第5讲 数字规律型问题-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第5讲 数字规律型问题 情境课堂 波利亚(1887一1985),著名美籍匈牙利数学家和数学教育家,1976年 当选美国国家科学院院士,其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分 析、组合数学等众多领域,由于长期从事数学教学,他对数学思维的一般规 律有深入的研究,这方面的名著有《怎样解题》《数学的发现》《数学与猜想 等,它们被译成多种文字,广为流传 质数的猜想 波利亚 著名数学家高斯曾说:“数学是科学的皇后,而数论则是数学的皇后,”数论中有很多引人 入胜的问题,如“费马猜想”,又称费马大定理,即当n2时,方程”十”一”没有正整数解,此 猜想经历近400年后,才由数学家安德鲁·怀尔斯于1995年获证,期间它促进了许多数学问 题的产生和发展,被称为会下“金蛋”的母鸡,更有家喻户晓的哥德巴赫猜想,被誉为“数学皇冠 上的明珠”,至今悬而未决,这个问题与一些特殊的数-一质数有关。 能用一个公式表示质数吗?费马做过不少尝试,但都失败了. 这天他想到好友麦森告诉他的2一1的式子可以表示不少质数(当时被人们称为麦森质 数).他打算沿着这一思路做进一步的研究,试试2十1,但结果令他失望,再往下深思,当他用 n-0,1,2,3,4代入式子2{十1时,他眉宇舒展,脸上露出一片晴朗.他的计算如下; $ +1-3,2+1-5,2-}+1-17,2}+1-257,2^-+1-65537 它们都是质数. 欣喜之余,费马在《算术》一书的空白处记下: 式子2{”十1在n-0,1,2,...时,其值都是质数 不幸的是,一百多年后(1732年)欧拉发现当n一5时,这个式子表示的数不再是质数 你能证明2{十1不是质数吗? 典例剖析 类型1 从数列中找出数字规律) 1意大利著名数学家裴波那契在研究免子的繁殖问题时,发现了这样一组数:1,1,2,3. 5.8.13..... 这组数被称为“裴波那契数列”,又称为“免子数列”,其中从第三个数起,每一个数都等于它 前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造出如图所示的正方形 《30 第5讲 数字规律型问题 □□□ 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图所示的矩形,并记为①②③④ 相应矩形的周长如下表所示. 序号 ① ② 周长 10 16 6 26 2 ④ 若按此规律继续作矩形,则序号为的矩形的周长是多少? 【学找切入点】 可直接分析周长与序号之间的数据关系,或间接分析矩形的长、宽与序号之 间的关系. 思路一:图形①②③④...相应矩形的周长分别为6,10,16,26,....从第三个数起,每一个数都 等于它前面两个数的和,于是可得出图形⑧相应的矩形的周长 思路二:观察并计算图形①②③④...相应的矩形的长分别为2.3,5,8....相应的宽分别为 1.2.3,5,...,也就是裴波那契数列.计算得序号为的矩形的长、宽 变式 现有210个“金蛋”,并把这些“金蛋”连续编号为1,2,3....,210,接着把编号是3 的整数倍的“金蛋”全部砸碎;然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1,2,3....,接着把编号是3的 整数倍的“金蛋”全部砸碎......按照这样的方法操作,直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止.操 作过程中砸碎编号是66的“金蛋”共__个. [变式12(2022,江苏初中数学竞赛)如图所示的跳格游戏:人从格外只能进入第一格,在 格中,每次可向前跳1格或2格,那么,人从格外跳到第6格可以有 种方法. 2_ _#7_# 类型2 从信息传递中找出数字规律 测2在计算机程序中,二又树是一种表示数据结构的方法,如图所示,一层二又树的结点总 数为1,二层二叉树的结点总数为3,三层二又树的结点总数为7,.....,照此规律,七层二又树的 结点总数为 __ 。 # ._. 二叉树 正层二叉树 三层二叉树 【学找切入点】 分析各层二叉树结点总数之间的数据关系 思路一:七层二叉树的结点总数关系如图所示 ③1)》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 ( 二叉树的层数 结点的总数 相邻两层结点总数的差 思路二:由1,2.3....层二叉树的结点总数为1,3.7....,探索出结点总数与层数的关系 思路三:观察图形,从上往下,有序计数,七层二叉树的结点总数为1+2+2+2+2+2+2. 思路四:观察图形发现,除第一层的一个结点外,接下来的数据具有对称性 变式21一条信息可通过如图所示的网络线由上(A点)往下向各站点传送.例如信息到 b.点可由经a;的站点送达,也可由经a。的站点送达,共有两条途径传送,那么信息由A点到达 d。点的不同途径共有__条. A 类型3 从图形中寻找数字规律) 3古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:他们研究过图1中的1. 3.6.10,...,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为“三角形数”,类似地,如图2中的1,4,9 16....,这样的数称为“正方形数”,下列数中,既是“三角形数”又是“正方形数”的是 ). A.289 C.1225 B.1024 D.1378 OQCC O○□C __ □OC OCC CC○C _ C □C □O0 CCC C COCO 1 10 1 6 1 . 1 图1 图2 【学找切入点】 本题主要考查观察、归纳能力和综合运用数学知识、方法进行论证、推理的 能力,把合情推理与演绎推理有机结合,将数学知识、方法与数学文化融为一体 变式3曹 (2021,恩施州中考)古希腊数学家定义了五边形数,如下表所示,将点按照表中 方式排列成五边形点阵,图形中的点的个数即五边形数 图形 12 五边形数15 22 将五边形数1,5,12,22,35,51,...排成如下数表 《32 第5讲 数字规律型问题 _ 第一行 12 5 第二行 22 35 51 第三行 ... ._ ._. _. 观察这个数表,则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 类型 4 从数阵中找出数字规律) 4将连续的正整数按如图所示的规律排列,则位于第7行第7列的数x是 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 ._. 第1行 0:)) #二) 。。) 二:: 28 ... 第2行 ._. 第3行 .. .. . 第4行 3:: 第5行 .. ._. ._. (#罚 第6行 ... _. ._. ._. . .. 第7行 ._. ._. ._ ._. ._. 【学找切入点】 先寻找第1行第1列,第2行第2列,第3行第3列,第4行第4列,...,依次 为1,5,13,25,...,再归纳猜想得出第7行第7列. 二# 思路-:1-1^+0,5-2+1^2,13-3+2,25-4^+3,..,故第7行第7列的数为7+6^} ,故可求出第7行第7列的数 思路三:观察列的规律为第1列的后一个数是由前一个数分别加1,2,3,4,5,......得到的,第 2列的后一个数是由前一个数分别加2,3,4,5....得到的.故第7列的后一个数是由前一个数分 别加7,8,9....得到的.故第7行第7列的数为28十7十8十9+10+11十12. 变式4-1(2023,常德中考)观察下边的数表(横排为行,坚排为列),按数表中的规律,分数 22若排在第a行第列,则a-6的值为( 20 ). 1_){ { 1 .._. A.2003 C.2022 B.2004 D.2023 3③》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式42 将自然数按以下规律排列 第一列 第三列 第五列 第二列 第四列 ... 第一行 李3 6。)) 16 17 ... 1二 第二行 ... 第三行 二 ... 第四行 13 ._. .. . 表中数2在第二行第一列,与有序数对(2,1)对应;数5与(1,3)对应;数14与(3,4)对应.根 据这一规律,数2014对应的有序数对为 研讨乐园 利5阅读理解: n(n) 我们知道,1+2+3十...十n一 ,那么1+2十3{十...十^*}的结果等于多少呢? 2 在如图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即1{②},第2行两个圆圈中的数的和为 2+2,即2^{}........第行n个圆圈中的数的和为”十”十...十n,即r^{},这样,该三角形数阵中共有 个 n(n十1) 个圆罔,所有圆圈中数的和为1+2士3{}十...十n^{}. 第l行--- --_1 第2--_- --- 第行。-- -- 第-1-- ----1) 行-- 图1 第1行---- 第2行_-- 第行---- _转 第-1行-- 第行 图2 规律探究: 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一 位置圆圈中的数(如第n一1行的第一个圆圈中的数分别为n一1,2,n),发现每个位置上三个圆圈 中数的和均为 __.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(1{}+2十3②士... 十r)一 《34 第5讲 数字规律型问题 解决问题: 1+2+3+..+2023{} 根据以上发现,计算 1+2+3+..+2023 【学找切入点】 1.将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈 【解】 由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2十n-2n+1, 由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为 3(12+22+32十.十^})-(2n+1)×(1+2+3.+n)-(2n+1)×”(n+1). 2 因此,12+2+3-②+..+nn(2n+1)(n+1) 6 故规律探究中的答案为2n十1;{ n(n+1)(2n+1) ) 。 能力平台 蹈优训练 B.121 C.144 A.100 建议用时:30分钟 D.169 1.(2022,新疆中考)将全体正偶数排成一个三 3.如图,小正方形是按一定规律摆放的,下面 角形数阵: 四个选项中的图片,适合填补图中空白处的 是( 4 8 10 12 16 14 18 20 ,. . 22 2628 30 24 _. 按照以上排列的规律,第10行第5个数是 A.98 B.100 C.102 D.104 2.(2021:随州中考)根据图中数字的规律,若 第n个图中的q一143,则的值为( ). 的“和差分数”,如2的和差分数为12 5) 培优竞赛超级课堂 7年级数学 9.(2023,安徽中考)【观察思考】 数为a。,a。的和差分数为a,.....则a2024 的值为 □□ O□*□* 第1个阁案 第2个图案 5.数学家哥德巴赫通过研究下面一系列等式 第3个图案 给出了一个著名的猜想 4-2十2; 12-5十7; .... 6-3+3; 14-3+11-7+7; ○□*□□* 8-3+5; 16-3+13-5+11; 第个图案 10-3+7-5+5; 18-5+13-7+11; 【规律发现】 .. ... 请用含n的式子填空; 通过这组等式,你发现的规律是 (1)第n个图案中“O”的个数为 (请用文字语言表达). (2)第1个图案中“*”的个数可表示为1×2. 6.(2023,恩施州中考)观察下列两行数,探究 第②行数与第①行数的关系: -2,4,-8,16,-32,64... ① 第3个图案中“”的个数可表示为3×4. 2. 0.7,-4,21,-26.71,. ② 根据你的发现,完成填空:第①行数的第 10个数为 ,取每行数的第2023个 ...... 数,则这两个数的和为 第”个图案中“”的个数可表示为 7.a,a.a,.a.a....是一列数,已知第1个 【规律应用】 数a一4,第5个数a一5,且任意三个相邻 (3)结合图案中“*”的排列方式及上述规律, 的数之和为15,则第2019个数a。的值是 求正整数n.使得连续的正整数之和1 2+3十...十n等于第n个图案中“”的 8.取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上 个数的2倍 1.若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干 步的计算最终可得到1.这个结论在数学上 还没有得到证明,但举例验证都是正确的 例如:取自然数5.经过下面5步运算可得 1,即5×3+16-84231,如 果自然数经过7步运算可得到1,则所有 符合条件的》的值为 《36 第5讲 数字规律型问题 训练 建议用时:30分钟 。。 10.如图所示,13个小朋友围成一圈做游戏,规 则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数 第1个图形 第2个图 数,数到13,该小朋友离开;这样继续下去 。 。。。。。 直到最后剩下一个小朋友,小明是1号,要 使最后剩下的是小明自己,他应该建议从 。。。。。 第3个图形 ( )小朋友开始数起. 第4个图形 14.将1,2,3,..,100这100个自然数,任意分 为50组,每组两个数,现将每组的两个数 中任一数值记作a,另一数值记作,代人 代数式}(la-bl+a十b)中进行计算,求出 A.7号 B.8号 C.13号 D.2号 其结果,50组数代人后可求得50个值,则 11.(2023,牡丹江中考)观察下面两行数 这50个值的和的最大值是 1.5,11,19,29....; 15.将正整数从1开始按如图所示规律排成一 1,3,6,10,15.... 个数阵,其中,2在第1个拐弯处,3在第 取每行数的第7个数,计算这两个数的和 2个拐弯处,5在第3个拐弯处,7在第4个 是( ). 拐弯处......,则在第2007个拐弯处的数 A.92 C.83 B.87 D.78 是 。 10-9-8-7 n个数是 13.将一些半径相同的小圆按如图所示规律摆 放,请仔细观察,第”个图形有 (用含”的式子表示)个小圆 13-14-15-16-17 37》参考答案与提示 日a-02-63)-子 20206205X20）-品-×(20m20m丽 1 8(1)d(10)=1,d(102)=-2. (2)3,0.6020,0.6990,-1.0970.提示：d(a)= +2015X2017/1 d(a2·a)=d(a)+d(a)=d(a·a)+d(a)=d(a)+ 品×10≈1.46,10M最接近整数， d(a)+d(a)=3d(a), 1日b:6.提示：，a=3=(3)m=243",b=4"=(4)0 需温 =256",c=5”=(52)0=1251",故最大的是b,最小的 d(2)=0.3010,d(10)=1, 是c. ∴.d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)=2d(2)=0.6020, 四2，-1：22：-1 d5)=d(2）-d10)-d2)=1-0.3010=0.6990. 因-一是 (2)-80. d(0.08)=d(8×10)=d(8)+d(10)=3d(2)+ (3)13+2=1+8=(1+2)2,11+2+3=1+8+27 (-2)=0.9030-2=-1.0970. =(1+2+3)°.13+22十33+43=1+8+27+64=100 (3)若d(3)≠2a-b,则d(9)=2d(3)≠4a-2b,d(27) =3d(3)≠6a一3b,即有三个劳格数错误与题设矛盾， =(1十2+3+4)2，…，.11+2十33+43++m2= 故d(3)=2a-b: +2+3+4++w=[21+m]= 若d(5)≠a十c,则d(2)=1一d(5)≠1-a-c,d(8)= 3d(2)≠3-3a-3c, 1D只.此时，1+2+3++103=×100×(100+ d(6)=d(2)+d(3)≠1+a一b一c,即有三个劳格数错 1)=25502500. 误与题设矛盾， 第5讲数字规律型问题 故d(5)=a+c 例1由于图形①②③①…相应矩形的周长分别为6,10， 综上所述，d(1.5)与d(12)两个值是错误的，应该更正 16,26,…,从第三个数起，后一个数都等于它前面两个 为d(1.5)=d(3)-d(2)=3a-b+-1d(12)=d(3)+ 数的和，因此图形®⑥⑦⑧⑨@相应矩形的周长为 2d(2)=2-b-2c. 16+26=42.26+42=68.42+68=110,68+110=178, 日B提示：，a,h,c均为整数， 110+178=288,178+288=466.故序号为@的矩形的 u一b与a一c均为整数. 周长为466. 从而由(a-b)0+(a一c)o=1,可得引a-b|=1, 例2127.提示：方法一由图可知，七层二叉树的结点 a-c=0或a-b=0,|a一c=1. 总数为1+2+4+8+16+32+64=127. 当a-b=l.a-c=0时，a=c 一义树的层数 234… ∴.原式=a-b1+|b-a+|a-a=2la-b1=2. 针点总数 15… 当la-b=0,a-c=1时，a=b. 阳邻两层钻点总数的 .原式=a-a+|a-c十c-a=2a-c=2. 方法二观察图形会发现，除第一层的一个结点外，接 ∴.a-b1+16-cl+lc-a=2. 下来的数据具有对称性，故七层二叉树结点总数为1+ 1 回B提示：“-农一0(k一2)·k·十习 2×(1+2+4+8+16+32)=127. 例羽C提示：图1中第n个图表示的数是1十2十3十·十 n="D,图2中第n个图表示的数是m. 2 M=子×（☆8-太十+…+ 因为1225=49X50.1225=35. 2 203X20丽20520丽）=片×（☆8+ 例A85. 培优竞赛超级课堂 7年级数学 【变式题组】 ∴.把n=30代入得1+2+3+…+29十302=1335. 1-13.提示：，210÷3=70， 4C提示：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母 第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下 的和不变，品(m,n为正整数)在第(m十-l行、第n列， 210-70=140个金蛋，重新编号为1,2,3，…，140， 140÷3=46…2, Z品在第202行第20列、a=2042=20, ∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下 ∴.a-b=2042-20=2022. 140一46=94个金蛋，重新编号为1,2,3，…，94， 42(45,12).提示：要确定数2014对应的有序数对， .94÷3=31*…1, 应先确定数2014所在的行或列.观察数阵发现：第2 ∴.第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94一 一1行的前2n一1个数从(2n一1)开始按从大到小的 31=63个金蛋， 顺序排列：第2n行的前2n个数从(2一1)+1开始按 ,6366. 从小到大的顺序排列. ∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过 ,442=1936,45=2025,且2014更接近2025， 程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个 ∴数2014所在的行是第45行，且这行第一个数是2025. 28.提示：方法一（枚举法）问题转化如下： 又，2025-2014=11， 从第1格进入第6格，走了5格，把数字5表示成若干 ∴.2014所在的列是第12列. 个1或2的和，1和2的不同顺序表示不同的方法 .数2014对应的有序数对为(45,12. (如5=1+1+1+1+1).为了方便，把式子缩略为5 【能力平台】 11111,则可以对5进行分解，有如下的方法： ①B提示：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得 5=11111=1112=1121=1211=2111=122=221= 出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个偶 212,共有8种方法 数，第9行最后一个数为90，∴.第10行第5个 方法二（递推法）考虑进入第n格的方法数F。,易知 数是90十2×5-100. F=1,F:=1(注意：人从格外只能进入第一格). B D 对≥3，进入第n格的方法数F。可以分为两类：从第 4 n一1格走一步：从第一2格走2步，如此， 3· 提示：因为a=2a:=3,a=-2a= 3, F=F。1十F-g, 2,4个数为一个周期，而2024=506×4. 这是一个斐波那契数列，从中取出F=8,即本题的答 案为8种 所以aa1=a,=一马。 3 26.提示：画出路线图（如图所示）. 互所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和. -一d 6(一2)0：一24+2024.提示：观察数列可得，第① 一d 行数的第10个数为（一2）"，第①行数的第2023个数 为（一2）2，第②行数的第2023个数为（一2）2+ 2024,:(-2)2+(-2)228+2024=-28+ 故有6条不同途径。 2024,.取每行数的第2023个数，这两个数的和为 311335. 提示：观察表中图形及数字的变化规律可得， -2@+2024, 第n个五边形数可表示为1十2十3+…十（一1）十， 76.提示：由任意三个相邻数之和都是15可知 由数表可知，前七行数的个数和为1+2+3十+7=28， a1十a+a=15,a+aa+a=15,a+am+a=15,… ,.数表中第八行从左至右第2个数是第30个五边形 aw+a+1+aw+2=15, 数，即n=30, 可以推出a=a=a=…=an+1a:=a6=as=… 10 参考答案与提示 a1m+2+aa=a6=ag=…=aw,所以a5=a2=5, 第6讲 新定义运算 则4十5十a=15,解得a1=6, c 2019÷3=673,.a20y=a:=6. 例2(1)5：3：0. 提示：l0g232=10g2=5,log27= 8128,21,20,3.提示：应用逆推法，用1乘以2，得2： log33=3,l0g1=log7'=0. 用2乘以2，得4：用4乘以2，得8：用8乘以2，得16. (2)设log,M=m,logN=n,则M=a",V=a" 然后分类讨论，判断出所有符合条件的m值为128， 兴-导=一，由定义得m=是 21,20,3. 又，m一n=logM一logV, 日(1)3m.(2)mm+1 2 M log.-log.M-log.N(a>0.uz1.M>0.N>0). (3)由题意得m=2×3m,解得=11或1=0（不 2 (3)原式=log(125×6÷30)=l0g25=2. 符合题意). 的a)4 提示：从A:开始，每进行一次操作，所得到 0A提示：根据题意分析可得：如果从1号数起，离开 的图形周长是原来图形周长的专倍，所以A:的周长 的分别为13,1,3,6,10,5,2,4,9,11,12,7.最后留下 的是8号.因此，想要最后留下1号，即将“8”倒推7位， 是3×号=4 那么“1”也应该倒推7位，得到的数是“7” 团C提示：观察第2行数可知，第7个数为1+2+3十4 A的周长是3X音×专-3×（告）=5， +5十6十7=28.第1行的第7个数为28×2一1=55， A的周长是3×（特）广°×号=3×（告）广”-兽 28+55=83. 提示：设A的面积是S,由A,“生长”变成 ,取每行数的第7个数，这两个数的和是83 A,“生长”一个三角形的面积是上一级一个三角形面 ® 积的日，所以A的面积为S+3×号S=号S, 3[n(m十1)十4]或(m十n十4).提示：观察图形的排列 由A“生长”变成A,“生长”一个三角形的面积是上一 规律，可以发现每个图形四个角上各有一个小圆，不同 的是中间小圆个数有变化，第1个圆中间有2个小圆， 级一个三角形面积的号，所以A的面积为S十3× 可以看成1行2列，个数为1×2：第2个圆中间是2行 3列，个数为2×3：依次为3×4,4×5，…..第n个 由A“生长”变成A,“生长”一个三角形的面积是上一 图形共有[(n十1)+4幻个小圆.也可把中间小圆排成 的图形看成×n方阵，共n个小圆，再多出1列，共n 级一个三角形面积的号，所以A的面积为S十3× 个小圆，列式为十十4. 43775.提示：不妨设a>b,原式为a.由此可知，每组 例函(1)当n为257时，第1次“H运算”为3×257+13= 数的两个数代入代数式运算后的结果为两个数中较大 784:第2次“H运算”为784×0.5=49：第3次“H运 的一个，从整体考虑，只要将51,52,53，…，100这50个 算”为3×49+13=160：第4次“H运算”为160×0.5 数依次代人每一组中，便可得50个值的和的最大值. =5:第5次“H运算”为3×5+13=28：第6次“H运 固1008017.提示：设第i个拐角处的数为a:,则a1= 算”为28×0.5=7：第7次“H运算”为3×7+13 2,a=a-1+i,a+1=a5+(i+1).因为2007=2× 34:第8次“H运算”为34×0.5=17：第9次“H运算” 1003+1,故a2m=1+2×(1+2+3+…+1003)+ 为3×17+13=64：第10次“H运算”为64×0.5=1， 1004=10042+1=1008017. 第11次“H运算”为3×1十13=16：第12次“H运算”