第33讲圆的方程与位置关系（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第33讲 圆的方程与位置关系 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第8题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 2024年天津卷，第12题,5分 求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线 2024年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围 2023年天津卷，第9题,5分 求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程 2023年天津卷，第12题,5分 由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 2023年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形) 2022年天津卷，第7题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线 2022年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2022年天津卷，第19题,5分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 2021年天津卷，第12题,5分 切线长 已知切线求参数 2021年天津卷，第8题,5分 已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 2021年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的切线方程 2020年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2020年天津卷，第7题,5分 根据双曲线的渐近线求标准方程 2020年天津卷，第18题,5分 讨论椭圆与直线的位置关系 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握圆的方程的概念，能够求解圆的标准方程与一般方程 2.能掌握直线与圆的位置关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与圆的位置关系 4.会解切线方程与弦长问题。 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给给出圆，要求解出圆的弦长、切线与最值相关问题。 知识讲解 知识点一.圆的概念与方程 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 3.常用结论 （1）以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. （2）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （3）圆心在任一弦的垂直平分线上． 知识点二.直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 4．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 考点一、圆的方程 1.（22-23高三下·山东济宁·开学考试）已知圆：，则圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般方程整理成标准方程，即可得半径. 【详解】圆：，整理可得， 所以圆的半径是. 故选：C. 2.（22-23高三下·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心坐标排除AB，再由相切性质得半径可得选项. 【详解】由题意，圆心坐标为，可知AB错误； 设圆心半径为，且圆心到轴的距离为， 则由圆与轴相切可得， 故圆的方程为：. 故选：C. 1.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式求得圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】由圆心到直线 的距离， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为. 故选：B. 2.（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 3.（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知是坐标原点，过抛物线上异于的点作抛物线的切线交轴于点，则的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得的坐标，再利用待定系数法即可求得的外接圆的一般方程. 【详解】设过抛物线上异于的点的切线为， 又交轴于点，则， 则，整理得， 则，即 则有，可化为 解之得，则，则 设的外接圆方程为， 则，解之得 的外接圆方程为，即.    故选：A 4.（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】求出点的坐标，由求出点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解判断即可. 【详解】椭圆的右焦点为，设，由，得， 由消去得，，而，解得， 当时，对应的值有2个，所以上满足的点有2个. 故选：B 考点二、点与圆、直线与圆的位置关系 1.（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可. 【详解】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得，经检验，符合题意. 故选：B 2.（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外即可求解. 【详解】圆，即圆，则，解得． 过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得． 故． 故选：C 1.（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】直线经过定点，然后证明定点在圆内可判断. 【详解】经过定点，由于，则定点在圆内. 故直线与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 2.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立，可得，当时可判断BC；圆心为，由原点与圆的位置关系求出的范围，根据圆心所在象限及的符号即可判断AD. 【详解】联立，可得，解得, 当，则方程组无解，即直线与圆无交点，故BC错误. 化为标准方程为, 其圆心为，半径为. 由选项可得，将化为斜截式可得. 对于A，圆心在第一象限，则，解得. 由原点在圆外，可得，故. 由直线方程可得，矛盾，故A错误. 对于D，圆心在第二象限，则，解得. 由原点在圆外，可得，故， 由直线方程可得，故D正确. 故选:D. 3.（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】D 【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可． 【详解】设直线l与曲线的切点为， 由，则， 则，，即切点为， 所以直线l为，又直线l与圆都相切， 则有，解得或. 故选：D. 4.（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定. 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 考点三、弦长问题 1.（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 2.（2023·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案. 【详解】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，解得， 所以弦长为，因为， 所以，所以弦长， 当即时，弦长有最大值. 故答案为：. 1.（23-24高三下·河南·阶段练习）若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且与轴相切于的焦点，则 . 【答案】2 【分析】不妨令圆在第一象限,假设出圆的方程，利用圆与抛物线在公共点处有相同的切线，得到直线与垂直，得到关于 的方程，联立点在圆上的方程求解出，从而求解出 【详解】抛物线的焦点为， 根据对称性，不妨令圆在第一象限，， 则圆的半径，故圆的方程为， 设，由，得， 所以抛物线在点处的切线的斜率， 因为圆与抛物线在公共点处有相同的切线， 所以直线与垂直，即，则①， 又点在圆上，所以，则②， 将①代入②可得， 整理可得，解得或（舍去）， 所以，所以.    故答案为：2. 2.（22-23高三下·河南安阳·开学考试）已知圆F：，则过点的最长的弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】当过点A的弦经过圆心时，弦长最长，写出方程即可. 【详解】圆可整理为， 所以圆心，， 当过点A的弦经过圆心时，弦长最长， 所以过点A的最长的弦所在的直线方程为， 整理得. 故答案为：. 3.（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【答案】5或 【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出. 【详解】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 4.（24-25高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【分析】利用圆的一般方程与标准方程的转化先化简方程，再圆心在直线上求解即可. 【详解】化为标准方程得， 则圆心为，半径， 显然直线过圆心，则所截得弦为直径，其长为. 故答案为： 5.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知直线与圆交于两点，写出满足“”的实数的一个值： . 【答案】或（写出其中一个即可） 【分析】利用勾股定理求弦长的方法求解． 【详解】圆心为，到直线的距离为， 又，圆半径为2，则，解得， 故答案为：或． 考点四、切线问题 1.（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 2.（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意确定当三点线时，最大，进而得到即可得解. 【详解】 ，当最大时，也即取最大， 因为，在直角三角形中，当最短时，最大， 又，当且仅当三点线时最小， 此时，， 所以直线的斜率为. 故选：. 1.（24-25高三上·湖北·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切得到直角三角形利用边长求解即可. 【详解】 中， ，即 故选：A 2.（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，当点与圆的距离最短时，且过与圆相切时，取得最大值，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由点是圆上的一点，是圆上的两点， 可得圆心，半径， 根据题意，当点与圆的距离最短时，且过与圆相切时， 此时取得最大值，此时， 可得，所以，所以. 故选：B. 3.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， . 【答案】 【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果. 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 4.（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据条件得到点在圆上，从而得到切线的斜率为，即可求出结果. 【详解】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 考点五、直线与圆最值问题 1.（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的切线的性质得出，结合勾股定理可得，即，然后设，将化为关于的一元二次方程，利用根的判别式大于等于0，求出的最大值，可得答案． 【详解】解：根据题意，圆的圆心为，半径. 若与圆相切于点，则，可得， 即，设，则， 可得，整理得， 关于的一元二次方程有实数解，所以，解得. 当，时，有最大值，即的最大值是. 故选：C. 2.（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 1.（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D．32 【答案】C 【分析】设，根据两点间的距离公式结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设， 则 ， 当时，取得最大值. 故选：C. 2.（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 3.（2025·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角换元，再结合三角函数的有界性，即可求解． 【详解】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 4.（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可知圆内切于以线段为直径的圆，或圆在以线段为直径的圆内，由此容易得到的最小值. 【详解】如图，已知圆O：的圆心为，半径， 若直线上存在两点A，B，使得恒成立， 则以为直径的圆要内含或内切圆， 点到直线l的距离， 所以的最小值为， 选B． 考点六、圆与圆的位置关系 1.（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果. 【详解】因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得， 且圆，半径为， 到直线的距离， 所以. 故选：C 2.（2023·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有交点，结合图形可得. 【详解】因为圆C上存在点P，使得， 所以，以为直径的圆与圆有交点， 又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2， 所以，即，即. 故选：A    1.（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由，得P的轨迹方程为，再由两圆相交求解． 【详解】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 2.（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 3.（2024高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 4.（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得. 【详解】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：. 故选：B. 1．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）圆C与y轴相切，切点为，（O为坐标原点），圆心C在第一象限，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线性质及圆心位置设出圆心坐标，由给定距离求出圆心即可得解. 【详解】由圆C与y轴相切，切点为，设圆心，由圆心C在第一象限，得， 于是，解得，显然圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 故选：A 2．（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 . 【答案】 【分析】根据两圆外切，圆心距离等于半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由得， 将化为标准方程，得，， 因为两圆外切，所以，即，解得. 到直线的距离，如下图：    则直线被圆所截的弦长. 故答案为：. 3．（2024·广西柳州·三模）已知过原点O的一条直线l与圆C：相切，且l与抛物线交于O，P两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据直线与圆相切可得，进而联立直线与抛物线方程，可得，即可根据两点间的距离公式求解. 【详解】由于圆心为，半径为，故直线一定有斜率， 设方程为，则，解得， 故直线方程为， 联立与可得或， 故，故， 故答案为：3    4．（23-24高三上·天津河东·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为 . 【答案】 【分析】由题意得A，B两点的坐标，进一步得以线段AB为直径的圆的方程，令，即可求解. 【详解】由题意过点且垂直于x轴的直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，得， 解得，不妨设， 则以线段AB为直径的圆即以点为圆心半径为的圆，它的方程为， 设以线段AB为直径的圆和y轴的交点为， 在中令，得， 所以以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为. 故答案为：. 5．（23-24高三上·天津河西·期末）已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则 . 【答案】 【分析】 由题意可得直线与直线垂直，进而可得出答案. 【详解】， 因为以点为圆心的圆与直线相切于点， 所以直线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 6．（23-24高三上·天津和平·期末）直线与圆相交于两点，若点为圆上一点，且为等边三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】由圆的几何性质及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意知，, 所以, 则圆心到直线的距离为： ， 则， 故答案为：. 1．（2024·天津·模拟预测）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线与抛物线C及其准线的交点从上到下依次为P、N、M，若，则以F为圆心，半径的圆F方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由长度的比例关系可求得点纵坐标，由此可确定直线方程，进而求得点坐标，利用两点间距离公式可求得所求圆的半径，进而确定圆的方程. 【详解】由抛物线方程知：，准线， 不妨假设过点的直线斜率为负， 则作轴于点，设准线与轴交于，如下图所示： ，，又，， 点纵坐标为，，直线方程为：， ，， 由抛物线对称性可知，当直线斜率为正时，， 所求圆的方程为：. 故选：A. 2．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 【答案】 【分析】根据圆的方程得到圆心的轨迹，然后根据几何知识得到当时线段的长度最小， 然后求线段的长度即可. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上， 当时线段的长度最小， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 3．（2023·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求得直线过定点，圆的半径最大时，即为圆心和点的距离，即可求得半径，进而求得圆的标准方程. 【详解】直线，可化为， 所以，解得，所以直线过定点， 当与直线垂直时，圆的半径最大，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知抛物线，经过抛物线上一点的切线截圆的弦长为，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】由题意可得：，设切线方程，结合相切可得，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可. 【详解】因为抛物线过点，则，可得， 显然切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x得， 则，解得， 可得切线方程为，即， 又因为圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得：，解得. 故答案为：1. 5．（23-24高三下·天津·阶段练习）圆被双曲线的渐近线所截的弦长为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，运用弦长公式可得，由的关系和离心率公式计算即可得到所求值． 【详解】圆化为标准方程为：， 双曲线的一条渐近线为， 圆心到直线的距离为：， 根据垂径定理可得， 故，，故离心率. 故答案为：. 1.（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 2.（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第33讲 圆的方程与位置关系 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第8题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 2024年天津卷，第12题,5分 求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线 2024年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围 2023年天津卷，第9题,5分 求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程 2023年天津卷，第12题,5分 由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 2023年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形) 2022年天津卷，第7题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线 2022年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2022年天津卷，第19题,5分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 2021年天津卷，第12题,5分 切线长 已知切线求参数 2021年天津卷，第8题,5分 已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 2021年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的切线方程 2020年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2020年天津卷，第7题,5分 根据双曲线的渐近线求标准方程 2020年天津卷，第18题,5分 讨论椭圆与直线的位置关系 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握圆的方程的概念，能够求解圆的标准方程与一般方程 2.能掌握直线与圆的位置关系 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与圆的位置关系 4.会解切线方程与弦长问题。 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给给出圆，要求解出圆的弦长、切线与最值相关问题。 知识讲解 知识点一.圆的概念与方程 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 3.常用结论 （1）以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. （2）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （3）圆心在任一弦的垂直平分线上． 知识点二.直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 4．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 考点一、圆的方程 1.（22-23高三下·山东济宁·开学考试）已知圆：，则圆的半径是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高三下·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知是坐标原点，过抛物线上异于的点作抛物线的切线交轴于点，则的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二、点与圆、直线与圆的位置关系 1.（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 2.（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 4.（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 考点三、弦长问题 1.（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 2.（2023·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ． 1.（23-24高三下·河南·阶段练习）若圆与抛物线在公共点处有相同的切线，且与轴相切于的焦点，则 . 2.（22-23高三下·河南安阳·开学考试）已知圆F：，则过点的最长的弦所在的直线方程为 . 3.（23-24高三上·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 4.（24-25高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为 . 5.（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知直线与圆交于两点，写出满足“”的实数的一个值： . 考点四、切线问题 1.（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 1.（24-25高三上·湖北·阶段练习）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， . 4.（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 . 考点五、直线与圆最值问题 1.（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南邵阳·三模）已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1.（2024·浙江·三模）已知，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D．32 2.（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 3.（2025·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 考点六、圆与圆的位置关系 1.（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 2.（2023·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1.（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3.（2024高三·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）圆C与y轴相切，切点为，（O为坐标原点），圆心C在第一象限，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·一模）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 . 3．（2024·广西柳州·三模）已知过原点O的一条直线l与圆C：相切，且l与抛物线交于O，P两点，若，则 ． 4．（23-24高三上·天津河东·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为 . 5．（23-24高三上·天津河西·期末）已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则 . 6．（23-24高三上·天津和平·期末）直线与圆相交于两点，若点为圆上一点，且为等边三角形，则的值为 ． 1．（2024·天津·模拟预测）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线与抛物线C及其准线的交点从上到下依次为P、N、M，若，则以F为圆心，半径的圆F方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 3．（2023·天津和平·三模）已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为 ． 4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知抛物线，经过抛物线上一点的切线截圆的弦长为，则a的值为 ． 5．（23-24高三下·天津·阶段练习）圆被双曲线的渐近线所截的弦长为，则双曲线的离心率为 ． 1.（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 2.（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$