精品解析：浙江省杭州市上城区天杭中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市上城区天杭中学九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是反比例函数关系，故此选项不符合题意； B、是一次函数关系，故此选项不符合题意； C、是二次函数关系，故此选项符合题意； D、不是二次函数关系，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 2018年世界杯德国队一定能夺得冠军 C. 某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖 D. 投掷一枚普通的正方体骰子，连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】A．打开电视机，正在播放动画片是随机事件，不符合题意； B．2018年世界杯德国队一定能夺得冠军是随机事件，不符合题意； C．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖是随机事件，不符合题意； D．投掷一枚普通的正方体骰子，连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19是必然事件，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知的半径为2，点P与在同一平面内，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键，即点在圆外，点在圆上，点在圆内． 根据点到圆心的距离与半径的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P在外． 故选：C． 4. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A. y=（x﹣4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x﹣4）2﹣25 D. y=（x+4）2﹣25 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【详解】y=x2-8x-9 =x2-8x+16-25 =（x-4）2-25． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键． 5. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为( ) A. 60° B. 72° C. 78° D. 144° 【答案】B 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质得圆心角的度数，再根据圆周角定理即可得. 【详解】如图，连接OA、OE、OD 由正五边形的性质得： 由圆周角定理得：（一条弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半） 故选：B. 【点睛】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理，熟记性质和定理是解题关键. 6. 下列命题中是真命题的为（　　） A. 弦是直径 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假，解题关键是掌握相关的概念、定理等．依次根据弦的概念，垂径定理的推论，圆心角、弧与弦的关系判断即可． 【详解】解：A、弦不一定是直径，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、相等的弧所对的弦相等，是真命题，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选： 7. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；①利用抛物线与轴有个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④根据抛物线与轴的交点即可判断；再根据④知抛物线与x轴的另一个交点为即可判断⑤． 【详解】解：①抛物线与轴有个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， , ，所以③正确； ④二次函数的图象过，， 方程的解是，，故④正确； ⑤由④知二次函数的图象过， 当时，，故⑤错误． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象上有，，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质．根据二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点值越大，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，且对称轴为直线， ， ， 故选：C． 9. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（ ） A. 2m B. 8m C. 10m D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可． 【详解】由题意可得y=0时，=0， 解得：=36， 即x1=10，x2=-2（舍去）， 所以铅球推出的距离是10m． 故选C． 10. 如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求一点到圆上点距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．由于可知，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 若二次函数的图象过点，则__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点代入二次函数的解析式即可得出的值． 【详解】解：将点代入二次函数得：， ． 故答案为：． 12. “手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 __人有此习惯． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，解题关键是掌握用样本估计总体的方法．根据总人数有“手机阅读”习惯的百分比，据此可估计总体中有此习惯的人数． 【详解】解：根据题意知有此习惯的人数估计为（人， 故答案为：90． 13. 如果一个扇形的圆心角为120°，半径为6，那么该扇形的弧长是___，面积是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6， ∴，扇形弧长为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积和弧长，熟知弧长公式和扇形面积公式是解题的关键． 14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．先根据勾股定理求出斜边的长，然后根据直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半即可求解． 【详解】解：因为直角三角形两条直角边长分别为：， 所以直角三角形的斜边长为：， 则这个三角形的外接圆的半径=． 故答案为：5． 15. 已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分、和三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵当时，函数有最小值， ∴当时，时取最小值，即， 解得（舍去）， 当时，号时取最小值，即， 解得（不合，舍去），（不合，舍去）； 当时，时取最小值，即， 解得 综上，的值为， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，弦垂直平分，点是弧上的一点，连结，，，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是__． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】连接，，过点作于点，交的延长线于点，在上取一点，使得．首先证明，，是等边三角形，再证明，依次判断各结论即可得解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，交的延长线于点，在上取一点，使得． 垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故①正确， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 故③正确， ，，， ， 四边形的面积， 故④正确， 在中，，， 无法确定的值， ， 故②错误． 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、垂径定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等，作出合适的辅助线并证得，，是等边三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 17. 上城区要在语、数、英、科、社五科中，随机抽出两科进行期末抽测． （1）抽到数学学科的概率是 ； （2）用画树状图或列表法求抽到的学科恰好是数学和英语的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率： （1）根据题意，画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中抽到数学学科的结果有8种，再根据概率公式计算，即可求解； （2）根据树状图，可得共有20种等可能的结果，其中抽到的学科恰好是数学和英语的结果有2种，，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽到数学学科的结果有：（语，数），（数，语），（数，英），（数，科），（数，社），（英，数），（科，数），（社，数），共8种， ∴抽到数学学科的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由树状图可得，抽到的学科恰好是数学和英语的结果有2种， ∴抽到的学科恰好是数学和英语的概率为． 18. 如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． （1）作出该圆弧所在圆的圆心； （2）求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （）在上取一点，连接，作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （）过点作于点交一点．连接．设，利用勾股定理构建方程求解； 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：过点作一点交一点，连接， 设， ， ， 在中，， ， ， 这钢梁圆弧的半径长为． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求出该函数与轴的交点坐标； （3）画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 作图如下． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与轴、轴的交点坐标的求法，是一个基础题． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）令，即可得到关于的方程，即可得解； （3）由（1）（2）即可作图，结合图象可得的范围． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式是， 则， 解得：． 则抛物线的解析式是，即； 【小问2详解】 解：在中， 令，则， 解得：或3， 则函数与轴的交点坐标，； 【小问3详解】 解：由（1）（2）得，抛物线顶点为，与轴交点坐标为，； 令，则， 与轴交于． 当时，． 20. 已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ； （2） 证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用等弧所对的圆周角相等可得，然后利用等量代换即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，然后利用三角形外角的性质可得，从而可得，最后根据等角对等边，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，等角对等边等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 21. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，面积为． （1）　　（用含的代数式表示）． （2）求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）饲养室长为何值时，占地面积最大？并求出的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时，最大，最大值 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）依据题意，由，从而，进而可以得解； （2）由（1）根据长方形的面积即可写出函数关系式，同时求出自变量取值范围； （3）根据（2）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 【小问1详解】 解：由题意，， ． 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，得 ， ， ． 答：与的函数关系式为，值的取值范围是． 【小问3详解】 由题意，． ， 对称轴，开口向下， 当时，最大，最大值． 答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米． 22. 已知二次函数． （1）若当时，该函数有最小值，求k的值． （2）若二次函数图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值． （3）已知，当时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值． 【答案】（1）；（2）或；（3）-1. 【解析】 【分析】(1)根据对称轴为x= ，建立方程求解即可； (2)根据平移规律，得到平移后的解析式，令y=0，其对应的一元二次方程的判别式为零，求解即可； (3)确定对称轴的位置，根据抛物线的性质，确定即可. 【详解】(1)∵， ∴， ∵当时，函数有最小值， ∴ =2， 解得k=； (2) ∵， ∴， ∴平移后解析式为+4， 令y=0，得 ， ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 解得k=-1或k=； (3)∵k≥1， ∴3k+1≥4， ∴ ≥-2， 即对称轴x≥-2， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴m≥-2， ∴m=-1(答案不是唯一的). 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，平移，抛物线与一元二次方程的关系，解答时，熟记抛物线的对称轴，灵活运用一元二次方程的根的判别式是解题的关键. 23. 如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是的中点，交于，于． （1）当时，求线段的长； （2）在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由． （3）设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理有，再根据勾股定理即可求出的长度； （2）连接，根据勾股定理易求的长度，因为点和点是和的中点，根据三角形中位线定理即可求出； （3）由勾股定理有，根据，，，易得 ，过点作，垂足为点G，利用三角函数表示出和，由（2）知，由勾股定理表示出，从而表示出，根据三角形的面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：点是圆心，，， ， 又， ； 【小问2详解】 解：存在，是不变的． 如图，连接，则， 点是圆心，， 点是的中点， 点和点是和的中点， ； 【小问3详解】 解：如图，连结，过点作，垂足为点， ， ， ，，， ， ， 由（2）知， ， ， ， 点是上的一个动点（不与点、重合）， ，即， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，三角形的面积等，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年浙江省杭州市上城区天杭中学九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 打开电视机，正在播放动画片 B. 2018年世界杯德国队一定能夺得冠军 C. 某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖 D. 投掷一枚普通的正方体骰子，连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19 3. 已知的半径为2，点P与在同一平面内，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 4. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A. y=（x﹣4）2+7 B. y=（x+4）2+7 C. y=（x﹣4）2﹣25 D. y=（x+4）2﹣25 5. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为( ) A. 60° B. 72° C. 78° D. 144° 6. 下列命题中是真命题的为（　　） A. 弦是直径 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 7. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 8. 已知二次函数的图象上有，，，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（ ） A. 2m B. 8m C. 10m D. 12 10. 如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 若二次函数的图象过点，则__． 12. “手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有 __人有此习惯． 13. 如果一个扇形的圆心角为120°，半径为6，那么该扇形的弧长是___，面积是_____． 14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为，则它的外接圆的半径为_______． 15. 已知二次函数（为常数），当时，函数有最小值，则的值为______． 16. 如图，是的直径，弦垂直平分，点是弧上的一点，连结，，，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是__． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 17. 上城区要在语、数、英、科、社五科中，随机抽出两科进行期末抽测． （1）抽到数学学科的概率是 ； （2）用画树状图或列表法求抽到的学科恰好是数学和英语的概率． 18. 如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． （1）作出该圆弧所在圆的圆心； （2）求这钢梁圆弧的半径长． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求出该函数与轴的交点坐标； （3）画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围． 20. 已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、． （1）求证：； （2）求证：． 21. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，面积为． （1）　　（用含的代数式表示）． （2）求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （3）饲养室长为何值时，占地面积最大？并求出的最大值． 22. 已知二次函数． （1）若当时，该函数有最小值，求k的值． （2）若二次函数图象向上平移4个单位后与x轴只有一个交点，求k的值． （3）已知，当时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值． 23. 如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是的中点，交于，于． （1）当时，求线段的长； （2）在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由． （3）设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $