第3讲 有理数的加减乘除运算-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第3讲 有理数的加减乘除运算 情境课堂 华罗庾(1910一1985)，世界著名数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典 型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者，国际 上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华一王方 法”等。 算一算 华罗庚说，只要踏进数学花园的大门，你们随时随地都会发现数学中有 华罗庚 许许多多有趣的东西.下面是他喜爱的“极简单的例子”， 我家有9个人，每人每天吃半两油，一个月（以30天算）共吃几斤几两油（注：当时使用的 是一斤十六两制)？请你先试一试。 方法-：列出算式0.5X9×30÷16,计算得8名即共吃油8斤7两. 方法二：动一动脑筋，很容易心算得每人每天半两，每人每月不是一斤差一两吗？九人每 月吃油就是九斤差九两，即八斤七两. 如果一个月按31天算，解法二就显得比解法一更好，既迅速又方便，华罗庚说：“比较一 下，就知道数学是怎样有趣、怎样活泼的一门科学了.” 典例剖析 类型1有理数的加减乘除混合运算，> 圆1计算：[（合-7）÷()-0.4×6]÷(1+)-1-5-41。 【学找切入点】四则混合运算的解题关键是正确运用运算法则及运算律。 变式1团计算：1)-12×[3×(-号)×(-号)+1]-×(-27)+}-20， (2)-24×(保6)-8÷(-)+3}×(-号)】 15》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 类型2 乘法分配律的运用， 例2阅读材料，回答下列问题 计算：（合子+》 方法-：原式-号+4()十员2×3×4+员×12-品 方法二：原式=（危最+品）动品×6=子 方法三：原式的倒数=（兮+）÷4（信+）×24 =3×24-×24+×24=4 所以原式=是 (1)上述得到的结果不同，你认为方法 是错误的， (2)请你选择合适的方法计算：（一）÷（信是+号一号》 【学找切入点】除法不满足分配律，应该先算括号里的，再算括号外的或者求其原式的倒数 变宝2计算：1(-一1012×(-0.125)×（←-号》×（意×(》 (2)1949× 8200)+58×(1949207-2007×(949十8)+2025. 变式22计算：(1)5.7×0.00036-(0.19×0.006-5700×0.000000164). (2177+277-10)=(13号+8品-538 《16 第3讲有理数的加减乘除运算 类型3有理数的凑整法、分组法及倒序相加法， 圆3请计算：+得+号)+（保+子+）十（传+号++）++（品+品+品+…十 5859 60T60/ 【学找切入点】观察每个括号内分数的特点. 方法一：原式=0.5+1+1.5+2++29.5，可将0.5+29.5,1+29，…配对计算. 方法二：原式=0.5十1+1.5十2+…十29.5=(0.5+1.5+…+29.5)十(1十2+…十29)，可 分成两组计算 方法三：设原式之和为，对每个括号内的各项倒序相加，则=号十（层+）十(？+异+) 十（售++号+号》十…+(3+恐+…+品+高）将原序与倒序相加得2易得 变式3计算：2+(+）+（合+名+）+…+(62+22++28》 3 类型4裂项相消中的类比> 例4贝贝为了计算1×2+2×3+3×4+…+99×100的值，作了如下探究： 1X2=号×1X2X3-0X1X2.2X3=3×(2X3×4-1X2X3, 3X4=号×(3×4X5一2X3×4),将这三个等式的两边相加。 得到1×2+2×3+3×4=3×3×4×5=20， (1)请帮贝贝计算1×2+2×3+3×4+…十99×100的值. (2)请直接写出S=11×12+12×13+13×14+·+49×50的值，S= (3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值， 1×2×3+2×3×4+3×4×5++20×21×22. 【学找切入点】(1)根据已知可得，1×2+2×3+3×4+4×5=号×4×5×6. (2)根据(1)中结论即可得出的规律是裂项相消后可简化计算 17》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式4-1 现察变形规体：21-2一号日文日子 回答下列问题。 (1)若n为正整数，请你猜想：m(m十 (2)证明你的猜想， (3求和：2+2X3+3十…+202322 1 （0求和：k3+文+7++2023X20西 1 变式42计算：1×2X3十2×3X4+3X4X5+…+98×99×100 变式43计算：1+中2+1中2+3十中2十3+4++1中2+3…+100 1 抑方法技巧 常用的裂项相消技巧 形如中的分式可拆成】的形式，这样拆项抵消是分式计算中的常用技巧，而更 1 一般的形式为： 1 1 1 (2) 11 n(n+1)(n+2) 2Ln(n十1)(n+1)(n+2) 类型5数字谜> 例5幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现于夏禹时代的《洛书》.《洛书》用今天的数学符 号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示 (1)①请你依据《洛书》把1,2,3,5,8填入图2剩余的方格中，使每横行、每竖列以及两条对 《18 第3讲有理数的加减乘除运算 角线上的数的和都是15： ②把一4，一3，一2，一1,0,1,2,3,4填入图3的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上 的数的和都相等。 (2)若把2x一4,2x一3,2x一2,2x一1.2x,2x十1,2x+2,2.x十3,2x十4填入如图3的方格中， 使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，则每行的和是 (用含x的式子表示). (3)根据上述填数经验，请把3,3,3,3,30,32,34,36,318填人如图4的方格中，使每横 行，每竖列以及两条对角线上的数的积都相等。 图1 图2 图3 图4 【学找切入点】运用整体思想解决问题. 三阶幻方有如下性质：(1)三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上三个数的和等于这九个数 的和的分 (2)三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的三个数的和是中心格中的数的3倍 [变式5如图显示的填数“魔方只填了-部分，将下列9个数：7，，1,2,48,16,32,64 填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，则x的值为 变式52如图，4个小三角形的顶点处共有6个圆圈，若在这些圆圈中分别填入6个质 数，它们的和是20，且每个小三角形三个顶点处的数之和相等，则这6个圆圈中所填的数的积是 15 14 {8 2 32 64 18 变式5-1图 变式5-2图 变式5-3图 变式53据说美国有一位铁路职工花了50余年的业余时间，研究得到了一个六角形幻 方，如图所示的每一个圆中分别填写了1,2，·，19中的一个数字（不同的圆中填写的数字各不相 同)，使得图中每一个横或斜方向的线段上几个圆内的数之和都相等，现已知该图中七个圆内的 数字，则图中的x= 19》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 类型6 用换元思想计算，> 圆6计算：(+号++2025)×(1+2+}+…+2024）-(1+号+号+…+202)× (侵+号+…叶22 【学找切入点】思路一：观察乘积形式，联想到乘法分配律：观察差的形式，联想到整体相 消：观察四个因式的相同点：第一个积的第一个因式和第二个积的第一个因式均含2十}十十 2第一个积的第二个因式和第二个积的第二个因式均含十号十叶22 1 思路二：运用整体设元法将一串有理数的和视为整体，用一个字母来代替，然后可以从代数 的角度去观察计算，起到化繁为简的作用. 变式6-1已知a1,a2,a,…,a225都是正有理数，M=(a1十a2十a3十…十a2o2t)(a2十a3十 a4十…十a22s),V=(a1十a2十ag十…十a2o5)(a2十as十a4十…十a224),则M,N的大小关系为 ( A.M>N B.M<N C.M=N D.无法确定 盈研讨乐园 例7计算：1+2+3+…十元. 思路一：就的奇偶性讨论，可利用高斯求和的对称思想计算. 当n为奇数时，首尾相加等于n十1，第2个数与倒数第2个数相加等于十1，…，共有 ”号组.中间一个数为”生，所以 1+2+3+…+n=1十m)+[2+(n-1)]++n 2 写e+) =(m+1D×”,+n1_n1.om-1D)+_nm1D. 2 2 2 2 2 当n为偶数时，首尾相加等于十1，第2个数与倒数第2个数相加等于n十1，共有号个(n十1). 故1+2+3++=号m+1)=nm少 2 思路二：设S=1十2十3十…十n, 又S=n十n-1+…+1, 两式相加得2S=(n十1)十(n十1)十十(n十1)-n(n十1)， W个(+1) S=n+1D,1+2+3+…+n=nm1 2 2 【研讨1】在1,2，·，2024前面任意添上正号和负号，求其非负代数和的最小值. 《20 第3讲有理数的加减乘除运算 【解】首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可， 整数的和差仍是整数，而最小非负整数是0.故可从奇数、偶数的性质入手.因为a十b与a一b的 奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与1+2+3++2023+2024=2024X()+2024)=1012× 2 2025的奇偶性相同，即为偶数， 又因为(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(2021一2022一2023+2024)=0，所以所求非 负代数和的最小值为0. 【研讨2】计算：(1)2+4+6+…+2n. (2)1+3+5++2m-1. (3)13+23+33+…十n2. 【解】(1)思路一：从特殊情形入手 2+4=6=2×3: 2+4+6=12=3×4: 2+4+6+8=20=4×5: 猜想：2十4十6十十2n=n(n十1). 思路二：原式=2×1+2+3+…十)=2×"D=n(m十1D. 2 思路三：构造图形求和，如图1. 故原式=n(n十1). ● OOJ oJ ● O 0 O 0 O O O ● oO ●●● 1 12 图3 (2)(3)在(1)的基础上，可以用不同的方法求出(2)(3)的和. 由图2得1+3+5+…+2n-1=2 由图3得13+23+33++n3=(1+2+3+…+n)2. 能力平台 绍优训练 建议用时：25分钟 2.(2023,华中师大一附中自主招生)若有理数 1.如果有4个不同的正整数，，p,q满足 工，y使得x十y,x一y,xy,这四个数中的 (7一m)(7-n)(7一p)(7-q)=4,那么m十 三个数相等，则y一x的值是( n十p十q等于(). A.10B.21 C.24 D.28 B.0 c 21》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 4911131517 且.计算：一2+8-12030256T7元 7.计算： (1)(第十六届“五羊杯”数学竞赛)211× 的结果为 (-455)+365×455-211×545+545×365. 4.如图中程序所示，输人一个整数便会按程序 (2)(第十六届“五羊杯”数学竞赛)37.9× 进行计算. 0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159. 输 x-5(x是奇数时 计算满1方次 a0器7 是偶数时) 计算不满1万次 将得数当作 设输人的x为18，那么根据程序，第1次计 算的结果是9，第2次计算的结果是4… 这样下去第5次计算的结果是 ,第 2021次计算的结果是 5.计算： 8.(第十五届江苏省初中数学竞赛)如图，在六 (1)[利用运算律](1+3+…+2025)-(2+ 边形的顶点处分别标上数字1,2,3,4,5,6， 4+…+2024). 能否使任意三个相邻顶点处的三数之和 (2)凑整法]89+899+8999+89999+899999. (1)大于9？ (3)[分解相消法]2024×20252025一2025 (2)大于10？ ×20242024. 若能，请在图中标出来：若不能，请说明理由。 0[恰当分类152+1号+3爱+2日+6号 +4+ 宽賽训练 建议用时：20分钟 6.黑板上写有1，号，号，0共10个数字. 每次操作先从黑板上的数中选取2个数a, b,然后删去a,b,并在黑板上写上数a十b十 ab,则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 (). A.2012B.101 C.100 D.99 《22培优竞赛超级课堂フ年级数学 1)十2(x-1)=一x-3,此时最大值为1， 2(1)当x=(123十1)÷2=62时，S的值最小，此时S= ②当-3<r<0时.3x+1-21x-1=3x+1+ 61+60+59+…+1+0+1+…+59+60+61=61× 62=3782. 2(x-1)=5x-1,此时最大值为-1， (2)S=12x-1+13x-21+15.x-4+|7x-61+19.z 综上所述，3x十1一2引x一1的最大值为1 日9：1.提示：c-d=(c-b)十(b-a)+(a-d),(*) -81=2x引+3x-引+5x+ ∴.le-d≤|c-b+|-a+la-d川=9，a=4,b=6, x引+9x8引 c=9,d=0可取等号，∴最大值为9.由()式可知， c一d必定是一个整数，且是一个奇数..c-d≥ 有2个23个号，5个号7个号.0个共有2+3+ 1,a=0,b=2,c=5,d=4可取等号. .最小值为1. 5+7+9=26个数，26÷2=13.当x取第13个数号时， 0建立圆环模型（如图所示），把六个 数排成一圈，与1相邻的数尽可能 S的值最小，此时s=2×号-1+3×号-2十 小，即2,3：与2,3相邻的数也尽可 能小，即4,5：最后6在4,5中间，也 5×号-4+7×号-6+9x号-8=2× 满足尽可能小 9-1+3×9-2+5×9-4+0-9×号+8=号× 因而取x1=1,x=2,x4=5,x=6,x=4,x=3, 则S=|x1一|+x-|+l一x4|+x一|十 (2+3+5-9)+8-1-2-4=号+1=9 |-+|x-x1=1+3+1+2+1+2=10. (3)A 提示：原式=是一+是一引中 所以S的最小值为10.（也可以取x1=1,=3,= 4,x4=6,5=5,6=2) 引-引+号-+-+引 田(1)8. 该式可以看成数轴上的某点到时·方宁，品 (2),x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴.x-3+12-3=4, 各个点的离乘以相应系数后所有积的和，又受十号士 ∴.x一3=3，解得x=6或x=0. (3)①1，提示：：和关于1的美好关联数”为1， 号+号-号+号故该点在分和时之间时，和最小 ∴.x-1+-1=1. 第3讲有理数的加减乘除运算 ∴.在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的 阳原式-[(-要)÷(-十)号×]÷号-9 距离之和为1， 十有最小值1. =(受×4-)×号-9 ②820.提示：x一21十x一2引=1,1十x2的最小 -婴×号-9=1 2 值为1+2=3： 例21)一 x一4十x一4=1，十x4的最小值为3十4=7： |x一61+x%一6=1，x+x%的最小值为5+6=11： (2)原式的倒数=（日一是+号-号）÷(-2》 |x一8+xm一8=1，十x的最小值为7+8=15： -(合-是+号-号)×(-42 =-7+9-28+12=-14. x0一40|+xm一40=1，xg十，xm的最小值为39+ 1 40=79: 所以原式=一 十2十0十…十x的最小值为3+7十11十15十…十 例3方法一原式=0.5十1十1.5十2+…+29.5 79=3+79)X20=820. =0.5+29.5)×59=885. 2 2 参考答案与提示 方法二原式=0.5十1+1.5十2十…十29.5 (3)如图4所示 =(0.5+1,5+…+29.5)+(1+2+…+29) -0.5+29.5)×30+1+29)X29=885. 的方法-原式=（号+号十+22）×1+（分 2 2 方法三设原式之和为，对每个括号内的各项倒序相 吉++2)×（侵+片+叶2）-（合+ 加，则=号+（号+3）+（经+号+）+（告 青+…+2)x1-(分+日+…+)×（合 +号+号）++（器+器++品+品）将原 吉+…+)=（号+号+…+2）-（合 序与倒序相加，则有2=1十2+3+…+59= 1+59)X59=30×59,故=15×59=885. 方法二 设a=号+号十22=+号+… 例4(1)1×2+2×3+3×4+4×5+…+99×100 1 =3×9×100X101 +2021 1 =333300. 则a一b=2025 (2s=号×1×12×13-10×11×12)+号×12× 原式=a(1+D)-(1+a)b=a-b-202 13X14-1X12×13)+…+号×(40×50× 方法三设+号++2=6,1++号+叶 51-48×49×50) =号×(40X50x51-10xX1X12, 2024=a,则a-6-1. =41210. 原式=(b叶2a)a-(a+2d2)b (3)原式=}×(1×2×3×4-0×1×2×3)+×(2 1- 1 =202sa-b)=202%5 ×3×4X5-1×2X3×4)++1×(20× 【变式题组】 21×22×23-19×20×21×22) 因(1)原式=一 ×(3×号+1)+婴+19 =}×(20×21×2×23-0 =-号×号+6是+19 =53130. 例5(1)如图1和图2所示 名+25是=28 (2)原式=-6+4+2+27+9×(-忌)】 =-6+4+2+27-号=25. 图1 图2 2图D原式=[(-10o)×(-号)×(-青)× (2)如图3所示. .每行的和为2.x-1+2x十4+2x一3=6.x (-7)]×(-0.125)=8m×(g)=8X 2-12x-42x-3 8×(g)=8x(8×g)=8 2r22x 2x+9 3 (②)原式=1949×（偏2）+器+8×(19 2?+32r-4 2x+ 图3 图4 20）+器-207×(+0)+号80-3+ 培优竞赛超级课堂 7年级数学 2025=1949×(3+1o207)+58×(ng+ 四原式=是×（☆2十2文十文 2d）-20o7×(19+2d0)+202- (最+139207)×1949+58-207)+202 =×(合-)=号×号器-品 0+2022=2022. 22(1)原式=5.7×0.00036-(1.9×3×0.0002-5.7 图原式=1+z最十最十+及0 ×0.000164) =1+2×(号-3)+2×（合-）++ =0.0018468. 2设13号+8号-5器-A 2x() 则177+27-11品-16别+26器-108。 -2品1器 ∴.原式=2A÷A=2. 5-18. 提示：这9个数的积为}×受×1X2X…X64 图设s=合+(+)+（合+8+）+…+ =64,每行，每列、每条对角线上三个数字之积为 64由此可得ac=1,ef=1,ar=2,.a,,e,f分别为 子，令24中的某一个数，对a进行讨论，只有当a= 则25=（分+）+（分+号+子+寸）+…十 }时x不是子？24中的某一个数， (2+…+号器+号器+…+z） r=8 =1+2+3+…+1012=1+)012×1012 32 2 =512578, 所以S=256289. 411)1-1 nn+ 52900.提示：a十b+t=e+b什c→a=g. 1=十1-n=十1n 1 (2)nm+D一nn+1n+i市n+T d+b+e=c+b+e→c=d. 1 b+c+e=f+c+e→b=f n十 a十+c+d+e+f=20,2(a+b+c)=20,a+b+c=10. 8原式=1-吉+号吉+…叶2a2应 a,b,c只能为质数2,3,5. =12号8股 6个圆圈中所填的数的积为2×2×3×3×5×5=900. 5319.提示：假设最右上角的空白处是a,则15+13+ ④)原式=是×(1-3)+号×(3一号)+号义 a=a十12+最右边的数字，得到最右边的数字是16，根 据最左边的两边共有一个数字以及和相等，得到左下 (号-）+…+×(2020) 方的数字是14+15-18=11，然后根据各边的数字和 =×(1-号+日-号+…+22) 相等且为28十a,将每个圆中的数字都用4表示出来， 如图所示，因为这些数字是1到19之间的数字，可以 =号×(1-2) 猜出a小于11，大于6.由于8已经有了：若为9,9-4 =5,5已经有了：若为7,12-7=5，亦不可，故a只能 =号×经8器-28器 是10.因此x=19. 参考答案与提示 (2)原式-90+900+9000十90000+900000一5 =999985. 12 (3)原式=2024×2025×10001-2025×2024×10001 2 76 =0. ()原式=6+1+3+2+6+0+（+是++ 58 6 号+片+》 6-]A提示：设a1十ag+ag十…+a2:=x,a2十aa十 =21+3=24. a4十…十ag=y,则M=x(y十ags),V=(x十ae)y, 6C提示：因为a十b+ab+1=(a十1)(b+1),所以每 ∴.M-N=x(y十azs)-(x十a2s)y 次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不 =(x-y)a2o2=ad:02>0. 变，设经过99次操作后黑板上剩下的数为x, ,.M>N 【能力平台】 则+1=+D(受+1)（号+1）小(0+1). 1D提示：(7-m)(7-n)(7-p)(7一g)=4=1×(-1)× 解得x+1=101,x=100. 2×(-2),故m+m+p十g=6+8+5+9=28. 7(1)原式=-211×455+365×455-211×545+545×365 日C提示：y0,则x+y≠红-，那么x+三 =(-211+365)×455+(-211+365)×545 =(-211+365)×(455+545) 数相等，或者工厂号三数相等，都有y-号，若 =154×1000=154000. x=0,则x+十y=0或x-y=0,得y=0,与题意不符： (2)原式=3.79×0.038+3.79×0.121+6.21×0.159 =3.79×(0.038+0.121)+6.21×0.159 若x≠0，由xy=工，得y=士1.当y=1时，x+y= y =3.79×0.159+6.21×0.159 xy,x一y=y均无解：当y=一1时，x=一2或x= =(3.79+6.21)×0.159 =10×0.159=1.59. 合所以-1z= 8)原式-8101080-是8=-3是 目日提示：原式=-号+（分+号）-（号+）计 8(1)能，如图所示. (+)(信+)+（合+）-（分+g)十 (g+号)=-+号+3-号-++号-青 3 -有+合+片-月-名+日+g- 6 4一4：一4.提示：输入18，依次得到结果9,4,2,1， (2)不能.设所填的6个数依次为a,b,c,d,e,f,它们任 一4，-2，一1，-6，一3，-8，-4，-2，一1…显然从第 意相邻三个数的和大于10，即a+b+c≥11，b+c十d≥ 5次的结果一4开始，每6次一循环，而(2021一4)÷6 11,c+d+e>11,d+e+f≥11，e+f+a>11,f+a+ =336余1，故第2021次计算的结果是一4. b≥11，相加，得3(a+b+c+d+e+fD≥66.故a+b+ 5(1)原式=1+(3-2)+(5-4)+…+(2025-2024) c+d+e+f≥22，而1+2+3+4+5+6=21，所以不 =1+1012=1013. 能使每三个相邻的数之和都大于10.