精品解析：2024年重庆市第八中学树人中学校自主招生提前录入数学思维与运算

思维与运算（Z） 一、填空题１（本大题共12空，每空2分，共24分） 1. ，余数是______． 2. 的积不到，里最大填_____． 3. 三条直线相交，最多可以组成_______个直角． 4. 一个正方形，如果边长增加3厘米，面积就增加39平方厘米，原来正方形面积是_____平方厘米． 5. 一只怪物，它眼睛的数量是鼻子的3倍，耳朵的数量是嘴巴的3倍，胳膊的数量是腿的3倍．眼睛、鼻子、耳朵、嘴巴、胳膊和腿的总数是个，那么眼睛、耳朵和胳膊的总数是______个． 6. 、8、再配上一个数就可以组成比例，这个数最小是______． 7. 某次书法比赛，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校．”如果他的说法是正确的，那么最多有_____个学校参加了这次比赛． 8. 某校男老师平均年龄是27岁，女老师的平均年龄是32岁，全体老师的平均年龄是30岁．如果男老师比女老师少12名，那么该校有_____名女老师． 9. 不成倍数的两个自然数和．它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，那么_____． 10. 规定运算“☆”为：若，则；若，则；若，则．那么，_______． 11. 若一个分数的分子减少，并且分母增加，则新分数比原来的分数减少了_______%． 12. 下列说法正确是______（不定项） A．两个连续自然数相乘，积一定是偶数 B．两个分数的大小相等，它们的分数单位也相等 C．求长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高 D．一个几何体如果从正面和上面看到都是，那么从左面看到的也一定就是 二、填空题2（本大题共5空，每空3分，共15分） 13. 甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为__________ 14. 如图，在长方形中，，，，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则______． 15. 有三个最简真分数，其分子的比为，分母的比为．将这三个分数相加，再经过约分后为．那么三个分数的分母相加的和是______． 16. 在一个水池中有两根直立的木棍，木棍的一端紧贴着池底，另一端都露在水面上．两个木棍露出水面部分的长度之比是．如果现在水池中的水面向上涨厘米，这时两根木棍露出水面的部分的长度之比是．那么原来这两根木棍露出水面部分的长度和是_____厘米． 17. 近日，一古董店收到两台还能走的古老时钟，一台时钟每天快15分钟，另一台每天慢24分钟，师傅将两台时钟同时调到标准时间，则至少需要______天才能同时显示出标准时间． 三、计算题（每小题3分，共30分） 18. 计算： 19. 计算：． 20 计算： 21. 计算： 22. 计算：． 23. 计算： 24. 解方程： 25. ﹣ =1.2． 26. 解方程： 27. 解方程： 四、解决问题（本大题共5小题，第32题7分，其余每题6分，共31分） 28. 如图，甲和乙两个圆柱体容器，底面积之比是．在甲容器中有一个体积是30立方里米的铁球，此时两容器中水面高度相差1厘米；若把铁球从甲容器移到乙容器中，两容器水面的高度仍然相差1厘米，则甲容器的底面积是多少平方厘米？ 29. 在如图所示的竖式中，不同的符号代表不同的数字，请找出每一个符号对应的数字，并把这个竖式写出来． 30. 甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地，丙从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟遇到甲，A，B两地之间相距多少千米？ 31. 容器中有某种酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降为；再加入一杯纯酒精后酒精含量升为．那么原来容器中酒精溶液的酒精含量是多少？ 32. 对于正整数．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作，例如2018，因为，，所以．大家注意，根据以上算法，，，，有趣的是也等于7．这是偶然的巧合还是必然的规律？ （1）根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广． （2）请证明你的猜想． （3）请举出以上结论的一个应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 思维与运算（Z） 一、填空题１（本大题共12空，每空2分，共24分） 1. ，余数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了数的整除.根据除法的意义计算，得到余数即可. 【详解】解：…6， 故答案为：6 2. 的积不到，里最大填_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了有理数的除法．逆向考虑是解题的关键． 由题意知，，则，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴里最大填4， 故答案为：4． 3. 三条直线相交，最多可以组成_______个直角． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直线相交后角的个数问题，垂直定义．解题的关键是熟练掌握直角的定义．根据两条直线相交最多可以出现4个直角，得出三条直线相交，每两条直线都互相垂直时，最多出现的直角个数即可． 【详解】解：两条直线相交且互相垂直时，最多可以出现4个直角，先让两条直线互相垂直得到4个直角，在空间内，再让第三条直线与前面的两条直线都互相垂直，这样又可以得到个直角， ∴三条直线相交，最多可以组成个直角． 故答案为：12． 4. 一个正方形，如果边长增加3厘米，面积就增加39平方厘米，原来正方形的面积是_____平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原来正方形的边长为厘米，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设原来正方形的边长为厘米， 由题意得，， 解得， ∴原来正方形的面积为平方厘米， 故答案为：． 5. 一只怪物，它眼睛的数量是鼻子的3倍，耳朵的数量是嘴巴的3倍，胳膊的数量是腿的3倍．眼睛、鼻子、耳朵、嘴巴、胳膊和腿的总数是个，那么眼睛、耳朵和胳膊的总数是______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算．明确各个数量的倍数关系是解题的关键． 个总数是由4个鼻子的数，4个嘴巴的数，4个腿的数组成，可求1个鼻子、1个嘴巴、1个腿的数的和，然后根据眼睛、耳朵和胳膊的总数是1个鼻子、1个嘴巴、1个腿的数的和的3倍求解作答即可． 【详解】解：（个）， ∴眼睛、耳朵和胳膊的总数是个， 故答案为：． 6. 、8、再配上一个数就可以组成比例，这个数最小是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质应用．根据可知用和作为这个比例的两个外项，得到的另一个内项最小，据此列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴用和作为这个比例的两个外项，得到的另一个内项最小， 另一个内项是， 即这个数最小是， 故答案为： 7. 某次书法比赛，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校．”如果他的说法是正确的，那么最多有_____个学校参加了这次比赛． 【答案】124 【解析】 【分析】本题主要考查了抽屉原理，最坏的情况是只有10个同学来自同一个学校，而其他学校都只有9名同学参加，据此用1123除以9所得的商即为答案． 【详解】解：， ∴最多有124个学校参加了这次比赛， 故答案为：124． 8. 某校男老师平均年龄是27岁，女老师的平均年龄是32岁，全体老师的平均年龄是30岁．如果男老师比女老师少12名，那么该校有_____名女老师． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系是解答关键． 设该校有女老师名，则男老师有名，根据男老师的总共年龄＋女老师的总共年龄＝全体老师的总年龄，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校有女老师名，则男老师有名， 根据题意得 即该校有女老师36名． 故答案为：36． 9. 不成倍数的两个自然数和．它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了最小公倍数和最大公因数，设，不妨设，根据题意可得m、n都是整数，且m、n互质，则，进而可得，再由可得或，据此求出a、b的值，再求和即可． 【详解】解：设，不妨设， ∵不成倍数的两个自然数和．它们的最大公因数是18， ∴m、n都是整数，且m、n互质， ∵和的最小公倍数是216， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴（舍去）或， ∴， 故答案为：． 10. 规定运算“☆”为：若，则；若，则；若，则．那么，_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义分别计算出的结果，再求和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若一个分数的分子减少，并且分母增加，则新分数比原来的分数减少了_______%． 【答案】35.7 【解析】 【分析】本题主要考查了百分数的实际应用． 设原来的分数为，根据分子和分线的变化计算求解． 【详解】解：设原来分数为， ． 故答案为：35.7． 12. 下列说法正确是______（不定项） A．两个连续自然数相乘，积一定是偶数 B．两个分数的大小相等，它们的分数单位也相等 C．求长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高 D．一个几何体如果从正面和上面看到的都是，那么从左面看到的也一定就是 【答案】AC 【解析】 【分析】两个连续的自然中，必然有一个奇数，一个偶数，而奇数和偶数的乘积一定是偶数，据此可判断A；，但是分数单位为，的分数单位为，据此可判断B；根据长方体，正方体体积计算公式可判断C；根据解析中的举例即可判定D． 【详解】解：A、两个连续的自然中，必然有一个奇数，一个偶数，故两个连续自然数相乘，积一定是偶数，原说法正确； B、两个分数的大小相等，它们的分数单位不一定相等，例如，但是分数单位为，的分数单位为，原说法错误； C、求长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高，原说法正确； D、如图所示，从上面看到的图形，数字表示每个位置的小立方体个数，那么从正面和上面看到的都是，但是从左面看到的图形不是，原说法错误； 故答案为：AC． 【点睛】本题主要考查了分数单位的认识，奇数与偶数，从不同的方向看几何体，长方体和正方体的体积计算，熟知相关知识是解题的关键． 二、填空题2（本大题共5空，每空3分，共15分） 13. 甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为__________ 【答案】60(千米/小时) 【解析】 【分析】本题利用的行程问题中的两个关系式为：路程相遇时间=速度和，追及路程追及时间=速度差． 两船相向而行，2小时相遇，根据路程÷相遇时间=速度和可知两船速度和为：(千米/时)；两船同向行，14小时甲赶上乙，根据追及路程追及时间=速度差可知甲乙速度差为：(千米/时)，由和差问题可得甲：(千米/时)． 【详解】解：甲的速度为： (千米/小时)． 答：甲的速度为每小时60千米． 故答案为：60(千米/小时)． 14. 如图，在长方形中，，，，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了长方形和三角形的面积．根据题意求出长方形的面积，根据涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积得到三角形的面积和长方形面积相等，即可求出的长，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 长方形的面积为：， ∵涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积， ∴三角形面积等于长方形的面积， 三角形的高为：， 的长为：， 即， 故答案为： 15. 有三个最简真分数，其分子的比为，分母的比为．将这三个分数相加，再经过约分后为．那么三个分数的分母相加的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分数的混合运算的应用．设这三个最简真分数分别为，，，其中互质，三个分数相加，再经过约分后为．据此列式，解得，则，据此即可求出三个分数的分母相加的和． 【详解】解：设这三个最简真分数分别为，，，其中互质， ∴， 则， ∴， ∴， 即三个分数的分母相加的和是， 故答案为： 16. 在一个水池中有两根直立的木棍，木棍的一端紧贴着池底，另一端都露在水面上．两个木棍露出水面部分的长度之比是．如果现在水池中的水面向上涨厘米，这时两根木棍露出水面的部分的长度之比是．那么原来这两根木棍露出水面部分的长度和是_____厘米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质的应用．设原来这两根木棍露出水面部分的长度分别为厘米，厘米，水池中的水面向上涨厘米，这时两根木棍露出水面的部分的长度之比是．据此列比例式，求解即可． 【详解】解：设原来这两根木棍露出水面部分的长度分别为厘米，厘米， 则， 解得，， （厘米） 即原来这两根木棍露出水面部分的长度和是厘米． 故答案为： 17. 近日，一古董店收到两台还能走的古老时钟，一台时钟每天快15分钟，另一台每天慢24分钟，师傅将两台时钟同时调到标准时间，则至少需要______天才能同时显示出标准时间． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了最小公倍数、乘除混合运算的应用．根据钟表特征，每隔12小时，时针与分针的位置重复出现即调到标准时间，据此列式计算出快钟每经过48天显示一次标准时间，慢钟每经过30天显示一次标准时间，再求出48和30的最小公倍数是即可得到答案． 【详解】解： （天） 即快钟每经过48天显示一次标准时间， （天） 即慢钟每经过30天显示一次标准时间， ∵48和30的最小公倍数是， ∴师傅将两台时钟同时调到标准时间，至少经过天才能同时显示出标准时间． 故答案为： 三、计算题（每小题3分，共30分） 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分数和小数的四则混合运算．先计算括号里加法和减法，再计算除法和乘法即可． 【详解】解： 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．将分数进行拆解是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解： ． 20. 计算： 【答案】11106 【解析】 【分析】本题主要考查了规律数算式运算．探究排布规律，是解决问题的关键． 设原式为S，把式子头尾颠倒与原式相加，得到，提公因数9，化为，得到，即可得到答案（方法不唯一）． 【详解】设， 则， ∴ ． ∴． ∴（方法不唯一）． 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，把原式转化为即可求解，根据除式的特点进行转化是解题的关键 【详解】解：原式 ， ， ， ． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加、减、乘、除法运算，根据运算顺序及运算法则即可求解，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 23. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．先将小数转化成分数，带分数转化成假分数，再计算乘除、去掉括号，然后计算加减得出结果即可． 【详解】解； ． 24. 解方程： 【答案】x= 【解析】 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤进行求解即可． 【详解】2（x+3）=12-3（3-2x） 2x+6=12-9+6x 2x-6x=3-6 -4x=-3 x= 25. ﹣ =1.2． 【答案】6.4 【解析】 【详解】试题分析:先将分母化成整数后,再去分母,去括号,移项,系数为1的步骤解方程即可; 试题解析: -= 50x-50-30x-60=18 20 x=128 x=6.4 26. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把方程两边同时取倒数得到，进而得到，再把方程两边继续取倒数得到，则，进一步把方程两边取倒数得到，据此解方程即可． 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 27. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解方程，及分数的四则混合运算，先将方程左边各个繁分式化简，再按照有理数混合运算的运算顺序的逆过程进行解方程即可．选择正确的运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 经检验：是原方程的解． 四、解决问题（本大题共5小题，第32题7分，其余每题6分，共31分） 28. 如图，甲和乙两个圆柱体容器，底面积之比是．在甲容器中有一个体积是30立方里米的铁球，此时两容器中水面高度相差1厘米；若把铁球从甲容器移到乙容器中，两容器水面的高度仍然相差1厘米，则甲容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】25平方厘米 【解析】 【分析】此题考查了圆柱体体积公式的应用．设甲容器的底面积是平方厘米，则乙容器的底面积是平方厘米，根据高度差列方程，解方程即可． 【详解】解：设甲容器的底面积是平方厘米，则乙容器的底面积是平方厘米，铁球在甲容器时，乙容器中的水面高度是h厘米，则甲容器的水面高度为厘米，则 ， 解得， 则平方厘米， 答：甲容器的底面积是25平方厘米． 29. 在如图所示的竖式中，不同的符号代表不同的数字，请找出每一个符号对应的数字，并把这个竖式写出来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查除法竖式的推导，根据除数和商的个位上的数字相同，并且积是两位数，可得只能是4，5，6，7，8，9这6个数字中的一个，逐项验证可得答案． 【详解】解：由除数和商的个位上的数字相同，并且积是两位数，可得只能是4，5，6，7，8，9，且满足， 当时，根据可得，，此时商为14，除数是4，被除数为，与被除数是三位数矛盾，不合题意； 当时，根据可得，，与“不同的符号代表不同的数字”矛盾，不合题意； 当时，根据可得，，与“不同符号代表不同的数字”矛盾，不合题意； 当时，根据可得，，此时商为47，除数是7，被除数为，与被除数中十位、个位数字相同矛盾，不合题意； 当时，根据可得，，此时商为68，除数是8，被除数为，符合题意； 当时，根据可得，，此时商为89，除数是9，被除数为，与被除数中十位、个位数字相同矛盾，不合题意； 综上可知，，，， 故这个竖式为： 30. 甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙两人从A地，丙从B地同时相向出发，丙遇到乙后2分钟遇到甲，A，B两地之间相距多少千米？ 【答案】A，B两地之间相距3120米 【解析】 【分析】本题是行程问题中的相遇问题，关键是求出丙遇乙后2分钟再遇甲可求得乙丙相遇时的乙甲间的距离． 乙丙相遇时，乙甲间的距离为米，则乙丙从出发到相遇的时间为： 分，即可求得A，B两地之间的距离． 【详解】解： （分） （米） 答：A，B两地之间相距3120米． 31. 容器中有某种酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降为；再加入一杯纯酒精后酒精含量升为．那么原来容器中酒精溶液的酒精含量是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了百分数的应用．设的酒精溶液为，先求出酒精溶液中有水，再求出的酒精溶液有，得到加入了酒精，即可求出原来容器中酒精溶液的酒精含量． 【详解】解：设的酒精溶液为，则 ， 即酒精溶液中有水， ， 即的酒精溶液有， ， 即加入了酒精， ， 答：原来容器中酒精溶液的酒精含量是． 32. 对于正整数．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作，例如2018，因为，，所以．大家注意，根据以上算法，，，，有趣的是也等于7．这是偶然的巧合还是必然的规律？ （1）根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广． （2）请证明你的猜想． （3）请举出以上结论的一个应用． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义： （1）根据题意可猜想若，则，即，其中m、n为自然数，更一般的猜想为； （2）以四位数为例，设一个四位数，则，即，进一步得到对于任意的正整数k，表示的就是k除以9之后的余数，则，，据此可证明结论； （3）可以验证两个或多个较大的数相乘，其结果是否正确，具体见解析． 【小问1详解】 解：猜想：若，则，即，其中m、n为自然数，更一般的猜想为； 【小问2详解】 证明：以四位数为例，设一个四位数， ∴， ∴， ∴， 同理，当数字数位增多时，上述结论仍然成立， ∴对于任意的正整数k，表示的就是k除以9之后的余数， ∴，， ∴， 同理可证明； 【小问3详解】 解：（1）（2）的结论可以验证两个或多个较大的数相乘，其结果是否正确： 例如：需要验证是否正确， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴原式计算不正确． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$