辽宁省大连市滨城高中联盟2025届高三上学期10月期中考试（1）数学试卷

第 1 页/共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 滨城高中联盟 2024-2025学年度上学期高三期中 I考试 数学试卷 命题人：大连市第二十高级中学卢永娜 校对人：大连市第二十高级中学苑清治 第 I 卷（选择题共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合   lg 3M x y x= = - ，  2N y y= > ，则 M N =I （ ） A. Æ B.  2,3 C.  3, +¥ D.  2, +¥ 2. “ π 2 j = - ”是“函数  sin 2y x j= + 在 π ,0 2 x é ùÎ -ê úë û 上单调递减的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. ABCV 中，点 D 在边 AB 上， 2AD DB= uuur uuur ，记CB m= uuur ur ，CD n= ruuur ，则CA = uur （ ） A. 3 2m n- ur r B. 2 3m n- + ur r C. 3 2m n+ ur r D. 2 3m n+ ur r 4. 函数 ( ) cos 2cosf x x x= + 的值域为（ ） A.  0,3 B.  1,3- C.  1,2- D.  0,2 5. 函数    23log 4f x x= - 的单调递增区间为（ ） A  0, ¥+ B.  ,0-¥ C.  2, +¥ D.  , 2-¥ - 6. 已知   1cos 4 α β+ = ， tan tan 2a b = ，则  cos a b- = （ ） A. 3 4 - B. 1 12 - C. 1 12 D. 3 4 7. 设  f x 是定义域为R 上的偶函数，且在  0, ¥+ 单调递增，则（ ） A. 23 32 2 1log 2 2 3 f f f -- æ öæ öæ ö > > ç ÷ç ÷ç ÷ è ø è ø è ø B. 2 3 3 2 2 1log 2 2 3 f f f - -æ ö æ öæ ö > >ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè ø C. 2 3 2 3 2 12 2 log 3 f f f -- æ öæ ö æ ö> >ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø D. 2 3 3 2 2 12 2 log 3 f f f - -æ ö æ ö æ ö> >ç ÷ ç ÷ ç ÷ è øè øè ø 在 . 第 2 页/共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 8. 已知向量  ,1a x=r ，  sin ,sin cosb x x x= + r ，函数  f x a b= × rr .若对于任意的 1 2 π, 0, 2 x x é öÎ ÷êë ø ，且 1 2x x¹ ，均有     1 21 2 e ex xf x f x t- > - 成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A.  0, +¥ B.  1, +¥ C.  ,1-¥ D.  ,0-¥ 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列式子的运算结果为 3 的是（ ） A. 1 tan15 1 tan15 ° ° + - B. tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40° ° ° °+ + C.  sin 50 3 3tan10° °+ D. 22 tan151 tan 15 ° °- 10. 已知向量  4,2a = r ，  6,2b = - r ，则（ ） A. a b 20+ = r r B. 与向量a r 共线 单位向量是 2 5 5, 5 5 æ ö ç ÷ç ÷ è ø C.  a b a+ ^r r r D. 向量ar 在向量br 上 投影向量是 12 b- r 11. 已知函数    π2cos 0 3 3 f x xw wæ ö= + < <ç ÷ è ø ，且对 x" Î R ，都有   π 3 f x f xæ ö= -ç ÷ è ¢ ø ¢ ，把  f x 图象 上所有的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 2 ，再把所得函数的图象向右平移 π 4 个单位，得到函数  g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 1w = B.  2π 3 g x g xæ ö- = -ç ÷ è ø C. π 6 g xæ ö+ç ÷ è ø 为偶函数 D.  g x 在 π0, 2 æ ö ç ÷ è ø 上有 1 个零点 第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题每小题 5 分，共 15 分 12. 已知向量  4,3a = - r ，  , 9b m= - r ，若 //a b r r ，则实数m = _________. 13. 已知函数 3( ) 2 3f x x x= + ，若 0m > ， 0n > ，且      2 3 0f m f n f+ - = ，则 2 9 m n + 最小值是______. 的 的 第 3 页/共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 14. 已知函数   2 2 1 1 2 2 2024sin log sin 2024cos log cosf x x x x x= + ，则  f x 的最大值是______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 π2sin(π ) sin 32 3π 135cos 3cos(2π ) 2 x x x x æ ö- - +ç ÷ è ø = æ ö+ + -ç ÷ è ø . （1）求 tan x 的值； （2）若 sin x ， cos x是方程 2 0x mx n- + = 的两个根，求 2 3+m n的值. 16. 已知函数 3 2( ) 3f x x x bx c= - + + 在 0x = 时取得极大值 1. （1）求曲线， ( )y f x= 在点 (3, (3))f 处 切线方程； （2）求过点  0,2 与曲线 ( )y f x= 相切的直线方程. 17. 已知函数   2 2 1 x x af x += + 为奇函数. （1）求实数 a 的值； （2）设函数   2 2log log2 4 x xg x m= × + ，若对任意的  2 0,1x Î ，总存在  1 2,8x Î ，使得    1 2g x f x= 成立，求实数m 的取值范围. 18. 已知函数   lnf x x x= ，   ( 1) , 0 1 1, 0 2 f x x xg x x x +ì >ïï += í ï + £ ïî （1）求函数  f x 的极值； （2）若函数  ex f xy a x = - 在区间  1,2 上单调递增，求 a 的最小值； （3）如果存在实数 m、n，其中m n< ，使得    g m g n= ，求 n m- 的取值范围. 19. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴sin(𝜔𝑥 + 𝜑) 𝐴 > 0,𝜔 > 0,|𝜑| ≤ π2 的图象如图所示. 的 第 4 页/共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求函数  f x 的单调递增区间； （2）求函数   π 2 2 6 x xh x f fæ ö æ ö= -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ，在 π0, 2 é ù ê úë û 上的最大值和最小值. （3）若函数   π π 12 2 6 xg x f x mfæ ö æ ö= - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 在   *0, π Nn nÎ 内恰有781个零点，求实数m 、 n 的值. 第 1 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 滨城高中联盟 2024-2025 学年度上学期高三期中 I 考试 数学试卷 命题人：大连市第二十高级中学卢永娜校对人：大连市第二十高级中学苑清治 第 I 卷（选择题共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合   lg 3M x y x= = - ，  2N y y= > ，则 M N =I （ ） A. Æ B.  2,3 C.  3, +¥ D.  2, +¥ 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域化简集合M ，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意， { | 3 0} { | 3}M x x x x= - > = > ，而  2N y y= > ， 所以  3,M N ¥= +I . 故选：C 2. “ π 2 j = - ”是“函数  sin 2y x j= + 在 π ,0 2 x é ùÎ -ê úë û 上单调递减的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当 π 2 j = - 时，   πsin 2 sin 2 cos 2 2 y x x xj æ ö= + = - = -ç ÷ è ø ， 由 π ,0 2 é ùÎ -ê úë û x ，则 π 2 0x- £ £ ， cos 2xy = - 单调递减成立，即充分性成立； 当 3π 2 π, Z 2 k kj = + Î 时，函数  sin 2 cos 2y x xj= + = - 在 π ,0 2 é ùÎ -ê úë û x 上单调递减， 推不出 π 2 j = - 成立，如 3π 2 j = ，故必要性不成立； 第 2 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 综上，“ π 2 j = - ”是“函数  sin 2y x j= + 在 π ,0 2 é ùÎ -ê úë û x 上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A 3. 在 ABCV 中，点 D 在边 AB 上， 2AD DB= uuur uuur ，记CB m= uuur ur ，CD n= ruuur ，则CA = uur （ ） A. 3 2m n- ur r B. 2 3m n- + ur r C. 3 2m n+ ur r D. 2 3m n+ ur r 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量加法的三角形法则得CA CB BA= + uuur uuur uuur ，根据 3BA BD= uuur uuur 可得到CA uuur 与 ,m n ur r 的关系. 【详解】由题意得，点 D 为线段 AB 上靠近点 B 的三等分点，如图所示： CA CB BA= + uuur uuur uuur 3CB BD= + uuur uuur 3( )CB CD CB= + - uuur uuur uuur 2 3CB CD= - + uuur uuur 2 3m n= - + ur r . 故选：B. 4. 函数 ( ) cos 2cosf x x x= + 的值域为（ ） A.  0,3 B.  1,3- C.  1,2- D.  0,2 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦函数的性质，分段求出值域即可得解. 【详解】依题意， ( ) | cos | 2cosf x x x= + ，当0 cos 1x£ £ 时， ( ) 3cos [0,3]f x x= Î ， 当 1 cos 0- £ < 时，    cos 1,0f x x= Î - ， 所以函数 ( ) cos 2cosf x x x= + 的值域为  1,3- . 第 3 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 故选：B 5. 函数    23log 4f x x= - 的单调递增区间为（ ） A.  0, ¥+ B.  ,0-¥ C.  2, +¥ D.  , 2-¥ - 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数    23log 4f x x= - ，令 2 4 0x - > ，即   2 2 0x x- + > ，解得 2x > 或 2x < - ， 所以  f x 的定义域为    , 2 2,¥ ¥- - È + ， 又 3logy x= 在定义域上单调递增， 2 4y x= - 在  2, +¥ 上单调递增，在  , 2-¥ - 上单调递减， 所以  f x 的单调递增区间为  2, +¥ . 故选：C 6. 已知   1cos 4 α β+ = ， tan tan 2a b = ，则  cos a b- = （ ） A. 3 4 - B. 1 12 - C. 1 12 D. 3 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出 cos cosa b 、sin sina b ，再由两角差的 余弦公式计算可得. 【详解】因为   1cos cos cos sin sin 4 α β α β α β+ = - = ， sin sintan tan 2 cos cos a ba b a b = = ，解得 1sin sin 2 1cos cos 4 a b a b ì = -ïï í ï = - ïî ， 所以  cos cos cos sin sin 4 3α β α β α β- = + = - . 故选：A 7. 设  f x 是定义域为R 上的偶函数，且在  0, ¥+ 单调递增，则（ ） A. 23 32 2 1log 2 2 3 f f f -- æ öæ öæ ö > > ç ÷ç ÷ç ÷ è ø è ø è ø B. 2 3 3 2 2 1log 2 2 3 f f f - -æ ö æ öæ ö > >ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè ø 第 4 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 C. 2 3 2 3 2 12 2 log 3 f f f -- æ öæ ö æ ö> >ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø D. 2 3 3 2 2 12 2 log 3 f f f - -æ ö æ ö æ ö> >ç ÷ ç ÷ ç ÷ è øè øè ø 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数单调性可知 2 3 3 22 2 - - > ，再根据对数函数单调性可得 3 3 2 2 2 1 2lo 2g 3 - - >> > ，结合函 数  f x 的奇偶性和单调性即可得出结论. 【详解】由指数函数 2xy = 为单调递增函数可知 2 30 3 22 1 2 2 - - = > > ，所以 2 3 3 22 2f f - -æ ö æ ö >ç ÷ ç ÷ è øè ø ， 又  f x 是定义域为R 上的偶函数， 所以    2 2 2 1log log 3 log 3 3 f f fæ ö = - =ç ÷ è ø ， 由对数函数 2logy x= 可知， 2 2log 3 log 2 1> = ，所以 2 3 3 2 2 1log (1) 2 2 3 f f f f - -æ ö æ öæ ö >ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè ø > > ， 即 2 3 3 2 2 1log 2 2 3 f f f - -æ ö æ öæ ö > >ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè ø . 故选：B 8. 已知向量  ,1a x=r ，  sin ,sin cosb x x x= + r ，函数  f x a b= × rr .若对于任意的 1 2 π, 0, 2 x x é öÎ ÷êë ø ，且 1 2x x¹ ，均有     1 21 2 e ex xf x f x t- > - 成立，则实数 t 的取值范围为（ ） A.  0, +¥ B.  1, +¥ C.  ,1-¥ D.  ,0-¥ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得 ( ) ( 1)sin cosf x x x x= + + ，则𝑓′(𝑥) > 0在 π0, 2 é ö ÷êë ø 上恒成立，不妨设 1 2x x< ，则原不 等式可转化为 1 21 2( ) e ( ) e x xf x t f x t- < - ，构造函数 ( ) ( ) exh x f x t= - ，再利用导数研究函数的性质即可求 得实数 t 的取值范围 【详解】因为  ,1a x=r ，  sin ,sin cosb x x x= + r ， 所以    sin sin cos 1 sin cosf x a b x x x x x x x= × = + + = + + rr ， 第 5 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 则 ( ) sin ( 1)cos sin ( 1)cosf x x x x x x x¢ = + + - = + ， 当 π0, 2 x é öÎ ÷êë ø 时cos 0x > ， 1 0x + > ，则 ( ) 0f x¢ > 恒成立， 所以 ( )f x 在 π0, 2 é ö ÷êë ø 上为增函数， 不妨设 1 2x x< ，则 1 2( ) ( )f x f x< ，因为 1 2e ex x< ， 所以     1 21 2 e ex xf x f x t- > - 等价于      1 21 2 e ex xf x f x t- < - ， 即 1 21 2( ) e ( ) e x xf x t f x t- < - ， 令 ( ) ( ) e ( 1)sin cos ex xh x f x t x x x t= - = + + - ， π0, 2 x é öÎ ÷êë ø ， 所以可知 ( )h x 在 π0, 2 é ö ÷êë ø 上为增函数， 所以 ( ) ( 1)cos e 0xh x x x t¢ = + - ³ 在 π0, 2 é ö ÷êë ø 上恒成立， 即  1 cos ex x x t + £ 在 π0, 2 é ö ÷êë ø 上恒成立， 令 ( 1)cos( ) ex x xg x += ， π0, 2 x é öÎ ÷êë ø ， 则        2 cos 1 sin e 1 cos e sin sin cos 0 ee x x xx x x x x x x x x x xg x é ù- + - + × - - -ë û=¢ = £ ， 所以 ( )g x 在 π0, 2 é ö ÷êë ø 上为减函数，所以   π 0 2 g x g æ ö> =ç ÷ è ø ， 所以 0t £ ，所以实数 t 取值范围为  ,0-¥ . 故选：D 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为 不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的 单调性、极(最)值问题处理． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 的 第 6 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 9. 下列式子的运算结果为 3 的是（ ） A. 1 tan15 1 tan15 ° ° + - B. tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40° ° ° °+ + C.  sin 50 3 3tan10° °+ D. 22 tan151 tan 15 ° °- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式判断 A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判 断 C. 【详解】对于 A：  1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15 tan 60 31 tan15 1 tan 45 tan15 ° ° ° ° ° ° ° ° ° + + = = + = = - - ，故 A 正确； 对于 B：   tan 20 tan 40tan 60 tan 20 40 31 tan 20 tan 40 ° ° ° ° ° ° ° + = + = = - ， 所以 tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3° ° ° °+ + = ，故 B 正确； 对于 C：   3 cos10 3sin10sin 50 3 3tan10 sin 50 cos10 ° ° ° ° ° ° æ ö+ + = ×ç ÷ç ÷ è ø 1 32 3 cos10 sin10 2 2 sin 50 cos10 ° ° ° ° æ ö +ç ÷ è ø= ×  2 3 sin 10 30 sin 50 cos10 ° ° ° ° + = × 2 3 sin 40 sin 50 2 3 sin 40 cos 40 3 sin80 3 cos10 3 cos10 cos10 cos10 cos10 ° ° ° ° ° ° ° ° ° °= = = = = ，故 C 正确； 对于 D：  22 tan15 3tan 2 15 tan 301 tan 15 3 ° ° ° ° = ´ = =- ，故 D 错误. 故选：ABC 10. 已知向量  4,2a = r ，  6,2b = - r ，则（ ） A. a b 20+ = r r B. 与向量a r 共线的单位向量是 2 5 5, 5 5 æ ö ç ÷ç ÷ è ø C.  a b a+ ^r r r D. 向量ar 在向量br 上的投影向量是 12 b- r 【答案】CD 【解析】 第 7 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】求出 a b+ r r 的坐标，利用坐标法求模，即可判断 A；与向量a r 共线的单位向量为 a a ± r r ，即可判断 B；求出  a b a+ ×rr r 即可判断 C；根据向量ar 在向量br 上的投影向量是 2 a b b b × × rr r r 判断 D. 【详解】因为  4,2a =r ，  6,2b = - r ， 所以      4,2 6,2 2,4a b+ = + - = - rr ，则  2 22 4 2 5a b+ = - + = rr ，故 A 错误； 又 2 24 2 2 5a = + =r ，则与向量a r 共线的单位向量为 a a ± r r ， 即 2 5 5, 5 5 æ ö ç ÷ç ÷ è ø 或 2 5 5, 5 5 æ ö - -ç ÷ç ÷ è ø ，故 B 错误； 因为    4 2 2 4 0a b a+ × = ´ - + ´ =rr r ，所以  a b a+ ^rr r ，故 C 正确； 因为  4 6 2 2 20a b× = ´ - + ´ = - rr ，   2 2 26 2 40b = - + = r ， 所以向量a r 在向量b r 上的投影向量是 2 1 2 a b b b b × × = - rr r r r ，故 D 正确. 故选：CD 11. 已知函数    π2cos 0 3 3 f x xw wæ ö= + < <ç ÷ è ø ，且对 x" Î R ，都有   π 3 f x f xæ ö= -ç ÷ è ¢ ø ¢ ，把  f x 图象 上所有的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 2 ，再把所得函数的图象向右平移 π 4 个单位，得到函数  g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 1w = B.  2π 3 g x g xæ ö- = -ç ÷ è ø C. π 6 g xæ ö+ç ÷ è ø 为偶函数 D.  g x 在 π0, 2 æ ö ç ÷ è ø 上有 1 个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数由   π 3 f x f xæ ö= -ç ÷ è ¢ ø ¢ 可得  f x¢ 关于直线 π 6 x = 对称，从而求得w ，即可得到  f x ，从而判断 A；再根据三角函数的变换规则求出  g x 解析式，最后根据余弦函数的性质一一判断即 第 8 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 可. 【详解】对于 A：因为   π2cos 3 f x xwæ ö= +ç ÷ è ø ，所以   π2 sin 3 f x xw wæ ö¢ = - +ç ÷ è ø ，   π 3 f x f xæ ö= -ç ÷ è ¢ ¢ ø Q ，  f x¢\ 关于直线 π 6 x = 对称， π π ππ , 6 3 2 k kw\ + = + Î Z， 6 1, Zk kw\ = + Î ， 又 0 3,w< < \Q 当 0k = 时， 1w = ，所以   π2cos 3 f x xæ ö= +ç ÷ è ø ，故 A 正确； 对于 B： 把  f x 图象上所有的点，纵坐标不变， 横坐标变为原来的 1 2 得到 π2cos 2 3 y xæ ö= +ç ÷ è ø ， 再把 π2cos 2 3 y xæ ö= +ç ÷ è ø 的图象向右平移 π 4 个单位得到 π π π2cos 2 2cos 2 4 3 6 y x xé ùæ ö æ ö= - + = -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û ， 即   π2cos 2 6 æ ö= -ç ÷ è ø g x x ， Q当 π 3 x = 时， π π2cos 2cos 0 2 π 2π 3 3 6 g æ ö æ ö= - = =ç ÷ ç ÷ è ø è ø ， ∴  g x 关于点 π ,0 3 æ ö ç ÷ è ø 对称，满足  2π 3 g x g xæ ö- = -ç ÷ è ø ，故 B 正确； 对于 C：∵ π π π π2cos 2 2cos 2 6 6 6 6 g x x xé ùæ ö æ ö æ ö+ = + - = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øë û ，为非奇非偶函数，故 C 错误； 对于 D：当 π0, 2 x æ öÎç ÷ è ø 时， π π 5π2 , 6 6 6 x æ ö- Î -ç ÷ è ø ，则  g x 在 π0, 2 æ ö ç ÷ è ø 上只有一个零点，故 D 正确. 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题每小题 5 分，共 15 分 12. 已知向量  4,3a = - r ，  , 9b m= - r ，若 //a b r r ，则实数m = _________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 第 9 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为  4,3a = - r ，  , 9b m= - r 且 //a b r r ， 所以  4 9 3m- ´ - = ，解得 12m = . 故答案为：12 13. 已知函数 3( ) 2 3f x x x= + ，若 0m > ， 0n > ，且      2 3 0f m f n f+ - = ，则 2 9 m n + 最小值是______. 【答案】 32 3 ## 210 3 【解析】 【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，再求出 ,m n的关系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出最 小值. 【详解】函数 3( ) 2 3f x x x= + 定义域为 R， 3( ) 2( ) 3( ) ( )f x x x f x- = - + - = - ， 因此函数 ( )f x 是 R 上的奇函数，且在 R 上单调递增， 由      2 3 0f m f n f+ - = ，得 ( ) (2 3) (3 2 )f m f n f n= - - = - ，则 2 3m n+ = ， 所以 2 9 1 2 9 1 9 3 2 3 4 1 9 4 32( )( ) (20 ) (20 2 ) 3 3 m n m n m n m n n m n m m n+ = + = + + ³ + × =+ ， 当且仅当 9 4m n n m = ，即 3 9, 4 8 m n= = 时取等号， 所以 2 9 m n + 最小值是 32 3 . 故答案为： 32 3 14. 已知函数   2 2 1 1 2 2 2024sin log sin 2024cos log cosf x x x x x= + ，则  f x 的最大值是______. 【答案】1012 【解析】 【 分 析 】 化 简 可 得    2 22 22024 sin log sin cos log cosf x x x x x= - + ， 构 造   2 22 2sin log sin cos log cosx x x xg x += ，通过导数研究其单调性即可得其最值. 【详解】   2 2 1 1 2 2 2024sin log sin 2024cos log cosf x x x x x= +  2 22 22024 sin log sin cos log cosx x x x= - + ， 第 10 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 由题可得 sin 0 cos 0 x x >ì í >î ，故  π2 π,2 π 2 x k k kæ öÎ + Îç ÷ è ø Z ， 令   2 22 2sin log sin cos log cosx x x xg x += ，   π2 π,2 π 2 x k k kæ öÎ + Îç ÷ è ø Z ，   22 1log sin sin cos sin ln 2 2sin cos x x xg x x x x¢ × ×= + × ×    22 12cos sin log cos cos sin cos ln 2 x x x x x x + - + × × - × 2 2 sin cos sin coslog sin 2sin cos log cos ln 2 l 2sin 2 co n s x x x xx xx x x x+ - -= 2 2 1 1log sin 2log cos ln 2 ln sin c 2 os 2 xx x xæ ö= - -ç è + ÷ ø 2 sinlog co 2sin s cos x x x x= ， 由  π2 π,2 π 2 x k k kæ öÎ + Îç ÷ è ø Z ，则 sin cos 0x x > ， 则当  π2 π,2 π 4 x k k kæ öÎ + Îç ÷ è ø Z 时，   0g x¢ < ， 当  π π2 π ,2 π 4 2 x k k kæ öÎ + + Îç ÷ è ø Z 时，   0g x¢ > ， 即  g x 在  π2 π,2 π 4 k k kæ ö+ Îç ÷ è ø Z 上单调递减，  π π2 π ,2 π 4 2 k k kæ ö+ + Îç ÷ è ø Z 上单调递增， 故   2 2 min 2 2 2 2 2 2 2 2log 24 log 2 logπ 12 π 2 2 2 2 g x g k æ ö æ öæ ö= + = = = -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø ø + è ø è ， 则  max 12024 1012 2 f x æ ö= - ´ - =ç ÷ è ø . 故答案为：1012 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将原函数变形后，构造   2 22 2sin log sin cos log cosx x x xg x += ，利用导数研究其单调性，难点在于复合函数的求导计算. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 在 第 11 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 15. 已知 π2sin(π ) sin 32 3π 135cos 3cos(2π ) 2 x x x x æ ö- - +ç ÷ è ø = æ ö+ + -ç ÷ è ø . （1）求 tan x 的值； （2）若 sin x ， cos x是方程 2 0x mx n- + = 的两个根，求 2 3+m n的值. 【答案】（1） 2 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到 sin cos sin cos x x m x x n + =ì í =î ，从而得到 2 3 1 5sin cosm n x x+ = + ，再由同角三角函数的基 本关系求出 sin cosx x ，即可得解. 【小问 1 详解】 因为 π2sin(π ) sin 32 3π 135cos 3cos(2π ) 2 x x x x æ ö- - +ç ÷ è ø = æ ö+ + -ç ÷ è ø ， 所以 2sin cos 3 5sin 3cos 13 x x x x - = + ，所以 2 tan 1 3 5 tan 3 13 x x - = + ，解得 tan 2x = ； 【小问 2 详解】 因为 sin x ， cos x是方程 2 0x mx n- + = 的两个根，所以 sin cos sin cos x x m x x n + =ì í =î ， ∴  22 3 sin cos 3sin cos 1 5sin cosm n x x x x x x+ = + + = + ， 又 2 2 2 2 sin cos tan 2 2sin cos sin cos tan 1 2 1 5 x x xx x x x x = = = = + + + ，∴ 2 23 1 5 3 5 m n+ = + ´ = ． 16. 已知函数 3 2( ) 3f x x x bx c= - + + 在 0x = 时取得极大值 1. （1）求曲线， ( )y f x= 在点 (3, (3))f 处的切线方程； （2）求过点  0,2 与曲线 ( )y f x= 相切的直线方程. 【答案】（1）9 26 0x y- - = ； （2）3 2 0x y+ - = 或15 4 8 0x y- + = . 第 12 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 【解析】 【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求 ,b c，再根据导数的几何意义求切线方程. （2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解 0x ，进而可得结果. 【小问 1 详解】 函数   3 23 3f x x x bx c= - + + ，求导得   23 6 3f x x x b¢ = - + ， 依题意，     0 3 0 0 1 f b f c ì ¢ = =ï í = =ïî ，解得 0 1 b c =ì í =î ，即   3 23 1f x x x= - + ，   23 6f x x x¢ = - ， 由   0f x¢ > ，得 2x > 或 0x < ，由   0f x¢ < ，得0 2x< < ，则  f x =0x 处取得极大值 1， 即 0, 1b c= = 符合题意，于是    3 1, 3 9f f ¢= = ，即切点坐标为  3,1 ，切线斜率 9k = ， 所以函数  y f x= 的图象在 (3, (3))f 处的切线方程为 1 9( 3)y x- = - ，即9 26 0x y- - = . 【小问 2 详解】 由（1）得：   3 23 1f x x x= - + ，   23 6f x x x¢ = - ， 设切点坐标为  3 20 0 0, 3 1x x x- + ，切线斜率 20 03 6k x x= - ， 则切线方程为     3 2 20 0 0 0 03 1 3 6y x x x x x x- - + = - - ， 由切线过点  0,2 ，得     3 2 20 0 0 0 02 3 1 3 6x x x x x- - + = - - ， 整理得 2 0 0( 1) (2 1) 0x x- + = ，解得 0 1x = 或 0 1 2 x = - ， 所以切线方程为  1 3 1y x+ = - - 或 1 15 1( ) 8 4 2 y x- = + ，即3 2 0x y+ - = 或15 4 8 0x y- + = . 17. 已知函数   2 2 1 x x af x += + 为奇函数. （1）求实数 a 的值； （2）设函数   2 2log log2 4 x xg x m= × + ，若对任意的  2 0,1x Î ，总存在  1 2,8x Î ，使得    1 2g x f x= 成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1） 1- （2） 5 1, 3 4 é ù-ê úë û 【解析】 【分析】（1）首先可得函数的定义域，根据奇函数的性质得到  0 0f = ，求出参数 a 的值，再检验即可； 在 第 13 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）首先求出  f x 在  0,1 上的值域 A ，再利用换元法求出  g x 在  2,8x Î 上的值域 B ，依题意 A BÍ ，即可得到不等式组，解答即可. 【小问 1 详解】 由题意可得，函数的定义域为 R，因为  f x 是奇函数，所以   10 0 1 1 af += = + ，可得 1a = - ， 经检验，对于 x" Î R ，    f x f x- = - 成立，所以 1a = - ． 【小问 2 详解】 由（1）可得   2 1 21 2 1 2 1 x x xf x - = = - + + ， 因为  0,1x Î ，所以  2 1,2x Î ，  2 1 2,3x + Î ， 1 1 1, 2 1 3 2x é öÎ ÷ê+ ë ø ， 2 21, 2 1 3x æ ù- Î - -ç ú+ è û ， 2 11 0, 2 1 3x æ ù- Îç ú+ è û ， 所以当  0,1x Î 时  f x 的值域 10, 3 A æ= ùç úè û ， 又     2 2 2 2log log log 1 log 22 4 x xg x m x x m= × + = - - + ，  2,8x Î ， 设 2logt x= ，  1,3t Î ，则    2 2 3 11 2 3 2 2 4 y t t m t t m t mæ ö= - - + = - + + = - + -ç ÷ è ø ， 当 3 2 t = 时，取最小值为 1 4 m- + ，当 3t = 时，取最大值为 2 m+ ， 即  g x 在  2,8x Î 上的值域 1 ,2 4 B m mé ù= - + +ê úë û ， 又对任意  2 0,1x Î ，总存在  1 2,8x Î ，使得    1 2g x f x= 成立， 即 A BÍ ，所以 1 0 4 12 3 m m ì- + £ïï í ï + ³ ïî ，解得 5 1 3 4 m- £ £ ，即实数 m 的取值范围是 5 1, 3 4 é ù-ê úë û ． 18. 已知函数   lnf x x x= ，   ( 1) , 0 1 1, 0 2 f x x xg x x x +ì >ïï += í ï + £ ïî 的 第 14 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求函数  f x 的极值； （2）若函数  ex f xy a x = - 在区间  1,2 上单调递增，求 a 的最小值； （3）如果存在实数 m、n，其中m n< ，使得    g m g n= ，求 n m- 的取值范围. 【答案】（1）极小值为 1 e - ，无极大值 （2） 1 e （3） 3 2ln 2,2- 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的极值； （2）依题意可得 1e 0xy a x ¢ = - ³ 在  1,2 上恒成立，显然 0a > ，参变分离可得 1exx a ³ ，设   exm x x= ，  1,2x Î ，利用导数得到    1 em x m> = ，即可求出参数 a 的取值范围，即可得解； （3）方法 1：依题意可得函数  g x 在  ,0-¥ 、(0, + ∞)上为增函数，则 2 0m- < £ ，0 e 1n< £ - ，从 而得到  2ln 1 2m n= + - ，则  2ln 1 2n m n n- = - + + ，令    2ln 1 2x x xj = - + + ，  0,e 1x Î - ，利用导数说明函数的单调性，即可求出 n m- 的取值范围；方法 2：依题意可得 2 0m- < £ ，0 e 1n< £ - ，令    g m g n t= = ，可得 e 1 2 2 tn m t ì = - í = -î ，0 1t< £ ，令   e 2 1th t n m t= - = - + ，利用导数说明函数的单调性，即可求出  h t 的范围，从而得解. 【小问 1 详解】 ∵  f x 定义域为(0, + ∞)，   1 lnf x x=¢ + ， ∴当  10,ex -Î 时，𝑓′(𝑥) < 0；当  1e ,x ¥-Î + 时，𝑓′(𝑥) > 0； ∴  f x 在  10,e- 上单调递减，在  1e , ¥- + 上单调递增， ∴  f x 的极小值为  1 1e ef - = - ，无极大值． 【小问 2 详解】 依题可知， e ln= -xy a x ， 1e 0xy a x ¢ = - ³ 在  1,2 上恒成立，显然 0a > ，所以 1exx a ³ ， 设   exm x x= ，  1,2x Î ，    1 e 0xm x x= + >¢ ，所以  m x 在  1,2 上单调递增， 第 15 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司    1 em x m> = ，故 1e a ³ ，即 1 e a ³ ，即 a 的最小值为 1 e ． 【小问 3 详解】 方法 1：由已知    ln 1 , 0 1, 0 2 x x g x x x ì + > ï= í + £ïî ，则函数  g x 在  ,0-¥ 、(0, + ∞)上为增函数， 若存在实数 m、n，其中m n< ，使得    g m g n= ，则 2 0m- < £ ，0 e 1n< £ - ， 由    g m g n= 可得  1 ln 1 2 m n+ = + ，则  2ln 1 2m n= + - ， 故  2ln 1 2n m n n- = - + + ， 令    2ln 1 2x x xj = - + + ，  0,e 1x Î - ，   2 11 0 1 1 xx x x j -- =¢ = = + + ，可得 1x = . 当0 1x< < 时，𝜑′(𝑥) < 0，此时函数𝜑(𝑥)单调递减， 当1 1x e< < - 时，𝜑′(𝑥) > 0，此时函数𝜑(𝑥)单调递增， 故，    min 1 3 2ln 2xj j= = - ， 又因为  0 2j = ，  e 1 e 1j - = - ，且 1 2e - < ，所以  3 2ln 2 2h t- £ < ， 因此， n m- 的取值范围是 3 2ln 2,2- ． 方法 2：由已知    ln 1 , 0 1, 0 2 x x g x x x ì + > ï= í + £ïî ，则函数  g x 在  ,0-¥ 、(0, + ∞)上为增函数， 若存在实数 m、n，其中m n< ，使得    g m g n= ，则 2 0m- < £ ，0 e 1n< £ - ， 令    g m g n t= = ，则  ln 1 1 2 t n mt ì = + ï í = +ïî ，可得 e 1 2 2 tn m t ì = - í = -î ， 由 2 0m- < £ 可得0 1t< £ ， 令   e 2 1th t n m t= - = - + ，其中0 1t< £ ，令   e 2 0th t =¢ - = 可得 ln 2t = ， 当0 ln 2t< < 时，   0h t¢ < ，此时函数  h t 单调递减，当 ln 2 1t< £ 时，   0h t¢ > ， 此时函数  h t 单调递增，故当0 1t< £ 时，    min ln 2 3 2ln 2h t h= = - ， 又因为  0 2h = ，  1 e 1h = - ，且 e 1 2- < ，所以  3 2ln 2 2h t- £ < ， 因此 n m- 的取值范围是 3 2ln 2,2- ． 第 16 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 19. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴sin(𝜔𝑥 + 𝜑) 𝐴 > 0,𝜔 > 0,|𝜑| ≤ π2 的图象如图所示. （1）求函数  f x 的单调递增区间； （2）求函数   π 2 2 6 x xh x f fæ ö æ ö= -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ，在 π0, 2 é ù ê úë û 上的最大值和最小值. （3）若函数   π π 12 2 6 xg x f x mfæ ö æ ö= - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø 在   *0, π Nn nÎ 内恰有781个零点，求实数m 、 n 的值. 【答案】（1） 5π ππ, π 12 12 k ké ù- + +ê úë û ， k Î Z （2）最大值为 3 4 ，最小值为0 （3） 1m = ， 521n = 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求出  f x 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先利用三角恒等变换公式化简ℎ(𝑥)的解析式，根据 x 的取值范围，求出 π2 6 x - 的范围，再由正弦函 数的性质计算可得； （3）首先得到   cos 2 sing x x m x= + ，令𝑔(𝑥) = 0，可得 22sin sin 1 0x m x- - = ，令  sin 1,1= Î -t x ，得 22 1 0t mt- - = ，则方程必有两个不同的实数根 1t 、 2t ，且 1t 、 2t 异号，再对 1t 、 2t 分类讨论，结合正弦函数的性质计算可得. 【小问 1 详解】 由图象可得 1A = ，最小正周期 7π π2 π 12 12 T æ ö= ´ - =ç ÷ è ø ， 又 0w > ，则 2π 2 T w = = ，由 7 7π sin 2 π 1 12 12 f jæ ö æ ö= ´ + = -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ， 所以 π 72 21 π π 2 2kj = +´ + - ， k Î Z 所以 5π 2 π 3 kj = - + ， k Î Z ，又 π 2 j £ ，则易求得 π 3 j = ， 第 17 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 所以   πsin 2 3 f x xæ ö= +ç ÷ è ø ， 由 π π π2 π 2 2 π 2 3 2 k x k- + £ + £ + ， k Î Z ， 解得 5π ππ π 12 12 k x k- + £ £ + ， k Î Z ， 所以  f x 的单调递增区间为 5π ππ, π 12 12 k ké ù- + +ê úë û ， k Î Z ． 【小问 2 详解】 由题意得   π πsin sin 2 2 6 3 x xh x f f x xæ ö æ ö æ ö= - = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 1 3 3 1 1sin cos sin sin 2 cos 2 2 2 4 4 4 x x x x x æ ö = + = - +ç ÷ç ÷ è ø 1 π 1sin 2 2 6 4 xæ ö= - +ç ÷ è ø ， 因为 π0 2 x£ £ ，所以 π π 5π2 6 6 6 x- £ - £ ， 从而可知 π π πsin sin 2 sin 6 6 2 xæ ö æ ö- £ - £ç ÷ ç ÷ è ø è ø ，即 1 πsin 2 1 2 6 xæ ö- £ - £ç ÷ è ø ， 因此 1 π 1 30 sin 2 2 6 4 4 xæ ö£ - + £ç ÷ è ø ， 所以当 π π2 6 2 x - = ，即 π 3 x = 时ℎ(𝑥)取得最大值 3 4 ， 当 π π2 6 6 x - = - ，即 0x = 时ℎ(𝑥)取得最小值0 ， 故ℎ(𝑥)在 π0, 2 é ù ê úë û 上的最大值为 3 4 ，最小值为0 ． 【小问 3 详解】 因为   π π 12 2 6 xg x f x mfæ ö æ ö= - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø π π π πsin 2 sin 2 cos 2 sin 12 3 2 6 3 xx m x m xé ù é ùæ ö æ ö= - + + - + = +ç ÷ ç ÷ê ú ê úè ø è øë û ë û ，令𝑔(𝑥) = 0， 可得 22sin sin 1 0x m x- - = ，令  sin 1,1= Î -t x ，得 22 1 0t mt- - = ， 第 18 页/共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 易知 2 8 0mD = + > ，方程必有两个不同的实数根 1t 、 2t ，由 1 2 1 2 t t = - ，则 1t 、 2t 异号， ①当 1 1t > 且 21 0t- < < 或者 10 1t< < 且 2 1t < - 时， 则方程 1sin x t= 和 2sin x t= 在区间  0, πn 均有偶数个根，不合题意，舍去； ②当 10 1t< < 且 20 1t< < 时，则方程 1sin x t= 和 2sin x t= 在区间  0, πn 均有偶数个根，不合题意，舍 去； ③当 1 1t = - ， 2 1 2 t = 时，当  0,2πx Î 时， sin 1x = - 只有一根， 1sin 2 x = 有两根， 所以关于 x 的方程 22sin sin 1 0x m x- - = 在  0,2πx Î 上有三个根， 由于781 3 260 1= ´ + ，则方程 22sin sin 1 0x m x- - = 在  0,520π 上有780 个根， 由于方程 1sin 2 x = 在区间  520π,521π 上有两个根， 方程 sin 1x = - 在区间  521π,522π 上有一个根，因此，不合题意，舍去； ④当 1 1t = ， 2 1 2 t = - 时，当  0,2πx Î 时， sin 1x = 只有一根， 1sin 2 x = - 有两根， 所以关于 x 的方程 22sin sin 1x m x- - 在  0,2πx Î 上有三个根， 由于781 3 260 1= ´ + ，则方程 22sin sin 1 0x m x- - = 在  0,520π 上有780 个根， 由于方程 sin 1x = 在区间  520π,521π 上只有一个根，方程 1sin 2 x = - 在区间  521π,522π 上两个根，此 时，满足题意； 因此， 521n = ， 11 2 2 m æ ö= + -ç ÷ è ø ，得 1m = ， 综上， 1m = ， 521n = ． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是推导出 1t 、 2t 异号且 1 2 1 2 t t = - ，再对 1t 、 2t 分类讨论.