精品解析： 云南省昆明市五华区云南大学附属中学呈贡中学2024-2025学年九年级上学期数学 10月阶段性作业

云大附中呈贡中学初三年级数学10月阶段性作业 一、单选题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在中， 其中有理数的个数有（　　） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 每到四月杨絮如雪花般漫天飞舞，据测定，杨絮纤维的直径约为，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 6. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示；今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（ ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 2.1 1.8 2 1.9 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某商品经过两次降价，零售价降为原来的，若两次降价的百分率均为x，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 将多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于（　　） A. cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 11. 如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（ ） A. B. C. D. 25 12. 如图，在一竖直墙面上斜靠着一梯子，C为梯子的中点．在梯子下滑过程中，的长度（ ） A. 先变长后变短 B. 变短 C. 不变 D. 变长 13. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 14. 探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（ ） A. B. C. D. 15. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面半径的比是( ) A. 2∶1 B. 2π∶1 C. ∶1 D. ∶1 二、填空题（本大题共四小题，每小题2分，共8分） 16. 二次根式有意义的条件是____． 17. 已知点，，若点、关于轴对称，则的值为______． 18. 如图，已知DEBC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠AEB的度数为_____． 19. 青岛马拉松活动组委会计划制作运动衫发给参与者，为此，调查了部分参与者,以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量.根据得到的调查数据,绘制成如图所示的扇形统计图，若本次活动共有名参与者,则估计其中选择黄色运动衫的参与者有 _____ 名。 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，且，，，求证：． 22. 小王准备用60元钱采购某种商品，看到甲商店该商品的每件单价比乙商店便宜2元，因此这些钱在甲商店购买这种商品比乙商店多买5件，问：甲商店这种商品的单价是多少？可以买多少件？ 23. 不透明的布袋中有标有数字4，，，5的四个小球，除数字外其余全部相同，现将从袋中随机地摸取一个，球上的数字记为，不放回，再随机地摸取一个，球上数字记为． （1）请你用列表法或树状图法写出所有可能的结果； （2）求所选出的，能使坐标点落在第四象限的概率． 24. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 25. 某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数．这种商品每周的销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？ 26. 如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． （1）如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 27. 抛物线过，两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式及D点坐标； （2）在直线下方的抛物线上存在点P，使的面积最大，求出最大面积； （3）当时，函数的最小值为5，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云大附中呈贡中学初三年级数学10月阶段性作业 一、单选题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在中， 其中有理数的个数有（　　） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数的概念逐项分析判断即可求解． 【详解】解：在中，是有理数，共有5个，不是有理数， 故选C 【点睛】本题考查了有理数的概念，掌握有理数的概念是解题的关键，整数与分数统称为有理数． 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形：把一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C. 选项中的图案是中心对称图形，故此选项符合题意； D. 选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 每到四月杨絮如雪花般漫天飞舞，据测定，杨絮纤维的直径约为，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．将写成（，n为正整数）的形式即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：解：A选项，，故A选项不符合题意； B选项，，故B选项不符合题意； C选项，不能合并，故C选项不符合题意； D选项，，故D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查同类项的定义，合并同类项的计算法则．多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，系数相加，字母及字母的指数不变，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 5. 已知正多边形的中心角是30度，则这个正多边形的边数是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．根据正多边形的中心角的计算公式计算即可，中心角等于（n为边数）． 【详解】解：由题意得，这个正多边形的边数是， 故选：A． 6. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示；今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（ ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 2.1 1.8 2 1.9 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，先比较平均数得到甲品种和乙品种产量较好，然后比较方差得到乙品种的状态稳定，据此求解即可． 【详解】解：因为甲品种、乙品种的平均数比丙品种、丁品种大，而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量比较稳定，所以乙组的产量既高又稳定， 故选：B． 7. 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果． 【详解】点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 8. 某商品经过两次降价，零售价降为原来的，若两次降价的百分率均为x，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设原价为1，关系式为：原价×（1﹣降低的百分率）＝现售价，把相关数值代入即可． 【详解】解：设原价为1，则现售价为， 可得方程为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）＝后来的量，增长用+，减少用﹣．熟记公式是关键． 9. 将多项式因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：； 故选D 【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，熟记完全平方公式分解因式是解本题的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于（　　） A. cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半得出AE＝2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED＝CE，即可得出CE的值． 【详解】∵ED⊥AB，∠A＝30°，∴AE＝2ED． ∵AE＝6cm，∴ED＝3cm． ∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，∴ED＝CE，∴CE＝3cm． 故选C． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED＝CE． 11. 如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（ ） A. B. C. D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理可得：AC=． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 12. 如图，在一竖直墙面上斜靠着一梯子，C为梯子的中点．在梯子下滑过程中，的长度（ ） A. 先变长后变短 B. 变短 C. 不变 D. 变长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果． 【详解】解：，为的中点， 是的中线， ， 梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变， 的长度也不变， 故选：C 13. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图象，过点作轴，轴，根据全等三角形的性质可以分析出点坐标． 【详解】解：将点绕原点逆时针旋转得到点，如下图所示， 过点作轴，轴， 则，， 有题意可知， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转性质的应用，绕原点旋转90°的点的坐标特征，根据旋转性质画出图象是解决本题的关键． 14. 探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据系数与字母的指数规律即可求解． 【详解】解：观察系数可以发现后一项是前一项的倍，观察字母的指数可以发现为依次加1， 因此第8个单项式的系数为，字母部分为， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的规律题，解题关键是发现变化规律． 15. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面半径的比是( ) A. 2∶1 B. 2π∶1 C. ∶1 D. ∶1 【答案】A 【解析】 【分析】利用弧长等于底面圆周长,列式即可解题. 【详解】解：∵扇形的弧长等于底面圆的周长,设底面圆的半径=r,母线长R, ∴l==2,即R=2r, ∴圆锥的母线与底面半径的比2∶1, 故选A. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图,扇形的弧长,属于简单题,通过弧长公式计算弧长是解题关键. 二、填空题（本大题共四小题，每小题2分，共8分） 16. 二次根式有意义的条件是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于 的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 17. 已知点，，若点、关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对称轴的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中，点关于轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可． 【详解】∵点、关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知DEBC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠AEB的度数为_____． 【答案】35°##35度 【解析】 【分析】由平行线的性质得∠ABC＝∠1＝70°，再由角平分线的定义得∠CBE＝35°，再次利用平行线的性质得∠AEB＝35°． 【详解】解：∵DEBC，∠1＝70°， ∴∠ABC＝∠1＝70°，∠CBE＝∠AEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE∠ABC＝35°， ∴∠AEB＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行内错角相等． 19. 青岛马拉松活动组委会计划制作运动衫发给参与者，为此，调查了部分参与者,以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量.根据得到的调查数据,绘制成如图所示的扇形统计图，若本次活动共有名参与者,则估计其中选择黄色运动衫的参与者有 _____ 名。 【答案】6000 【解析】 【分析】根据扇形统计图的信息，求出选择黄色运动衫的百分比，再乘以40000，即可求解. 【详解】1-25％-27％-33％=15％， 40000×15％=6000（名）， 故答案是：6000 【点睛】本题主要考查扇形统计图的特点，根据扇形统计图，求出选择黄色运动衫的百分比，是解题的关键. 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的云，零指数幂，负整数指数幂，先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，且，，，求证：． 【答案】 证明： ， 即， 在和中， ， (SSS) ． 【解析】 【分析】先证明，采用SSS的全等三角形的判定方法可证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了SSS的全等三角形的判定，掌握SSS的全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 22. 小王准备用60元钱采购某种商品，看到甲商店该商品的每件单价比乙商店便宜2元，因此这些钱在甲商店购买这种商品比乙商店多买5件，问：甲商店这种商品的单价是多少？可以买多少件？ 【答案】甲商店这种商品的单价是4元，可以买15件 【解析】 【分析】设甲商店这种商品的单价为元，则乙商店这种商品的单价为元，由题意：用60元钱在甲商店购买这种商品比乙商店多买5件，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲商店这种商品的单价为元，则乙商店这种商品的单价为元， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲商店这种商品的单价是4元，可以买15件． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 23. 不透明的布袋中有标有数字4，，，5的四个小球，除数字外其余全部相同，现将从袋中随机地摸取一个，球上的数字记为，不放回，再随机地摸取一个，球上数字记为． （1）请你用列表法或树状图法写出所有可能的结果； （2）求所选出的，能使坐标点落在第四象限的概率． 【答案】（1） 列表如下： 4 5 4 5 由图表知，共有12种等可能的结果数； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意列表得出所有等可能的结果数； （2）从表格中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：共有12种等可能的结果数，其中点落在第四象限的有，共4种情况， 则所选出的，能使坐标点落在第四象限的概率是． 24. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 25. 某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数．这种商品每周的销售利润为元． （1）求与的函数关系式； （2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？ 【答案】（1） （2）200 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，明确题意，根据数量关系列出函数关系式及根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据销售量、售价与销售利润之间的数量关系列出函数关系式即可求解； （2）根据销售利润为2000元为等量关系列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，可得 ； 【小问2详解】 若这种商品每周的销售利润为2000元，即， 则有， 解得，， 由，解得． ∴，当时，． 答：该商品每周的销售量是200件． 26. 如图．一个锐角等于的菱形，将一个的的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个的，使它的两边分别交、于点E，F． （1）如图1，当时，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）旋转，如图2，当时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）， 理由：四边形是菱形， ， 在和中， （）， . （2） 解：仍然成立，理由如下： 如图，连接， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形，是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定方法是解题关键. （1）根据菱形性质，可得，结合已知，可证，可得； （2）连接，由菱形的性质可得，，可证是等边三角形，是等边三角形，可得，，证明，可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 抛物线过，两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式及D点坐标； （2）在直线下方的抛物线上存在点P，使的面积最大，求出最大面积； （3）当时，函数的最小值为5，求t的值． 【答案】（1）， （2）的面积为 （3）或时，函数的最小值为5 【解析】 【分析】（1）利用交点式直接写出解析式，根据C，D两点关于二次函数的对称轴对称写出D点坐标即可； （2）过P作轴，交直线于点F，根据，将面积转化为二次函数求最值即可； （3）根据二次函数的性质，将x的取值范围分为在对称轴的同侧和两侧进行分类讨论求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得：； ，对称轴为：， 点C，D关于抛物线的对称轴对称， ； 【小问2详解】 解：如图，过P作轴，交直线于点F，连接，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ， 设，则， 当时，的面积最大：； 【小问3详解】 解：， 当时，函数值最小：； 时，函数的最小值为5， 在对称轴的同侧． 当时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数值最小：，解得：或（舍）； 当，即时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 当时，函数值最小：，解得：或（舍）； 综上，或时，函数的最小值为5； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $