第34讲椭圆的方程与几何性质（11类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第34讲椭圆的方程与几何性质 （11类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第8题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 2024年天津卷，第12题,5分 求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线 2024年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围 2023年天津卷，第9题,5分 求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程 2023年天津卷，第12题,5分 由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 2023年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形) 2022年天津卷，第7题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线 2022年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2022年天津卷，第19题,5分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 2021年天津卷，第12题,5分 切线长 已知切线求参数 2021年天津卷，第8题,5分 已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 2021年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的切线方程 2020年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2020年天津卷，第7题,5分 根据双曲线的渐近线求标准方程 2020年天津卷，第18题,5分 讨论椭圆与直线的位置关系 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分或15分 【备考策略】1.理解、掌握椭圆的概念，能够求解椭圆的方程 2.能掌握椭圆的几何性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与椭圆的位置关系 4.会解椭圆的弦长与面积等问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给要求，求解椭圆的方程，离心率。弦长、面积等问题。 知识讲解 知识点一．椭圆的定义 1.椭圆定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 2.椭圆的标准方程 （1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：＋＝1(a>b>0)，其中a2＝b2＋c2 （2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程:＋＝1(a>b>0)，其中a2＝b2＋c2 注意: ①只有当椭圆的中心为坐标原点、对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程; ②在椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0和a2＝b2＋c2; ③椭圆的焦点总在长轴上 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(－c,0)，(c,0); 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，－c)，(0，c) 知识点二．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 知识点三．椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 知识点四．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 考点一、椭圆的定义 1.（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 2.（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 1.（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 3.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 4.（2024·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是 ． 考点二、椭圆的标准方程 1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 1.（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2.（2024·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·北京·开学考试）已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的m有几个不同的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（23-24高三下·山东·开学考试）“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三、椭圆的焦三角 1.（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 2.（22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的重心G、内心I，满足GI平行于x轴，则椭圆C的离心率为 ． 1.（23-24高三下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 2.（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 3.（2024·全国·模拟预测）已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ． 4.（23-24高三上·山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 考点四、椭圆的离心率 1.（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 . 2.（2024·福建·模拟预测）将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为 ． 1.（2024·云南大理·模拟预测）椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于 . 2.（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为 ． 3.（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，右顶点为为上一动点（不与左、右顶点重合），设的周长为，若，则的离心率为 ． 4.（2025·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为 . 考点五、椭圆离心率的取值范围 1.（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·全国·模拟预测）若直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆经过左焦点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 1.（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 . 2.（23-24高三下·江苏南京·开学考试）数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案： ． 3.（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 . 4.（23-24高二上·甘肃兰州·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足，，为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是 . 考点六、与椭圆有关的最值与取值范围问题 1.（2024·河南·三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 2.（2024高三上·全国·竞赛）设椭圆的左､右焦点为，椭圆上一点和平面一点满足，则的最大值与最小值之和是（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 1.（23-24高三下·福建·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 3.（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·山东泰安·模拟预测）已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点七、直线与椭圆的位置关系 1.（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 2.（2024·江苏南京·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是 ． 1.（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点，点满足． (1)求的取值范围； (2)判断直线与椭圆的位置关系． 4.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆过点和. (1)求的离心率； (2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 考点八、椭圆中点弦问题 1.（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 1.（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·河南·开学考试）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，已知四点共圆，则圆心坐标为 ． 4.（2024·河北衡水·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 考点九、椭圆弦长问题 1.（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 2.（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求． 1.（2024高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆C的中心在原点O，左焦点为，左顶点为A，且为AO的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆方程为：，椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点，试求弦长的最大值． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知直线：交椭圆：于A，B两点，为椭圆上一点． (1)证明； (2)求的最大值． 3.（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 4.（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的范围. 考点十、椭圆中的面积问题 1.（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A，若，求l的方程. 2.（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知和为椭圆C：上两点. (1)求C的离心率； (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为3，求点B的坐标. 1.（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 2.（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 3.（24-25高三上·河南·开学考试）已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6． (1)求点到上的点的距离的最小值； (2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为． ①证明：直线过定点； ②已知为坐标原点，求面积的取值范围． 4.（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等. 考点十一、椭圆中的定值、定点、定直线问题 1.（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点. （ⅰ）求与的面积之比； （ⅱ）证明：为定值. 2.（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点． (1)求的标准方程； (2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值． 1.（24-25高三上·贵州·开学考试）已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点． (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值． 2.（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，若四边形面积为4，椭圆C离心率为； (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点Q是椭圆C上异于，的一动点，过定点与动点Q的直线与椭圆C交于另一点P，记直线，的斜率分别为，，若直线PQ的斜率存在，求的值. 3.（2024·浙江温州·模拟预测）已知椭圆： ，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，. (1)求椭圆的方程. (2)若，求出的值. (3)试证明：直线过定点. 4.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切. (1)求的方程； (2)设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点， ①证明：直线经过定点； ②求的内切圆半径的范围. 1．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）若椭圆的离心率为，则实数的值等于 . 2．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 3．（2022·天津宝坻·二模）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程． 4．（20-21高三下·天津河西·阶段练习）已知、分别是椭圆的左、右顶点，且，点是椭圆上位于轴上方的动点，点与点关于轴对称，且线段的长度最大为2，直线，与轴分别交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求线段的长度的最小值． 5．（2021·天津·一模）已知椭圆的短半轴长为1，离心率为. （1）求的方程； （2）设的上､下顶点分别为､，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 1．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点与上顶点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点不在轴上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程. 2．（2023·天津和平·三模）已知椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且满足，求的值． 3．（2024·天津·模拟预测）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，. ①求证：直线过轴上的定点； ②求的面积的最大值. 4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知椭圆的离心率为，、分别是的上､下顶点，、分别是的左､右顶点，. (1)求的方程； (2)设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.求直线的斜率. 5．（2024·天津·二模）已知椭圆的左､右顶点分别为和，上顶点为，左､右焦点分别为和，满足. (1)求椭圆的离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为和，且的面积为，求椭圆的标准方程. 6．（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程． 1.（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2.（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 3.（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 4.（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 5.（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 6.（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第34讲椭圆的方程与几何性质 （11类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第8题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 2024年天津卷，第12题,5分 求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线 2024年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围 2023年天津卷，第9题,5分 求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程 2023年天津卷，第12题,5分 由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 2023年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形) 2022年天津卷，第7题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线 2022年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2022年天津卷，第19题,5分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 2021年天津卷，第12题,5分 切线长 已知切线求参数 2021年天津卷，第8题,5分 已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 2021年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的切线方程 2020年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2020年天津卷，第7题,5分 根据双曲线的渐近线求标准方程 2020年天津卷，第18题,5分 讨论椭圆与直线的位置关系 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分或15分 【备考策略】1.理解、掌握椭圆的概念，能够求解椭圆的方程 2.能掌握椭圆的几何性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与椭圆的位置关系 4.会解椭圆的弦长与面积等问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给要求，求解椭圆的方程，离心率。弦长、面积等问题。 知识讲解 知识点一．椭圆的定义 1.椭圆定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 2.椭圆的标准方程 （1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：＋＝1(a>b>0)，其中a2＝b2＋c2 （2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程:＋＝1(a>b>0)，其中a2＝b2＋c2 注意: ①只有当椭圆的中心为坐标原点、对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程; ②在椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0和a2＝b2＋c2; ③椭圆的焦点总在长轴上 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(－c,0)，(c,0); 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，－c)，(0，c) 知识点二．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 知识点三．椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 知识点四．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 考点一、椭圆的定义 1.（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【分析】由，可得其几何意义为任意一点到点于的距离和为，符合椭圆定义，即可得到答案. 【详解】设， 因为， 所以， 其几何意义为任意一点到点于的距离和为， 又点和之间的距离小于，符合椭圆定义， 所以复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆. 故选：C. 2.（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案. 【详解】由椭圆的定义可知，. 故选：A. 1.（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得经过椭圆的右焦点，结合椭圆定义计算即可得. 【详解】由，故经过椭圆的右焦点， 故的周长. 故选：D. 2.（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，求解即可. 【详解】由椭圆，可得，所以， 因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点， 所以，又，所以. 故选：C. 3.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 【答案】4 【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可． 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点， 由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得． 故答案为：4． 4.（2024·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成，最后根据，代入即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则， ， 因为，即， 所以，即. 故答案为：. 考点二、椭圆的标准方程 1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，，再利用勾股定理，列出方程，求出的值，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 2.（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】根据题意，曲线， 则曲线M上的点到点和距离之和为， 根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆， 其中，则，所以曲线M的的方程为， 设点满足且，可得， 圆的圆心为，半径为1， 则， 又函数在单调递减，所以， 所以的最小值是. 故选：C 1.（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及的中点坐标，利用点差法即可得，可求出椭圆的方程. 【详解】不妨设，所以， 两式相减可得，整理可得， 根据题意可知直线的斜率为， 由的中点坐标为可得； 因此，可得， 又焦点为可得，解得； 所以椭圆的方程为. 故选：A 2.（2024·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的离心率得，表示点的坐标，进而可得直线的斜率及直线的方程，求出得直线的方程，联立两条直线的方程，可得交点的坐标，根据中垂线的性质可得，，将的周长转化为，由椭圆的定义可得的周长为，即可求解． 【详解】因为椭圆的离心率，可得， 所以，即，可得， 则点，右焦点，所以， 由题意可得直线的斜率， 所以，即， 由题意设直线的方程为， 直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立，可得，， 则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线， 即，， 的周长为，可得， 所以，， 所以椭圆的方程为：. 故选：C． 3.（24-25高三上·北京·开学考试）已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的m有几个不同的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解方程得或，讨论，结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置，进而求参数值，即可得结果. 【详解】由，则或， 当时，曲线为椭圆，当椭圆的焦点在轴上时，， 则，可得符合； 当椭圆的焦点在轴上时，， 则，可得符合； 当时，曲线为双曲线，则， 则，可得符合. 综上，有3个不同的值. 故选：C 4.（23-24高三下·山东·开学考试）“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先求出“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，从而即可判断. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆等价于，解得， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 考点三、椭圆的焦三角 1.（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，，依题意可得为等边三角形，从而得到直线过，再根据线段垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，， 依题意可得长半轴长，半焦距，且， 所以为等边三角形，则直线过， 所以 ，即的周长为. 故答案为： 2.（22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的重心G、内心I，满足GI平行于x轴，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/0.5 【分析】由题意，设，点G、I的纵坐标均为，利用面积相等可得，有，从而求椭圆的离心率． 【详解】设，点G为的重心，则有， GI平行于x轴，则点I的纵坐标也为，故的内切圆半径. 则，即. 因此，椭圆C的离心率为. 故答案为： 1.（23-24高三下·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求得三边长，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 2.（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 3.（2024·全国·模拟预测）已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】不妨设，且的内切圆半径为，由，取得，再结合椭圆的定义即可求解． 【详解】由椭圆，可得，则，所以, 如图所示，不妨设，且的内切圆半径为， 可得， 又由， 可得，即， 又由， 所以． 故答案为：    4.（23-24高三上·山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 【答案】11 【分析】利用椭圆的定义，转化，再利用数形结合，求的最大值. 【详解】由条件可知，，，则， 设椭圆的右焦点为，且， 所以，当点（点在第四象限）三点共线时，等号成立， 且, 所以的最大值为. 故答案为：11 考点四、椭圆的离心率 1.（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形的面积，得到方程，即可得到离心率的方程，计算得到结果. 【详解】由题意，可知为椭圆通径的一半，故，的面积为， 又由于的内切圆的半径为，则的面积也可表示为， 所以，即， 整理得：，两边同除以， 得，所以或， 又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 2.（2024·福建·模拟预测）将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意得到的值，然后利用离心率公式求出椭圆的离心率. 【详解】设圆柱的底面半径为，由题意可知， ，即， 因此，该椭圆的离心率为. 故答案为： 1.（2024·云南大理·模拟预测）椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于 . 【答案】 【分析】求出直线的方程为：，根据点到直线距离得到方程，求出，求出离心率. 【详解】依题意，，，，所以直线的方程为：， 又直线与以为圆心半径为的圆相切，故， 即，， 方程两边同除以得，解得或， 又椭圆的离心率，所以. 故答案为： 2.（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】先根据面积比例关系得出点B的横坐标，点在直线AF上得出B的坐标，最后应用点B在椭圆上得出得出离心率. 【详解】 因为，所以，所以， 设，设直线， 点在直线上，所以， 点B在椭圆上，可得， 所以，即得. 故答案为:. 3.（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，右顶点为为上一动点（不与左、右顶点重合），设的周长为，若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件列方程，求得与的关系式，从而求得双曲线的离心率. 【详解】依题意，，则， 所以离心率. 故答案为： 4.（2025·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设是椭圆的右焦点，分析可知为平行四边形，根据椭圆定义可得，利用余弦定理运算求解. 【详解】设是椭圆的右焦点，连接，    由对称性可知：，则为平行四边形， 则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 考点五、椭圆离心率的取值范围 1.（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 2.（2024·全国·模拟预测）若直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆经过左焦点，且，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据条件及椭圆的定义得到，进而得到，再根据条件，求出，即可求出结果. 【详解】如图，设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形， 因为以为直径的圆经过点，所以，所以四边形为矩形， 故． 设，则． 在中，， 所以，所以， 所以．令，得， 由，得． 因为函数在上单调递增，所以， 即，则，故， 所以， 所以椭圆的离心率的取值范围是,    故答案为：. 1.（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可得答案. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距，， 由题意可得：，， ，，， ，，，. ， ，设，则， ， . 故答案为：. 2.（23-24高三下·江苏南京·开学考试）数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案： ． 【答案】 【分析】先求出给定椭圆的蒙日圆方程；再根据题目条件可得出直线与该蒙日圆相交，建立不等式即可求解. 【详解】由题知，因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆， 所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：． 若直线上存在点使为直角， 即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点，， 解得， 故答案为:． 3.（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性得到右顶点到的距离最小，再利用两点距离公式与二次函数的性质得到，从而得解. 【详解】因为椭圆的右焦点， 而是的中点，则 因为椭圆C上到点的距离最小的点有且仅有一个， 又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点， 而左右顶点中，右顶点更靠近点， 所以右顶点到的距离最小， 设是椭圆上的点，， ， 对于，其开口向上，对称轴为，定义域为， 要使在处取得最小值， 则在上单调递减， 所以，即，则， 又，所以. 故答案为：. 4.（23-24高二上·甘肃兰州·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足，，为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，由，得到，再根据，得到，再由，得到，再解不等式，即可求出结果. 【详解】设，，又，， 所以，，又，得到， 即，得到，，所以， 因为，， 又，所以，整理得， 由，消得， 解得或，又，所以舍去， 所以，即， 整理得，解得，又， 所以， 故答案为：. 考点六、与椭圆有关的最值与取值范围问题 1.（2024·河南·三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用椭圆的几何性质得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，椭圆短轴长为，得，则， 又的最大值是最小值的3倍，即， 所以，所以，则其焦距为. 故选：D 2.（2024高三上·全国·竞赛）设椭圆的左､右焦点为，椭圆上一点和平面一点满足，则的最大值与最小值之和是（    ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】B 【分析】设,根据，求得，利用两点间的距离即可求出答案. 【详解】可以设，因为，，得到，所以， 那么， 所以，最小值和最大值之和为. 故选：B 1.（23-24高三下·福建·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线与x轴的交点为Q，设，有，，由两角差的正切公式可得，再由基本不等式求最值. 【详解】由题意有，，， 设直线与x轴的交点为Q， 设，有，， 可得， 当且仅当时取等号，可得的最大值为. 故选：D．    2.（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当时，取得最小值为3. 【详解】设，由余弦定理得，即； 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此， 在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此， 则． 所以， 当且仅当时等号成立 故选：A 3.（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解. 【详解】由题意知，，且圆在椭圆内， 当与圆相切时，取得最小值， 此时， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 4.（2024·山东泰安·模拟预测）已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，由基本不等式可得，则由，代入即可得到答案. 【详解】由题知，，，即，，则， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以， 所以 （当且仅当时，等号成立）． 故选：D. 考点七、直线与椭圆的位置关系 1.（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将直线与椭圆的位置关系转化为方程组联立后的根的个数问题，借助得到，以及椭圆的长轴长概念得解. 【详解】将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 2.（2024·江苏南京·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，设，满足①， 当时，可得：②， ①②联立， 所以当是锐角时， 再由，得到，开方得第一象限曲线解析式：， 求导可得：当时，，即此点处的切线斜率为； 结合图象可知：圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是 故答案为： 1.（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得． 【详解】椭圆，即：， 设椭圆上两点关于直线对称，中点为， 则，， 所以， 所以，所以， 代入直线方程得，即， 因为在椭圆内部，所以， 解得 ， 即的取值范围是． 故选：B． 2.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程变形，分析曲线为半椭圆形状，再由直线与椭圆的位置关系，利用代数法求解判别式，结合图形分析范围可得答案. 【详解】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 3.（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点，点满足． (1)求的取值范围； (2)判断直线与椭圆的位置关系． 【答案】(1) (2)椭圆与直线相离，没有公共点． 【分析】（1）由题意可知点在椭圆内部，且不与原点重合，由椭圆的定义和平面几何性质可得； (2)方法一：运用极点极线知识进行迅速判断；方法二：根据直线方程，分成两种情况考虑，①当时分析直线与椭圆的交点情况，②当时，联立直线与椭圆方程，分析其判别式的符号即得． 【详解】（1） 依题意知，点在椭圆内部且与原点不重合．由椭圆方程得，由数形结合可得， ①当点在线段上且不与原点重合时，； ②当点在线段的延长线或反向延长线上时，； ③当在椭圆内部且不在直线上时，如图延长交椭圆于点，连接， 则， 且， 综上，的取值范围为． （2）解法一：由题意知，点和直线恰好是椭圆的一对极点和极线， ∵点在椭圆内，∴极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零． 解法二： 当时，直线，直线方程可化为， 由可得，，则或， ∴，而椭圆上的点的横坐标的取值范围是， ∴此时椭圆与直线无公共点； 当时，由，消去可得， ， 则 由，则，故 ， ∴此时椭圆与直线无公共点． 综上所述：椭圆与直线相离，没有公共点． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的判断，属于较难题. 解题关键在于对所给直线方程中的参数进行分类，结合图形判断直线与椭圆关系，或者联立消元得到一元二次方程后，利用根的判别式进行判断. 4.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆过点和. (1)求的离心率； (2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆过点和，求得，进而求得，即可得到的离心率； （2）联立和的方程，得到关于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程. 【详解】（1）因为椭圆过点和， 所以，解得， 由，得， 所以的离心率. （2）    由（1）可得的方程为，， 联立，得， 由，得， 直线的一般式方程为：. 考点八、椭圆中点弦问题 1.（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，结合“点差法”，即可求解. 【详解】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 2.（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解． 【详解】设，由题可知，， 则，所以，即，解得， 所以，则， 所以， 故选：B． 1.（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 2.（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 3.（24-25高三上·河南·开学考试）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，已知四点共圆，则圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】由圆心在弦的中垂线上，利用对称性可得中垂线方程，再联立椭圆方程利用韦达定理求出中点坐标，进而求得中垂线方程，联立两中垂线方程可得圆心. 【详解】由对称性可知，圆心在线段的中垂线上，也在线段的中垂线上， 设的中垂线，中点为， 设直线与椭圆交点， 联立消得，， 由韦达定理得，， 故，又点在直线上， 则，解得， 联立，解得，所以所求圆的圆心为. 故答案为：. 4.（2024·河北衡水·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】设A，B两点坐标分别为，利用点差法可得，结合，即可求得a的值，再结合的周长为4a，即得答案. 【详解】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 考点九、椭圆弦长问题 1.（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为． (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程； (3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据椭圆的定义求得，即可求解； （2）由题意设，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，结合的面积建立方程，计算即可求解； （3）由（2）可得，进而，则 ，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以， 故的方程为． （2）易知的斜率不为0，设， 联立，得， 所以． 所以， 由， 解得， 所以的方程为或． （3）由（2）可知， 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 得． 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为．    2.（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程和椭圆面积公式，即可求解； （2）直线与椭圆方程来努力，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）椭圆的方程为，所以，， 则，， 所以椭圆的面积； （2）联立，得， ，，， . 1.（2024高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆C的中心在原点O，左焦点为，左顶点为A，且为AO的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆方程为：，椭圆方程为：（，且），则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆．已知是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线交椭圆于两点，试求弦长的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）先写出相似椭圆的方程，设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、距离公式进行求解. 【详解】（1）∵椭圆C的中心在原点O，左焦点为，∴，， ∴，椭圆C的方程为． （2） 椭圆C的3倍相似椭圆的方程为：， ①若切线垂直于轴， 则其方程为：，解得，； ②若切线不垂直于轴， 可设其方程为， 将代入椭圆方程，得，，即， 设两点的坐标分别是， 将代入椭圆方程，得， 此时，， ， 由于，所以，即， 综合上述． 2.（2024高三·全国·专题练习）已知直线：交椭圆：于A，B两点，为椭圆上一点． (1)证明； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 ； (2)32． 【分析】（1）先联立直线与椭圆方程求解A，B坐标关系式，由，得，将垂直关系转化为对应向量的数量积等于0证明结论； （2）第一步：求解及点到距离, 第二步：由等面积法得,设，由二次函数的性质即可求解最大值. 【详解】（1） 联立直线与椭圆方程，，得， 设，，∴，， ∵ ， ∴ （2）设为点到直线的距离，则， 由弦长公式得 ． 由三角形面积得， 设，则， 由于， ∴，当，即时，等号成立， ∴的最大值为32． 3.（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； （2），故可设，，， 联立，消去可得， ，即， ，， 则 ， 则当时，有最大值，且其最大值为. 4.（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入椭圆方程，即可求出椭圆C的标准方程； （2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于的关系式，再分析即可得解； 【详解】（1）由题意可知，将点代入椭圆方程， 得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，， 当直线l的斜率为0时，， 当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，，， 联立，消去，得， 易得，则， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 综上，，即的范围是. 考点十、椭圆中的面积问题 1.（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，椭圆C的右焦点与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A，若，求l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可求出，设，由的面积为可求出点P，由椭圆的定义即可求出，结合，即可求出椭圆C的方程； （2）由可得，求出直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程可得求出点，即可求出l的方程. 【详解】（1）由抛物线方程知，所以， 设，则， 又点在抛物线上，所以， 解得，即， 根据椭圆定义， 解得，，所以，所以椭圆C的方程为. （2）因为，所以，又， 直线，联立， 消去y得，，解得或， 当时，， 当时，， 所以或， 又因为直线l过点， 所以或， 可求得直线l的方程为或， 即或. 2.（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知和为椭圆C：上两点. (1)求C的离心率； (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为3，求点B的坐标. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）将和分别代入即可求解； （2）求出，由三角形的面积可知点B到直线的距离，因为B在椭圆上，用参数方程可假设点B的坐标，进而运用点到直线的距离即可求解点B的坐标. 【详解】（1）将和代入椭圆C可得，解得 ，∴. （2）因为、， 所以 由点斜式可知直线，即 ， 设点B到直线的距离为d，则 即 , 解得. 因为过P的直线交C于另一点B，可设, 则， ， 或， 当时，, 解得 ， 当时， 此时; 当时， 此时; 当时，，解得， 所以,，此时; 综上所述或或 1.（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义列方程组求解即可； （2）利用弦长公式和平行直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得， 则椭圆的方程为． （2）易知四边形为平行四边形，设， 联立直线与椭圆消去并整理得， 由韦达定理得 ， 因为与平行，所以这两条直线的距离， 则平行四边形的面积． 2.（24-25高三上·重庆·阶段练习）椭圆过点且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）代入点坐标并于联立计算可得，求出椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用向量数量积的坐标表示以及韦达定理即可得出，再由弦长公式计算可得结果. 【详解】（1）将代入椭圆方程可得，即， 又因为，所以，代入上式可得， 故椭圆的标准方程为； （2）由(1)可得， 设直线的方程为，如下图所示： 联立，得， 所以， 则， 所以 ， 解得，即， 所以， 则的面积. 3.（24-25高三上·河南·开学考试）已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6． (1)求点到上的点的距离的最小值； (2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为． ①证明：直线过定点； ②已知为坐标原点，求面积的取值范围． 【答案】(1)2 (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）设是椭圆上一点，则，表示出结合已知求得，进而求得点到上的点的距离的最小值； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（），联立直线和的方程，根据韦达定理即可证明；联立直线的方程和的方程，根据韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式及函数单调性即可求解． 【详解】（1）设是椭圆上一点，则，所以， 所以（）， 因为，所以当时，， ，解得或（舍去）， 所以，所以当时，． （2）①证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为（）， ，，，联立直线和的方程， 得消去并化简，得， 所以， 解得，且． 又点在点的右侧，则，且，， 所以直线的方程为， 所以， 因为 ， 所以，所以直线过定点． ②由①知直线的方程为，设，则， ，将，代入， 可得，由，且， 得的取值范围为． 由消去并化简得， 则， ，． ， 原点到直线的距离为， 所以， 令，由的取值范围为，得的取值范围为． 又函数在上单调递增，所以，的值域为． 所以的取值范围是， 所以面积的取值范围为． 4.（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出即可得解； （2）由题意引入参数表示的斜率，进一步表示出的坐标（含参），结合弦长公式、点到直线的距离公式表示两个三角形的面积即可得证. 【详解】（1）由题意可得，注意到，，解得，故椭圆方程为； （2） 由题意， 因为点不与椭圆顶点重合，所以直线斜率存在且不为0，且不等于， 所以设， 联立，显然， 由韦达定理可知，从而， 所以， 在中令，得，所以，     易知，联立，所以， 注意到直线的斜率为， 所以， 联立，所以， 记点到的距离、点到的距离依次为， 则， 同理， 综上所述，与的面积相等，命题得证. 考点十一、椭圆中的定值、定点、定直线问题 1.（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点. （ⅰ）求与的面积之比； （ⅱ）证明：为定值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据离心率及三角形的面积列出方程组求解即可； （2）设出直线方程，直线与椭圆交点坐标，联立直线方程与椭圆方程，可得出根与系数的关系，（ⅰ）表示出三角形的面积，由根与系数的关系化简可得解，（ⅱ）直接由两点间的距离公式及根与系数的关系化简即可得证. 【详解】（1）根据题意，可得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）如图所示： 由椭圆方程知，，故， 设直线的方程为，则，， 联立方程，消去，整理得， ，得且， 设，，则，. （ⅰ），， ， 与的面积之比为1. （ⅱ）证明： . 综上，. 2.（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点． (1)求的标准方程； (2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设，根据题设得到，从而得到，即而有和，联立即可求解； （2）设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消得到，从而得到， ，同理求得，，即可求解. 【详解】（1）设，且， 因为，又， 所以，解得， 又点在上，所以①，又②，联立①②，解得， 所以的标准方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为， 由，消得到， 所以，得到，所以， 同理可得，， 所以为定值， 即直线的斜率为定值，定值为. 1.（24-25高三上·贵州·开学考试）已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点． (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）由实轴长为6，得，由离心率为，得，再由得，即可得到双曲线C的方程； （2）设，，直线，直线与双曲线联立方程得，根据韦达定理得，，根据斜率公式得，最后代入化简计算即可得证. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为6，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，解得， 由，得，则C的方程为． （2）    设，，因为直线过定点，显然直线l不垂直于轴，则设直线， 联立方程组，消去x得， 由，得， 则，， 因为A为双曲线C的左顶点，所以， 直线AE的斜率，直线AF的斜率， 所以 ， 即直线AE与AF的斜率之积为定值． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于设出直线l的方程，然后直曲联立，利用韦达定理，代入的表达式，化简即可得到定值. 2.（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，若四边形面积为4，椭圆C离心率为； (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点Q是椭圆C上异于，的一动点，过定点与动点Q的直线与椭圆C交于另一点P，记直线，的斜率分别为，，若直线PQ的斜率存在，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和菱形面积列式求解，即可求解椭圆方程. （2）设直线PQ的方程，与椭圆联立，韦达定理，代入两点式斜率公式化简求解即可. 【详解】（1）由题意得，且，又， 解得，，所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，由（1）得，， 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，其中， 将直线方程代入得，， 其判别式为， ∴或，且， ∴，， ∴ . 3.（2024·浙江温州·模拟预测）已知椭圆： ，左右顶点分别是，，椭圆的离心率是.点是直线上的点，直线与分别交椭圆于另外两点，. (1)求椭圆的方程. (2)若，求出的值. (3)试证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意结合计算即可得； （2）设出点坐标，借助斜率公式计算即可得； （3）设出直线方程，联立曲线方程，借助韦达定理与（2）中所得计算即可得. 【详解】（1）由题意可得，，即， 所以，则椭圆； （2）设，由于，则； （3）显然MN斜率不为0，设：，，， 联立方程，则有， ， 则有，， 由于，则， 因为， 故， 即，解得或， 当时，，故舍去，即，适合题意， 故: ，则直线过定点. 4.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切. (1)求的方程； (2)设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点， ①证明：直线经过定点； ②求的内切圆半径的范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意得，解方程组可求出，从而可得椭圆的方程； （2）①设的方程为，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点三点共线且斜率一定存在，可求得，即可求证直线过定点， ②再结合为椭圆右焦点，所求内切圆半径为，则，化简换元后可求出其范围. 【详解】（1）依题意， 解得，， 所以的方程为. （2）①因为不与轴重合，所以设的方程为， 设点，，则 联立，得， 则，，    因为点，，三点共线且斜率一定存在， 所以， 所以，将，代入 化简可得，故，    解得，满足 所以直线过定点，且为椭圆右焦点    ②设所求内切圆半径为，因为， 所以    令，则， 所以， 因为，对勾函数在上单调递增， 所以，则. 所以内切圆半径的范围为.      【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 1．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）若椭圆的离心率为，则实数的值等于 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类列式计算即得. 【详解】当椭圆的焦点在x轴上时，，解得， 当椭圆的焦点在y轴上时，，解得， 所以实数的值等于或. 故答案为：或 2．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为， 所以右焦点坐标为. 又椭圆经过点， 所以. 所以椭圆的方程为. （2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，. ②当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程， 由，得， 则， . 设直线的方程为，同理得， 所以， 设，则， 则， 所以时，有最小值. 综上，的最小值是. 3．（2022·天津宝坻·二模）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据的面积为列出关于的等式化简即可得到离心率 （2）先设出直线方程与椭圆方程，联立方程组可解得点的坐标，再根据列出关于的方程，解出即可；联立椭圆和直线方程，可得到点的坐标，进而可求得 ，再根据椭圆的定义列出关于的一个方程，解出即可 【详解】（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即． 又因为，解得．所以，椭圆的离心率为 （2）（ⅰ）依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为． 由（Ⅰ）知，可得直线的方程为，即，与直线的方程联立， 可解得，即点的坐标为． 由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为． （ⅱ）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为． 由（ⅰ）得直线的方程为 与椭圆方程联立 消去整理得 解得（舍去）或． 因此可得点， 进而可得 所以．得． 所以，椭圆的方程为 4．（20-21高三下·天津河西·阶段练习）已知、分别是椭圆的左、右顶点，且，点是椭圆上位于轴上方的动点，点与点关于轴对称，且线段的长度最大为2，直线，与轴分别交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求线段的长度的最小值． 【答案】（1）；（2）2． 【分析】（1）分别根据，，解得，，进一步即可求得椭圆方程； （2）根据题意，分别求出点、点的坐标，再运用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题可知：，，所以，， 所以椭圆的方程为：； （2）设直线的方程为，从而可知点的坐标为， 联立方程，解得点的坐标为， 所以， 所以可得的方程为：，从而可知点的坐标为， 所以，当且仅当时取等号， 故当时，线段的长度的最小值为2． 5．（2021·天津·一模）已知椭圆的短半轴长为1，离心率为. （1）求的方程； （2）设的上､下顶点分别为､，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据短半轴长和离心率求出，可得椭圆的方程； （2）设，求出点的坐标，利用斜率公式求出和，再相乘可得结果. 【详解】（1）依题意可知，，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意可知，， 设，则，直线：，令，得，即， ，， 所以 . 1．（24-25高三上·天津西青·阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点与上顶点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且点不在轴上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件得出关于，再由以及可得出、的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求得线段的中垂线方程，进而可求得点的坐标，由为等边三角形可得出，可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：（1）由题意可知离心率，即可得， 且，又，解得，， 所以椭圆C的方程为. （2）解：如下图所示： 由题意可知，结合图形可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为， 因为点不在轴上，则，直线的方程为， 设，联立可得， 显然是方程的一个根， 由韦达定理可得，则， 所以，即， 可得的中点为， 所以直线的垂直平分线方程为， 令，解得，即， 若为等边三角形，则， 即， 整理得，解得或（舍），所以，， 所以，直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）小问的关键在于设出直线的方程求出后，进一步求出点、的坐标，结合得出关于的方程求解. 2．（2023·天津和平·三模）已知椭圆的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由椭圆的基本性质，利用求解即可. （2）先表示直线，则需考虑斜率存在不存在两种情况，斜率不存在时，可算出，斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立求解，找出，进而得到，又在线段的垂直平分线上，可求出，最后由代入向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）设椭圆焦距为，依题意：，解得 又因为，所以，所以，椭圆的方程为． （2）由（1）可知，设点，，中点为， （ⅰ）若直线的斜率不存在，，线段的垂直平分线为轴， ，代入， ，有． （ⅱ）如图所示：    若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 解得，（舍去），即， 则中点，由题意， 所以．线段的垂直平分线方程为， 令，则，所以， ，， ，解得， 代入，则， 综上：或． 3．（2024·天津·模拟预测）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，. ①求证：直线过轴上的定点； ②求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题意和椭圆的的关系列方程解出即可； （2）设直线，的方程分别为：，，分别联立椭圆方程，①：由韦达定理表示出的坐标，求出直线方程，即可证明；②：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，三角形面积公式即换元法求导分析单调性求得结果即可； 【详解】（1） ∵离心率为，，∴， ∴，，则，∴椭圆的方程的方程为：； （2） ①由（1）得，， 直线，的方程分别为：， 由，得 ∴， 可得，， 由，可得 ∴，可得，，， 直线的方程为：， 可得直线过定点， ②设的方程为：，由得， 设，，则， ∴， ∴的面积 令，（），则， ∵，且函数的导数为， 因为，所以恒成立，所以在递增， ∴当，即时，取得最大值. 4．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知椭圆的离心率为，、分别是的上､下顶点，、分别是的左､右顶点，. (1)求的方程； (2)设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解得即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得. 【详解】（1）依题意得，则， 又、分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为， 所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则， 所以 ， 即直线的斜率为. 5．（2024·天津·二模）已知椭圆的左､右顶点分别为和，上顶点为，左､右焦点分别为和，满足. (1)求椭圆的离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为和，且的面积为，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由以及满足的关系即可列出方程组，得到关于的齐次方程，进而得解； （2）设直线方程为，将其与椭圆方程联立可表示出点的坐标，结合可表示出斜率，联立的方程与直线得出的坐标，进而得的斜率，由此结合斜率的积为-1可以判定，从而可定出的外接圆的圆心、半径以及圆的方程，进一步可以证明是等边三角形，边长，由此即可得解. 【详解】（1），解得，则. （2） 由（1）知椭圆方程为， 因为点在椭圆上（异于椭圆左､右顶点），所以直线斜率不为0， 设直线方程为，联立， 得，解得，代入， 解得. 又因为，联立，解得， 所以， 因此，所以，垂足为 因此的外接圆是以为直径，中点为圆心的圆，半径为. 因此圆的方程为， 因此. 所以是等边三角形，边长， 因此，解得. 因此椭圆的标准方程为. 6．（2024·天津·二模）设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再利用三角形面积列出方程求解即得. 【详解】（1）依题意，，，令椭圆半焦距为c，由，得，， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，， 由消去得：， 则，解得，，又， 由（1）知，，， 由，得， 即，解得，满足， 所以直线的方程. 1.（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2.（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 3.（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中． (1)求椭圆方程． (2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 4.（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据的坐标及 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 5.（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【详解】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，        易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 6.（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！69 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$