精品解析：湖北省黄冈市浠水县2024-2025学年九年级上学期10月学业水平质量抽测数学试题

2024年浠水县九年级语数英物学业水平质量抽测 数学试卷 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题（共7小题，每小题4分，共28分） 1. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查的是分式值为零的条件以及分式有意义的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键． 2. 如图，在中，平分，平分，若，，则的周长是（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，得出，同理可证，再由的长求出的长，据此根据平行四边形周长计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ， 同理可证． ， ， 解得， ， ∴的周长， 故选：D． 3. 若，，的值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方计算及其逆运算，由完全平方公式得到，则可推出，即x、y其中有一个数为0，不妨设，则，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴x、y其中有一个数为0， 不妨设，则， ∴， 故选：C． 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 5. 如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的面积公式，勾股定理逆定理．根据题意结合圆的面积公式求出三角形三边长，再结合勾股定理逆定理证明该三角形为直角三角形是解题关键．由题意可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为．再根据圆的面积公式可求出，，，根据勾股定理逆定理可判断这个三角形为直角三角形，再计算其面积即可． 【详解】解：∵以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分， ∴可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为． ∵以为半径的圆的面积为， ∴， ∴， ∴以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴以另外三个圆的半径为边的三角形为直角三角形，且直角边为和， ∴这个三角形的面积为． 故选C． 6. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 7. 如图，在平面直角坐标系中，等腰、等腰、等腰…的腰、、…依次在直线上，且它们的腰长依次为1、2、3…（逐次增加1），那么的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形变化—平移，先证明都是等腰直角三角，得到，，进而得到，，同理可得，，，，……，进而得到规律的坐标为 ，由于可以看作是向右平移个单位得到的，则的横坐标为，纵坐标为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于C，过点作于D， ∵、都是等腰三角形， ∴都是等腰直角三角， ∴，， ∴，， 同理可得，， ，， ……， 以此类推可得，的坐标为 ， ∵可以看作是向右平移个单位得到的， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为， 故选：C． 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 8. 直线y=2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式2x+b≥0的解集为________． 【答案】x≥ 【解析】 【详解】试题解析：∵直线y=2x+b经过点（3，5）， ∴5=2×3+b， 解得：b=﹣1， ∴不等式2x+b≥0变为不等式2x﹣1≥0， 解得：x≥， 故答案为x≥． 9. 长为2的一根绳子，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边的取值范围是______． 【答案】一个三角形的最长边 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系的应用，解一元一次不等式，围成的两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可得出结论． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴围成的两个全等三角形的周长也相同， ∴这两个全等三角形的周长都为1， 设其中一个三角形的三边长分别为，且c为最长边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴一个三角形的最长边， 故答案为：一个三角形的最长边． 10. 如果，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故答案：． 11. 如图，中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先连接，由折叠的性质，即可得，，可得，然后由四边形是平行四边形，求得，在中利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接， 将沿所在直线翻折到同一平面内，若点的落点记为， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了折叠的性质，平行四边形的性质以及勾股定理的应用等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解． 12. 已知，计算：＝_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．由，得，进而得，于是化简二次根式即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在中，，，D内一点，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，过点B作，交延长线于H，先证明，再证明，得到，则，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作，交延长线于H， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂的乘方计算法则得到，，则，再由积的乘方的逆运算法则和同底数幂乘法计算法则得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，积的乘方的逆运算，正确推出是解题的关键． 15. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，勾股定理，坐标与图形变化—轴对称，设，则，求出直线解析式为，则可求出，利用勾股定理得到，利用偶次方的非负性推出，则或（舍去），据此可得答案． 【详解】解：设， ∵点关于轴的对称点是点， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∵轴， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共52分） 16. 阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． （1）填空：______，______； （2）化简： ①， ②； （3）计算：． 【答案】（1）； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【小问1详解】 解： ； ； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：① ； ② ； 【小问3详解】 解： ． 17. 如图，E，F是的对角线上两点，且． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的对边平行且相等得到，，再由平行线的性质和平角的定义证明，最后根据证明得到，进而可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据一组对边平行且相等证四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：添加的条件：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 18. 今年春节假期以来，武汉旅游市场加速回暖，强势复苏，各种旅游纪念品的销量也逐步提升．某礼品店同时购进A，B两款纪念品共500件，已知A、B两款纪念品每件的进价分别为80元和100元，每件的售价分别为120元和150元，设购进A款纪念品x件（x为正整数），该礼品店售完全部A，B两款纪念品获得的总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）该礼品店计划最多投入4.6万元购进这两款纪念品，则至少购进多少件A款纪念品？若A，B两款纪念品全部售完，则该礼品店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，该礼品店进行降价促销，B款纪念品的售价降低a元（其中），A款纪念品的售价不变，且最多购进300套A款纪念品．若保持这两款纪念品的进价不变，该礼品店如何进货使得全部售完A，B两款纪念品获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）至少购进200件A款纪念品，最大利润是23000元 （3）当时，购进A款纪念品200件，B款纪念品300件，利润最大；当时，A、B两款纪念品共500件时，利润都一样；当时，购进A款纪念品300件，B款纪念品20件，利润最大 【解析】 【分析】（1）根据总利润款的售价款的进价）购进款的数量款的售价款的进价）购进款的数量代入列关系式，并化简； （2）根据总成本列不等式即可求出的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题； （3）把分三种情况讨论：一次项的系数大于0、等于0、小于0，根据函数的增减性得出结论． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：依题意知 ∴ 由（1）， ∵ ∴y随x增大而减小 ∴当时，可获最大利润为23000元 答：至少购进200件A款纪念品，最大利润是23000元 【小问3详解】 解：设降价后的利润为W元，则 依题意知： 当时，，W随x增大而减小 ∴当时，W最大 当时，，W不变 当时，，W随x增大而增大 ∴当时，W最大 综上所述，当时，购进A款纪念品200件，B款纪念品300件，利润最大 当时，A、B两款纪念品共500件时，利润都一样 当时，购进A款纪念品300件，B款纪念品20件，利润最大 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意表示出函数关系式是解题的关键． 19. 如图，已知M是的边的中点，D是的延长线上一点，满足． （1）求证：； （2）若，试探求之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等边三角形的性质与判定，等角对等边等等： （1）延长到E，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，则可证明； （2）延长至点E，使，连接，则，证明，得到，再证明是等边三角形，得到，则可证明． 【小问1详解】 证明：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵M是的边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长至点E，使，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即． 20. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点位于第一象限，点 分别位于x，y轴的正半轴上． （1）如图1，当位于延长线上时，若，直接写出点坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，取的中点，连接，，试证明：； （3）如图3，当位于延长线上时，交于点，连接．若，，试求AE的长度． 【答案】（1） （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出的长即可知的长，于是可得点的坐标. （2）先根据中点坐标公式求出点的坐标，再根据两点之间距离公式分别求出，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，即可证得. （3）取中点，根据“直角三角形中，斜边中线等于斜边一半”可求得的长，再证明即可得的长，然后在中根据勾股定理即可求出的长. 【小问1详解】 时，， 则 【小问2详解】 ， 是中点， 轴， . . 是直角三角形， 【小问3详解】 如图，取中点，连接， 是直角三角形，且 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，“直角三角形中斜边中线等于斜边的一半”，以及中点坐标公式.正确的作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年浠水县九年级语数英物学业水平质量抽测 数学试卷 （满分120分 时间120分钟） 一、选择题（共7小题，每小题4分，共28分） 1. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 2. 如图，在中，平分，平分，若，，则的周长是（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 32 3. 若，，的值是（ ） A. 4 B. C. D. 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 015 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，等腰、等腰、等腰…的腰、、…依次在直线上，且它们的腰长依次为1、2、3…（逐次增加1），那么的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 8. 直线y=2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式2x+b≥0的解集为________． 9. 长为2一根绳子，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边的取值范围是______． 10. 如果，则______． 11. 如图，中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为，则的长为______． 12. 已知，计算：＝_________． 13. 如图，在中，，，D为内一点，，，，则______． 14. 已知，则______． 15. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，则线段的最小值是______． 三、解答题（共52分） 16. 阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． （1）填空：______，______； （2）化简： ①， ②； （3）计算：． 17. 如图，E，F是的对角线上两点，且． （1）求证：； （2）连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形． 18. 今年春节假期以来，武汉旅游市场加速回暖，强势复苏，各种旅游纪念品的销量也逐步提升．某礼品店同时购进A，B两款纪念品共500件，已知A、B两款纪念品每件的进价分别为80元和100元，每件的售价分别为120元和150元，设购进A款纪念品x件（x为正整数），该礼品店售完全部A，B两款纪念品获得的总利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）该礼品店计划最多投入4.6万元购进这两款纪念品，则至少购进多少件A款纪念品？若A，B两款纪念品全部售完，则该礼品店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，该礼品店进行降价促销，B款纪念品的售价降低a元（其中），A款纪念品的售价不变，且最多购进300套A款纪念品．若保持这两款纪念品的进价不变，该礼品店如何进货使得全部售完A，B两款纪念品获得的利润最大？ 19. 如图，已知M是边的中点，D是的延长线上一点，满足． （1）求证：； （2）若，试探求之间的数量关系． 20. 在平面直角坐标系中，四边形矩形，点位于第一象限，点 分别位于x，y轴的正半轴上． （1）如图1，当位于延长线上时，若，直接写出点的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，取的中点，连接，，试证明：； （3）如图3，当位于延长线上时，交于点，连接．若，，试求AE长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$