2025届湖南省天壹名校联盟高三10月联考数学试题

机密★启用前 2025届高三10月联考 数 学 本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A-xlnx-0,B=m,m}.若BCA,则m A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知a,R,则“ab”是“e“e”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知a十bi(a,bER)是关于x的方程x*+2x十c=0(cER)的一个根,则a= A.-2 B.2 C.-1 D.1 4.设8是锐角,cos(0+)-cos(e-)tano,则tan= 2十1 2-1 B./2 A./2十1 C2一1 D. 。 [-十ax,x0. 5.已知函数/f(x)一 在R上单调递增,则a的取值范围是 e-ax,x二0 B.[0.1] A.1,oo) C.[-1,1] D.(-,1] 6.已知点A(-1,1),B(1,-1),C(3,3),动点P满足|PA+|PBl}+|PC^}-70,则PA·PB的最 大值为 A.3/2 B.4/2-1 C.30 D.31 【高三数学试题 第1页(共4页)】 7.存在函数f(x)满足:对任意xER都有 A.f(el*l)-x3 B.f(x|xl)-x+1 C.f(x*+2x)-lxl D.f(cos2x)-cosx , 9 =1的左、右顶点,P为双曲线上一点,且若tan APB一 △PAB的面积为 A.12/2 B.15/2 C.24/2 D.30/2 二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分 9.已知函数f(x)一x一ax,则 A.VaR,f(x)为奇函数 B.当a0时,f(x)单调递增 C.3aR,使得/(x)恰有一个极值点 D.当a>0时,f(x)存在三个零点 10.已知正项等比数列a。的前n项积为T。,且n,”,是互不相等的正整数,则 A.若m十n-2p,则aa.-a{} B.若aa.-a^{,则m十n-2 C.若T。-T,则T=1 D.若T。-1,则T.-T. 11.如图,正方体ABCD一A.B.C.D 中,E为梭BB 的中点,P为平面ABCD上的动点,设直线 A.P与底面ABCD所成的角为a,直线EP与底面ABCD所成的角为,平面PA.D.与底面 ABCD的夹角为v,平面PCD.与底面ABCD的夹角为0,则 A.若a一B,则点P在圆上 B.若v-0,则点P在双曲线上 C.若。一9,则点P在抛物线上 r D.若③-9,则点P在直线上 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设向量a=(1,2),b-(2,3),则(a十b)b,则= 7 14.已知函数f(x)三cos^{}x·sin2x在[a,]上单调递减,则6一a的最大值为 【高三数学试题 第2页(共4页)】 四、解答题;本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且b{}十c*}-5a^②}。 (2)若AB·AC-8,求△ABC的面积的最大值. --1的左、右顶点,P为第一象限C上一点,且PO一 PA。,过点P的直线/与C有唯一的公共点P (1)求/的方程; (2)过原点O作直线/的平行线与圆C交于M,N两点,证明 P,M,A.,N四点共圆,并求该圆的标准方程 17.(15分)如图,四梭锥P一ABCD的底面ABCD为正方形,E,F分别为PA,PC的中点,且平面 PBD1平面BEF. (1)证明:PA-PC; (2)若PB一/2PD,当四梭锥P一ABCD的体积最大时,求平面PAB 与平面BEF的夹角的余弦值 【高三数学试题 第3页(共4页)】 18.(17分)若数列c)共有m(mEN,m3)项,Vi(iEN*,i<m)都有lnc+lnc.=R,其中R 为常数,则称数列c。是一个项数为的“对数等和数列”,其中R称为“对数等和常数”,已知数 列a。)是一个项数为n的对数等和数列,对数等和常数为R (1)若n-9,a=1,a-4,求a。的值 a- (2)定义数列满足:b一 ,i-1,2,3,....m. (i)证明:数列。是一个项数为n的对数等和数列; 19.(17分)已知函数f(x)一alogx(a>0,且a关1) (1)当。一e时,证明:f(x)为增函数 (2)若/(x)存在两个极值点x1,x。. (i)求的取值范围 (ii)设f(x)的极大值为M,求M的取值范围 【高三数学试题 第4页(共4页)】2025届高三10月联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.【答案】A 1m2=1 【解析】因为A={一1,1}，B二A,所以 ,即得m=一1. m=-1 2.【答案】D 【解析】当a=-2,b=1时，a2>b2,但是e<e,故a2>bpe">e 当a=1,b=-2时，e>e,但是a2<b2,故e“>ePa2>b 故“a2>b2”是“e>e”的既不充分也不必要条件. 3.【答案C 【解析】由已知可得一2=a十bi十a一bi,解得a=一1. 4.【答案】C cos(0+) √2 4 2co0② ing 1-tane 【解析】依题意有tan0>0,且tan0= cos(0-) 2cos04 1+tand' 2 sing 故tan0+2tan0-1=0,结合tan0>0,解得tan0=√2-1. 5.【答案】B 【解析】因为f(.x)在R上单调递增，所以当x<0,y=一x2十ax单调递增，所以a≥0， 当x≥0时，f'(x)=e'一a≥0，由f(x)单调递增可知a≤1， 且当x=0,0≤f(0)=1,所以a的取值范围是[0,1].故选：B. 6.【答案】C 【解析】设P(x,y),则PA2+PB+PC=(x+1)2+(y-1)2+(x-1)2+(y+1)2+(.x-3)2+(y-3)2= 3(x2+y2-2x-2y)+22=70,故P(x,y)的轨迹方程为(x一1)+(y-1)”=18. PA·P店-|P01-1OA12=|P01-2,而|P0|≤32+2=42，故PA·PB≤30，选C. 7.【答案】B 【解析】对于A,令x=士1，则f()=士1，有2个函数值对应，故A错误： 对于C,取x=0,可知f(x2+2.x)=f(0)=0,再取x=一2，可知f(x”十2x)=f(0)=2,故C错误： 对于D,取x-票0)=士号放D错误： 【高三数学试题参考答案第1项（共6页）】 对于B选项，令1=xx|,对于每一个1，都有唯一的x与之对应，也即有唯一的x十1与之对应，因此符合函数 定义，故B正确. 8.【答案】A 【解析】不妨设P在第一象限，设PA,PB的倾斜角分别为a,R,则1an(g-a)=an∠APB= 2 放，ang一tana y吊1 1十tana tan3 之，注意到1 ane tan明= xp-3V2xp十32ci-182 因此ag-aw-号1+iman3)-32 ,解得taa之，ta3一√②， 放yr 2 yp P+3V2 4'x-32 =√2，代入解得：x=5N2,yp=4 故△PAB的面积为S=AB1·n=12反. 9.【答案】ABD 【解析】对于A选项，f(一x)=一f(x),正确： 对于B选项，f'(x)=3.x一a>0,f(.x)单调递增，正确； 对于C选项，f'(x)=0恰有一个解，则a=0,但此时f(x)无极值点，故C错误： 对于D选项，f(x)=x(x十√a)(x-√a),存在三个零点0，√a,一√a,故D正确. 10.【答案】ACD 【解析】对于A,B选项，根据通项公式，amaw=a1g"-'a1g”-1=aig"+"-2=a=ag-2, 故A正确：若g=1,则amam=a恒成立，故B错误： 对于C,D,由Tm=T.,不妨设m<n,则am+1am+2an=1,则am+1aw=1. 而T+n=(a1am+m)(a2amr+w-1)(a3am+w-g)…(am+na1)=1,可知Tmtn=1, 反之也成立，故C,D均正确. 11.【答案】AC 【解析】对于A选项，如图1，连接PA,PB,由a=3,可知∠APA,=∠BPE,故PA=2PB,以A点为原点，AB 为x轴，AD为y轴建系，B(b,0),设P(x,y),则x2+y2=4(x一b)2十4y2,即3x2+3y一8bx十4b=0,故P 点的轨迹为圆，A正确： RT 对于B选项，如图2，作PTLAD于T,TR⊥A:D于R,则1anY=P7,同理作PM⊥CD于M,MN⊥CD, MN 于N,则1am0=PN,由Y=0可知.PT=PM,故P为∠ADC的平分线，点P的轨迹为直线，B错误： 【高三数学试题参考答案第2项（共6页）】 AA, MN 对于C选项，如图3，tana=PA,tan9=PM,由a=0可知，PM=PA,根据抛物线的定义可知点P的轨迹为 抛物线，C正确： 对于D选项，由C选项可知PM=2PB,显然不是直线，D错误. D D B 3 图1 图2 图3 图4 12【答案】号 【解折】a+b=a+2,2a+3),由(2a+b)·b=0,得2以+2)+3(2以+3)=0，解得元=-13 1 13.【答案】[4，十0∞) 【解析】r++“≥x+2, 4a2 x ry 停=x+≥40，故4a≥8，甲u≥ 14【答案】 【解析】考虑f(x)的周期为π，不妨设x∈[0，π]， f'(x)=2 cos'.r cos2.r-2sin.r cosr.sin2x=2 cos?.r (cos2.r-2 sin'x )=2 cos'x (2cos2x-1) 令fu)0.即o2r<解得x∈[放6-a 2π 15.【解析】(1)因为W2sinB-√5sinC,所以W2b=√3c, 2分 又b2十c2=5a2,所以b=5a,c=2a,…4分 从而cosA b2+c2-a25a2-a2V6 23a·2a3… 6分 2bc (2)由余弦定理可知b2十c2-2bcc0sA=a2,则bccosA=2a2,… …7分 又AB.AC-bccosA=8,故a=2,… 8分 即b2+c2=20,故2b≤20，即bc≤10，… 10分 从而Sw=esinA=2BC-版coA=2c-6<3, …12分 当b=c=/0时取等号，即△ABC的面积的最大值为3.……13分 16.解析11)法-：由PA:=P0可得P(1,2)设直线1：y=k(x一1)+ 3 2· ……1分 【高三数学试题参考答案第3页（共6页）】 联立椭圆方程3x2+4=12得3x+4(kx-k+号)=12， 即(3十4k2)x2-(8k-12)x十(2k-3)2-12=0.………3分 由△=(8k-12)2-4(3+4k2)[(2k-3)2-12]=0,解得k= 2 ………………6分 因此直线1的方程为：y=一2x十2.…………… …7分 法二x+4w2=12.则y=22-37y-号： -3x,令x=1,则y= 2√/12-3x …5分 故直线1的方程为：y=一 吃汉十2， 1 (2)依题意，直线MN的方程为y=一2，联立椭圆3x2+4y=12可得x=3,即x=土3， 即M-5,）N5,-）P1.2）A(-2.0.…9分 设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,代人A,P,M可得： +D+E+F=0 D= 4 8 4-2D+F=0 ,解得{ E一4 13分 5D+停E+F-0 15 F=15 4 15 此时圆方程为x十+gx十4y一名 =0,因为点N也在此圆上，所以P,M,A1,V四点共圆， 其标准方程+)广+(+)-器 ……15分 17.【解析】证明：(1)设AC∩BD=O,OP∩EF=Q,过点D作DH⊥BQ于H, 由面PBD⊥面BEF,且面PBD∩面BEF=BQ,故DH⊥面BEF, 即D日LEF……2分 因为E,F分别为PA,PC的中点，因此EF∥AC,因此DH⊥AC.…4分 由底面ABCD为正方形可知AC⊥BD,因此AC⊥面PBD…5分 由POC面PBD,故AC⊥PO, 因为O为AC的中点，因此PA=PC;…6分 (2)不妨设AB=2,以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,1,0), C(-1,0,0),D(0,-1,0),…7分 【高三数学试题参考答案第4页（共6页）】 由(1)可知，点P在yOx平面内，设P(0,ya,x),由PB2=2PD2, 即(y。-1)2+x8=2(ym+1)2+2x8,即(y0+3)2+x=8, 当P一ABCD的体积最大时，。=2√2，… …10分 此时P(0,-3,22).则E(分-)F(-2-2w2): 则FE=1.00.BE=(分-号2)A店=(-11.0 m·AB=0 -a十b=0 设面PAB的法向量为m=(4,b,c),则 ,即 m·BE=0 2u一2b+2c=0 令a=1,0则m=(1,1,√2).… 12分 n·FE=0 x=0 设面BEF的法向量为n=(x,y,x),则 ,即 1 n·BE=o 2r 2y+2&=0 令之=5，则n=(0,22,5),…14分 m·n 72 7√66 则cos<m,n>=m·n4·√3 66· 即平面PAB与平面BEF的夹角的余弦值为66· 7√66 …15分 18.【解析】(1)依题意R=lna5十lna5=lnl6,又R=lna1十lna,……2分 所以ln☑g=R=lnl6,即ag=16.…4分 200依题意6=-则ba因此bb…6分 从而lnb,十lnbm+1-,=0,即数列{b.}是一个项数为m的对数等和数列. …7分 依题意6=6g1024=1024（付）。 即()=（）”，即m=11… …10分 则b,=1024g-1=4-,… 11分 又R=0,故lna:十lnam+1=0,即a,am+i-=1, 此时6，。出=即a手4地=2，…m ………………13分 注意到i×2-=(i一1)2-5一（行-2）2-i,…… …15分 所以2a:=2i×2-=2[(-1D25-(-2)2-]=10X2-(-1)×25= 20481 32· …17分 【高三数学试题参考答案第5页（共6页）】 19.【解析1)依题意fx)=e'lnz.f'(x)=e(nx+）) 1分 设p(x)=lmc+,则p'(x)=1-】=二 2分 当0<x<1时，p(x)单凋递减，当x>1时，p(x)单调递增， 故p(x)≥p(1)=1>0,即f'(x)>0,f(x)单调递增. 4分 (2)0设a=e≠0.则fx)=er1nr ……5分 设gx)=xlx,则g'(x)=1+ir,即g(x)在(0，)上单减，在（后+o∞）上单增 ，…6分 当1<0时，令ge)=-,由g)=0,且gx)在1.十o)上单调递增。 做g(.x)=一仅有一个零点x,不符合题意； ……7分 当>0时g)[。+ ①当t≤e时，则一 ≤-此时gx≥-f≥0. f(x)单凋递增，不符合题意；………… …8分 ②当1>e时.则-<-}<0，此时g(x)=-存在两个零点，<： e 当xe0,时g)>-)>0:当xe,)时gx)K-f)0: 当xE(十∞)时，g)>-(x)>0,f)存在两个极值点，符合题意。 综上可知，以∈(e,十0∞).……………………10分 （由可知M=f.且∈(0，启)满足n=-子 故M=f(x)=elnx1=-x1(lnx1)产e，… 12分 设r=-nx∈(1，十oo),则M=-er2=-e2+,…。 …14分 设6r)=2r-r+2则r)=是-1=，1 <0 ………16分 r 故h(r)单调递减，且h(1)=0,则h(r)∈（一∞，0）， 即M=-e2r-+7∈(-1,0).… …17分 【高三数学试题参考答案第6项（共6页）】2025届高三10月联考 离座香酒肩的溶夏可内作香，烟速规利女想原定区城的断有汽吸 速在务西目的香丽国调内滑征，用国雨达座■夏国的签理无丽 数学答题卡 15(本小题再分1挂分) 6(本小赠清分5分 性名 贴条形码区 号号 考生持消暖专形生打面无域品5和民为传湘想笔维除海的触无样足 1青世编，香生然多诗是量韩门已外时名，准里证号销可查规消位营，传准条 编 a 制同上的尊专证号，维名4车人1门定家d到组试利白制情月，作通 备风填速 注 西结鞋在线山的位直 律工整，第得销地 项飞等1和在物写务日有城有单时地内种型一每自节速头线功用行写省物 单L地：有单销里，位弹座消登L效 话择题《请用2妇们笔演常1 1[A】.Ls]IG1LO】 5[AJ[】IG][0] [A][8]Ic][D] 2[A][B](a1 [o] nIAI [B][CI [D) 10A][B1 [C][D] [A)[e](cl [D] 7[A][N][C]ID] 11【A1tn】{c)[D] 4rA7【8jG1.[D1 8 [AJ [B][CI ID] 非薄保题{清使用0.5毫米的黑色字凌苔字笔书写1 2(5分 3(3分) 45分) 请言养温目的灌■区适内作满，罐比短船型星室置域的害章光签 满存养调目的活整量域内作苦，题生维射心趋度害植域的需素光量 结存务盖目的常相组维再含善，组出壶相储座■址的落率生雪 三数单第1互（共2红） 请否务帽纳看题区健内作青，明出规装的国限定国速时香票发殊 速在各视门的备理调内作害，用出延利达相国无营时的答罩无营 速在务而月的等程过墙内作活，量进影制选框回无宽国的签家后 17.(本小则请分15分1 1风.（本思满分7分 收木小题清分7分) 害存名有目的常粗温道大作，植出型制成想健家温域的需率光置 速存务端目的常都组域内作活，雄出架触出规量审区过的苦率士量 体三数单第2面〔共2万