第1讲 有理数与数轴的数形结合-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第1讲 有理数与数轴的数形结合 情境课堂 笛卡尔(1596一1650)，法国数学家.笛卡尔在数学上的最大贡献是提出 了解析几何学的主要思想和方法，并指明了其发展方向.他在《几何学》中， 将逻辑、几何、代数等方法结合起来，勾勒出解析几何的轮廓，从此，数和形 就走到了一起 数形结合初体验 想体验一下数形结合吗？以下问题是笛卡尔与欧拉都研究过的，你想 笛卡尔 试一试吗？ 下面的四个图形都称作平面图形，观察图2和表中的对应数值，探究其中的规律并作答. (1)数一数每个图形各有多少个顶，点、多少条边，这些边围成了多少个区域，并将结果填入 下表 图序 1 2 3 顶点数 边数 图I 图2 图3 图4 区域数 (2)根据表中的数值，写出平面图形的顶点数、边数与区域数之间的关系 典例剖析 类型1具有相反意义的量的表示> 例1①(2024，浙江杭州下城区模拟考试)把下列各数分别填入相应的集合：十26,0，一8，π， -4.8,-17,号0.6，一名230.10101001-（每两个1之间依次多-个0. (1)自然数集：〈 (2)正有理数集：{ (3)负有理数集：{ (4)非负数集：《 (5)整数集：{ (6)分数集：{ 【学找切入点】整数和分数统称为有理数，有理数分为正有理数、零、负有理数 2.3可化为分数.π，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，它 们不能写成分数的形式. 1》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式1-1(2024，武汉中学月考)某股民上星期五买进某公司股票1000股，每股14元.下 表为本周内每日该股票的涨跌情况表.（单位：元） 星期 每股涨跌/元 一 十4 二 +4.5 三 -1 四 -2.5 五 -6 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)已知该股民买进股票时付了1.5%的手续费，卖出时还需付成交额1.5%的手续费和1% 的交易税.他若在星期五收盘前一刻将股票全部卖出，计算他的盈亏情况 类型2数轴上的点与有理数 例2如图，将数轴上一6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为1， a2,as,a4,a5,则下列结论正确的是( A.a>0 ,日，sa: -6 6 B.a1与a:分布在原点的两侧，且到原点的距离相等 C.a1,43,a4表示的数为-4,0,2 D.a4十a5=8 【学找切入点】本题考查了数轴、两点间的距离.求出a,2,aa,a4,a表示的数是解题的关键 变式2①如图，在数轴上标出了若干个点，相邻两点间相距一个单位长度，数轴上还标出 了四个点：A,B,C,D,它们对应的数分别为a,b,c,d,且d一2a=10.那么数轴的原点是(). A B C A.点A B.点B C.点C D.点D 《2 第1讲有理数与数轴的数形结合 变式2-2(2024，重庆育才中学月考)如图，数轴上相邻刻度间的线段表示一个单位长度， 点A,B,C,D对应的数分别是a,b,c,d,且2a十b十d=0,那么数轴的原点应是(). A B C D A.点A B.点B C.点C D.点D 章归纳总结外人 数轴上两点的距离表示 1.数轴上任意两点间的距离等于较大数对应点的坐标减去较小数对应点的坐标，如图1所 示，AB=b-a. 2.数轴上互为相反数的点在原点两侧，且到原点的距离相等，如图2所示 (1)a=一b或a十b=0. (2)OA=OB. 图1 图2 类型3利用数轴比较有理数的大小>， 例3已知m,n在数轴上的位置如图所示.试比较一m,一1，m,n,m一，n一m的大小，并用 “>”连接 【学找切入点】方法一：用特殊值法，即通过代入特殊值来比较大小 方法二：先根据数轴的意义及有理数加法、相反数的意义，画出数轴上对应的点，再由数轴上 右边的数大于左边的数来比较大小. 变式3-1(2023，江苏省首届数学文化节基础闯关题)已知a,b为有理数，且a>0,b<0, a十b<0,将四个数a,b,一a,一b按由小到大的顺序排列是 类型4与数轴有关的分类讨论 例4已知数轴上有A,B两点，点A与点B之间的距离为1，点A与原点O之间的距离为3， 那么点B对应的数是 【学找切入点】此题可先确定点A的位置，再确定点B的位置，需充分考虑A,B两点之间 的多种位置关系. 变式4-1点A,B分别是数一3，一2在数轴上对应的点，将线段AB沿数轴向右移动到 AB',且线段A'B'的中点对应的数是3，则点A'对应的数是 一·点A移动的距离是 3》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式4-2数轴上有A,B两点，如果点A对应的数是一2，且A,B两点的距离为4，那么点 B对应的数是 线段AB的中点对应的数是 类型5与数轴有关的探索问题~ 例5阅读材料，回答下列问题. (1)如图所示，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合.若 将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上对应的数为20（单 位：c):若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上对应的 数为5（单位：cm).由此可得木棒长为 cm. C -20 5AB20 (2)在(1)的条件下，已知点C表示的数为一2.若木棒在移动过程中，当木棒的左端与点C相 距3cm时，求木棒的右端与点A的距离， (3)请根据(1)中的“木棒模型”解决下列问题 一天，美羊羊去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若 是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁，哈哈！”美羊羊纳闷，爷爷到底多少岁？请你画出示 意图，求出爷爷和美羊羊现在的年龄，并说明解题思路. 【学找切入点】(1)观察数轴求解： (2)分两种情况根据两点间的距离公式求解： (3)在求爷爷的年龄时，要借助数轴，先画出“木棒模型”示意图，进而可求爷爷的年龄. 变式5-1李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题.如图，在数轴上截取从 原点到1的对应点的线段AB,对折后（点A与点B重合），固定左端向右均匀地拉成1个单位长 度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段AB上的}，子均变成2：号变 成1：等等).那么在线段AB上，经过第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和. y 0 2 -224681012 《4 第1讲 有理数与数轴的数形结合 研讨乐园'上 例6讨论下列问题： 【研讨1】为什么把整数和分数统称为“有理数”？ 曾经有一个初一学生问数学老师：“老师，您在课上讲，有理数是整数和分数的总称，‘有理' 是有道理的意思，我不明白，整数和分数这两种数有什么道理呢？”老师回答：“这是数学上的规 定，没有为什么.” 面对学生的追问和求知的欲望，我们应该追本湖源，而不是敷衍搪塞 实际上，“有理数”是翻译上的一个失误 有理数在英语中是“rational number”,而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者 在翻译西方科学著作时，参考了日本的翻译方法，把“rational number'”翻译成了“有理数"” 而rational这个词的词根ratio源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意义就是整数的“比” 分数本身就是两个整数之比，而整数可以写成这个数与1的比的形式 所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数， 【研讨2】 分数器可写成2+ -的形式，其中(x,y,)等于( 3+ A.(11,2,5) B.(1,5,2) C.(5,2,11) D.(1,2,5) E.(13,11,12) 此题可把分数得写成连分数的形式，逆推分析。 器-2+是-2+ 1 =2+ 1 =2 =2十 13 11 1 1十11 2 5十2 与给定的分数比较得(xy,)=(1,5,2). 故选B. 像上面这样的表达式称为“连分数”.任何一个有理数都能表示为有限简单连分数，任何一个 有限简单连分数都可化为一个有理数 【研讨3】整数与分数统称为有理数，那么下面两例中的小数是不是有理数？ (1)0.75. (2)0.3. 对于(1)，因为0.75= 隔-是而是有理数，故Q75是有理数：对于(2②，无限循环小数能 化成分数吗？ 方法-：倒过来看，号=0.33…=0.3，则0.3为有理数. 方法=：0.3=，则10×0.3=10z,故3+0.333=10z,即3+z=10x,解得x-子 由此得无限循环小数也是有理数， 5》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 【研讨4】若自然数n使得十(n十1)十（十2）作竖式加法时均不产生进位现象，则称n为 “可连数”.例如32是可连数，因为32+33十34不产生进位现象：23不是可连数，因为23+24十 25产生了进位现象.那么小于200的可连数有多少个？ 当可连数为一位数时，n十(n十1)十(n十2)≤9，解得n≤2，由于n为自然数，所以=0或 n=1或n=2,即一位数的可连数有3个 当可连数为两位数时，设它的个位数字为a,十位数字为b,则a十(a十1)十(a十2)≤9，解得 a≤2.由于十位数字相加时不产生进位现象，所以十位上的数字b必须满足b十b十b≤9，解得 b≤3.从而两位数的可连数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个 当可连数为三位数时，由于我们只求小于200的可连数，所以它的百位数字为1，设它的个位 数字为a,则a十(a十1)十(a十2)≤9，解得a≤2.由于个位数字相加时不产生进位现象，所以十位 上的数字b必须满足b十b+b≤9，解得b≤3.从而三位数的可连数有100,101,102,110,111， 112,120,121,122,130,131,132,共12个 综上所述，小于200的可连数的个数为3+9十12=24个. 研讨4取材于我们熟悉的自然数加法运算，定义了新概念可连数，解题的关键是深刻理解阅 读材料中要求的“均不产生进位现象”的含义，并能灵活运用数学思想方法（如分类讨论法）： 能力平台' 培优训练 建议用时：30分钟 构思奇妙，给观众留下深刻的印象.若A,B 1.(2023,杭州中考)已知数轴上的点A,B分 站台分别位于一号，号处AP=2PB,则P站 别表示数a,b,其中一1<a<0,0<b<1.若 台用类似电影的方法可称为“ a×b=c,数c在数轴上用点C表示，则点A, 站台” B,C在数轴上的位置可能是( 7 B Q AB C AC B -10123 0 9i01 4.对数轴上的点P进行如下操作：先把点P A B B C C.4 B 表示的数乘以，再把所得数对应的点向右 -10 -1 0 C D 平移1个单位长度，得到点P的对应点P' 2.数a,b,c,d所对应的点A,B,C,D在数轴上 点A,B在数轴上，对线段AB上的每个点分 的位置如图所示，那么a十c与b十d的大小 别进行上述操作后得到线段AB',其中，点 关系是( A,B的对应点分别为A',B.如图，若点A表 示的数是一3，则点A'表示的数是 A D O C B" 若点B表示的数是2，则点B表示的数是 A.a+c<b+d B.a+c=b+d ;已知线段AB上的点E经过上述 C.a+c>b+d D.不确定 操作后得到的对应点E与点E重合，则点E 3.电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿越墙 表示的数是 进人“9是站台”的镜头（如示意图的Q站台）， A -432-101立4 《6 第1讲 有理数与数轴的数形结合 5.已知等边△ABC(三条边都相等的三角形) 图1 在数轴上的位置如图所示. B -4210134方 4 图2 (1)将△ABC从如图所示的位置沿数轴向 左滚动一圈（滚动一圈指线段AC再次 落在数轴上)，则点A表示的数是 (2)将△ABC从如图所示的位置沿数轴向 右滚动，则数2021表示的点与点 宽赛训练 建议用时：15分钟 重合： 7.如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD (3)将△ABC从如图所示的位置沿数轴滚 =DE=EF,则与点C所表示的数最接近的 动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动 整数是( ). 的圈数记为负数，其运动情况依次记录 A B C D E F -5 11 如下：2，-1，十3，-4，-2 A.-1 B.0 C.1 D.2 ①第 次滚动后，点A离原点最远： 8.在数轴上，若点N与原点的距离是点N与 ②当△ABC结束滚动时，点C表示的数 30所对应点之间的距离的4倍，则点V表 是 示的数是 6.【新知理解】如图1，点C在线段AB上，若 9.如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点 BC=πAC,则称点C是线段AB的圆周率 之间的距离是1个单位长度，有理数a,b,c, 点，线段AC,BC互为圆周率伴侣线段， d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴 (1)若AC=3,则AB= 上的位置如图所示.如果3a=4b一3，那么 (2)若点D也是图1中线段AB的圆周率点 c+2d= (不同于点C),则AC (填“=” d 或“≠”)BD 10.电子跳蚤落在数轴上的点k。处.第一步由 【解决问题】如图2，现有一个直径为1个单 k。向左跳一个单位长度到k:,第二步由k 向右跳两个单位长度到k2,第三步由k向 位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表 左跳三个单位长度到k,第四步由k向右 示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动 跳四个单位长度到k,…,按以上规律跳 地滚动1周，该点到达点C的位置」 了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k1o (3)若点M,N是线段OC的圆周率点，求 处，它所表示的数恰是19.94.试求电子跳 MN的长， 蚤的初始位置点k所表示的数 (4)在图2中，若点D在射线OC上，且线段 CD与以点O,C,D中某两个点为端点的 线段互.为圆周率伴侣线段，请直接写出 点D所表示的数 7》第1讲有理数与数轴的数形结合 0,木棒的右端点与点A的距离为10一0=10， 例1(1)+26,0. C 5 20 (2)+26,2号0.6,2.3 ,∴木棒的右端点与点A的距离为4或10. 8)-8-48-17,-景 (3)如图所示. （400,+26,号0.6x2.30.10101001-(每两个 点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示爷爷现在的年 1之间依次多一个0). 龄，木棒MN的两端分别落在点A,B上. (5)+26,0.-8,-17. 由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数 (6)-48,号0.6，-号23 为一40：当点M移动到点B时，点N所对应的数为 116.可求得MN=52. 例2C提示：一6与6两点间的线段的长度为2，六等 所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64. 分后每个等分的线段的长度为12÷6=2.故a1,a,a, 答：爷爷现在的年龄是64岁. a4,a表示的数分别为-4，一2.0,2,4. 【变式题组】 例3方法一（特殊值法）】 11(1)星期三的价格是14+4+4.5-1=21.5（元/股）. 由数轴上m与n的位置关系，可令m=一2，n=1, (2)星期一每股14+4=18（元）： 则一m=一（-2)=2，-1=一1，m一n=一2-1=一3， 星期二每股18十4.5=22.5（元）： n-m=1一(-2)=1十2=3. 星期三每股21.5（元）： 又.3>2>1>-1>-2>-3， 星期四每股21.5-2.5=19（元）： ,.n一m>一m>n>一nm>一. 星期五每股19一6=13（元）. 方法二（数轴法） 则本周最高价是每股22.5元，最低价是每股13元. 分析题目所求，在数轴上分别画出一m,一，m一n= (3)买进时的手续费是1000×14×1.5%=21（元）， m十（一），n一n=一(m一)所对应的点，如图所示. 卖出时的费用是1000×13×(1.5%+1%)=32.5（元）， m-n m -n 0 n-m n-m 则本次买卖的过程中亏损的数额是1000×(14一13)十 由图可知，n一m>一m>n>一n>m>m一i, 21+32.5=1053.5(元). 例42或4或一2或一4.提示：由点A到原点O的距离 2-B2-2B3b<-a<a<-b. 为3，故点A表示的数为3或一3.因为点A,B之间的 距离为1，所以当点A表示的数为3时，点B表示的数 4-22或-6：0或-4 是2或4：当点A表示的数为一3时，点B表示的数是 5-1 一2或一4，故点B对应的数是2或4或-2或一4 例5(1)5.提示：观察数轴可知，三根木棒的长是20 著cu)授号8 5=15.则此木棒长为15÷3=5. (2)由题意可知，点A所表示的数是5+5=10. 。吉高 ,木棒的左端点与点C相距3m,点C表示的数为一2， 拉长石 a)授 当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的 0 之 数为一2十3=1，右端点表示的数为1+5=6，木棒的右 端点与点A的距离为10一6=4， 黄6好 是 6 10 当左端点在点C左侧3©m时，此时木棒左端点表示的 盖 格务副 提 数为一2一3=一5，木棒的右端点表示的数为一5十5= 培优竞赛超级课堂フ年级数学 故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应 m=-2024-1=-2025.故原式-=2023或-一2025. 的数字之和是+子=1 例2由题意知，a>0>>b. 【能力平台】 lal=lcl,a+b<0.c-a<0.c-b>0,a+c=0, 日B2A日1号或6. 日03：2 原式=a十a十b十a-c十c-b十0=3a. 固(1)由题可得，等边三角形向左滚动一周，三角形的顶 例的1)当x≥2时，原式-2x一1： 点向左移动3个单位，所以等边三角形向左滚动一周 后，点A对应的数为0一3=一3，故答案为-3. 当x<2时，原式=-(2x-1D=1-2x (2)因为2021÷3=673…2， (2)当1时，原式=一(x-1)-(x一3)=4-2x: 所以在滚动过程中，C点经过数轴上的数2021，故答 当1≤x<3时，原式=(x一1)-(x-3)=2: 案为C 当x≥3时，原式=(x-1)+(x-3)=2x-4 (3)①因为5次滚动后，点A依次对应的数为 例AA提示：因为a+b十c=0,所以a,b,c中至少有一 0+3×2=6:6-3×1=3:3+3×3=12:12-3×4=0: 个为正数，有一个为负数，所以有两种情况 0一3×2=-6， ①当a>0,b>0,c<0时. 所以第3次滚动后，A点距离原点最远： ②由①可得，当三角形结束运动时，点A所表示的数 原式-++十=1+1-11=0 是-6. ②当a>0,b<0,c<0时， 所以点C表示的数是一7. 6(1)3x十3.提示：因为AC=3,BC=元AC,所以BC= 原式-吕+分+片十鉴-1-1-1+1=0 3π，所以AB=AC+BC=3π+3. 例5：有理数4，b满足引ab一2十(1一b)=0,则可知 (2)=,提示：因为点D,C都是线段AB的圆周率点 ab-2=0,1一=0，则a=2,b=1. 且不重合，所以BC=元AC,AD=BD设AC=x,BD=y, ∴原式=2☆十3k2+k3十…+2027202 1 则BC=元r,AD=,因为AB=AC+BC=AD+BD, 所以x十πx=y十πy,故x=y,即AC=BD. =1-+-++227 1 (3)点C表示的数是+1，由于点M,V均为线段OC 12026 的圆周率点，不妨设点M离点O近，且OM=x,x十 =1-202720271 元x=元十1，解得x=1,MN=十1-1-1=x-1. 例6方法一当x≤-1时.原式=3一x-x一1=2一2x, (4)点D所表示的数是1，，x十上十2，x+2x十1 因为x≤-1，所以2-2.x≥>4： 7C840或24.9-2. 当-1<x<3时，原式=3一x十x十1=4： 回设k点表示的有理数为x,则k,k2,…,km点所表示 当x≥3时，原式=x3+x+1=2x-2. 的有理数分别为x一1，x一1+2，x一1+2一3，…，x 因为x≥3，所以2x一2≥4. 1+2-3+4-…-99+100. 综上所述，x-3+x+1≥4， 由题意得x-1+2-3+4--99+100=19.94, 因此x一3引十x十1有最小值为4。 解得x=一30.06. 方法二如图，x一3引十|x十1所表示的意义为数轴 第2讲话说相反数与绝对值 上表示数x的点到表示数3和一1的点的距离的和. 例12023或-2025.提示：：ab=1,m十n=0,|k| 2024.∴.k=2024或一2024.当k=2024时.k一b+ -2-101284 由图形可知，当一1≤x≤3时，这个距离之和最小，最 m+"-2024-1+0=2023.当k=-2024时.k-ab+ k 小值为3十1=4.