第35讲双曲线的方程与几何性质（11类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第35讲 双曲线的方程与几何性质 （11类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第8题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 2024年天津卷，第12题,5分 求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线 2024年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围 2023年天津卷，第9题,5分 求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程 2023年天津卷，第12题,5分 由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 2023年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形) 2022年天津卷，第7题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线 2022年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2022年天津卷，第19题,5分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 2021年天津卷，第12题,5分 切线长 已知切线求参数 2021年天津卷，第8题,5分 已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 2021年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的切线方程 2020年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2020年天津卷，第7题,5分 根据双曲线的渐近线求标准方程 2020年天津卷，第18题,5分 讨论椭圆与直线的位置关系 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分或15分 【备考策略】1.理解、掌握双曲线的概念，能够求解双曲线的标准方程 2.能掌握双曲线的几何性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与双曲线的位置关系问题 4.会解双曲线的离心率，与弦长等问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般要求求解双曲线的标准方程，离心率，切线与弦长等问题。 知识讲解 知识点一.双曲线的概念 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2.注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 知识点二.双曲线的标准方程和简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 简单几 何性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，且e∈(1，＋∞) 知识点三.与双曲线定义及标准方程相关结论 1.在双曲线定义中，当2a＝|F1F2|时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在. 2.在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简单套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一步运算． 3.已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程. 4.双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线. 5.直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个公共点时，要注意两种情况的可能性. 6.与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0). 知识点四.与双曲线几何性质相关结论 1.离心率e＝＝，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔. 2.焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”. 3.通径长为. 4.P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2). 知识点五．直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点 考点一、双曲线的定义 1.（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线 ，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    2.（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 1.（2024高三·全国·专题练习）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 2.（24-25高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得，再利用双曲线定义及勾股定理求解即得. 【详解】令双曲线的半焦距为，由离心率为2，得， 取的中点，连接，由，得，则， 连接，由为的中点，得，，， 因此，即，整理得， 而，所以. 故答案为：    3.（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 【答案】9 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有， 因为，解得， 由双曲线的定义：， 解得或， 由图可知，可知被舍去， 所以. 故答案为：. 考点二、双曲线的标准方程 1.（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到圆的圆心和半径，进而得到，利用双曲线的渐近线和圆相切，得到，整理得到，再结合，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径，所以， 又双曲线的两条渐近线为，即， 由题知，整理得到，又，得到， 所以，，得到双曲线的方程为. 故选：B. 2.（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 1.（2024高三上·全国·专题练习）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】由题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案． 【详解】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为. 又该双曲线经过点，则，解得， 则要求的双曲线的标准方程为. 故选：D. 2.（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为，由双曲线的定义可知， 所以， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 3.（2022·四川成都·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出该方程表示双曲线时的的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项． 【详解】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ， 对于A，是充要条件，A不是； 对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是； 对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是； 对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是. 故选：B 4.（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，根据双曲线的定义得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】双曲线中，，则， 设，， 由双曲线的定义可得， 则 ， 当且仅当，即，即，时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 考点三、双曲线的渐近线 1.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据设出，与双曲线渐近线方程联立分别求出，，易得四边形是平行四边形，则得，再结合，从而可求解. 【详解】设坐标原点为，易知的渐近线的方程为， 联立解得， 不妨取，同理可得， 则， 因为四边形是平行四边形， 于是， 由于点在上，所以，因此，故C正确. 故选：C． 2.（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案. 【详解】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 1.（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据离心率得到渐近线方程，由垂径定理得到弦长. 【详解】由，得，解得， 所以双曲线的一条渐近线为， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长为. 故选：D. 2.（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将双曲线方程写成标准形式，再根据渐近线方程公式求解即可. 【详解】双曲线即，故渐近线方程为. 故选：B 3.（24-25高三上·浙江金华·阶段练习）若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用已知可得，求解可得渐近线方程与焦点坐标，利用点到直线的距离可求焦点到渐近线的距离. 【详解】由双曲线的方程可得，解得， 所以，所以双曲线的焦点在轴，且， 所以，又双曲线的离心率为3，所以， 解得，所以，，， 所以焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离. 故答案为：. 4.（23-24高三上·广东·阶段练习）是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为 . 【答案】4 【分析】首先根据渐近线求出，进而得出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】双曲线（）的渐近线方程为，故， 所以右焦点F的坐标为，F到直线的距离. 故答案为：4. 考点四、焦点三角形 1.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，则，，再根据双曲线的定义求出，从而求出离心率. 【详解】设，因为为等边三角形，则，， 又， 所以双曲线的离心率. 故选：A 2.（2024·西藏·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据双曲线定义得到，，由勾股定理逆定理得为直角，在中，由勾股定理得，故，设的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，得到方程组，联立得 【详解】因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上， 所以． 又，，，所以， 解得，， 所以，所以是直角． 在中，，所以， 解得， 所以，即． 又的外接圆交双曲线的一条渐近线于点， 所以，所以点的坐标满足，解得， 所以，故. 故选：D． 1.（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】3 【分析】设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】 如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 故答案为：3 2.（24-25高三上·上海·阶段练习）地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站在公路上（为直线），且，相距28，地震局以的中点为原点，直线为轴，1为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据两站收到的信息，并通过计算发现震中在双曲线的右支上，且，则到公路的距离为 . 【答案】 【分析】先利用双曲线的性质计算焦距与，然后计算该焦点三角形的面积，利用等面积法计算到公路的距离即可. 【详解】设双曲线的焦距为， 由题意得，，则，解得， 由双曲线的定义得， 又， 即， 三角形的面积， 设到公路的距离为，则，得， 即到公路的距离为. 故答案为： 3.（24-25高三上·山西运城·开学考试）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 4.（24-25高三上·重庆·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】2 【分析】法一：设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积.法二：利用焦点三角形的面积公式快速求解. 【详解】    解法一：如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 解法二：如图，的面积为. 故答案为：2. 考点五、双曲线的离心率 1.（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知抛物线上的点到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E的焦点与双曲线的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，若，则双曲线的离心率为（   ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先由题意结合抛物线焦半径得，从而得，将其代入可求出E，进而得，再由双曲线渐近线方程和点到直线距离公式以及勾股定理得，求出结合离心率公式即可得解. 【详解】由题意可得且抛物线E上的到其焦点的距离是，它到y轴距离是， 所以，即， 将代入得， 所以，焦点为，所以， 又，双曲线渐近线方程为， 不妨假设是过A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q， 则双曲线的对称性可知A和B到渐近线的距离相等为， 所以 ， 所以即，则双曲线的离心率为.    故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是由题意结合抛物线焦半径得，从而求得，将其代入抛物线求出E得，关键点2是由双曲线渐近线方程和点到直线距离公式以及勾股定理得即得，进而结合离心率公式得解. 2.（22-23高三下·河南安阳·开学考试）已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，点M是Γ上不与顶点重合的一点，满足，则Γ的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】首项确定点在左支上，作的内切圆P，设内切圆P与切于点C，证明C点为双曲线的左顶点，从而根据，得到，从而得到，求出离心率. 【详解】因为，所以，，所以， 故M点在左支上，作的内切圆P，设内切圆P与切于点C，与切于点B，与切于点A， 连接，，PA，PB，PC，则，，， 且平分，平分， 由双曲线的定义可知：， 因为，，， 所以， 设点A坐标为，则，解得，故点A为双曲线的左顶点， 因为，所以，， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 1.（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，过作，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过作于，则，而为线段中点， 于是，， 由，得，，， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 2.（22-23高三下·河北·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为渐近线上一动点，且在第一象限内，为坐标原点，当最大时，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，然后表示出的斜率，利用到角公式表示出，最后结合基本不等式求出取得最大值时的条件，结合此时，即可求出离心率. 【详解】 由已知得，渐近线方程为，设， 则 所以 ，当且仅当即时等号成立， 此时，即， 即解得或（舍去）. 故选：D 3.（24-25高三上·河北·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求点到双曲线的渐近线的距离，由条件列方程，化简可求离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则右焦点的坐标为，， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在渐近线上，则， 所以，因为，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 4.（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的对称性得出一条渐近线的倾斜角，从而判定关系，再求离心率即可. 【详解】根据双曲线的对称性可知该双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以， 则其离心率为. 故答案为： 5.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【详解】由，可得在双曲线的右支上， 因为，，所以， 所以，所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 考点六、双曲线离心率的取值范围 1.（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B 2.（2024·全国·模拟预测）已知过点可作出双曲线的两条切线，切点都在双曲线的同一支上，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，点必须在渐近线轴和双曲线围成的区域内（不包括边界），可得，结合的关系求解即可. 【详解】要满足题意，点必须在渐近线轴和双曲线围成的区域内（不包括边界），如图， 所以，得，∴，∴，，即． 故选：D． 1.（2024·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可得的周长为，求得，再由过焦点的弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由双曲线的定义可得， 两式相加可得， 则的周长为，即， 再由，可得，解得， 由. 故选：A 2.（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义及性质将转化为关于双曲线基本量的不等式，结合列出不等式，进而求出离心率的取值范围，得到答案. 【详解】由双曲线的对称性不妨取为的右支上一点， 可得，即， 又由由可得，即， 因为的最小值为，（当点为的右顶点时，取得最小值） 故只需，即． 所以，得，故的离心率的取值范围为． 故选：D. 3.（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据点在双曲线上和，可求最小时，的取值范围，从而得离心率的范围. 【详解】根据题意，结合双曲线的对称性可知， 存在以点为圆心的圆与双曲线的右支有四个交点， 所以当双曲线上的点到点P的距离最小时，点Q不可为双曲线的右顶点， 设点，则， 又因为由，可得， 所以， 要使最小，，则，解得， 所以， 又因为双曲线中，所以. 故选：A 4.（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由切线长定理可知，根据得，设点，由根据的范围可得答案. 【详解】连接、、，则，， 由切线长定理可知，，又因为， 所以，，所以，， 则， 设点，则，且，所以， ， 所以，，故. 故选：B. 考点七、直线与双曲线的位置关系 1.（2024·广东广州·模拟预测）若双曲线的右支上存在两点，使直线垂直于双曲线在点处的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设在轴上方，则双曲线在点处的切线斜率，结合垂直直线的斜率关系可得，由直线与双曲线的位置关系可得，解不等式可得的范围. 【详解】由题，不妨在轴上方，则双曲线在点处的切线的斜率为， 因为双曲线上一点的切线斜率的绝对值大于渐近线斜率的绝对值， 所以， 又，故， 又与双曲线右支有两个交点且斜率为负， 所以， 故 所以. 故选：D. 2.（2024·四川内江·模拟预测）已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则直线的方程为，与双曲线方程联立，得， ，由，得，从而求得，由此可得直线的方程. 【详解】设，直线的斜率为，则直线的方程为， 联立， 则①， ② 因为，则③， ①③联立解得，代入②得， 则直线的方程为或， 故答案为：C 1.（24-25高三上·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】首先由双曲线方程求出点的坐标，并设出过点的直线方程，然后借助直线与双曲线联立，得到和与积的关系，再由，得到的等量关系，从而解出的值，最后根据弦长公式求出得长. 【详解】 由可得.根据对称性，不妨设过点的直线为， 联立可得. 设，则.① 由，则，又所以.② 由①②可得，所以， 解得或（舍），， 所以. 故选：D. 2.（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知双曲线，点N的坐标为，其中，存在过点N的直线与双曲线C相交于A，B两点，且点N为弦的中点，则点N的坐标是 .（写出一个符合条件的答案即可） 【答案】（或，） 【分析】法一：设，，通过点差法得到直线方程，再联立双曲线方程，由，即可求解； 法二：由双曲线渐近线方程，确定在双曲线靠原点的一侧，从而判断A，B一定位于双曲线的两支上，进而得到，即可求解. 【详解】法一： 设，，则，， 两式相减得到， 又，，因此， 所以直线的方程为， 与双曲线联立得， 即， 因此， 整理后得到. 所以点N的坐标可以为，，. 故答案为：（或，） 法二： 由题意易知，双曲线的渐近线为， 因为，所以在双曲线靠原点的一侧， 又因为点N为弦的中点，故A，B一定位于双曲线的两支上， 所以，即. 所以点N的坐标可以为，，. 故答案为：（或，） 3.（23-24高三下·北京·开学考试）已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需直线的斜率大于等于渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为, 若双曲线与直线无公共点， 只需, 解得. 故的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 4.（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程. 【详解】如下图所示： 方法一： 根据题意，设切点坐标为， 根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是． 则可得切线的方程分别为，； 又因为在切线上，可得，； 因此在方程的两根， 可知直线的方程为，也即. 方法二： 可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即 考点八、双曲线的弦长问题 1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，进而可求直线的方程，联立方程组可求弦长. 【详解】由，得. 双曲线的渐近线方程为，， 因为到的渐近线的距离为，所以，解得，所以， 过的直线与圆相切于，则可得， 所以， 过且与圆相切的直线方程为， 联立方程组，消去得.设， 则，所以 . 故选：D. 2.（2024·北京·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】根据对称性不妨设过的直线为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得． 【详解】双曲线中，，，则， 根据对称性不妨设过的直线为， 联立，可得， 则 设，，则，，① 由，可得， 即有，② 由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），， 所以． 故选：C． 1.（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 2.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. (1)求直线斜率的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，直线的方程为，与椭圆联立消x得，利用韦达定理结合已知列不等式，根据直线与圆的位置关系列不等式求解m范围，即可得解. （2）利用弦长公式求解，利用垂径定理求得，从而求得的表达式，然后设，利用二次函数性质求解范围即可. 【详解】（1）设，由题意可得直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为， 与联立得， 所以， 又两点在轴同一侧，所以.此时，即. 圆的方程为，点到直线的距离， 由得，由得，所以或 因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是. （2）由（1）可得 . ， 所以 设，则， 所以的取值范围是.    3.（2024·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角得到，由焦点到渐近线方程的距离得到，，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由根的判别式及得到不等式，求出，再利用直线与圆相交得到不等式，求出，直线AB的斜率，从而得到直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）由弦长公式和垂径定理得到，其中，设，，从而得到. 【详解】（1）因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是.    （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 4.（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的离心率为，焦距为． (1)求的标准方程； (2)若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出的方程运算得解； （2）设直线的方程为，代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得的范围，由弦长公式求得，再求得的坐标得线段长，然后计算比值，由的范围求得结论． 【详解】（1）因为的离心率为，焦距为， 所以，解得，所以． 所以的标准方程为． （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 不妨设分别在左､右位置，联立，得， 联立，得， 所以 ， 联立，得， 设，则， 由，即， 所以 ， 所以， 又，所以， 所以的取值范围为． 考点九、双曲线的面积问题 1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，写出直线的方程，联立渐近线求出和，求出三角形面积. 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为. 不妨设直线为过右焦点且与渐近线垂直的直线， 则直线的方程为，联立， 解得，即. 同理，联立，解得，即， 所以. 故答案为：. 2.（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点， 所以，即， 所以双曲线的方程为，即． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 1.（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和，及点在双曲线上，求出，即可求出的方程； （2）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用，即可求出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为，又由题意得 ，则有， 又点在双曲线上，故，解得， 故的方程为. （2） 根据题意，直线的斜率都存在且不为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以. 令，所以， 则， 当，即时，等号成立. 故四边形面积的最小值为. 2.（2024·吉林长春·模拟预测）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆 （），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍． (1)求椭圆伴随双曲线的方程； (2)点为的上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，根据离心率公式得到方程，求出，即可得解； （2）设直线的斜率为，，，直线的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出，由，求出，再由可得，即可得解. 【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为，， 依题意可得，，即， 即，解得， 所以椭圆C：， 则椭圆C伴随双曲线的方程为． （2）    由（1）可知，， 设直线l的斜率为k，，，则直线l的方程， 与双曲线联立并消去y，得， 则， 所以，，则， 又， 又，解得或（舍去）， 又， 所以 ， 因为，所以． 3.（24-25高三上·河北保定·开学考试）已知双曲线的实轴长为4，离心率. (1)求的方程； (2)过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求解； （2）根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到的取值范围，当切线斜率最大时可得此时的值，再由弦长公式，结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，又， 所以，则双曲线的方程为. （2） 设切线的方程为，则原点到的距离为1， 得，即. 由，得. 因为切线过上一点， 所以，方程有解. 得，化简得， 又，解得， 所以切线斜率最大为，此时直线为. 不妨取切线方程为， 设与的渐近线交于， 则的渐近线方程与联立得，， 则，得， 又原点到直线的距离为1，所以面积为， 即切线斜率最大时与的渐近线围成的三角形面积为. 4.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且 (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解； （2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由及双曲线的定义知，，即， 所以双曲线的方程为：，其渐近线方程为； （2）由题意可知，作出图形如图所示 设，由题可知， 联立， 所以， 点到直线的距离， 所以 ， 令，化简得：，解得：或， 所以或. 考点十、双曲线的中点弦 1.（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法结合选项得出方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可. 【详解】设的中点， 所以， 易知， 由点差法可得 ， 若，此时， 与双曲线联立， 即与双曲线只有一个交点，故A错误； 若，则此时， 与双曲线联立 ， 即与双曲线有两个交点，故B正确； 若，则此时， 与双曲线联立， 即与双曲线有一个交点，故C错误； 若，则此时， 与双曲线联立，显然无解， 即与双曲线没有交点，故D错误； 故选：B 2.（2024·广东肇庆·一模）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】解：设，，可得，， 两式相减可得， 点是弦的中点，且直线：， 可得，，， 即有，即， 双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故选：B． 1.（2024·湖北·模拟预测）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【分析】由题意，取的中点，根据中点弦结论、三角形重心和外心的定义以及离心率公式进行求解即可. 【详解】不妨取的中点. 因为的重心为，且在中线上， 所以. 由中点弦结论知，， ， ， 因为， 所以， ， 又由，可得的外心为的中点， 于是由中点弦结论知，又， 所以，即. 由得，， 解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：2. 2.（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为. (1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求. (2)当直线的斜率为3时，求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）涉及到中点弦，我们可以采用点差法得到，而由可得，两式相比即可得解； （2）设直线，联立双曲线方程，结合韦达定理可表示的坐标为，由得斜率，由此可列方程求出参数，进而得解. 【详解】（1） 因为，所以. 又设，因为， 所以. 而圆心不在坐标轴上，从而， 所以. 所以， 又，所以. （2）设直线，与联立，化简并整理得：， 其中. 设， 所以， 即点坐标为. 因为，所以，而， 即，解得. 因此，所以. 3.（2024高三·全国·专题练习）若直线平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围． 【答案】． 【分析】设双曲线的斜率为1的弦所在直线为，直线方程与双曲线方程联立，利用判别式可得的范围，根据直线平分双曲线的弦得该弦的中点在直线上可得，再根据的范围可得答案. 【详解】设双曲线的斜率为1的弦所在直线为， 弦的两个端点为，，其中点坐标为． ， 则，． ． 直线平分双曲线的弦该弦的中点在直线上． ∴． 由可得，． ∴a的取值范围是．    4.（23-24高三上·江西·阶段练习）已知动点P到点的距离是到直线的距离的倍，记动点P的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点能否作一条直线l，使得l与交于B，C两点，且A是线段BC的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在过点A的直线满足条件，理由见解析 【分析】（1）设，由已知条件列等式求轨迹方程； （2）假设直线存在，利用点差法解决中点弦问题. 【详解】（1）设，因为，所以， 点P到直线的距离， 由题意知，即， 化简，得，即的方程为. （2）假设存在直线满足条件，设，，则 ，， 所以，即， 因为A为线段BC的中点，所以，，即，， 所以，所以，即l的斜率为4， 所以直线l的方程为，即. 联立方程，得，消去y并整理得， ， 所以直线l与无公共点，这与直线l与交于B，C两点矛盾， 故不存在过点A的直线满足条件. 考点十一、双曲线中的定值、定点、定直线问题 1.（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 2.（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解； （2）利用“点差法”可得直线斜率与斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可得证. 【详解】（1）代入双曲线上两点得，， 故，解得，， 故双曲线C标准方程为：. （2）如图， 设，， 由题知， 相减得， 又， 所以， 由为圆的一条非直径的弦，为中点得，故， 因此为定值. 1.（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可； （2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可. 【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为， ， ， 解得， 则， 故双曲线C的标准方程为； （2）设，则， 为双曲线C上的两点， 两式相减得，整理得， 则， 故为定值，定值为4． 2.（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程； （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点． 【详解】（1）由已知得，，所以， 又点在上，故， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件． 当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得， 由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，， 由已知，故， 即， 所以， 化简得，又已知不过点，故， 所以，即， 故直线的方程为，所以直线过定点． 3.（2024·黑龙江·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线上点的坐标列方程组求解即可. （2）当与坐标轴平行时，直线与轴重合；当不与坐标轴平行时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，从而求出，同理可得，求出直线的方程，即可求解直线恒过的定点. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 且点在上， 有解得故双曲线的方程为. （2）由题意可知不与渐近线平行， 当与坐标轴平行时，显然直线与轴重合. 当不与坐标轴平行时，左焦点为， 不妨设直线的方程为，联立 消去并整理得，， 设，则 所以，所以. 又直线互相垂直，用替换，则可得. 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，所以直线过. 综上，直线恒过点.    4.（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线与双曲线有相同的渐近线方程求出可得答案； （2）可设其方程为，与双曲线方程联立，设，，由韦达定理代入的坐标运算可得答案； （3）设点在直线上的投影为，当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最值. 【详解】（1）双曲线与双曲线有相同的渐近线方程， 所以，即，又，从而， 所以双曲线的方程为； （2）显然直线不与轴平行，可设其方程为， 由，得， 设，，则由韦达定理可得，， 因为，所以， 即， 整理得，即， 而显然直线不经过点，所以，， 故直线经过定点，得证. （3）设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点， 所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值， 此时，所以点到直线距离的最大值为. 1．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，由条件推导出，由此能求出双曲线的离心率． 【详解】抛物线的准线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 根据题意点在上， 所以，解得， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 2．（2024·天津河东·一模）已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于两点，抛物线焦点为，的面积为4，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，联立方程组，求得的坐标，结合题意，列出方程求得，进而求得长度，得到答案. 【详解】由题意，等轴双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为， 联立方程组，解得，可得，同理可得， 因为的面积为4，可得，解得， 则. 故选：D.    3．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的准线为，焦点为,．根据对称性可得是等腰直角三角形，从而算出、的坐标，将其代入双曲线方程，解关于的等式即可得到实数的值． 【详解】抛物线的方程为， 抛物线的准线为，焦点为,． 又直线交双曲线于、两点，为直角三角形． 故是等腰直角三角形，边上的高为， 由此可得,、,，如图所示． 将点或点的坐标代入双曲线方程，得，解得（负值舍去）． 故选：A． 4．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示双曲线求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示双曲线，则，解得， 所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立， 由方程表示双曲线推得出，故必要性成立， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B 5．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设O为坐标原点，双曲线 的右焦点为F，焦距为8，过F做渐近线的垂线，垂足为A，已知，则双曲线方程为 . 【答案】 【分析】由焦距及已知线段长，结合渐近线、双曲线参数关系列方程组求参数，即可得方程. 【详解】由题设，则双曲线方程为. 故答案为： 6．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知双曲线 的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为 ． 【答案】 【分析】依题意可得抛物线的准线为，即可求出，从而求出，再由渐近线方程求出，即可求出. 【详解】依题意可得抛物线的准线方程为，即，所以， 则抛物线的焦点为，则双曲线的左顶点为，即， 由双曲线的一条渐近线为，又双曲线的渐近线方程为，所以， 则，所以双曲线的焦距为. 故答案为： 1．（2024·天津·模拟预测）双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】求出双曲线的焦点坐标，进而求出值，再结合中点坐标公式和抛物线的焦点弦公式计算可得. 【详解】由题意可得双曲线的交点为， 所以，即， 设的横坐标分别为， 中点的横坐标为6，即 由抛物线的焦点弦公式可得， 故选：A. 2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知双曲线的左右焦点记为，且，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求，即可得方程. 【详解】设双曲线的半焦距为c，则， 由对称性不妨令与平行的渐近线为， 直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，B，C， 如图所示， 则 ， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 3．（2024·天津·二模）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点（异于坐标原点），点到抛物线焦点的距离是到轴距离的3倍，过双曲线的左､右顶点作双曲线同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得，结合双曲线渐近线性质及，列方程求得关系，即可得的值. 【详解】设与抛物线相交的渐近线为，则设， 则，解得，所以点的坐标为，代入抛物线方程得，解得， 设渐近线的倾斜角为，则， 又，解得， 所以，故， 所以，解得， 所以双曲线的实轴长为. 故选：D.    4．（2024·天津·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】依题意，得到，代入渐近线方程，进而求出，再根据求出离心率. 【详解】 由题意知，抛物线的准线方程为，又因为， 则点， 又因为点在双曲线的渐近线上，所以， 所以双曲线的离心率， 故选：D. 5．（2023·天津河北·一模）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设渐近线的倾斜角为，则，由点到直线的距离和双曲线的性质得到，再由题中几何关系得到，解方程即可求出. 【详解】 设渐近线的倾斜角为，则， 又到渐近线的距离为， 又，所以， 所以，所以， 所以， 即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解双曲线的离心率. 【详解】由题意知，双曲线的两条渐近线方程分别为，， 过点且与渐近线垂直的直线方程为， 联立，可解得， 点到渐近线的距离， 因为，所以点到渐近线的距离为， 所以，即，所以，即双曲线的离心率为. 故选：D 7．（21-22高三上·天津西青·阶段练习）已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点、在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线：与双曲线相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）已知离心率为，可得到，再由和的面积为1以及双曲线的定义可以解出与，即可得到答案； （2）  设 ，，联立与双曲线 得，写出韦达定理，根据 为直径的圆过双曲线的右顶点 可以得到，即化简整理得，得到，，再分别进行验证即可得到答案. 【详解】（1）由题意设双曲线的标准方程为， 由已知得：解得， ∵且的面积为1， ∴，， ∴ ∴，， ∴双曲线的标准方程为． （2）证明：设 ，，联立与双曲线 得， ， 即， 则， 又 ， ∵以 为直径的圆过双曲线的右顶点 ∴，即， ∴， ∴， 化简，得，即 ∴，，且均满足， 当时，直线的方程为， 直线过定点，与已知矛盾． 当时，直线的方程为，过定点， 所以直线过定点，该定点的坐标为． 1.（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 2.（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 3.（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 4.（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 5.（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 6.（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 7.（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！66 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第35讲 双曲线的方程与几何性质 （11类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第8题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 2024年天津卷，第12题,5分 求点到直线的距离 由标准方程确定圆心和半径 根据抛物线方程求焦点或准线 2024年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的参数及范围 2023年天津卷，第9题,5分 求点到直线的距离 根据a、b、c求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线求标准方程 2023年天津卷，第12题,5分 由直线与圆的位置关系求参数 求直线与抛物线相交所得弦的弦长 2023年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程求椭圆的离心率或离心率的取值范围 椭圆中三角形(四边形) 2022年天津卷，第7题,5分 根据a、b、c求双曲线的标准方程 已知方程求双曲线的渐近线 根据抛物线方程求焦点或准线 2022年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2022年天津卷，第19题,5分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 求椭圆的切线方程 2021年天津卷，第12题,5分 切线长 已知切线求参数 2021年天津卷，第8题,5分 已知方程求双曲线的渐近线 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 根据抛物线方程求焦点或准线 2021年天津卷，第18题,15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆的切线方程 2020年天津卷，第12题,5分 已知圆的弦长求方程或参数 2020年天津卷，第7题,5分 根据双曲线的渐近线求标准方程 2020年天津卷，第18题,5分 讨论椭圆与直线的位置关系 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分或15分 【备考策略】1.理解、掌握双曲线的概念，能够求解双曲线的标准方程 2.能掌握双曲线的几何性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助几何图形，解决直线与双曲线的位置关系问题 4.会解双曲线的离心率，与弦长等问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般要求求解双曲线的标准方程，离心率，切线与弦长等问题。 知识讲解 知识点一.双曲线的概念 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2.注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝. 知识点二.双曲线的标准方程和简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 简单几 何性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，且e∈(1，＋∞) 知识点三.与双曲线定义及标准方程相关结论 1.在双曲线定义中，当2a＝|F1F2|时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在. 2.在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简单套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一步运算． 3.已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程. 4.双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线. 5.直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个公共点时，要注意两种情况的可能性. 6.与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0). 知识点四.与双曲线几何性质相关结论 1.离心率e＝＝，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔. 2.焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”. 3.通径长为. 4.P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2). 知识点五．直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点 考点一、双曲线的定义 1.（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2.（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1.（2024高三·全国·专题练习）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则 . 3.（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 考点二、双曲线的标准方程 1.（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 1.（2024高三上·全国·专题练习）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 2.（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 3.（2022·四川成都·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 . 考点三、双曲线的渐近线 1.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知为双曲线右支上一点，过点分别作的两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别交于点，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 1.（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·浙江金华·阶段练习）若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为 ． 4.（23-24高三上·广东·阶段练习）是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为 . 考点四、焦点三角形 1.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2.（2024·西藏·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（    ） A． B． C． D．3 1.（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 2.（24-25高三上·上海·阶段练习）地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站在公路上（为直线），且，相距28，地震局以的中点为原点，直线为轴，1为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据两站收到的信息，并通过计算发现震中在双曲线的右支上，且，则到公路的距离为 . 3.（24-25高三上·山西运城·开学考试）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 ． 4.（24-25高三上·重庆·开学考试）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 考点五、双曲线的离心率 1.（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知抛物线上的点到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E的焦点与双曲线的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，若，则双曲线的离心率为（   ）． A． B．2 C． D． 2.（22-23高三下·河南安阳·开学考试）已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为，，点M是Γ上不与顶点重合的一点，满足，则Γ的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 1.（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 2.（22-23高三下·河北·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，为渐近线上一动点，且在第一象限内，为坐标原点，当最大时，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三上·河北·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 5.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）双曲线：的两焦点分别为，，焦距为，为双曲线上一点，且满足，，则双曲线的离心率为 . 考点六、双曲线离心率的取值范围 1.（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·全国·模拟预测）已知过点可作出双曲线的两条切线，切点都在双曲线的同一支上，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七、直线与双曲线的位置关系 1.（2024·广东广州·模拟预测）若双曲线的右支上存在两点，使直线垂直于双曲线在点处的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·四川内江·模拟预测）已知双曲线C的方程为，过点作直线与双曲线左右两支分别交于点M，N.若，则直线的方程为（ ） A．     B． C． D． 1.（24-25高三上·河南·开学考试）已知是双曲线的左焦点，过点的直线与交于两点（点在的同一支上），且，则（    ） A．6 B．8 C． D． 2.（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知双曲线，点N的坐标为，其中，存在过点N的直线与双曲线C相交于A，B两点，且点N为弦的中点，则点N的坐标是 .（写出一个符合条件的答案即可） 3.（23-24高三下·北京·开学考试）已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 4.（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 考点八、双曲线的弦长问题 1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·北京·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 1.（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 2.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. (1)求直线斜率的取值范围； (2)求的取值范围. 3.（2024·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 4.（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的离心率为，焦距为． (1)求的标准方程； (2)若过点作直线分别交的左､右两支于两点，交的渐近线于，两点，求的取值范围． 考点九、双曲线的面积问题 1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 2.（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 1.（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点. (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值. 2.（2024·吉林长春·模拟预测）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆 （），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍． (1)求椭圆伴随双曲线的方程； (2)点为的上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若，求． 3.（24-25高三上·河北保定·开学考试）已知双曲线的实轴长为4，离心率. (1)求的方程； (2)过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积. 4.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且 (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值. 考点十、双曲线的中点弦 1.（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东肇庆·一模）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·湖北·模拟预测）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 . 2.（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为. (1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求. (2)当直线的斜率为3时，求点坐标. 3.（2024高三·全国·专题练习）若直线平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围． 4.（23-24高三上·江西·阶段练习）已知动点P到点的距离是到直线的距离的倍，记动点P的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点能否作一条直线l，使得l与交于B，C两点，且A是线段BC的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 考点十一、双曲线中的定值、定点、定直线问题 1.（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 2.（2024·广东广州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，双曲线：过和两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，为双曲线上不关于坐标轴对称的两点，为中点，且为圆的一条非直径的弦，记斜率为，斜率为，证明：为定值. 1.（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 2.（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 3.（2024·黑龙江·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 4.（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值. 1．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为4，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津河东·一模）已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于两点，抛物线焦点为，的面积为4，则的长度为（    ） A．2 B． C． D．    3．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设O为坐标原点，双曲线 的右焦点为F，焦距为8，过F做渐近线的垂线，垂足为A，已知，则双曲线方程为 . 6．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知双曲线 的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为 ． 1．（2024·天津·模拟预测）双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知双曲线的左右焦点记为，且，直线l过且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·二模）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点（异于坐标原点），点到抛物线焦点的距离是到轴距离的3倍，过双曲线的左､右顶点作双曲线同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．（2024·天津·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 5．（2023·天津河北·一模）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高三上·天津西青·阶段练习）已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点、在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线：与双曲线相交于、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 1.（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2.（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 3.（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 4.（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 5.（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 6.（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 7.（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$