精品解析：北京市十一学校晋元中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年北京市十一学校晋元中学九年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一．选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 0， C. 1， D. 1，0 2. 图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 4. 在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为（　　） A. 35° B. 40° C. 50° D. 55° 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每题2分，共16分） 9. 二次函数的顶点坐标是______． 10. 已知是方程的一个根，那么m=_________． 11. 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：______． 12. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 13. 读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为__________． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到．若，则旋转角的度数是____________． 15. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程__________． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，，．点为坐标平面内的一个动点，满足，则线段长度的最大值为__________． 三．解答题（共68分，其中17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28每题7分） 17. 解方程：． 18. 如图，是的直径，是的弦，若，求的长． 19. 已知：如图． 求作：点D（点D与点B在直线的异侧），使得点D在的角平分线上，且． 作法：①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为D，则点D就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（______）（填推理的依据） ∵， ∴．（______）（填推理的依据） ∴．（______）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 20. 若二次函数的与的部分对应值如下表： … －4 －3 －2 －1 0 1 … … －5 0 3 4 3 0 … （1）求此二次函数的解析式； （2）画出此函数图象（不用列表）； （3）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围. 21. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．请回答： （1）点的坐标为 ． （2）点A经过的路径的长度为 π．（友情提示：已经有π） 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 23. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示． (1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式； (3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出最大利润． 24. 如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 25. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 26. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线（）上．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，求t的值； （2）点在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 27. 在中，，点D是腰上一个动点（不与点A、B重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段． （1）求证：； （2）连接，取中点F连接连接； ①依题意补全图形； ②求的大小． 28. 【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市十一学校晋元中学九年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一．选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 0， C. 1， D. 1，0 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式( ，，是常数且)，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的一次项系数和常数项即可． 【详解】解：中一次项系数、常数项分别是，， 故选：． 2. 图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题图形的旋转，根据旋转的特征结合题意即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：将它顺时针旋转后，只有C选项符合题意． 故选：C． 3. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可． 【详解】∵抛物线y=3x2向左平移2个单位后的顶点坐标为（-2，0）， ∴所得抛物线的解析式为y=3（x+2）2． 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可． 【详解】解：根据题意知：点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标为（1，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标，是需要熟记的基本问题，关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数． 5. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】解： 故选：D． 6. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质； 一元二次方程的根即为二次函数的图像与x轴的交点的横坐标，结合图像即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标， 结合图像，可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为（　　） A. 35° B. 40° C. 50° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠AOC的度数，然后根据AB为⊙O的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠ABO的度数． 【详解】解：∵∠ADC＝25°， ∴∠AOC＝50°， ∵AB为⊙O的切线，点A为切点， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝∠OAB﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象． 【详解】解：连接PC． ∵P（3，0），C（0，2）， ∴PC2＝13． ∵AB是直径， ∴∠Q＝90°． 又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F， ∴四边形PEQF是矩形． ∴PE＝QF． ∵PF⊥QB于F， ∴QF＝BF． ∴PE＝BF． ∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13． 故选：A． 【点睛】此题综合运用矩形的判定和性质、垂径定理求得y的值，常数函数是平行于坐标轴的一条直线． 二．填空题（共8小题，每题2分，共16分） 9. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点坐标式．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：把二次函数化为顶点式为：； 顶点坐标为：． 故答案为：． 10. 已知是方程的一个根，那么m=_________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，即可得到答案. 【详解】把x=3代入得9-6+m=0，解得m=-3.故答案为-3. 【点睛】本题考查是有关一元二次方程的应用和一元一次方程的解法，解题的关键是熟悉有关一元二次方程的应用和一元一次方程的解法，要能够熟练灵活的应用. 11. 若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为． 本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，灵活选择数值计算即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 故答案为：． 12. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为r， 由题意可知，， 在中，，， ， 解得． 经检验：是方程的解， 故答案为：． 13. 读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一．据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找等量关系，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 先分别表示出第二个月和第三个月的进书院人次，再根据第一个月的进书院人次加第二和第三个月的进书院人次等于2850，列方程即可． 【详解】解：设进书院人次的月平均增长率为，则第二个月进书院人次为，三个月的进书院人次为，由题意得： ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到．若，则旋转角的度数是____________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】由旋转的定义可得是旋转角，再根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的定义、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的定义可得是旋转角是解题的关键． 15. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，平移的性质，由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形，据此根据矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可得，草坪面积可以看做是一个长为米，宽为米的矩形， 由题意得，， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，，．点为坐标平面内的一个动点，满足，则线段长度的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】在坐标轴上取一点，连接，，求出，从而得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，同理可得：点也在以点，为半径的圆上，当点位于交于轴负半轴的位置时，的值最大，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，在坐标轴上取一点，连接，， 则， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 同理可得：点也在以点，为半径的圆上， 如图，当点位于交于轴负半轴的位置时，的值最大， ， ， 线段长度的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、解直角三角形、圆周角定理等知识，熟练掌握以上知识点，画出图形是解此题的关键． 三．解答题（共68分，其中17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28每题7分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 18. 如图，是的直径，是的弦，若，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度的角直角三角形的性质等知识，推导出是含度角的直角三角形即可得解，掌握圆的相关性质是解题的关键． 【详解】解：因为是⊙O的直径， 所以． 因为， 所以． 所以在中，， 由勾股定理，得：，即， 解得：． 19. 已知：如图． 求作：点D（点D与点B在直线的异侧），使得点D在的角平分线上，且． 作法：①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为D，则点D就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（______）（填推理的依据） ∵， ∴．（______）（填推理的依据） ∴．（______）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 【答案】（1）如图，点D为所作： （2）圆内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等；等弧所对的圆周角相等． 【解析】 【分析】（1）根据 题干中的做法画图即可； （2）连接，，，，，，首先得到，然后证明出，然后由得到，即可证明出点D在的角平分线上． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据） ∵， ∴．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等）（填推理的依据） ∴．（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 【点睛】此题考查了尺规作图，圆内接四边形性质，等弧所对的圆周角相等以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 若二次函数的与的部分对应值如下表： … －4 －3 －2 －1 0 1 … … －5 0 3 4 3 0 … （1）求此二次函数的解析式； （2）画出此函数图象（不用列表）； （3）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围. 【答案】（1）y＝−x2−2x＋3； （2）如图， （3）−5≤y≤4． 【解析】 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（−1，4），则可设顶点式y＝a（x＋1）2＋4，然后把（0，3）代入求出a的值即； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）观察函数函数图象，当时，函数的最大值为4，于是可得到y的取值范围为−5≤y≤4． 【详解】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为（−1，4），设y＝a（x＋1）2＋4， 把（0，3）代入得a（0＋1）2＋4＝3， 解得a＝−1， ∴抛物线的解析式为y＝−（x＋1）2＋4，即y＝−x2−2x＋3； （2）略 （3）如图：当−4≤x＜1时，−5≤y≤4． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质． 21. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．请回答： （1）点的坐标为 ． （2）点A经过的路径的长度为 π．（友情提示：已经有π） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，弧长公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转的性质画出图形，即可得出点的坐标； （2）由（1）得出，，再根据弧长公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示： ， ∵，， ∴的坐标为，的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可得：，， ∴点A经过的路径的长度． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 23. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示． (1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式； (3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）y是x的一次函数，y=－30x+600（2）w=－30x2＋780x－3600（3）以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元 【解析】 【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同． （2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量． （3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润． 【详解】解：（1）y是x的一次函数， 设y=kx+b， ∵图象过点（10，300），（12，240）， ∴， 解得． ∴y=－30x＋600． 当x=14时，y=180；当x=16时，y=120， ∴点（14，180），（16，120）均在函数y=－30x+600图象上． ∴y与x之间的函数关系式为y=－30x+600． （2）∵w=（x－6）（－30x＋600）=－30x2＋780x－3600， ∴w与x之间的函数关系式为w=－30x2＋780x－3600． （3）由题意得：6（－30x+600）≤900， 解得x≥15． w=－30x2＋780x－3600图象对称轴为：， ∵a=－30＜0， ∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小． ∴当x=15时，w最大=1350． ∴以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元． 24. 如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证； （2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点H，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．． 飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．． 【建立模型】任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务：； 任务：米； 任务：． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式解答． 任务：由表格中的数据可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入解析式可得：，解方程求出的值即可； 任务：把代入关于的函数表达式，可得，解方程，可得：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为． 【详解】解：任务： 二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：； 任务2：， ， ， 整理得：， 当水火箭落地（高度为）时，， 解得：（不合题意，舍去），， 答：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：设的长度为， 水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 26. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线（）上．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，求t的值； （2）点在该抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1）t的值为6 （2）t的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟悉相关结论是解题关键． （1）由题意得，据此即可求解； （2）由得到抛物线开口向上，离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小．分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，四种情况即可求解． 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， 且，抛物线的对称轴为， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小， ①当时，， ∴，不符合题意； ②当时， 由可知， ∴， 由，，可知， ∴， ∴t的取值范围是； ③当时， 由可知， ∴， 由可知， ∴， ∴此时无解； ④当时， ∵， ∴，不符合题意； 综上所述，t的取值范围是． 27. 在中，，点D是腰上一个动点（不与点A、B重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段． （1）求证：； （2）连接，取中点F连接连接； ①依题意补全图形； ②求的大小． 【答案】（1） 证明：设∠， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴； （2） ①补全图形如图， ② 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的性质，三角形外角的定义，全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）设∠，根据题意得出，再由三角形外角的性质确定，结合题意及图形得出，即可证明； （2）①根据题意补全图形即可； ②延长到H，使，连接，延长到点G，使，连接，根据题意得出，利用全等三角形的判定证明，，，再由其性质及等腰三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①略． ②延长到H，使，连接，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28. 【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 【答案】（1）； （2）不能，理由： 对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）；当取得最小值时； （4） 【解析】 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解． 【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）略 （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得： （4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆， 则当时，圆的内接正方形的边长为 而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少， ∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $