空. 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 正方体 8 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 (2)若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面则是由三角形和八边形两种多边形拼接 而成的，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边 形的个数为y个，求x十y的值. 甲的探究(1)是解决(2)、(3)的基础，数一数完成表格，再观察数据，归纳关系. 【解】(1)6：6：V+F-E=2. (2)20. (3)这个多面体的面数为x十y,棱数为243=36（条）. 2 根据V+F-E=2,可得24十(.x十y)-36=2,∴.x十y=14. 85》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 能力平台 培优训练 建议用时：20分钟 该位置的小正方块的个数，能正确表示该几 1.(2021,湖州中考)将如图所示的长方 何体的主视图的是( 体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六 高钉 个面连在一起，然后铺平，则得到的 图形可能是( 23 B 5.(2021,菏泽中考)如图是一个几何体的三视 图，根据图中所标数据计算这个几何体的体 D 积为( 2.(2023,烟台中考)如图，对正方体进行两次 切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几 X9 何体的俯视图为( *2 风个个 图 ☒☒ A.12π B.18元 C.24π D.30元 竞赛训练 建议用时：15分钟 6.如图，将下列四张正方形硬纸片分别剪去阴 3.若用如图1这样一副七巧板拼成图2的图 影部分后，再沿虚线折叠，可以围成一个封 案，则图2中阴影部分的面积是空白部分面 闭的长方体包装盒的是( 积的( 7.将如图所示的正方体展开后，不可能是 图1 图2 A. c D 4.(2021,大庆中考)一个儿何体由大小相同的 小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状 图如图所示，其中小正方形中的数字表示在 《86 第2讲多姿多彩的图形 8.用若干个相同的小正方体粘成一个立体图 成(>2)个相同的小正方体，若只有 形（实心），该立体图形的三视图如图所示， 一面是红色的小正方体数目与任何一面 那么所用小正方体的个数为( 都不是红色的小正方体的数目相同，则 (2)由若干个单位立方体组成一个较大的立 俯视图 正视图 左视图 方体，然后把这个大立方体的某些面涂 A.19个B.20个 C.21个 D.22个 上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单 9.把正方体分割，再涂漆或染色，相同颜色的 位立方体，发现有45个单位立方体上任 面的个数或相应小正方体的个数常呈现出 何一面都没有漆，那么大立方体被涂过 一定的规律 油漆的面数是( (1)将一个正方体的表面都染成红色，再切割 A.1 B.2 C.3 D.4 87》参考答案与提示 回有以下设计方案：(1)当小汽车出现故障时，乘这辆车 例AA 的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火 例5(1)第一层的表面积为5； 车站，立即返回接步行的4个人到火车站：(2)当小汽 第二层的表面积为(4+4+2)a=10a: 车出现故障时，乘这辆车的4个人先下车步行，另一辆 第三层的表面积为(5+5+4+2+2+3)a2=21a, 车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再 故整个表面积为5a2+10a2+21a2=36a。 立即返回接因汽车出现故障而步行的另外4个人，使 (2)若摆20层，则该物体的表面积为6×(1十2+3+·+ 得两批人员最后同时到达车站。 20)a2=1260a2. 对于方案(1)，设乘出现故障汽车的4个人步行的距离 (3)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了n层，那 为x千米列方程，有青-15+二解得一器因 么该物体的表面积为6(1+2+3+…+n)a2=6× 60 时业a=3n(n+1)a 此，这8个人全部到达火车站所需时间为器5十(15- 2 【变式题组】 )÷60-爱（小时）=40高（分钟）<42（分钟， 1-1B2-1B2-222.3-B41D513375. 52 52设把涂红色的外层小正方体拿掉后的长方体的长、 故此方案可行 宽、高分别为a,b,c(a≤≤c),则组成这个长方体的小 对于方案(2)，两批人员步行AC D B 故膀点 火布站 正方体各面都没有涂红色，a×b×=12: ① 的距离相同，如图所示，D为 仅有2面涂红色的有28块， 乘无故障汽车人员下车的地点，C为乘有故障汽车人 即(a十b+c)×4=28,a+b+c=7: ② 员再次上车的地点.因此，设AC=DB=y,列方程，有 12=1×1×12-1×2×6=1×3×4=2×2×3, =15-士15一2y,解得y=2.因此，这8个人同时 只有当a=b=2,c=3时才满足②式， 5 60 ,∴.仅有1面涂红色的小正方体有(2×2+2×3+2×3) 到达火车站所需时间为号+1.2=品（小时） 60 ×2=32(块)，原米长方体的体积是(2+2)×(2+2)× 37(分钟)<42（分钟），故此方案也可行. (3+2)=80(dnm3). 第12讲多姿多彩的图形 【能力平台】 ■A2A 例1B例2B 3D提示：设图1中拼成的大正方形的边长为1，则整 例3(1)总共有12条棱，其中有4条未剪开，枚小丹共剪 个图案的面积是=1. 开了8条棱 (2)有4种粘贴方法，如下图. s=子s=2×(号×2)=gs=号×(9 ×)×(竖×)= 阴影部分的面积为S十S十S= 空白部分的面积是1一。-是 ∴图2中阴影部分的面积是空白部分面积的了 (3)设高为xcm,则宽为(4一x)cm,长为[7一(4一x)门 =(3十x)cm, .4十(3十x)=8,解得x=1. ,.体积为(3+1)×(4一1)×1=12(cm3). 答：这个长方形纸盒的体积为12cm. 图 25 培优竞赛超级课堂 7年级数学 4B 5B 个点，它与原来的两点分别画一条直线，即增加两条直 BC提示：根据长方体的组成，结合立体图形与平面图 线，依此类推。 形的相互转化，可分析得出， ∴平面上的100个点最多能画出1+2+3+…+99 ☑B提示：观察几何图形的特征，充分发挥空间想象 4950条直线. 能力 (2)当有2,3,4条直线时，最多交点的个数分别是： BC提示：1×4+3×4+5=21（个） 9(1)8.提示：只有一个面染红色的小正方体的总数为 6(一2)个，任何面均不是红色的小正方体的总数为 (1一2)3个，由题意知6(1一2)2=(n一2)3，解得n=8. 3=1+2 6=1+2-3 (2)D提示：设大立方体的棱长为n,n>3,若n=6, ∴.100条直线最多有1+2+3+…+99=4950个交点. 即使6个而都油漆过，未油漆的单位立方体也有4 (3)当有1,2,3条直线时，最多可把平面分成的部分分 64(个).64>45，故n=4或5.除掉已漆的单位立方体 别是： 后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长，宽、高分别为 D ① a.h,c,ac=45,只能是3×3×5=45，故n=5. ④ 第13讲直线、射线、线段 ⊙ /的 ③ 例IA提示：线段AB的2个三等分点与线段AB的中 2=1x2+1 1=2×3 7=34-1 2 2 +1 2 点都是线段AB的“中南点”.同理，在线段AB的延长 “10条直线最多可将平面分成00X101+1=5051个 线和反向延长线上也分别有3个“中南点”.线段 2 AB的“中南点"的个数是9. 部分 2设AC=,BC=,则AD=工+学AB=x+ 【变式题组】 2图6m或号 m.提示：如图1，设BC=xcm,则AB D-兰，BD=,放题图中所有线段的长度之和为 =2r cm.AC=3r cm. AC+AD+AB+CD+CB+DB-x+(x+>)+(x+ A D B C 图 0+立+叶=+ :点D为AC的中点， 3十2y=28。“y为正整数，则y必为偶数 AD=CD=AC-1.5r cm.B=0.5r cm. :BD=1m,.0.5.x=1,解得x=2,∴AC=6m 当y=2时，3x+7=23,x=9不合题意： 如图2，设BC=xm,则AB=2xcm,AC=xcm. 当y=4时，3x+14=23,x=3,.AC=3: A B 2 当y=6时，十21=23=号，不合题意 :点D为AC的中点， .线段AC的长为3. ∴AD=CD-2AC=0.5xam, ∴.BD=1.5xcm 例3(1)当n=2,3,4时，画出最多直线的条数分别是： .BD=1 cm. 1.5=1,解得=号 ∴AC-号m 2-23a3-a十a.提示：A2A=A1A-AAg,A2A= 3=1+2 AA-AA:AA.=AA-AAs. 过两点画一条直线，三点在原来两点的基础上增加一 .线段AA上所有线段之和为3A:A一AA十 26